新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）11 导数中的不等式证明问题（原卷版）

培优专题11导数中的不等式证明问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、不等式的证明证明不等式的过程中常使用构造法，利用函数单调性、极值、最值加以证明．常见的构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))转化为证明f(x)－g(x)＞0(f(x)－g(x)＜0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如①对数形式：x≥1＋lnx（x＞0），当且仅当x＝1时，等号成立.②指数形式：ex≥x＋1（x∈R），当且仅当x＝0时，等号成立.进一步可得到一组不等式链：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx（x＞0，且x≠1）.(3)构造“形似”函数：稍作变形再构造，对原不等式同解变形，如移项、通分、取对数，把不等式转化为左、右两边是相同结构的式子的形式，根据“相同结构”构造辅助函数；(4)构造双函数：若直接构造函数求导难以判断符号，导函数零点也不易求得，因此函数单调性与极值点都不易获得，则可构造函数f(x)和g(x)，利用其最值求解．在证明过程中，等价转化是关键，此处f(x)min>g(x)max恒成立．从而f(x)>g(x)，但此处f(x)与g(x)取到最值的条件不是同一个“x的值”．【常用结论】1.破解含双参不等式证明题的3个关键点（1）转化，即由已知条件入手，寻找双参所满足的关系式，并把含双参的不等式转化为含单参的不等式.（2）巧构造函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值.（3）回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.总结：双变量相关问题，解题策略是减少变量，方式为一个变量用另一个变量表示，或将两变量的整体换元，如下列形式SKIPIF1<0等常见形式2.常见不等式（大题使用需要证明）①SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0②SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0③SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0④SKIPIF1<0；SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0；SKIPIF1<0⑥SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】已知函数SKIPIF1<0.（1）讨论SKIPIF1<0的单调性；（2）当SKIPIF1<0时，证明SKIPIF1<0【典例2】SKIPIF1<0求证：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0【典例3】已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）讨论函数SKIPIF1<0的单调性；（2）若SKIPIF1<0、SKIPIF1<0为函数SKIPIF1<0的两个极值点，证明：SKIPIF1<0．【题型训练1-刷真题】一、解答题1．设函数SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的极值点．（1）求a；（2）设函数SKIPIF1<0．证明:SKIPIF1<0．2．设a，b为实数，且SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0（1）求函数SKIPIF1<0的单调区间；（2）若对任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当SKIPIF1<0时，证明：对任意SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0有两个不同的零点SKIPIF1<0，满足SKIPIF1<0.(注：SKIPIF1<0是自然对数的底数)3．已知SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0，其中e=2.71828…为自然对数的底数．（Ⅰ）证明：函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有唯一零点；（Ⅱ）记x0为函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点，证明：（ⅰ）SKIPIF1<0；（ⅱ）SKIPIF1<0．【题型训练2-刷模拟】1．已知函数SKIPIF1<0.(1)求曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程；(2)证明：SKIPIF1<0.2．已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的零点个数；(2)当SKIPIF1<0且SKIPIF1<0时，记SKIPIF1<0，探究SKIPIF1<0与1的大小关系，并说明理由.3．已知函数SKIPIF1<0.(1)求函数SKIPIF1<0的单调区间；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.4．已知函数SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的极值；(2)SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0有两个零点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0.5．已知函数SKIPIF1<0.(1)判断SKIPIF1<0的导函数在SKIPIF1<0上零点的个数，并说明理由；(2)证明：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0.注：SKIPIF1<0.6．已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)证明：当SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．7．已知函数SKIPIF1<0.(1)讨论SKIPIF1<0的单调性.(2)若SKIPIF1<0存在两个零点SKIPIF1<0，且曲线SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0处的切线交于点SKIPIF1<0.①求实数SKIPIF1<0的取值范围；②证明：SKIPIF1<0.8．已知函数SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，求实数a的取值范围；(2)当SKIPIF1<0时，证明：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．9．已知函数SKIPIF1<0．(1)讨论SKIPIF1<0的单调性；(2)当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的两根，SKIPIF1<0，证明：SKIPIF1<0．10．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)试判断函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是否存在极值.若存在，说出是极大值还是极小值；若不存在，说明理由.(2)设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，证明：不等式SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.11．已知函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0有两个零点，求SKIPIF