新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）32 椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（含解析）

素养拓展32椭圆、双曲线中的焦点三角形问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、椭圆、双曲线中的焦点三角形面积公式1.如图1所示，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆的焦点，设P为椭圆上任意一点，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.证明：如图，由余弦定理知SKIPIF1<0．①由椭圆定义知：SKIPIF1<0，②则②·2－①得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．2.如图2所示，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.证明：如图，由余弦定理知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．二、椭圆、双曲线的焦点三角形中的离心率1．如图1所示，在焦点三角形背景下求椭圆的离心率，一般结合椭圆的定义，关键是运用已知条件研究出SKIPIF1<0的三边长之比或内角正弦值之比.公式：SKIPIF1<02.如图2所示，在焦点三角形背景下求双曲线的离心率，一般结合双曲线的定义，关键是运用已知条件研究出SKIPIF1<0的三边长之比或内角正弦值之比.公式：SKIPIF1<0.二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点P在椭圆上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，SKIPIF1<0.【典例2】已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P在C上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为________.【解析】由焦点三角形面积公式，SKIPIF1<0.【典例3】（2018·新课标Ⅱ卷）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上的一点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则C的离心率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0【解析】解法1：如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C的离心率SKIPIF1<0.解法2：如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【典例4】已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点P在C上，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为_______.【解析】解法1：如图，由题意，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如图，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【题型训练-刷模拟】1.椭圆中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、填空题1.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，P在C上且SKIPIF1<0轴，若SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的离心率SKIPIF1<0.解法2：如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<02.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以B、C为焦点，且经过点A的椭圆的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.过椭圆SKIPIF1<0的左焦点SKIPIF1<0作x轴的垂线交椭圆于A、B两点，椭圆的右焦点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：如图，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：如图，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.4.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率的取值范围为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解析：如图，设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则以A、B为焦点，且经过点P的椭圆的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，由题意，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点P在C上，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.7.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若以B、C为焦点的椭圆经过点A，则该椭圆的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】SKIPIF1<0SKIPIF1<0椭圆的离心率SKIPIF1<0.8.过椭圆SKIPIF1<0的左焦点F作x轴的垂线交椭圆C于A、B两点，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则椭圆C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，设椭圆C的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的离心率SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.9.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0且斜率为SKIPIF1<0的直线l与椭圆C交于A、B两点，SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法l：如图，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以椭圆C的离心率SKIPIF1<0.解法2：如图，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆C的离心率SKIPIF1<0.10.设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，以SKIPIF1<0为直径的圆与椭圆的4个交点和SKIPIF1<0、SKIPIF1<0恰好构成一个正六边形，则椭圆E的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，由题意，SKIPIF1<0是正六边形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故椭圆E的离心率SKIPIF1<0.11.已知P、Q为椭圆SKIPIF1<0上关于原点对称的两点，点P在第一象限，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆C的左、右焦点，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则椭圆C的离心率的取值范围为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，SKIPIF1<0显然四边形SKIPIF1<0是矩形，所以SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又点P在第一象限，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，椭圆C的离心率SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.②综合应用一、单选题1．设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出SKIPIF1<0的面积，即可解出；方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出．【详解】方法一：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.方法二：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由椭圆方程可知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，平方得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：B.2．已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上一点，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0的面积为9，则实数SKIPIF1<0的值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据椭圆的性质、三角形面积公式以及勾股定理，利用完全平方公式，可得答案.【详解】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.3．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一点，则SKIPIF1<0内切圆半径的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由椭圆定义得到SKIPIF1<0，从而利用面积列出方程，得到SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的内切圆半径的最大值.【详解】设SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，由题意得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一点，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C4．已知点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0上，点SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点，并满足SKIPIF1<0面积等于4，则SKIPIF1<0等于（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】C【分析】根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0三点共圆，且SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0面积等于4，结合椭圆的定义求解.【详解】如图所示：由条件可知SKIPIF1<0三点共圆.且以SKIPIF1<0为直径.故SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，联立以上式子可解得：SKIPIF1<0，故选：C.5．已知一个离心率为SKIPIF1<0，长轴长为4的椭圆，其两个焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在椭圆上存在一个点P，使得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的内切圆半径为r，则r的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】在SKIPIF1<0中，利用余弦定理求得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0求解.【详解】解：因为椭圆的离心率为SKIPIF1<0，长轴长为4，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D6．已知SKIPIF1<0是椭圆E的两个焦点，P是E上的一点，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则E的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由SKIPIF1<0得焦点三角形为直角三角形，结合勾股定理与椭圆定义可得SKIPIF1<0，再由面积公式SKIPIF1<0可得齐次方程，进而求出离心率【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由椭圆定义可知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故E的离心率为SKIPIF1<0.故选：C.7．设O为坐标原点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点P在C上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出SKIPIF1<0的面积，即可得到点SKIPIF1<0的坐标，从而得出SKIPIF1<0的值；方法二：利用椭圆的定义以及余弦定理求出SKIPIF1<0，再结合中线的向量公式以及数量积即可求出；方法三：利用椭圆的定义以及余弦定理求出SKIPIF1<0，即可根据中线定理求出．【详解】方法一：设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，由椭圆方程可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．故选：B．方法二：因为SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，联立①②，解得：SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．故选：B．方法三：因为SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，联立①②，解得：SKIPIF1<0，由中线定理可知，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0．故选：B．8．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，I是SKIPIF1<0的内切圆圆心，若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0的面积的4倍，则椭圆C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为l，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，根据面积法求得SKIPIF1<0的内切圆半径SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0的面积的4倍，列出方程可得SKIPIF1<0的关系，从而可得离心率.【详解】设椭圆方程为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆C的两个焦点，P是椭圆C上异于顶点的一点，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的周长为l，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内切圆半径SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0，即离心率SKIPIF1<0.故选：A9．设F1，F2是椭圆C：SKIPIF1<0=1(a>b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在椭圆C上，延长PF2交椭圆C于点Q，且|PF1|=|PQ|，若SKIPIF1<0PF1F2的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】利用焦点三角形的面积公式及椭圆的定义可得SKIPIF1<0，进一步得SKIPIF1<0F1PQ为等边三角形，且SKIPIF1<0轴，从而可得解.【详解】由椭圆的定义，SKIPIF1<0，由余弦定理有：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，化简整理得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由以上两式可得：SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0F1PQ为等边三角形，由椭圆对称性可知SKIPIF1<0轴，所以SKIPIF1<0.故选：B.10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左，右焦点，若在椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用三角形的面积公式，结合椭圆的定义和基本不等式求解即可.【详解】由题意得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，由椭圆定义可得SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取等号，于是有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：A.11．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆E：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的左、右焦点，点M在椭圆E上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则椭圆E的离心率e的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由椭圆的定义与三角形的面积公式即可列出关于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程，利用基本不等式即可列出关于a，c的不等式，即可求出离心率e的取值范围；【详解】由椭圆的定义知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，∴SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故选：D．12．已知SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点，点SKIPIF1<0是椭圆上的一个动点，若SKIPIF1<0的内切圆半径的最大值是SKIPIF1<0，则椭圆的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，根据等面积法得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0的最大值，从而求出SKIPIF1<0，即可求出椭圆的离心率；【详解】解：由椭圆SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，如图，设SKIPIF1<0内切圆的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，要使SKIPIF1<0内切圆半径最大，则需SKIPIF1<0最大，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0内切圆半径的最大值为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则椭圆的离心率SKIPIF1<0故选：B．二、填空题13．已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为．【答案】3【分析】根据已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.根据椭圆的定义有SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0有SKIPIF1<0.即可求出SKIPIF1<0，进而求出三角形的面积.【详解】由已知可得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为点SKIPIF1<0在椭圆上，由椭圆的定义可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为直角三角形，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：3.14．SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上的一点,SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是其左右焦点,若SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的面积为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先利用椭圆定义和余弦定理证明焦点三角形的面积公式,再代入数据计算即可.【详解】设SKIPIF1<0,由椭圆定义SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中,由余弦定理得SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0所以,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.由题知SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<015．设点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是该椭圆的两个焦点，若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】在SKIPIF1<0中，利用余弦定理结合椭圆的定义建立含SKIPIF1<0的关系等式，再与三角形面积关系联立即可求解.【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，长半轴SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，由椭圆定义得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，两边平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<016．已知点SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上的点，点SKIPIF1<0是椭圆的两个焦点，若SKIPIF1<0中有一个角的大小为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为．【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0/SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】由椭圆方程可求得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，由焦点三角形面积公式可求得SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，利用余弦定理可构造方程求得SKIPIF1<0，由三角形面积公式可得结果.【详解】由椭圆方程知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；同理可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.综上所述：SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.17．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为4，则椭圆的标准方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意得到SKIPIF1<0为直角三角形．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据椭圆的离心率，定义，直角三角形的面积公式，勾股定理建立方程SKIPIF1<0的方程组，消元后可求得SKIPIF1<0的值.【详解】由题可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0，代入上式整理得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0为直角三角形．又SKIPIF1<0的面积为4，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0所以椭圆的标准方程为SKIPIF1<0．18．已知椭圆C:SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，第一象限点P在C上，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的内切圆半径为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意列方程组解出SKIPIF1<0点坐标，由面积与周长关系求内切圆半径【详解】由已知条件得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（－1，0），SKIPIF1<0（1，0）.设点P的坐标为（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0①，∵第一象限点P在C上，∴则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0②，联立解得SKIPIF1<0由椭圆的定义得SKIPIF1<0设SKIPIF1<0的内切圆半径为r，则SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<019．已知椭圆SKIPIF1<0的两个焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为．【答案】SKIPIF1<0【分析】利用椭圆的定义、余弦定理结合三角形的面积公式可求得SKIPIF1<0的值，结合椭圆的离心率可求得SKIPIF1<0的值，即可得出椭圆SKIPIF1<0的方程.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由椭圆的定义可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.因此，椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.20．SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0上异于顶点的一点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内切圆圆心，若SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0的面积的3倍，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】先由SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，即可求出离心率.【详解】由于椭圆关于原点对称，不妨设点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上方.设点SKIPIF1<0纵坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0纵坐标为SKIPIF1<0，内切圆半径为SKIPIF1<0，椭圆长轴长为SKIPIF1<0，焦距为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，可得离心率为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.21．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若椭圆SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0使三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围是．【答案】SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0即可求SKIPIF1<0得范围.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，若存在点SKIPIF1<0使三角形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0的取值范围是：SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<02.双曲线中的焦点三角形①离心率公式的直接应用一、单选题1.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点M在E上，SKIPIF1<0与x轴垂直，SKIPIF1<0，则E的离心率为（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0 C.SKIPIF1<0 D.2【答案】A【解析】解法1：如图，不妨设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.二、填空题2.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，双曲线C的离心率SKIPIF1<0.解法2：SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，所以SKIPIF1<0.3.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，点P在C上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.4.已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0且与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若SKIPIF1<0是正三角形，则双曲线C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】解法1：如图，SKIPIF1<0是正三角形，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0.解法2：如图，SKIPIF1<0是正三角形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以双曲线C的离心率SKIPIF1<0.5.过双曲线SKIPIF1<0的左焦点F作x轴的垂线交C于A、B两点，若SKIPIF1<0是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为_______.【答案】SKIPIF1<0【解析】如图，设双曲线C的右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等腰直角三角形SKIPIF1<0也是等腰直角三角形，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以C的离心率SKIPIF1<0.②综合应用一、单选题1．已知：双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为其右支上一点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】根据双曲线中，焦点三角形的面积公式求解即可.【详解】由双曲线焦点三角形面积公式可得：SKIPIF1<0故选：C.【点睛】本题考查双曲线焦点三角形面积的求解，属基础题.2．已知双曲线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左､右焦点分别是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的离心率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用余弦定理求得c，再利用双曲线的定义求得a即可.【详解】解：设双曲线SKIPIF1<0的半焦距为SKIPIF1<0.由题意，点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据双曲线定义得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线SKIPIF1<0的离心率SKIPIF1<0.故选：D3．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，P为双曲线上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积等于（

）A．6 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用双曲线定义结合已知求出SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，再求出焦距SKIPIF1<0即可计算作答.【详解】双曲线SKIPIF1<0的实半轴长SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0，由双曲线定义得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0是直角三角形，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0.故选：A4．设F1，F2是双曲线C:SKIPIF1<0的两个焦点，P是双曲线C上一点，若SKIPIF1<0，且△PF1F2的面积为9，则C的离心率等于（

）A．SKIPIF1<0 B．2 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由已知条件，结合双曲线的简单性质求出SKIPIF1<0，由此可求出双曲线的离心率.【详解】因为F1，F2是双曲线C:SKIPIF1<0的两个焦点，P是双曲线C上一点，若SKIPIF1<0，且△PF1F2的面积为9，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故双曲线的离心率为SKIPIF1<0.故选：C.5．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，若SKIPIF1<0为正三角形，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】求出SKIPIF1<0，利用双曲线的定义求出SKIPIF1<0，进而可求得SKIPIF1<0