复数的概念 讲义-高一年级下册数学人教A版（2019）必修第二册

7.1复数的概念

一、复数的概念

1、问题导入

【问题1】必+1=。在实数集R中无解，你能设想一种方法，使这个方程有解吗？

预设回答：找出新的数，使得这个数的平方加1等于0

【问题2】：要进行数系的再一次扩充要解决什么问题？怎么解决？

伟大的数学家欧拉引入一个新数。叫做虚数单位。

并规定产=-1且i可以与实数进行四则运算，进行运算时加法和乘法运算律仍成立。

【问题3］：现在大家是不是可以解出方程必+1=0呢？

预设回答：x-i,x--i

2、⑴复数

①定义：形如。+历的数叫作复数，其中a,bGR,i叫作虚数单位，a叫作复数的实部力叫作

复数的虚部

②表示方法：复数通常用字母z表示,即复数z=a+bi（a力GR）.

（2）复数集

①定义：全体复数组成的集合叫作复数集.

②表示：通常用大写字母C表示.。=1+瓦卜力€尺｝

③实数集R是复数集C的真子集，即R_C

二、复数的分类

（实数6=0

复数（a+历,［纯虚数a=0

虚数厚0人行电耗〃

〔〔非纯虚数存0

三、两个复数相等

〃+bi=c+di当且仅当a=G〃=d（注意：虚数不能比较大小）

【例1J请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数，还是纯虚数.

①2+3i；②—3+gi；(§X/2+i；④兀；⑤一4i;@0.

［例2］下列复数中，满足方程f+10=0的是（）

A.±10B.+V10C.dVlOiD.±10i

【例3】z=(m2-5m+6)+(m2-8m+15)z,i为虚数单位，zn为实数.

(1)当z为纯虚数时，求加的值；

⑵当z为实数时，求机的值；

［例4］已知x2—丁+2盯i=2i,求实数无、y的值.

【例5】已知z；=-3-4z,z2=（"?-3"7-l）+（"2-"7-61，且zi=Z2,则实数加=,n=.

［例6］已知M={1,（%2—2加）+（加+%一2）i},P={—l,l,4i},若MUP=P，求实数机的值

四、复平面

复数z=a+历(a,6dR)可以用直角坐标平面内的

一个点Z来表示，如图所示，点Z的横坐标是a,

纵坐标是6,复数z=a+bi可用点Z(a,6)表示.

这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫作复

平面，无轴叫作实轴，y轴叫作虚轴.显然，实

轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都

表示纯虚数.

每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应.反过来，复平面内的每一个点都有

唯一的一个复数与它对应.复数集C和复平面内所有的点构成的集合是一一对应的

——对应

⑴复数z=a+bi(a力eR)------------------>复平面内的点Z(a,b)；

一一对应—>

⑵复数z=a+bi(a,6GR)------------------>平面向量OZ=(a,b).

—>—>

(3)复数的模：复数z=a+bi(a,6GR)对应的向量为0Z,则0Z的模叫作复数z的模或绝对值，记

作团,且

|z|=|a+勿]^yja2+b2.

【例7】在复平面内，若复数z=(疗一相一2)+(源-3»?+2)i对应点：(1)在虚轴上，求实数

m的取值范围.

(2)在第二象限,求实数m的取值范围

【例8】已知复数z=a+3i在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|=2,则复数z等于()

A.-1+V3iB.l+V3i

C.-1+451或1+45]D.-2+M5i

【例9】设z为纯虚数，且|z—1|=|—l+i|,求复数z.

【例10】已知复数z=3+ai,且|z|<4,求实数a的取值范围.

【例11】在复平面内作出复数zi=^+坐KZ2=—1,Z3=T—坐，对应的向量短1，反2,023,

并求出各复数的模，同时判断各复数对应的点在复平面上的位置关系.

【例12］下列命题中：

①若z=a+Z?i,则仅当〃=0,厚0时z为纯虚数；

②若⑵-Z2>+（Z3—Z2）2=0,贝ljZ1=Z2=Z3；

③x+yi=l==y=1；

其中正确的命题个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

课后练习

1.复数4—3〃一。勺与复数4+40相等，则实数〃的值为（）

A.1B.1或一4C.-4D.0或一4

2.复数+2），为虚数，则实数x满足（）

A.^=~2B.%=-2或

C.洋—2D.-4且*:—2

3.复数z=〃2—庐+3+|〃|»3、b£R）为实数的充要条件是（）

A.a<0B.〃<0且。=一/?

C.〃>0且〃处D.〃>0且〃=|/?|

4.若2+山=/?一工其中〃，i是虚数单位，则复数z=〃+Z?i的模等于（）

A.1B.2C.小D.5

5.以31—也的虚部为实部，以一3+也，的实部为虚部的复数是（）

A.3-3iB.3+馅C.—也+的D.也+也i

V2

6.已知复数z=〃一万（〃，brR,。<0）,满足|z|=l,复数z的实部为叩，则复数z的虚部为

（）

A乎B.-号号D.

7.在复平面内，复数z=sin2+icos2对应的点位于（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

8.已知复数z=(〃2—2〃)+(次一〃一2)i对应的点在虚轴上，贝lj()

A.存2或存1且存1

C.a=OD.Q=2或。=0

9.如果复数z满足条件z+|z|=2+i,那么z=()

3333

A.—^+iB'TD.^+z

10.在复平面内，平行四边形ABCD的3个顶点A,B,C对应的复数分别是1+2。~2+

i,0,则点D对应的复数是()

A.3—iB.-1+3;

C.3+iD.~3~i

11.复数Z对应的点在第二象限，它的模为3,实部是一小，则2=.

-->-->-->

12.已知。为坐标原点，OZi对应的复数为一3+4i,OZ2对应的复数为2a+i(aGR).若OZi

与次2共线，求