新高考数学一轮复习 第6章 平面向量、复数（综合检测）（含解析）

第六章平面向量、复数章末检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．若复数SKIPIF1<0是纯虚数，则实数SKIPIF1<0的值为A．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【答案】C【详解】试题分析：因为复数SKIPIF1<0是纯虚数，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0注意不要忽视虚部不为零这一隐含条件.考点：纯虚数2．在复平面内，复数z对应的点的坐标是SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．1＋3i B．1－3i C．－1＋3i D．－1－3i【答案】D【分析】由点的坐标确定SKIPIF1<0，再利用复数乘法法则进行计算【详解】由题知，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：D．3．在平行四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为对角线SKIPIF1<0上靠近点SKIPIF1<0的三等分点，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据三角形相似推出SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，再根据平面向量的线性运算可得答案.【详解】易知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

故选：A4．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的夹角为A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】根据向量垂直可得两向量数量积为零，从而构造出关于夹角余弦值的方程，求出余弦值后即可得到所求角.【详解】SKIPIF1<0

SKIPIF1<0即：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0

SKIPIF1<0本题正确选项：SKIPIF1<0【点睛】本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够通过明确向量垂直与向量数量积之间的关系，利用数量积为零构造关于夹角的方程.5．SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则角SKIPIF1<0等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】根据正弦定理边角互化思想求出SKIPIF1<0的值，再结合SKIPIF1<0的范围可求出角SKIPIF1<0的值.【详解】SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.【点睛】本题考查利用正弦定理边角互化思想求角，在计算时要结合角的取值范围来得出角的值，考查运算求解能力，属于基础题.6．如图所示；测量队员在山脚A测得山顶SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0，沿着倾斜角为SKIPIF1<0的斜坡向上走SKIPIF1<0到达SKIPIF1<0处，在SKIPIF1<0处测得山顶SKIPIF1<0的仰角为SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，（参考数据：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0），则山的高度约为（

）

A．181.13 B．179.88 C．186.12 D．190.21【答案】C【分析】在SKIPIF1<0中，利用正弦定理求SKIPIF1<0，进而在RtSKIPIF1<0中求山的高度.【详解】在SKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在RtSKIPIF1<0中，则SKIPIF1<0.故选：C.7．在SKIPIF1<0中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．12 D．16【答案】B【分析】由正弦定理及两角和的正弦公式得SKIPIF1<0，再利用余弦定理得SKIPIF1<0，从而求出SKIPIF1<0的面积.【详解】由正弦定理及SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由正弦定理得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故选：B.8．在直角梯形ABCD中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点E为BC边上一点，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0有最大值SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0，xy有最小值SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0故选：B【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知SKIPIF1<0为虚数单位，复数SKIPIF1<0，下列结论正确的有（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】AC【分析】根据复数运算、共轭复数、复数相等等知识确定正确答案.【详解】A选项，SKIPIF1<0，A选项正确.B选项，SKIPIF1<0，B选项错误.C选项，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以C选项正确.D选项，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以D选项错误.故选：AC10．已知SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆圆心，SKIPIF1<0，下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0三点共线B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】作出图，根据平面向量的基本定理运算判断选项A，利用圆周角的性质判断得SKIPIF1<0，再结合SKIPIF1<0是等边三角形，可判断得SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0可判断选项B，在直角三角形中，利用三角函数列式计算可判断选项C，根据投影的概念，再结合三角函数计算可判断选项D.【详解】如图，根据平行四边形法则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，即SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0三点共线，故A正确；因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆圆心，所以SKIPIF1<0为圆SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等边三角形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故B错误；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则向量SKIPIF1<0为向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量为SKIPIF1<0，故D正确.故选：ACD

11．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，则下列判断中正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则该三角形有两解C．SKIPIF1<0周长有最大值12 D．SKIPIF1<0面积有最小值SKIPIF1<0【答案】ABC【分析】对于ABC，根据正、余弦定理结合基本不等式即可解决；对于D，由正弦定理得SKIPIF1<0，根据三角恒等变换解决即可.【详解】对于A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，由正弦定理得SKIPIF1<0得，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0有两个解，所以该三角形有两解，故B正确；对于C，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，此时三角形周长最大为等边三角形，周长为12，故C正确；对于D，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，无最小值，所以SKIPIF1<0面积无最小值，有最大值为SKIPIF1<0，故D错误.故选：C.12．已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0所对的分别是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0外一点，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0四点共圆C．SKIPIF1<0是等边三角形D．四边形SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0【答案】CD【分析】利用三角函数恒等变换化简已知等式可求SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0是等边三角形，从而判断A、C；利用四点共圆，四边形对角互补，从而判断B；由余弦定理可得SKIPIF1<0，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换可求四边形SKIPIF1<0的面积，由正弦函数的性质求出最值，判断D.【详解】因为SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是等边三角形，故C正确，由于无法得到SKIPIF1<0的值，故无法判断A；对于B：

若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四点不共圆，故B错误；对于D：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0面积SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0取得最大值SKIPIF1<0，故D正确；故选：CD.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知复数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】先化简复数，然后由复数模的公式直接计算可得.【详解】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．【答案】SKIPIF1<0【分析】根据向量垂直满足的关系可得SKIPIF1<0，进而根据数量积的定义即可求解.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．15．抚仙湖，位于澄江市、江川区、华宁县之间，湖面积仅次于滇池和洱海，为云南省第三大湖，也是我国最大的深水型淡水湖泊．如图所示，为了测量抚仙湖畔M，N两点之间的距离，现取两点E，F，测得SKIPIF1<0公里，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则M，N两点之间的距离为公里．

【答案】SKIPIF1<0【分析】在SKIPIF1<0中由正弦定理可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中等边对等角可得SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中由余弦定理可得SKIPIF1<0.【详解】在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0=SKIPIF1<0由正弦定理可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,SKIPIF1<0中由余弦定理可得：SKIPIF1<0即SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0.16．设SKIPIF1<0为单位向量，它们的夹角为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(x，y∈R)，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为．【答案】1【分析】利用模的计算公式得到SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，利用基本不等式求出SKIPIF1<0的最小值.【详解】∵单位向量SKIPIF1<0的夹角为SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即x2＋y2＋xy=3，①则SKIPIF1<0，②①＋②得SKIPIF1<0，①−②得SKIPIF1<0.又x2＋y2≥2xy，当且仅当x=y时“=”成立，∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0因此，SKIPIF1<0的最小值为1.故答案为：1.四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0.（1）求边长SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是锐角三角形，且面积SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0外接圆的半径SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0;（2）SKIPIF1<0.【详解】试题分析：（1）由SKIPIF1<0结合正弦定理可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，和（1）中所得可求SKIPIF1<0，又由余弦定理SKIPIF1<0，再用正弦定理求得外接圆的半径SKIPIF1<0.试题解析：（1）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0为锐角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴外接圆的半径SKIPIF1<0.18．如图，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，P是SKIPIF1<0内一点，且SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求线段SKIPIF1<0的长度；（2）若SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.【解析】（1）先由中条件，求出SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再由余弦定理，即可得出结果；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，根据题中条件，求出SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理，得到SKIPIF1<0，进而可求出结果.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．【点睛】思路点睛：平面几何图形中研究或求与角有关的长度、角度、面积的最值，优化设计等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理通过运算的方法加以解决.在解决某些具体问题时，常先引入变量，如边长、角度等，然后把要解三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函数思想.19．在①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0，③SKIPIF1<0这三个条件中任选一个补充在下面问题中，并解答．问题：在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且________．（1）求C；（2）若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0的值．【答案】选择见解析；（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．【分析】（1）选①,正弦定理化边为角后，由三角恒等变换求得SKIPIF1<0；选②，由正弦定理化边为角，同时切化弦，转化后可得SKIPIF1<0；选③，由正弦定理化边为角，然后由两角差的正弦公式变形求得SKIPIF1<0；（2）由面积求得SKIPIF1<0，从而可求得SKIPIF1<0，由向量数量积得SKIPIF1<0，可计算SKIPIF1<0．【详解】解：选①：（1）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三角形中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为C为SKIPIF1<0的一个内角，所以SKIPIF1<0（2）因为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为D为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0选②：（1）因为SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，三角形中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为C为SKIPIF1<0的一个内角，所以SKIPIF1<0（2）下同选①．选③：（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，三角形中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，又因为C为SKIPIF1<0的一个内角，所以SKIPIF1<0（2）下同选①．20．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求证：SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求边SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)SKIPIF1<0【分析】（1）根据SKIPIF1<0，移项后平方消元，求出SKIPIF1<0再应用同角三角函数关系求出SKIPIF1<0即可；（2）因为SKIPIF1<0再应用余弦定理结合基本不等式求出SKIPIF1<0的最小值.【详解】（1）依题意SKIPIF1<0,否则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0矛盾，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0又因为SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，由（1）可得SKIPIF1<0故SKIPIF1<0为锐角，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0时取等号，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.21．在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，且满足.SKIPIF1<0(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，且SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求边长SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）利用向量的数量积定义结合正弦定理对已知等式化简可求得角A；（2）根据已知条件，得SKIPIF1<0，两边平方化简，可得SKIPIF1<0，再结合等面积法可得SKIPIF1<0，则可求出SKIPIF1<0，用余弦定理即可求得结果.【详解】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，（2）因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的角平分线交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<