新高考数学一轮复习 第7章 数列（综合检测）（含解析）

第七章数列章末检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．已知等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．106 B．53 C．48 D．36【答案】D【分析】由已知条件可得SKIPIF1<0，再利用等差数列的求和公式及性质即可得解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：D2．已知等比数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则公比SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．2【答案】A【解析】利用SKIPIF1<0以及等比数列的通项公式，化简SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0，由此求得SKIPIF1<0的值.【详解】由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.故选A.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查化归与转化的思想.属于基础题.3．设SKIPIF1<0是等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和.若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0A．5 B．6 C．7 D．9【答案】A【分析】首先根据等差数列的性质得到SKIPIF1<0，再计算SKIPIF1<0即可.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.故选：A【点睛】本题主要考查等差数列的性质，同时考查等差数列的前SKIPIF1<0项和，属于简单题.4．已知等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等差数列，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据等差中项及等比数列前SKIPIF1<0项和的定义，结合等比数列的通项公式即可求解.【详解】因为SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0.因为等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项的和为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又因为等比数列SKIPIF1<0的公比为SKIPIF1<0，所以由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.故选：A.5．若等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】推导出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由此能求出SKIPIF1<0的最大值．【详解】∵等差数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0．故选：B．【点睛】本题考查等差数列的前n项和的最大值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．数学上有很多著名的猜想，角谷猜想就是其中之一，一般指冰雹猜想，它是指一个正整数，如果是奇数就乘3再加1，如果是偶数就除以2，这样经过若干次数，最终回到1．对任意正整数SKIPIF1<0，记按照上述规则实施第SKIPIF1<0次运算的结果为SKIPIF1<0，则使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0所有可能取值的个数为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】推导出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，进而SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．由此利用分类讨论思想和递推思想能求出满足条件的SKIPIF1<0的值的个数．【详解】解：由题意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．②若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，此时，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，综上，满足条件的SKIPIF1<0的值共有6个．故选：D7．已知SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，且SKIPIF1<0，则下列式子正确的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式作差得SKIPIF1<0，再求得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得数列SKIPIF1<0从第2项起构成以SKIPIF1<0为公比的等比数列，求得SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入判断可得选项.【详解】解：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，两式作差得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0从第2项起构成以SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A不正确，B不正确；SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C不正确，D正确，故选：D.8．高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示不超过SKIPIF1<0的最大整数，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，则SKIPIF1<0（

）A．2023 B．2024 C．2025 D．2026【答案】B【分析】首先根据累加法得到SKIPIF1<0的通项公式进而得到SKIPIF1<0，并对SKIPIF1<0进行放缩得到SKIPIF1<0.【详解】由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0为公比为4，首项为SKIPIF1<0的等比数列，故SKIPIF1<0，进而根据累加法得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题考查数列中的新概念问题，重点是对SKIPIF1<0的放缩.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，它是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题目，该数列从第一项起依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则（

）A．数列第16项为144 B．数列第16项为128C．200是数列第20项 D．200不是数列中的项【答案】BC【分析】由题意首先猜想数列的通项公式，然后求解该数列第16项及200是否是数列的项即可.【详解】偶数项分别为2，8，18，32，50，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即偶数项对应的通项公式为SKIPIF1<0，则数列的第16项为第8个偶数即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0故选:BC．10．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，则有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0为等比数列 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】根据SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0以及判断出SKIPIF1<0是等比数列.【详解】由题得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0从第SKIPIF1<0项起是等比数列，所以SKIPIF1<0，所以数列的通项为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0符合上式，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列.所以ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD11．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0是周期数列 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据题意，分别求得SKIPIF1<0，得到数列SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为周期的周期数列，逐项判定，即可求解.【详解】由题意，数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，归纳可得数列SKIPIF1<0构成以SKIPIF1<0为周期的周期数列，所以A不正确，B正确；又由SKIPIF1<0，所以C正确；因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D错误．故选：BC．12．已知等比数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项积为SKIPIF1<0，公比SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（）A．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小B．SKIPIF1<0C．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0D．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小【答案】BD【分析】根据题意结合等比数列的性质以及单调性逐项分析判断.【详解】对于选项B：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故B正确；对于选项A、D：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可知数列SKIPIF1<0是单调递增数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0最小，故选项A错误，选项D正确；对于选项C：因为数列SKIPIF1<0是单调递增数列，且当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C错误.故选：BD.【点睛】关键点睛：项数是关键：解题时特别关注条件中项的下标即项数的关系，寻找项与项之间、多项之间的关系选择恰当的性质解题.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.【答案】0【分析】由SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0即可化简求值.【详解】等差数列SKIPIF1<0的首项SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为：0.14．已知等比数列SKIPIF1<0的前n项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的公比SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【解析】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而可求公比.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.15．数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．【答案】120【分析】SKIPIF1<0，利用SKIPIF1<0是等比数列可得SKIPIF1<0的通项公式，从而可得SKIPIF1<0．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案为SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了数列通项的求法，考查了等比数列的通项和数列求和，属中档题．16．已知数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0.且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的前100项和为;【答案】SKIPIF1<0【分析】根据递推关系SKIPIF1<0，构造等差数列SKIPIF1<0求出通项公式，进而求得SKIPIF1<0的通项公式，再求和；【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0是SKIPIF1<0为首项，1为公差的等差数列，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的前100项和为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.【点睛】根据递推关系构造等差数列是求解本题的关键，同时数列求和时用到裂项相消法.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知等差数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的通项公式；(2)记SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，求SKIPIF1<0的最小值及取得最小值时SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0取6或7，最小值为SKIPIF1<0【分析】（1）根据递推公式SKIPIF1<0,带入求得首项SKIPIF1<0.由递推可得作差即可得等差数列的公差SKIPIF1<0,即可得等差数列的通项公式SKIPIF1<0（2）先求得等差数列的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0,可得SKIPIF1<0的通项公式,即可求最小值.【详解】（1）由已知SKIPIF1<0为等差数列，记其公差为SKIPIF1<0，①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0所以两式相减可得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以，SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0取与SKIPIF1<0最接近的整数6或7时，SKIPIF1<0最小，最小值为—21．18．数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和记为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）求证：对SKIPIF1<0,总有SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0（2）见解析【分析】（1）根据SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，两式相减，得出递推关系即可求解；（2）利用累加法求出SKIPIF1<0，利用裂项求和求出SKIPIF1<0即可得证.【详解】解：（1）由SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0是首项为9，公比为3的等比数列，∴SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0符合上式，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0．【点睛】此题考查求数列通项公式，结合裂项相消求和证明不等式，对常规解法的考查，对计算能及要求较高.19．设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)证明：数列SKIPIF1<0是等差数列，并求数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）对已知式子化简可得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，两式相减化简可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0是等差数列，进而可求出其通项公式，（2）由（1）得SKIPIF1<0，然后利用错位相减法可求得SKIPIF1<0.【详解】（1）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，两式相减得，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是等差数列，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，两式相减得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.20．已知等差数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通项公式；（2）若SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【分析】(1)首先根据SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而列出两个关于公差SKIPIF1<0的不等式，解出公差SKIPIF1<0的取值范围，又SKIPIF1<0是整数，得到SKIPIF1<0的值，最后写出数列SKIPIF1<0的通项公式；(2)由于SKIPIF1<0前3项为正，从第4项开始为负，得到SKIPIF1<0，所以在对数列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0时要分情况讨论，分为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况，再依次算出SKIPIF1<0的值.【详解】解：（1）由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为整数，所以等差数列SKIPIF1<0的公差SKIPIF1<0为整数，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0.【点睛】对于有正负项的等差数列来说，在对其绝对值求和时要注意，要从发生正负改变的哪一项进行分段，再进行分类讨论求出结果.21．若数列SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则称数列SKIPIF1<0为“平方递推数列".已知数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，其中n为正整数，(1)证明:数列SKIPIF1<0是“平方递推数列”，且数列SKIPIF1<0为等比数列;(2)设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0求数列SKIPIF1<0的前10项和SKIPIF1<0.【答案】(1)证明见解析(2)436【分析】（1）根据“平方递推数列”的定义和等比数列的定义进行证明即可；（2）求出SKIPIF1<0表达式，再分段求前10项和即可.【详解】（1）SKIPIF1<0点SKIPIF1<0在函数SKIPIF1<0的图象上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0数列SKIPIF1<0是“平方递推数列”，因为SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0两边同时取对数得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0