新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）21 数列中的结构不良问题（含解析）

素养拓展21数列中的结构不良问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、数列中的结构不良问题1．“结构不良问题”：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分．2．数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是等差数列，SKIPIF1<0是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于SKIPIF1<0型数列，利用分组求和法；（4）对于SKIPIF1<0型数列，其中SKIPIF1<0是公差为SKIPIF1<0的等差数列，利用裂项相消法求和．3．常见的裂项公式：（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0；（3）SKIPIF1<0；（4）SKIPIF1<0；（5）SKIPIF1<0．二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】（2021·全国·统考高考真题）已知数列SKIPIF1<0的各项均为正数，记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列SKIPIF1<0是等差数列：②数列SKIPIF1<0是等差数列；③SKIPIF1<0．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系式设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0也是等差数列，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.[方法二]：待定系数法设等差数列SKIPIF1<0的公差为d，等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0对于SKIPIF1<0恒成立．则有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．选①③作条件证明②：因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0满足等差数列的定义，此时SKIPIF1<0为等差数列；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不合题意，舍去.综上可知SKIPIF1<0为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0也为等差数列，所以公差SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，满足上式，故SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，符合题意.【题型训练-刷模拟】一、解答题1．（2023春·四川成都·高三树德中学校考开学考试）已知公差为正数的等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，________．请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①SKIPIF1<0成等比数列，②SKIPIF1<0．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）先设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，再根据等差数列的求和公式和等比中项的性质，根据条件①②分别列出关于首项SKIPIF1<0与公差SKIPIF1<0的方程，解出SKIPIF1<0的值，即可计算出数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）先根据第（1）题的结果计算出数列SKIPIF1<0的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【详解】（1）由题意，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，方案一：选择条件①SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0成等比数列得SKIPIF1<0,代入得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，化简整理，可得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方案二：选择条件②由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（2）由（1）可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．2．（2023春·江苏宿迁·高三江苏省泗阳中学校考阶段练习）设SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前n项和，SKIPIF1<0是正项等比数列，且SKIPIF1<0.在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个，回答下列问题：(1)求数列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通项公式；(2)如果SKIPIF1<0，写出SKIPIF1<0的关系式SKIPIF1<0，并求SKIPIF1<0的值.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，根据所选条件得到方程，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，即可求出通项公式；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系，从而得到SKIPIF1<0，再利用分组求和法及等比数列求和公式计算可得.【详解】（1）若选①，SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.若选②，SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若选③，SKIPIF1<0，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（2023·全国·高三专题练习）在①a4是a3与a5﹣8的等差中项；②S2，S3+4，S4成等差数列中任选一个，补充在下列横线上，并解答．在公比为2的等比数列{an}中，Sn为数列{an}的前n项和，若_____．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和Tn．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0．【分析】（1）选①利用等差中项公式与等比通项公式可求解；选②利用等差中项公式与等比求和公式可求解；（2）求出SKIPIF1<0的通项结合裂项法求和即可．（1）选①：因为a3，a4，a5﹣8成等差数列，所以2a4＝a3+a5﹣8，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．选②：因为S2，S3+4，S4成等差数列，所以2（S3+4）＝S2+S4，即SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<04．（2023秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．(1)证明：数列SKIPIF1<0为等差数列；(2)选取数列SKIPIF1<0的第SKIPIF1<0SKIPIF1<0项构造一个新的数列SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；（2）先求得SKIPIF1<0的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得SKIPIF1<0．【详解】（1）解：证明：∵SKIPIF1<0，∴由已知得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．∴数列SKIPIF1<0是以2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知数列SKIPIF1<0是以2为公差的等差数列，又SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答所给问题.已知数列SKIPIF1<0的前n项和为Sn，且满足.(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)记SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和Tn.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，逐个条件进行列方程，计算求解即可.（2）利用错位相减法进行计算求解即可.【详解】（1）选①，由①得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为首项是SKIPIF1<0，公比是SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0SKIPIF1<0.选②，由②得，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列，首项为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.选③，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0为等比数列，首项为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）根据题意，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<06．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，.请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，记数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)详见解析(2)证明见解析【分析】（1）选取一个条件利用等差等比数列的相关知识通过公式法即可求得通项公式.（2）利用放缩和裂项相消即可证明不等式.【详解】（1）由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以数列SKIPIF1<0是等差数列，公差SKIPIF1<0，若选①又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若选②又因为SKIPIF1<0成等比数列，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.若选③又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0，由（1）知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<07．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，________________．请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）确定数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列，利用等差数列和等比数列公式分别计算三种情况得到答案.（2）确定SKIPIF1<0，再利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列．若选①：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．若选②：由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若选③：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0．8．（2023·全国·高三专题练习）设数列SKIPIF1<0是等比数列，其前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0(1)从下面两个条件中任选一个作为已知条件，求SKIPIF1<0的通项公式；①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；(2)在（1）的条件下，若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）设等比数列的公比为SKIPIF1<0若选①，根据SKIPIF1<0求解即可；若选②，根据SKIPIF1<0两式相减可得公比，再代入SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0即可；（2）代入（1）中SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，再根据等比数列的前SKIPIF1<0项和公式求解即可【详解】（1）设等比数列的公比为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若选①，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；若选②，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是公比为SKIPIF1<0首项为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0.9．（2023·全国·高三专题练习）从①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0三个选项中，任选一个填入下列空白处，并求解.已知数列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，______，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】选①SKIPIF1<0，选②SKIPIF1<0，选③SKIPIF1<0【分析】先根据递推公式可得SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0.选①：化简可得SKIPIF1<0，直接可得SKIPIF1<0；选②：化简可得SKIPIF1<0，再代入裂项求和即可；选③：SKIPIF1<0，错位相减求和即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.选①：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选②：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，选③：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减，可得SKIPIF1<010．（2023·四川遂宁·四川省遂宁市第二中学校校考一模）已知数列SKIPIF1<0​的前SKIPIF1<0​项和为SKIPIF1<0​，且SKIPIF1<0​，__________．请在SKIPIF1<0​成等比数列;SKIPIF1<0​，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0​的通项公式;(2)设数列SKIPIF1<0​的前SKIPIF1<0​项和SKIPIF1<0​，求证：SKIPIF1<0​．【答案】(1)任选一条件，都有SKIPIF1<0​；(2)证明见解析【分析】（1）根据SKIPIF1<0得到数列SKIPIF1<0​是首项为SKIPIF1<0​，公差为1的等差数列，然后利用等差数列的通项公式或前SKIPIF1<0项和公式列方程求解即可；（2）利用错位相减法得到SKIPIF1<0，即可得到SKIPIF1<0，然后根据SKIPIF1<0得到数列SKIPIF1<0是递增数列，即可得到SKIPIF1<0.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0​，即SKIPIF1<0​，所以数列SKIPIF1<0​是首项为SKIPIF1<0​，公差为1的等差数列，其公差SKIPIF1<0​．若选SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0​，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0​，所以SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0​的通项公式为SKIPIF1<0；若选SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0​，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0​，所以SKIPIF1<0；若选SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0​，所以SKIPIF1<0​，所以SKIPIF1<0.（2）由题可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是递增数列，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.11．（2023秋·江西宜春·高三江西省宜丰中学校考期末）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三个条件中任选一个补充在下面的横线上，并加以解答．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．已知正项数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且______，(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)证明见解析【分析】（1）选择条件①，因式分解计算可得SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系结合相减法即可求解数列SKIPIF1<0的通项公式；选择条件②，直接根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系结合相减法，可得递推关系式，确定列SKIPIF1<0是等差数列，按照等差数列通项公式即可得SKIPIF1<0；选择条件③，利用累乘法求解SKIPIF1<0，再根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系结合相减法即可求解数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，直接按照裂项相消法求和即可证明不等式.【详解】（1）解：选择条件①，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以两式相减得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0；选择条件②，因为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以两式相减得：SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），所以数列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公差的等差数列，则SKIPIF1<0；选择条件③，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，累乘得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0符合式子，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以两式相减得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.12．（2023·全国·高三专题练习）设首项为2的数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，前n项积为SKIPIF1<0，且满足______________．条件①：SKIPIF1<0；条件②：SKIPIF1<0；条件③：SKIPIF1<0．请在以上三个条件中，选择一个补充在上面的横线处，并解答以下问题：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求证：数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．参考公式：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)证明见解析.【分析】(1)选择①，由条件证明SKIPIF1<0为等差数列，结合等差数列通项公式求SKIPIF1<0的通项公式；选择②，由条件，结合SKIPIF1<0关系，证明SKIPIF1<0，利用累乘法求数列SKIPIF1<0的通项公式；选择③，先证明SKIPIF1<0，由此得SKIPIF1<0为常数，再求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)求SKIPIF1<0，利用裂项相消法求SKIPIF1<0，由此完成证明.【详解】（1）若选择条件①：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为2，公差为1的等差数列．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．若选择条件②：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，整理得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，累乘得，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，符合上式，所以SKIPIF1<0．若选择条件③：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0为常数列，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．（2）由（1）知：SKIPIF1<0，结合参考公式可得SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.13．（2023秋·湖北·高三湖北省云梦县第一中学校联考期末）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，___________．请在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0成等比数列；③SKIPIF1<0，这三个条件中任选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【分析】首先由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0为首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列.对于（1），当选①②时，代入SKIPIF1<0，可得数列SKIPIF1<0的通项公式，若选③，由SKIPIF1<0可得数列SKIPIF1<0的通项公式；对于（2），由（1）可知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，后利用错位相减法可得答案.【详解】（1）SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公差为1的等差数列．若选①：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，即数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若选②：由SKIPIF1<0成等比数列，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若选③：因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．14．（2023·全国·高三专题练习）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整后的题目.问题:已知SKIPIF1<0为等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，若__________.(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）若选①，利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0关系可推导得到SKIPIF1<0；若选②，利用等差数列通项公式可构造方程求得公差SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0；若选③，利用等差数列求和公式可构造方程求得公差SKIPIF1<0，进而利用等差数列通项公式求得SKIPIF1<0；（2）由（1）可得SKIPIF1<0，采用裂项相消法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）若选条件①，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；经检验：SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；若选条件②，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；若选条件③，设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）由（1）得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.15．（2023·全国·高三专题练习）在①数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解：(1)已知数列SKIPIF1<0满足__________，求SKIPIF1<0的通项公式；(2)已知正项等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0.【分析】（1）若选①，SKIPIF1<0时，利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的关系可求出SKIPIF1<0，检验SKIPIF1<0即可得出答案；若选②，由已知可推得SKIPIF1<0是等差数列，根据已知求出公差，即可得出SKIPIF1<0的通项公式；（2）由（1）知SKIPIF1<0，进而根据已知可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.代入整理裂项可得SKIPIF1<0，求和即可得出结果.【详解】（1）若选①：数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，上式仍成立，∴SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．若选②：SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的等差中项，所以SKIPIF1<0是等差数列.设SKIPIF1<0公差为SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0．（2）解：设SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．16．（2023·全国·高三专题练习）已知数列SKIPIF1<0的首项为1，前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足______.①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0.从上述三个条件中选一个填在横线上，并解决以下问题：(1)求SKIPIF1<0；(2)求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）当选①时，分SKIPIF1<0为奇数，偶数时，分别计算即可得到结果；当选②时，根据SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系，即可得到结果；当选③时，根据条件得到SKIPIF1<0是常数数列，从而得到结果；（2）根据题意，由裂项相消法即可得到结果.【详解】（1）选①因为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0；同理，当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.选②因为SKIPIF1<0，（*）所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，（**）（*）-（**），得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为1的常数列，所以SKIPIF1<0.选③因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0的常数列，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.当SKIPIF1<0时，也符合上式.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<017．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0；(2)在下列两个条件中选一个，求数列SKIPIF1<0的前30项和．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0．注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)选①，SKIPIF1<0；选②，SKIPIF1<0.【分析】（1）由条件得出SKIPIF1<0与d的方程组求解，即可由公式法得出结果；（2）①由裂项相消法求和，②由分组求和法求和.【详解】（1）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0①，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0②，联立①②解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）选①，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前30项和SKIPIF1<0；选②，SKIPIF1<0，∴数列SKIPIF1<0的前30项和SKIPIF1<0；18．（2023春·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0(1)求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)令SKIPIF1<0①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0从上面三个条件中任选一个，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析【分析】(1)根据SKIPIF1<0的关系求通项公式；(2)选①，利用错位相减法求和，选②，利用裂项相消求和，选③，利用并项求和以及等差数列前SKIPIF1<0项和公式.【详解】（1）SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是以2为首项，2为公比的等比数列，SKIPIF1<0；（2）由（1）可知SKIPIF1<0，若选①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.两式相减得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.若选②：SKIPIF1<0SKIPIF1<0.若选③：SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0.综上得：SKIPIF1<0.19．（2023·全国·高三专题练习）已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且________．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0