新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）21 数列中的结构不良问题（原卷版）

素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、数列中的结构不良问题1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．2．数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于SKIPIF1<0型数列，利用分组求和法；（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法求和．3．常见的裂项公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【题型训练-刷模拟】1．已知公差为正数的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①SKIPIF1<0成等比数列，②SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．2．设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0是正项等比数列，且SKIPIF1<0.在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，回答下列问题：(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)如果SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0的关系式SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.3．在①a4是a3与a5﹣8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和Tn．4．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)选取数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0SKIPIF1<0项构造一个新的数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．5．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列SKIPIF1<0的前n项和为Sn，且满足.(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和Tn.6．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，.请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．7．已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，________________．请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．8．设数列SKIPIF1<0是等比数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求SKIPIF1<0的通项公式；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<09．从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，______，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.10．已知数列SKIPIF1<0​的前SKIPIF1<0​项和为SKIPIF1<0​，且SKIPIF1<0​，__________．请在SKIPIF1<0​成等比数列;SKIPIF1<0​，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0​的通项公式;(2)设数列SKIPIF1<0​的前SKIPIF1<0​项和SKIPIF1<0​，求证：SKIPIF1<0​．11．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且______，(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．12．设首项为2的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，前n项积为SKIPIF1<0，且满足______________．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0．请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．参考公式：SKIPIF1<0．13．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，___________．请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.14．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若__________.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.15．在①数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列SKIPIF1<0满足__________，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．16．已知数列SKIPIF1<0的首项为1，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足______.①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求SKIPIF1<0；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.17．）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)在下列两个条件中选一个，求数列SKIPIF1<0的前30项和．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0从上面三个条件中任选一个，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19．）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且________．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．20．在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．问题：已知等差数列SKIPIF1<0为其前n项和，若______________．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求证：数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．21．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，数列SKIPIF1<0为等比数列且公比SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若________，记数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．22．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中选一个合适的补充在下面的横线上，使得问题可以解答，并写出完整的解答过程.问题：在各项均为整数的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，公差为SKIPIF1<0，且______.(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.23．设等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式及SKIPIF1<0；(2)若___________，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.24．记公差为1的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，______．从下面①②③三个条件中任选一个补充在上面问题中的横线处并作答．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．25．已知SKIPIF1<0是首项为1的等差数列，公差SKIPIF1<0是首项为2的等比数列，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0项SKIPIF1<0，满足__________（在①②中任选一个条件），SKIPIF1<0，则将其去掉，数列SKIPIF1<0剩余的各项按原顺序组成一个新的数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前20项和SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0．26．已知公差为正数的等差数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0构成等比数列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0项和，满足SKIPIF1<0.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式及前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；(2)若_________，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并求解.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.27．已知数列SKIPIF1<0是公差不为零的等差数列，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，在①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；

②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；这三个条件中任选一个，将序号补充在下面横线处，并根据题意解决问题.问题：若SKIPIF1<0，且______，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.）28．已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；(2)若___________（从下列三个条件中任选一个），求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.29．数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个作为条件，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．30．已知等差数列SKIPIF1<0与正项等比数列SKIPIF1<0满足SK