新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）31 圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（含解析）

素养拓展31圆锥曲线中焦半径和焦点弦公式的应用（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、椭圆的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为椭圆上任意点，则椭圆的焦半径SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可按下面的公式计算：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（记忆：左加右减）【焦半径形式2】椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为F，P为椭圆上任意一点，设SKIPIF1<0，则椭圆的焦半径SKIPIF1<0，若延长SKIPIF1<0交椭圆于另一点Q，则椭圆的焦点弦SKIPIF1<0.二、双曲线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】双曲线SKIPIF1<0SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为双曲线任意一点，则双曲线的焦半径SKIPIF1<0和SKIPIF1<0可按下面的公式计算：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0（记忆：左加右减）【焦半径形式2】双曲线SKIPIF1<0的一个焦点为F，P为双曲线上任意一点，设SKIPIF1<0，则双曲线的焦半径SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0交双曲线于另一点Q，则双曲线的焦点弦SKIPIF1<0.（焦半径公式中取“+”还是取“－”由P和F是否位于y轴同侧决定，同正异负）三、抛物线的焦半径和焦点弦公式【焦半径形式1】设点SKIPIF1<0在抛物线上，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是抛物线的焦点弦，则抛物线的坐标版焦半径、焦点弦公式如下表：标准方程SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0图形焦半径公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0焦点弦公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0【焦半径形式2】直线AB过抛物线SKIPIF1<0的焦点，交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，设α为AB的倾斜角（1）弦长AB＝eq\f(2p,sin2α)（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥SKIPIF1<0＝p，即当x1＝x2时，弦长最短为：（通径）2p.（3）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)为定值eq\f(2,p).二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，点P在椭圆上，则SKIPIF1<0的取值范围为_______.【解析】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0【典例2】双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，双曲线上的一点P满足SKIPIF1<0，则点P的坐标为_______.【解析】由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由焦半径公式，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）代入双曲线的方程可求得SKIPIF1<0，所以P的坐标为SKIPIF1<0.【典例3】过抛物线SKIPIF1<0焦点F的直线l与抛物线C交于A、B两点，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0_____.【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.【典例4】抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，过F且倾斜角为60°的直线l被抛物线C截得的弦长为______.【解析】解法1：由题意，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0整理得：SKIPIF1<0，设两根为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故直线l被抛物线C截得的弦长SKIPIF1<0.解法2：直线l被抛物线C截得的弦长SKIPIF1<0.【题型训练-刷模拟】1.椭圆的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是椭圆SKIPIF1<0的两个焦点，点M在椭圆C上，当SKIPIF1<0取最大值时，三角形SKIPIF1<0面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．2 D．4【答案】B【分析】根据椭圆的焦半径公式和椭圆中的SKIPIF1<0的范围可求得SKIPIF1<0取最大值时，点SKIPIF1<0在椭圆的短轴上.【详解】设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，根据椭圆的焦半径公式可得：SKIPIF1<0则有：SKIPIF1<0根据椭圆的特点，可知：SKIPIF1<0可得：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取最大值此时，点SKIPIF1<0在椭圆的短轴上，则有：SKIPIF1<0故选：B2．已知动点SKIPIF1<0在椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0的右焦点，若点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．3 B．2 C．SKIPIF1<0 D．1【答案】C【分析】由已知可得SKIPIF1<0，只需求出SKIPIF1<0即可，再利用两点之间的距离公式计算即可得到答案.【详解】由已知，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因SKIPIF1<0在椭圆上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题考查椭圆中的焦半径的最值问题，涉及到两点间的距离公式，考查学生的等价转化的思想，是一道中档题.3．已知椭圆SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，若过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与椭圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先证明椭圆SKIPIF1<0上的点SKIPIF1<0的到右焦点SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0分别为椭圆的顶点时SKIPIF1<0取最值，进而可得结果.【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由两点间距离公式可知：SKIPIF1<0，由上式可得当SKIPIF1<0为椭圆的右顶点时，SKIPIF1<0最小，此时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为椭圆的左顶点时，SKIPIF1<0最大，此时SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0的最大值为3，即SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0，故选：C.4．已知SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0上任意一点，EF为圆SKIPIF1<0的任意一条直径，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0进行数量积运算后转化为求椭圆上点到焦点SKIPIF1<0的最大值和最小值问题．【详解】由题意SKIPIF1<0椭圆的下焦点，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，椭圆上的SKIPIF1<0到焦点SKIPIF1<0的距离的最大值为SKIPIF1<0，最小值为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值为24，最小值为8．所以SKIPIF1<0的取值范围SKIPIF1<0．故选：B．5．已知SKIPIF1<0为坐标原点，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为第一象限内SKIPIF1<0上一点．若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据椭圆的定义结合已知条件求出SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据两点间的距离公式求出点SKIPIF1<0的坐标，进而可求得直线SKIPIF1<0的斜率.【详解】在椭圆SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0，因此，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0.故选：C.6．已知椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为第一象限内椭圆上的两个点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】C【分析】设点SKIPIF1<0，用椭圆的离心率e，半焦距c及a表示出SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0探求出SKIPIF1<0的关系即可作答.【详解】设点SKIPIF1<0，右焦点为SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，如图，过P，Q分别作x轴的垂线，垂足分别为M，N，因SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的离心率为SKIPIF1<0.故选：C7．如图，椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别作弦SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】分直线斜率不存在和存在两种情况，当直线SKIPIF1<0的斜率不存在，可求出点SKIPIF1<0的坐标，从而可得SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，然后将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元后利用根与系数的关系，表示出SKIPIF1<0，从而可表示出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而可表示SKIPIF1<0【详解】由椭圆的对称性可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，则点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0消去SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.综上，SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0，故选:C.8．已知椭圆SKIPIF1<0的左焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．倾斜角为SKIPIF1<0的直线与SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，并且满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.于是SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0.因此SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，∴直线的斜率SKIPIF1<0，根据弦长公式，可得SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.SKIPIF1<0．故选：A9．已知椭圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，过椭圆上一点SKIPIF1<0和原点SKIPIF1<0的直线交圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设SKIPIF1<0，由椭圆的焦半径公式以及SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在椭圆上，则SKIPIF1<0，由对称性可得，SKIPIF1<0，代入即可得出答案.【详解】设SKIPIF1<0，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理：SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在椭圆上，∴x02a2+y02b2=1由圆的相交弦定理及对称性得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：B．10．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是椭圆上位于SKIPIF1<0轴上方的两点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】延长射线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，由椭圆的对称性，则SKIPIF1<0，若直线SKIPIF1<0的斜率不存在易得；若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与椭圆方程联立，利用两点间的距离公式结合韦达定理建立SKIPIF1<0SKIPIF1<0求解.【详解】如图，延长射线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别与椭圆SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，

由椭圆的对称性可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0则点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0.①若直线SKIPIF1<0的斜率不存在，则点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的坐标分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0②若直线SKIPIF1<0的斜率存在，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立方程SKIPIF1<0，消去SKIPIF1<0后整理为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：B二、填空题11．已知椭圆C的离心率SKIPIF1<0，左右焦点分别为SKIPIF1<0，P为椭圆C上一动点，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用焦半径公式把比值表示为SKIPIF1<0的式子，然后由SKIPIF1<0得出范围．【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.12．已知椭圆SKIPIF1<0，线段SKIPIF1<0的两个端点SKIPIF1<0在椭圆上移动，且SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0的最大值是．【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆的右焦点，则SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0代入数据即可求得答案．【详解】解：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为椭圆的右焦点，由题意，椭圆的长半轴长SKIPIF1<0，短半轴长SKIPIF1<0，半焦距SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得，SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．13．设SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的左、右两个焦点，过SKIPIF1<0作斜率为1的直线，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0两点，则SKIPIF1<0【答案】SKIPIF1<0【分析】由椭圆的标准方程，求出焦点SKIPIF1<0的坐标，写出直线方程，与椭圆方程联立，求出弦长，利用定义可得SKIPIF1<0，进而求出SKIPIF1<0．【详解】由SKIPIF1<0知，焦点SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0由定义有，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．14．已知椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若第一象限的点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率为.【答案】SKIPIF1<0【分析】设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求得椭圆的离心率，利用椭圆的焦半径公式可求得SKIPIF1<0的值，再利用弦长公式可求得直线SKIPIF1<0的斜率.【详解】椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，上顶点为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，由椭圆的几何性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，椭圆的离心率为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，由弦长公式可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因为点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都在第一象限，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．若直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0）与圆SKIPIF1<0相切，与椭圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为其右焦点，则SKIPIF1<0的周长为.【答案】4【分析】先根据直线与圆相切求得SKIPIF1<0的关系，设切点为SKIPIF1<0，利用勾股定理分别求出SKIPIF1<0，再根据两点间的距离公式分别求出SKIPIF1<0，从而可得出答案.【详解】解：由直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相切，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，消SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故答案为：4.16．已知椭圆SKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在椭圆上，连接SKIPIF1<0并延长交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，若存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0成立，则SKIPIF1<0的取值范围为.【答案】SKIPIF1<0【分析】设SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0由SKIPIF1<0可求SKIPIF1<0的最小值，求得SKIPIF1<0的范围，从而得到SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.显然当SKIPIF1<0靠近右顶点时，SKIPIF1<0，所以存在点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<02.双曲线的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．已知双曲线SKIPIF1<0上的点到焦点的最小距离为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0无交点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】设点SKIPIF1<0，求出点SKIPIF1<0到双曲线焦点距离的最小值为SKIPIF1<0，再利用直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0无公共点可得出SKIPIF1<0，可得出关于SKIPIF1<0的不等式，结合SKIPIF1<0可得出SKIPIF1<0的取值范围.【详解】设双曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0，设点双曲线SKIPIF1<0的右焦点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0取最小值，则点SKIPIF1<0在双曲线SKIPIF1<0的右支上，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立，联立SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0无交点，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.2．已知双曲线SKIPIF1<0的右支上的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线的左右焦点），则SKIPIF1<0为双曲线SKIPIF1<0的半焦距）的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再换元利用函数的单调性求解.【详解】解：由双曲线的第二定义可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0右支上的点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在右支上，可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0而SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：B3．已知双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作一条倾斜角为30°的直线与双曲线C在第一象限交于点M，且SKIPIF1<0，则双曲线C的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由双曲线的焦半径公式结合几何图形的性质计算即可【详解】

如图所示，设双曲线实轴长为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又M在第一象限，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，过M作MD⊥SKIPIF1<0轴于D，SKIPIF1<0，由条件故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解之得SKIPIF1<0（负值舍去）.故选：A4．已知动点P在双曲线C：SKIPIF1<0上，双曲线C的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列结论：①C的离心率为2；

②C的焦点弦最短为6；③动点P到两条渐近线的距离之积为定值；④当动点P在双曲线C的左支上时，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．其中正确的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】①由性质可得；②用特殊值可判定；③设点坐标计算化简即可，④利用双曲线的焦半径办公计算即可.【详解】由题意可得SKIPIF1<0，即①正确；显然当双曲线的焦点弦过左、右焦点时，该弦长为实轴，长度为2＜6，即②错误；易知双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且到两条双曲线的距离之积为SKIPIF1<0是定值，故③正确；对于④，先推下双曲线的焦半径公式：对双曲线SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0及双曲线的左右焦点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，此即为双曲线的焦半径公式.设点SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由双曲线的焦半径公式可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由二次函数的性质可得其最大值为SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时取得，故④错误；综上正确的是①③两个.故选：B二、填空题5．已知SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0.左，右焦点，若SKIPIF1<0上存在一点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，其中SKIPIF1<0是坐标原点，则SKIPIF1<0的离心率的取值范围是.【答案】SKIPIF1<0【分析】不妨设点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由条件可得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0建立不等式从而可得答案.【详解】不妨设点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理可得SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<06．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别是双曲线SKIPIF1<0的左、右焦点，过SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0的右支交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，且满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0是坐标原点），则直线SKIPIF1<0的斜率为.【答案】SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【分析】利用双曲线的第二定义求出焦半径的表达式，再根据SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0列等式求解.【详解】如图，设双曲线SKIPIF1<0的左右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在双曲线的右支上，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作右准线SKIPIF1<0的垂线SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，则由双曲线的第二定义知，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0.由双曲线SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，离心率SKIPIF1<0，由题设直线SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0，，所以SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，‘解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0代入，可求得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.3.抛物线的焦半径和焦点弦公式一、单选题1．过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0与抛物线交于SKIPIF1<0两点，且SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率可能为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】将SKIPIF1<0代入抛物线焦半径公式求出倾斜角，再求斜率.【详解】解：设SKIPIF1<0的倾斜角为SKIPIF1<0，由抛物线焦半径公式可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：C.2．已知斜率为SKIPIF1<0的直线SKIPIF1<0过抛物线SKIPIF1<0的焦点SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，过SKIPIF1<0，SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0等于（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】先将SKIPIF1<0进行化简转化为SKIPIF1<0，再利用直线SKIPIF1<0的倾斜角的余弦值表示SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，解出SKIPIF1<0的值，然后根据SKIPIF1<0求出斜率值.【详解】如图所示，SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0所在直线直线的倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D.3．过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且SKIPIF1<0，则直线l的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】当A在第一象限时，化简SKIPIF1<0即得直线l的斜率，再由对称性得解.【详解】解：当A在第一象限时，SKIPIF1<0，由对称性可知SKIPIF1<0.故选：D.【点睛】结论点睛：抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0,点A在第一象限，点B在第四象限，弦AB是倾斜角为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.在解答抛物线的有关问题时，利用这个结论可以提高解题效率.4．过抛物线SKIPIF1<0的焦点F的直线与抛物线在第一象限，第四象限分别交于A，B两点，若SKIPIF1<0，则直线AB的倾斜角为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据抛物线的定义，结合直线斜率与倾斜角的关系进行求解即可.【详解】分别过A，B两点作横轴的垂线，垂足分别为SKIPIF1<0，设直线AB的倾斜角为SKIPIF1<0，由题意可设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为钝角，如下图所示：

由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角三角形中SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故选：C5．已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的焦点为SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0且经过点SKIPIF1<0，与抛物线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点（点SKIPIF1<0在第一象限），与抛物线SKIPIF1<0的准线交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0．A．①② B．②③ C．③④ D．①②③【答案】D【分析】由题意画出图形，写出直线方程，与抛物线方程联立，求得SKIPI