新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）36 圆锥曲线与向量交汇问题（原卷版）

素养拓展36圆锥曲线与向量交汇问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、向量共线运用向量的共线的相关知识，可以较容易地处理涉及三点共线、定比分点、直线等问题。在处理圆锥曲线中求相关量的取值范围、求直线的方程、求待定字母的值、证明过定点等问题时，如能恰当的运用平面向量共线的相关知识，常常能使问题较快捷的得到解决.【一般策略】通过适当的设点，将向量关系代数化，再根据圆锥曲线的定义以及一些性质、直线与圆锥曲线的位置关系来解决问题.二、向量的数量积向量的数量积将一些几何知识与代数知识充分的联系在一起，它可以处理垂直、长度、三角形面积和三角函数等问题。所以在解决圆锥曲线中的一些问题时，它通常可以运用在探索点、线的存在性、求参数的取值范围和求圆锥曲线的方程等方面.【一般策略】在圆锥曲线问题中运用向量的数量积，往往题目中出现了向量的数量积或构造向量的数量积，通过向量的数量积的表达式、意义和运算性质，从而达到将问题简化.三、相应的知识储备1.共线向量定理如果SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；反之，如果SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则一定存在唯一的实数SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．2.数量积的运算（1）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的夹角．结论几何表示坐标表示模SKIPIF1<0SKIPIF1<0数量积SKIPIF1<0SKIPIF1<0夹角SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的充要条件SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系SKIPIF1<0(当且仅当SKIPIF1<0时等号成立)SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)两个向量a，b的夹角为锐角⇔a·b＞0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角⇔a·b＜0且a，b不共线二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知点SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的右焦点，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为坐标原点．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)设过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积及直线SKIPIF1<0的方程．【典例2】已知双曲线C的渐近线为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当SKIPIF1<0时，求直线l的方程.【题型训练-刷模拟】1.向量共线一、解答题1．已知平面内动点SKIPIF1<0与定点SKIPIF1<0的距离和SKIPIF1<0到定直线SKIPIF1<0的距离的比是常数SKIPIF1<0．(1)求动点SKIPIF1<0的轨迹方程；(2)设动点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，过定点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0和曲线SKIPIF1<0交于不同两点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长．2．已知椭圆C：SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆C的左、右焦点且经过点SKIPIF1<0的最短弦长为3．(1)求椭圆C的方程；(2)过点SKIPIF1<0分别作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与椭圆交于不同两点A，B，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点P，若SKIPIF1<0，且点Q满足SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．3．经过点SKIPIF1<0且倾斜角为SKIPIF1<0的直线与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0．4．已知双曲线C：SKIPIF1<0的渐近线方程为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线C的方程；(2)若F是双曲线的右焦点，Q是双曲线上的一点，过点F，Q的直线l与y轴交于点M，且SKIPIF1<0，求直线l的斜率．5．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点SKIPIF1<0(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若SKIPIF1<0，求直线l的方程．6．已知双曲线SKIPIF1<0的两条渐近线分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的离心率；(2)SKIPIF1<0为坐标原点，过双曲线上一点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0分别交直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别在第一、第四象限），且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.7．已知圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均外切，记圆心SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0．(1)求曲线SKIPIF1<0的方程；(2)直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，且与曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，满足SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．8．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，与椭圆C有相同焦点的双曲线SKIPIF1<0在第一象限与椭圆C相交于点P，且SKIPIF1<0．(1)求椭圆C的方程；(2)设直线SKIPIF1<0与椭圆C相交于A，B两点，O为坐标原点，且SKIPIF1<0．若椭圆C上存在点E，使得四边形OAED为平行四边形，求m的取值范围．9．已知椭圆Γ：SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0分别是椭圆Γ与SKIPIF1<0轴的交点（点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的上方），过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点．(1)若椭圆SKIPIF1<0焦点在SKIPIF1<0轴上，且其离心率是SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积；(3)设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0三点共线．10．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0在第一象限，SKIPIF1<0在第四象限，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.11．已知双曲线C：SKIPIF1<0，直线l在x轴上方与x轴平行，交双曲线C于A，B两点，直线l交y轴于点D.当l经过C的焦点时，点A的坐标为SKIPIF1<0.(1)求C的方程；(2)设OD的中点为M，是否存在定直线l，使得经过M的直线与C交于P，Q，与线段AB交于点N，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均成立；若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由.12．椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，过椭圆焦点并且垂直于长轴的弦长度为1．(1)求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；(2)若直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0轴相交于SKIPIF1<0点，若存在实数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围．13．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的左、右焦点，经过SKIPIF1<0且垂直于椭圆长轴的弦长为3.

(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0分别作两条互相垂直的直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与椭圆交于A，B两点，SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的最小值.14．如图，正六边形SKIPIF1<0的边长为2．已知双曲线SKIPIF1<0的焦点为A，D，两条渐近线分别为直线SKIPIF1<0．(1)建立适当的平面直角坐标系，求SKIPIF1<0的方程；(2)过A的直线l与SKIPIF1<0交于M，N两点，SKIPIF1<0，若点P满足SKIPIF1<0，证明：P在一条定直线上．15．已知抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0也是椭圆SKIPIF1<0的一个焦点，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的公共弦长为SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0与SKIPIF1<0同向.（i）当直线SKIPIF1<0绕点SKIPIF1<0旋转时，判断SKIPIF1<0的形状；（ii）若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的斜率.16．已知椭圆SKIPIF1<0，连接E的四个顶点所得四边形的面积为4，SKIPIF1<0是E上一点．(1)求椭圆E的方程；(2)设斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆E交于A，B两点，D为线段SKIPIF1<0的中点，O为坐标原点，若E上存在点C，使得SKIPIF1<0，求三角形SKIPIF1<0的面积．17．已知双曲线SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，经过坐标原点O的直线l与双曲线Q交于A，B两点，点SKIPIF1<0位于第一象限，SKIPIF1<0是双曲线Q右支上一点，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0(1)求双曲线Q的标准方程；(2)求证：C，D，B三点共线；(3)若SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，求直线l的方程．18．过坐标原点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的两条切线，设切点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0恰为抛物线SKIPIF1<0的准线.(1)求抛物线SKIPIF1<0的标准方程；(2)设点SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的动点，抛物线SKIPIF1<0上四点SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0中点为SKIPIF1<0.（i）证明：SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0轴；（ii）设SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最大值.2.向量的数量积1．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0交抛物线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0轴两侧，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为坐标原点），求SKIPIF1<0的值．2．在平面直角坐标系中，SKIPIF1<0为坐标原点.已知抛物线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0到焦点的距离比它到SKIPIF1<0轴的距离大1.(1)求抛物线SKIPIF1<0的方程；(2)若过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相交于不同的SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值；3．已知椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，短轴的一个顶点到椭圆C的一个焦点的距离为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，O为坐标原点，若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程.4．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右、上顶点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的左焦点，坐标原点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的取值范围.5．已知椭圆SKIPIF1<0的右顶点为SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，左､右焦点分别为SKIPIF1<0为原点，且SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于另一点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0.(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，在SKIPIF1<0轴上是否存在定点SKIPIF1<0，对于任意的SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0？若存在，求出定点SKIPIF1<0的坐标；若不存在，请说明理由.6．已知椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，已知点SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，且椭圆的离心率SKIPIF1<0．(1)求椭圆的标准方程；(2)设SKIPIF1<0是椭圆上异于SKIPIF1<0的任意一点，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0为垂足，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，直线SKIPIF1<0交直线SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的值．7．已知双曲线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0过双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0且交右支于SKIPIF1<0两点，点SKIPIF1<0为线段SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，SKIPIF1<0．(1)求双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程；(2)若SKIPIF1<0，求直线SKIPIF1<0的方程．8．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0，其中一条渐近线为SKIPIF1<0.(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)一条过双曲线SKIPIF1<0的右焦点SKIPIF1<0且纵截距为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0，交双曲线SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值.9．已知双曲线的中心在原点，焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在坐标轴上，离心率为SKIPIF1<0，且过点SKIPIF1<0．(1)求双曲线方程；(2)若点SKIPIF1<0在双曲线上，求证：SKIPIF1<0；(3)在（2）的条件下，求SKIPIF1<0的面积．10．已知双曲线C的渐近线为SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，右顶点为A.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若斜率为1的直线l与双曲线C交于M，N两点（与点A不重合），当SKIPIF1<0时，求直线l的方程.11．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的左顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一条渐近线的距离为SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)过点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，求SKIPIF1<0的值．12．已知双曲线SKIPIF1<0的一条渐近线是SKIPIF1<0，右顶点是SKIPIF1<0(1)求双曲线的方程(2)若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有两个交点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0是原点SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围13．已知O为坐标原点，SKIPIF1<0位于抛物线C：SKIPIF1<0上，且到抛物线的准线的距离为2．(1)求抛物线C的方程；(2)已知点SKIPIF1<0，过抛物线焦点的直线l交C于M，N两点，求SKIPIF1<0的最小值以及此时直线l的方程．14．已知椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别是SKIPIF1<0的左、右顶点，而SKIPIF1<0的左、右顶点分别是SKIPIF1<0的左、右焦点．(1)求双曲线SKIPIF1<0的方程；(2)若直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0有两个不同的交点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0为原点），求SKIPIF1<0的范围；(3)对于（2）中的点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0轴上是否存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0为等边三角形，若存在请求出SKIPIF1<0的值；不存在则说明理由.15．如图，已知抛物线SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0交抛物线于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，抛物线上的点SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.

(1)求SKIPIF1<0的取值范围；(2)过点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的最大值.16．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，椭圆与SKIPIF1<0轴正半轴的交点为点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为等腰直角三角形．(1)求椭圆SKIPIF1<0的离心率；(2)已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0相切于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在第二象限，过椭圆的右焦点SKIPIF1<0作直线SKIPIF1<0的垂线，垂足为点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求椭圆SKIPIF1<0的方程．17．已知圆心为H的圆SKIPIF1<0和定点SKIPIF1<0，B是圆上任意一点，线段AB的中垂线l和直线BH相交于点M，当点B在圆上运动时，点M的轨迹记为曲线C．(1)求C的方程．(2)如图所示，过点A作两条相互垂直的直线分别与曲线C相交于P，Q和E，F，求SKIPIF1<0的取值范围18．已知对称轴都在坐标轴上的椭圆C过点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于P，Q两点，直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0