新高考数学一轮复习 第2章 一元二次函数、方程和不等式（综合检测）（含解析）

第二章一元二次函数、方程和不等式综合检测（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1．设集合SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先解分式不等式得SKIPIF1<0，再求函数SKIPIF1<0的值域得SKIPIF1<0，再求集合交集运算即可.【详解】解：解分式不等式SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，再求函数SKIPIF1<0的值域得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0.故选：C【点睛】本题考查分式不等式的解法，指数函数的值域求解，集合的交集运算，是基础题.2．设SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】解不等式SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，利用集合的包含关系判断可得出结论.【详解】由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，因此“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的必要不充分条件.故选：B.3．若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0有解，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】直接利用判别式即可研究不等式的解的情况.【详解】若关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0有解,则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C.4．已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．4 B．5 C．24 D．25【答案】C【分析】由SKIPIF1<0，利用基本不等式整理得SKIPIF1<0，根据恒成立问题可得SKIPIF1<0，运算求解即可得答案.【详解】∵SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0，由题意可得：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的最大值为24.故选：C.5．设圆柱的体积为SKIPIF1<0，当其表面积最小时，圆柱的母线长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据圆柱体积公式，把圆柱底面半径为SKIPIF1<0用圆柱体积和母线长表示出来，由公式计算圆柱表面积，利用基本不等式求表面积的最小值，由等号成立的条件求此时圆柱的母线长.【详解】设圆柱底面半径为SKIPIF1<0，母线长为SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，圆柱表面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.所以圆柱表面积最小时，圆柱的母线长为SKIPIF1<0.故选：D6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用作差法结合基本不等式可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，利用中间值SKIPIF1<0结合指数函数、对数函数的单调性可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系，综合可得出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的大小关系.【详解】因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0.故选：C.7．在SKIPIF1<0中，角A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】利用正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式，化简计算，可求得角C，根据面积公式及题干条件，计算可得SKIPIF1<0，利用余弦定理及基本不等式，即可得答案.【详解】因为SKIPIF1<0，由正弦定理边化角可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0.故选：A8．已知抛物线SKIPIF1<0，过坐标原点O作两条相互垂直的直线分别与抛物线C相交于SKIPIF1<0两点（M，N均与点O不重合）．若直线MN恒过点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，设直线MN方程为SKIPIF1<0，联立抛物线C的方程得韦达定理，再根据SKIPIF1<0结合平面向量和韦达定理得到SKIPIF1<0，最后利用基本不等式求解.【详解】设SKIPIF1<0，设直线MN方程为SKIPIF1<0，联立抛物线C的方程得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以直线MN的方程为SKIPIF1<0，所以直线MN过定点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由抛物线的方程可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时取等号．故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，下列叙述正确的是（

）A．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】AD【分析】根据不等式性质可以判断A正确；不等式SKIPIF1<0两边同乘SKIPIF1<0，判断B错误；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C错误；D项可以转化为SKIPIF1<0，故D正确.【详解】对于A，根据不等式性质，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0两边同乘SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；对于C，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故C错误；对于D，SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，成立，故D正确.故选：AD.10．已知幂函数SKIPIF1<0的图象经过点SKIPIF1<0，则下列命题正确的有（

）．A．函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0B．函数SKIPIF1<0为非奇非偶函数C．过点SKIPIF1<0且与SKIPIF1<0图象相切的直线方程为SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0【答案】BC【分析】先利用待定系数法求出幂函数的解析式，写出函数的定义域、判定奇偶性，即判定选项A错误、选项B正确；设出切点坐标，利用导数的几何意义和过点SKIPIF1<0求出切线方程，进而判定选项C正确；平方作差比较大小，进而判定选项D错误.【详解】设SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，对于A：SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，即选项A错误；对于B：因为SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0不具有奇偶性，即选项B正确；对于C：因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，设切点坐标为SKIPIF1<0，则切线斜率为SKIPIF1<0，切线方程为SKIPIF1<0，又因为切线过点SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即选项C正确；对于D：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0成立，即选项D错误．故选：BC．11．已知SKIPIF1<0，则a，b满足（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【分析】由对数与指数的互换公式可得SKIPIF1<0，由作差法结合对数的换底公式可判断选项A，由对数运算可判断B；由均值不等式结合由选项B推出的结论可判断选项C,D【详解】由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以选项A不正确.SKIPIF1<0,所以选项B不正确.由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故等号不成立SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故选项C正确.SKIPIF1<0SKIPIF1<0因为SKIPIF1<0，故等号不成立SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：CD12．若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】ACD【分析】根据SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，利用三角函数的性质逐项判断.【详解】解：对于A，因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误；对于D，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故D正确；对于C，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故C正确；故选：ACD第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．已知函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的范围________.【答案】SKIPIF1<0【分析】利用函数定域为SKIPIF1<0，将问题转化成关于不等式的恒成立问题，从而求出实数SKIPIF1<0的取值范围，得出结果.【详解】因为函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，所SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0恒成立，当SKIPIF1<0时，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，综上所述，SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.14．已知P是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上任一点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为___________.【答案】9【分析】由条件可得SKIPIF1<0，然后利用基本不等式求解即可.【详解】因为P是SKIPIF1<0的边SKIPIF1<0上任一点，且满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时等号成立.故答案为：9.15．已知正数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最小值为__________．【答案】SKIPIF1<0【分析】令zSKIPIF1<00，由基本不等式可得z2≥4SKIPIF1<0，再由基本不等式可得SKIPIF1<02，可得z≥2SKIPIF1<0，取等号的条件一致，故可得．【详解】∵正数x，y满足x2+y2＝1，令zSKIPIF1<00，可得z2SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<02+2SKIPIF1<04SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0即x＝y时取等号，而由题意可得1＝x2+y2≥2xy可得SKIPIF1<02，当且仅当x＝y时取等号，∴z2≥4+4＝8，∴z≥2SKIPIF1<0，当且仅当x＝y时取等号，∴SKIPIF1<0的最小值为2SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查基本不等式求最值，两次利用基本不等式是解决问题的关键，属中档题．16．平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，对于任意实数k，不等式SKIPIF1<0恒成立，则实数SKIPIF1<0的取值范围是________．【答案】SKIPIF1<0【分析】由SKIPIF1<0两边平方，结合向量的数量积运算求得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0两边平方并整理化简，从而问题转化为：对于任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，利用一元二次不等式恒成立问题的解法即可得出答案.【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又对于任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，即对于任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，即对于任意实数SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0．四、解答题：本小题共6小题，共70分，其中第17题10分，18~22题12分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知SKIPIF1<0均为正数，证明：SKIPIF1<0，并确定SKIPIF1<0为何值时，等号成立．【答案】见证明【详解】试题分析：、证明因为a，b，c均为正数，由均值不等式得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac，①同理，②故.③所以原不等式成立．当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立；当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．即当且仅当a＝b＝c＝SKIPIF1<0时，原式等号成立．考点：重要不等式点评：主要是考查了运用重要不等式进行放缩来证明不等式的方法，属于中档题．18．设SKIPIF1<0．(1)若不等式SKIPIF1<0对一切实数SKIPIF1<0恒成立，求实数SKIPIF1<0的取值范围；(2)解关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)答案见解析.【分析】(1)根据给定条件利用一元二次不等式恒成立求解作答.(2)分类讨论解一元二次不等式即可作答.【详解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立等价于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，对一切实数SKIPIF1<0不恒成立，则SKIPIF1<0，此时必有SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.（2）依题意，SKIPIF1<0，可化为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，所以，当SKIPIF1<0时，原不等式的解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，原不等式的解集为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，原不等式的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，原不等式的解集为SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，原不等式的解集为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.19．水培植物需要一种植物专用营养液，已知每投放SKIPIF1<0且SKIPIF1<0个单位的营养液，它在水中释放的浓度SKIPIF1<0克/升SKIPIF1<0随着时间SKIPIF1<0天SKIPIF1<0变化的函数关系式近似为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，若多次投放，则某一时刻水中的营养液浓度为每次投放的营养液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中营养液的浓度不低于SKIPIF1<0克/升SKIPIF1<0时，它才能有效．(1)若只投放一次4个单位的营养液，则有效时间最多可能持续几天？(2)若先投放2个单位的营养液，6天后再投放SKIPIF1<0个单位的营养液，要使接下来的4天中，营养液能够持续有效，试求SKIPIF1<0的最小值．【答案】(1)6天(2)2【分析】（1）根据给定函数，列出不等式求解作答.（2）求出两次投放营养液在水中释放的浓度，由已知列出恒成立的不等式，分离参数借助均值不等式求出最值作答.【详解】（1）因为一次投放4个单位的营养液，所以水中释放的营养液浓度为SKIPIF1<0，

．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0；．综上求得SKIPIF1<0，所以一次投放4个单位的营养液，则有效时间可持续6天．．（2）设从第一次投放起，经过x（SKIPIF1<0）天后，浓度为SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0当且仅当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时，等号成立，所以SKIPIF1<0答：为使接下来的4天中能够持续有效m的最小值为220．已知函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(1)若方程SKIPIF1<0有两根，且两根为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(2)已知SKIPIF1<0，关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求实数SKIPIF1<0的取值范围.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【分析】（1）由SKIPIF1<0，求得SKIPIF1<0的范围，再由韦达定理和SKIPIF1<0，结合二次函数的性质，即可求解；（2）由题意，结合二次函数的图象与性质，得到SKIPIF1<0，即可求解.【详解】（1）解：由SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0有两根，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0值范围为SKIPIF1<0.（2）解：因为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的解为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围是SKIPIF1<0.21．农田节水灌溉的目的是节约水资源､土地资源，节省时间和劳动力，提高灌溉质量和灌溉效率，提高农作物产量和质量，实现增产增效.如图，等腰梯形ABCD是一片农田，为了实现节水灌溉，BC为农田与河流分界的部分河坝，BC长为800米，∠B=75°.现在边界BC上选择一点Q，修建两条小水渠QE，QF，其中E，F分别在边界AB，DC上，且小水渠QE，QF与边界BC的夹角都是60°.(1)探究小水渠QE，QF的长度之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.(2)为实现高效灌溉，现准备在区域AEQFD内再修建一条小水渠EF，试问当点Q在何处时，三条小水渠（QE，QF，EF）的长度之和最小，最小值为多少？【答案】(1)是定值，为SKIPIF1<0(2)故当SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0的中点时，长度之和最小，最小为SKIPIF1<0米.【分析】（1）根据正弦定理得到SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，相加得到答案.（2）根据余弦定理结合均值不等式得到SKIPIF1<0，再求和得到答案.【详解】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，同理可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，为定值.（2）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，故当SKIPIF1<0点是SKIPIF1<0的中点时，三条小径SKIPIF1<0的长度之和最小，最小为SKIPIF1<0米.22．设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0.(1)求不等式SKIPIF1<0的解集；(2)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上的最大值为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的取值范围；(3)当SKIPIF1<0时，对任意的正实数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，不等式SKIPIF1<0恒成立，求SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)答案见解析(2)SKIPIF1<0(3)1【分析】（1）变换得到SKIPIF1<0，考虑SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三种情况，解不等式得到答案.（2）确定函数对称轴为SKIPIF1<0，考虑SKIPIF1<0和SKIPIF1<0两种情况，计算最值得到范围.（3）注意分类讨论的思想，分当SKIPIF1<0时和当SKIPIF1<0时两种情况进行讨论，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0注意用换元法把SKIPIF1<0换成t，得到SKIPIF1<0又由题意对任意的SKIPIF1<0不等