新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）30 阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（含解析）

素养拓展30阿波罗尼斯圆和蒙日圆的问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、阿波罗尼斯圆1.阿波罗尼斯圆的定义在平面上给定两点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0点在同一平面上且满足SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0点的轨迹是个圆，称之为阿波罗尼斯圆．（SKIPIF1<0时SKIPIF1<0点的轨迹是线段SKIPIF1<0的中垂线）2.阿波罗尼斯圆的证明设SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），则点SKIPIF1<0的轨迹方程是SKIPIF1<0，其轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆．证明：由SKIPIF1<0及两点间距离公式，可得SKIPIF1<0，化简可得SKIPIF1<0①，（1）当SKIPIF1<0时，得SKIPIF1<0，此时动点的轨迹是线段SKIPIF1<0的垂直平分线；（2）当SKIPIF1<0时，方程①两边都除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化为标准形式即为：SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹方程是以SKIPIF1<0为圆心，半径为SKIPIF1<0的圆．图①图②图③【定理】SKIPIF1<0为两已知点，SKIPIF1<0分别为线段SKIPIF1<0的定比为SKIPIF1<0的内外分点，则以SKIPIF1<0为直径的圆SKIPIF1<0上任意点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之比为SKIPIF1<0．证明：以SKIPIF1<0为例．如图②，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0的垂线圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，由相交弦定理及勾股定理得SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0．SKIPIF1<0同时在到SKIPIF1<0两点距离之比等于SKIPIF1<0的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，SKIPIF1<0圆SKIPIF1<0上任意一点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0两点的距离之比恒为SKIPIF1<0．同理可证SKIPIF1<0的情形．3.阿波罗尼斯圆的相关结论【结论1】当SKIPIF1<0时，点B在圆SKIPIF1<0内，点A在圆SKIPIF1<0外；当SKIPIF1<0时，点A在圆SKIPIF1<0内，点B在圆SKIPIF1<0外．【结论2】因SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的一条切线．若已知圆SKIPIF1<0及圆SKIPIF1<0外一点A，可以作出与之对应的点B，反之亦然．【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0．【结论4】过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0的切线SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为切点），则SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的内、外角平分线．【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分SKIPIF1<0和外分SKIPIF1<0所得的两个分点，如图所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的内分点，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的外分点，此时必有SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．证明：如图①，由已知可得SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．由等角的余角相等可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0的外角．【结论6】过点SKIPIF1<0作圆SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0重合的弦SKIPIF1<0，则AB平分SKIPIF1<0．证明：如图③，连结SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0．二、蒙日圆1.蒙日圆的定义在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．证明：设椭圆的方程为SKIPIF1<0，则椭圆两条互相垂直的切线SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0的轨迹是蒙日圆：SKIPIF1<0．①当题设中的两条互相垂直的切线SKIPIF1<0斜率均存在且不为SKIPIF1<0时，可设SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），过SKIPIF1<0的椭圆的切线方程为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由其判别式值为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是这个关于SKIPIF1<0的一元二次方程的两个根，SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的坐标满足方程SKIPIF1<0．②当题设中的两条互相垂直的切线SKIPIF1<0有斜率不存在或斜率为SKIPIF1<0时，可得点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，此时点SKIPIF1<0也在圆SKIPIF1<0上．综上所述：椭圆SKIPIF1<0两条互相垂直的切线SKIPIF1<0交点SKIPIF1<0的轨迹是蒙日圆：SKIPIF1<0．2.蒙日圆的几何性质【结论1】过圆SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．证明：设SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，由其判别式的值为0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是这个关于SKIPIF1<0的一元二次方程的两个根，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【结论2】设SKIPIF1<0为蒙日圆O：SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，交椭圆于点SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0．【结论3】设SKIPIF1<0为蒙日圆O：SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0（垂径定理的推广）．【结论4】过圆SKIPIF1<0上的动点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，O为原点，则SKIPIF1<0平分椭圆的切点弦SKIPIF1<0．证明：SKIPIF1<0点坐标SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0斜率SKIPIF1<0，由切点弦公式得到SKIPIF1<0方程SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由点差法可知，SKIPIF1<0平分SKIPIF1<0，如图SKIPIF1<0是中点．【结论5】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0SKIPIF1<0上任一点，过点P作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，交蒙日圆O于两点C，D，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值SKIPIF1<0．【结论6】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的斜率乘积为定值：SKIPIF1<0．【结论7】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0为原点，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．【结论8】设SKIPIF1<0为蒙日圆SKIPIF1<0上任一点，过点SKIPIF1<0作椭圆SKIPIF1<0的两条切线，切点分别为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是平面上两点，则满足SKIPIF1<0(其中SKIPIF1<0为常数，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0)的点SKIPIF1<0的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求点SKIPIF1<0所在圆SKIPIF1<0的方程.（2）已知圆SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点(点SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0的左边)，斜率不为0的直线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0且与圆SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0两点，证明：SKIPIF1<0.【详解】（1）解：由题意可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.（2）证明：对于圆SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，即SKIPIF1<0.【典例2】已知椭圆SKIPIF1<0的一个焦点为SKIPIF1<0，离心率为SKIPIF1<0．（I）求椭圆SKIPIF1<0的标准方程；（II）若动点SKIPIF1<0为椭圆外一点，且点SKIPIF1<0到椭圆SKIPIF1<0的两条切线相互垂直，求点SKIPIF1<0的轨迹方程．【详解】（I）可知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故椭圆SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0．（II）设两切线为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0//SKIPIF1<0轴时，对应SKIPIF1<0//SKIPIF1<0轴或SKIPIF1<0轴，可知SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②当SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴不垂直且不平行时，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∵直线与椭圆相切，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0（*），SKIPIF1<0是方程（*）的一个根，同理SKIPIF1<0是方程（*）的另一个根，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0或SKIPIF1<0满足上式．综上知：点P的轨迹方程为SKIPIF1<0．【题型训练-刷模拟】1.阿波罗尼斯圆一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）我们都知道：平面内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆．后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆．已知平面内有两点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，且该平面内的点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0的轨迹关于直线SKIPIF1<0对称，则SKIPIF1<0的最小值是（

）A．10 B．20 C．30 D．40【答案】B【分析】点SKIPIF1<0的轨迹为圆，直线SKIPIF1<0过圆心，得SKIPIF1<0，利用基本不等式求SKIPIF1<0的最小值.【详解】设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0点的轨迹关于直线SKIPIF1<0对称，所以圆心SKIPIF1<0在此直线上，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0的最小值是SKIPIF1<0.故选：B.2．（2023·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将之称为阿波罗尼斯圆.现有椭圆SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0长轴的端点，SKIPIF1<0为椭圆SKIPIF1<0短轴的端点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为椭圆SKIPIF1<0的左右焦点，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题可得动点M的轨迹方程SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即求.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0=2，化简得SKIPIF1<0.∵△MAB面积的最大值为SKIPIF1<0面积的最小值为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：A．3．（2023秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考期中）阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比SKIPIF1<0，那么点SKIPIF1<0的轨迹就是阿波罗尼斯圆．已知动点SKIPIF1<0的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为SKIPIF1<0，定点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴上一点，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，若点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据点SKIPIF1<0的轨迹方程可得SKIPIF1<0，结合条件可得SKIPIF1<0，即得.【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理可得SKIPIF1<0，又动点M的轨迹是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．故选：C．4．（2023·广西·统考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点SKIPIF1<0到两个定点的距离之比为常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0），那么点SKIPIF1<0的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离比为SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离的最大值是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先由题意求出点SKIPIF1<0的轨迹方程，再由直线和圆的位置关系求解即可.【详解】由题意，设点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，化简得点SKIPIF1<0的轨迹方程为SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆.圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0最大距离为SKIPIF1<0.故选：A.5．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，得到动点SKIPIF1<0的轨迹是阿氏圆SKIPIF1<0.若对任意实数SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恒有公共点，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】设点SKIPIF1<0，求出动点SKIPIF1<0的轨迹圆SKIPIF1<0的方程，再求出直线SKIPIF1<0过定点坐标，依题意点SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部，即可得到不等式，解得即可.【详解】设点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以动点SKIPIF1<0的轨迹为阿氏圆SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，又直线SKIPIF1<0恒过点SKIPIF1<0，若对任意实数SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0恒有公共点，SKIPIF1<0在圆SKIPIF1<0的内部或圆上，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.故选：C6．（2023·全国·校联考模拟预测）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得､阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法错误的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在C上存在点M，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据已知条件及两点之间的距离公式，利用三角形的角平分线定理及圆与圆的位置关系，结合三点共线时线段取得最短即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故A正确；当SKIPIF1<0三点不共线时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，所以SKIPIF1<0，故B正确；设SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以C上不存在点M，使得SKIPIF1<0，故C错误；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，等号成立，故D正确.故选：C.7．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）已知平面上两定点A，B，则所有满足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点P的轨迹是一个圆心在直线AB上，半径为SKIPIF1<0的圆.这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿氏圆.已知动点P在棱长为6的正方体SKIPIF1<0的一个侧面SKIPIF1<0上运动，且满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】根据阿氏圆的定义分析得P点轨迹为球与侧面的交线，计算其弧长即可【详解】在图1中，以B为原点建立平面直角坐标系SKIPIF1<0，如图2所示，设阿氏圆圆心为SKIPIF1<0，半径为r.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.设圆O与AB交于点M.由阿氏圆性质，知SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P在空间内的轨迹为以O为球心，半径为4的球.当点P在侧面SKIPIF1<0内部时，如图2所示，截面圆与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别交于点M，R，所以点P在侧面SKIPIF1<0内的轨迹为SKIPIF1<0.因为在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以点P在侧面SKIPIF1<0内部的轨迹长为SKIPIF1<0.

故选：B.二、多选题8．（2023秋·云南保山·高三统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0且SKIPIF1<0的点的轨迹是一个圆，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．曲线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0外切C．曲线SKIPIF1<0被直线SKIPIF1<0截得的弦长为SKIPIF1<0D．曲线SKIPIF1<0上恰有三个点到直线SKIPIF1<0的距离为1【答案】ACD【分析】对于A，设点SKIPIF1<0，由两点间距离公式代入化简判断；对于B，根据圆心距与两半径和的关系进行判断；对于C，先求出点到直线的距离，再结合勾股定理求出弦长；对于D，结合点到直线的距离以及圆C的半径分析判断.【详解】对于A，设SKIPIF1<0，由定义SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简整理得SKIPIF1<0，故A正确；对于B，SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0；圆心距SKIPIF1<0，故B错误；对于C，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，所以弦长为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0，所以圆SKIPIF1<0上恰有三个点到直线SKIPIF1<0的距离为1,故D正确.故选：ACD.9．（2024·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆．”后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，下列结论正确的是（

）A．曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0有公共点C．曲线SKIPIF1<0被SKIPIF1<0轴截得的弦长为SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】通过阿氏圆的定义结合SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，从而可以得到曲线C的方程；通过计算圆心到直线SKIPIF1<0的距离是否小于等于半径，从而判断B的正确性；计算圆心到SKIPIF1<0轴的距离SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0，得到曲线SKIPIF1<0被SKIPIF1<0轴截得的弦长SKIPIF1<0，从而判断C的正确性；SKIPIF1<0的长度确定，所以SKIPIF1<0面积的最大值即为点SKIPIF1<0到SKIPIF1<0距离的最大值，从而判断C的正确性.【详解】设SKIPIF1<0，对于选项A，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，故A正确；对于选项B，因为曲线C为SKIPIF1<0，所以圆心为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0，计算圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，所以直线SKIPIF1<0与曲线C没有公共点，故B错误；对于选项C，曲线SKIPIF1<0的圆心在SKIPIF1<0轴上，所以被SKIPIF1<0轴截得的弦即为直径，所以曲线SKIPIF1<0被SKIPIF1<0轴截得的弦长为SKIPIF1<0，故C正确；对于选项D，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0，而曲线C为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD10．（2023·全国·高三专题练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．设点SKIPIF1<0的轨迹为SKIPIF1<0，则（

）．A．轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．在SKIPIF1<0轴上存在异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0C．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，射线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线D．在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】BC【分析】利用求轨迹方程的方法确定轨迹SKIPIF1<0的方程可判断A；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由两点间的距离公式结合轨迹SKIPIF1<0的方程可判断B；由角平分线的定义可判断C；设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0求出点SKIPIF1<0的轨迹方程与SKIPIF1<0联立，可判断D.【详解】对于A，在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以A错误；对于B，假设在SKIPIF1<0轴上存在异于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的两点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，由轨迹SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（舍去），所以B正确；对于C，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，SKIPIF1<0，可得射线SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的角平分线，所以C正确；对于D，若在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，可设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，与SKIPIF1<0联立，方程组无解，故不存在点SKIPIF1<0，所以D错误．故选：BC．11．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校联考阶段练习）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距离之比为定值SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.设点SKIPIF1<0的轨迹为曲线SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0B．当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，则SKIPIF1<0C．在SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】对于A，通过直接法求出点SKIPIF1<0的轨迹方程即可判断；对于B，由题意，结合三角形内角平分线定理进行判断即可；对于C，由“阿波罗尼斯圆”定义，求点SKIPIF1<0轨迹方程，用圆与圆的位置关系进行判断即可；对于D，将SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0进行判断即可.【详解】设SKIPIF1<0，（SKIPIF1<0不与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0重合）∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，∴点SKIPIF1<0的轨迹曲线SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，对于A，曲线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，故选项A正确；对于B，由已知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三点不共线时，由三角形内角平分线定理知，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0的角平分线，∴SKIPIF1<0，故选项B正确；对于C，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由题意，SKIPIF1<0点轨迹是圆，设SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，化简得点SKIPIF1<0轨迹方程为SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹是圆心为SKIPIF1<0，半径SKIPIF1<0的圆，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的圆心距SKIPIF1<0，∴圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0的位置关系为内含，圆SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0无公共点，∴SKIPIF1<0上不存在点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，故选项C错误；对于D，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上时，等号成立，故选项D正确.故选：ABD.三、填空题12．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯（约前262—前190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数SKIPIF1<0的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹方程是．【答案】SKIPIF1<0【分析】直接设点P的坐标，利用两点间距离公式代入化简整理可求点P的轨迹方程．【详解】设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，整理得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．13．（2023春·上海闵行·高三上海市七宝中学校考开学考试）阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为3，动点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的范围为.【答案】SKIPIF1<0【分析】以SKIPIF1<0中点为原点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，由题可得点P轨迹方程，后可得答案.【详解】以SKIPIF1<0中点为原点SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0所在直线为SKIPIF1<0轴，以SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，建立平面直角坐标系SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·全国·高三专题练习）阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽几乎使后人没有插足的余地.他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆，现有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0的面积最大时，则SKIPIF1<0的长为.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用正弦定理将角化边，即可求得点SKIPIF1<0的轨迹方程，然后确定三角形面积的最大值和点SKIPIF1<0的坐标，最后求解SKIPIF1<0的长度即可．【详解】解：因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，不妨令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，建立如图所示的平面直角坐标系，设点SKIPIF1<0的坐标为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0的轨迹方程满足：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，4为半径的圆（除与SKIPIF1<0轴两交点外），当点SKIPIF1<0的坐标SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时三角形的面积最大，其最大值为SKIPIF1<0，由勾股定理可得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．（2023·河北衡水·校联考二模）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值SKIPIF1<0的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0是满足SKIPIF1<0的阿氏圆上的任一点，若抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0的直线与此阿氏圆相交所得的最长弦与最短弦的和为.【答案】SKIPIF1<0【分析】由阿氏圆的定义得到点SKIPIF1<0的轨迹方程，即阿氏圆的方程，然后由圆的性质即可求解.【详解】设SKIPIF1<0，由阿氏圆的定义可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0