初中数学辅助线添加及例题大全

初中数学辅助线的添加

人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件

不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立

已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用

的策略。

一.添辅助线有二种情况：

1按定义添辅助线：

如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90。；证线段倍半关

系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。

2按基本图形添辅助线：

每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，

添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图

形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有

规律可循。举例如下：

(1)平行线是个基本图形：

当儿何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等

第三条直线

(2)等腰三角形是个简单的基本图形：

当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角

形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三

角形。

(3)等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：

出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线

组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4)直角三角形斜边上中线基本图形

出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关

系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三

角形斜边上中线基本图形。

(5)三角形中位线基本图形

几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明

当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完

整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点

则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍

半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半

线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6)全等三角形：

全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现

两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形

全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当儿何问题中出现

一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形

全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行

线

(7)相似三角形：

相似三角形有平行线型(带平行线的相似三角形)，相交线型，旋转

型；当出现相比线段重叠在一直线上时(中点可看成比为1)可添加平行线

得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段

为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。

(8)特殊角直角三角形

当出现30,45,60,135,150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，

利用45角直角三角形三边比为1：1：V2；30度角直角三角形三边比为1：

2：J3进行证明

(9)半圆上的圆周角

出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添

它所对弦一直径；平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有

一砧，瓦，水泥，石灰，木等组成一样。

二.基本图形的辅助线的画法

1.三角形问题添加辅助线方法

方法1：有关三角形中线的题目，常将中线加倍%含有中点的题目，常常利

用三角形的中位线，通过这种方法，把要证的结论恰当的转移，很容易地解决了

问题。

方法2：含有平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质

和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3：结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形，或利用关于

平分线段的一些定理。

方法4：结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目，常采

用截长法或补短法，所谓截长法就是把第三条线段分成两部分，证其中的一部分

等于第一条线段，而另一部分等于第二条线段。

2.平行四边形中常用辅助线的添法

平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有

某些相同性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、

垂直，构成三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方

形等问题处理，其常用方法有下列几种，举例简解如下：

(1)连对角线或平移对角线:

(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形

(3)连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造

线段平行或中位线

(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等

积三角形。

(5)过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等.

3.梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加

适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的

添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：

(1)在梯形内部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形内平移两腰

(4)延长两腰

(5)过梯形上底的两端点向下底作高

(6)平移对角线

(7)连接梯形一顶点及一腰的中点。

(8)过一腰的中点作另一腰的平行线。

(9)作中位线

当然在梯形的有关证明和计算中，添加的辅助线并不一定是固定不变的、单

•的。通过辅助线这座桥梁，将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来

解决，这是解决问题的关键。

4.圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加适当的辅助线，架起

题设和结论间的桥梁，从而使问题化难为易，顺其自然地得到解决，因此，灵活

掌握作辅助线的一般规律和常见方法，对提高学生分析问题和解决问题的能力是

大有帮助的。

(1)见弦作弦心距

有关弦的问题，常作其弦心距(有时还须作出相应的半径)，通过垂径平分

定理，来沟通题设与结论间的联系。

(2)见直径作圆周角

在题目中若已知圆的直径，一般是作直径所对的圆周角，利用”直径所对的

圆周角是直角"这一特征来证明问题。

(3)见切线作半径

命题的条件中含有圆的切线，往往是连结过切点的半径，利用"切线与半径

垂直”这一性质来证明问题。

(4)两圆相切作公切线

对两圆相切的问题，-一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线，通

过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

(5)两圆相交作公共弦

对两圆相交的问题，通常是作出公共弦，通过公共弦既可把两圆的弦联系起来，又可以

把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

作辅助线的方法

一：中点、中位线，延线，平行线。

如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延

长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应

用某个定理或造成全等的目的.

二：垂线、分角线，翻转会等连。

如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而

旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的

平分线。

三：边边若相等，旋转做实验。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定

的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有

时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。

四:连角、平、相仞，和、差、积、商见。

如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形

有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见

托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）

五：两圆若相交，连心公共弦。

如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。

六：两回相切、寓，连心，公切线。

如条件中出现两圆相切（外切，内切），或相离（内含、外离），那么，辅助线往往是连

心线或内外公切线。

七：切线连直往，直角与半国。

如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件

中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助

线。

如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反,

条件中有半圆，那么在直径上找圆周角一一直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。

八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。

如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。

如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。

如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助

线，反之，亦成立。

有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。

九：面积找底高，多边变三边。

如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或

高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键.

如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。

另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种,

大多数为“面积找底高，多边变三边”。

线、角、相交线、平行线规律

规律1.如果平面上有〃（〃22）个点，其中任何三点都不在同一直线上，那么每两点画一条直

线，一共可以画出1）条.

错误！嵌入对象无效。

规律2.平面上的“条直线甦可把平面分成（”（"+1）+1）个部分.

错误！嵌入对象无效。

规律3.如果一条直线上有〃个点，那么在这个图形中共有线段的条数为

错误！嵌入对象无

“（〃一1）条.

效。

规律4.线段（或延长线）上任一点分线段为两段，这两条线段的中点的距离等于线段长的

一半.

例：如图，8在线段NC上，M是N8的中点，N是8c的中点.

求证：MN=AC

错误！嵌入对象无效。;————―-.

AMBNC

证明：是的中点，N是8c的中点

：.AM=BM=AB,BN=CN=BC

错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。

MN=MB+BN=AB+BC=

错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效•错

(AB+BC)

误！嵌入对象无效。

:.MN=AC

错误！嵌入对象无效。

练习：1.如图，点C是线段上的一点，M是线段8C的中点.

求证：AM=(AB+BC)

错误！嵌入对象无效。:-----------------------p~~B

2.如图，点8在线段ZC上，M是力8的中点，N是NC的中点.

求证：MN=BC

错误！嵌入对象无效。I——一c

3.如图，点8在线段4c上，N是/C的中点，M是8c的中点.

求证：MN=AB

错误！嵌入对象无效。；--------：,-：

规律5.有公共端点的〃条射线所构成的交点的个数一共有“(〃一1)个.

错误！嵌入对象无效。

规律6.如果平面内有〃条直线都经过同一点，则可构成小于平角的角共有2〃(n-1)个.

规律7.如果平面内有〃条直线都经过同一点，则可构成"(n-1)对对顶角.

规律8.平面上若有〃(n>3)个点，任意三个点不在同一直线上，过任意三点作三角形一共

可作出n(n-1)(>»—2)个.

错误！嵌入对象无效。

规律9.互为邻补角的两个角平分线所成的角的度数为90。.

规律10.平面上有“条直线相交，最多交点的个数为〃(〃一1)个.

错误！嵌入对象无效。

规律11.互为补角中较小角的余角等于这两个互为补角的角的差的一半.

规律12.当两直线平行时，同位角的角平分线互相平行，内错角的角平分线互相平行，同旁

内角的角平分线互相垂直.

例：如图，以下三种情况请同学们自己证明.

规律13.已知A8〃QE,如图⑴〜⑹，规律如下:

cZABC+ZBCD+ZCDE=360°

ZBCD=ZABC+ZCDE

ZBCD=ZCDE-ZABC

ZBCD=ZABC-ZCDE

ZCDE=ZBCD+ZABC

ZABC=ZBCD+ZCDE

规律14.成“8”字形的两个三角形的一对内角平分线相交所成的角等于另两个内角和的一半.

例：已知，BE、DE分别平分N/8C和N4DC,若//=45°,NC=55°,求NE的度数.

解：ZA+AABE=ZE+ZADE①

ZC+ZCDE=ZE+ZCBE②

①+②得二

N4+ZABE+ZC+ZCDE=ZE+ZADE+ZE+E

RE

平分4BC、DE平分NADC,

NABE=NCBE,ZCDE=ZADE

.".2ZE=ZA+ZC

:.4E=(ZJ+ZQ

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'：AA=45°,ZC=55",

ZE=50°

三角形部分

规律15.在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或

延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边

关系定理及不等式性质证题.

例：如图，已知。、E为△/BC内两点，求证：AB+AOBD+DE+CE.

证法（一）：将。E向两边延长，分别交/8、/C于〃、N

在中，AM+AN>MD+DE+NE①

在△8。“中，MB+MD>BD②

在△（?£1N中，CN+NE>CE③

①+②+③得

AMJt-AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

：.AB+AOBD+DE+CE

证法（二）延长8。交4C于F,延长CE交8产于G,

在△N8F和△GFC和△GOE中有，

①/>8O+OG+GF

@GF+FC>GE+CE

③DG+GE>DE

，①+②+③有

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

：.AB+AC>BD+DE+CE

注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量(或与求

证有关的量)移到同一个或几个三角形中去然后再证题.

练习：已知：如图尸为△/8C内任一点，

求证：(AB+BC+AC)<R4+PB+PC<AB+BC+AC

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规律16.三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的

一半.

例：如图，已知8。为的角平分线，为△NBC的外角/ZCE的平分线，它与BD

的延长线交于D

求证：ZA=2ZZ)

证明：CD分别是/N8C、/NCE的平分线

.".ZACE=2Zi,NABC=2N2

AD

NA=/ACE-ZABC

.•・"2N1—2/2/AZ

又•.•/£)=/l-N2BcR

ZJ=2ND

规律17.三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90"加上第三个内角的一半.

例：如图，BD、CD分别平分N/8C、NACB,求证：ZBDC=90"+

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证明：CD分别平分NN8C、ZACB

.♦.N/+2N1+2/2=180°

.\2(Z1+Z2)=180°-//①

VZBDC=180°-(Zl+Z2)大

.".(Zl+Z2)=180"-/BDC②

把②式代入①式得

2(180°-NBDC)=180°-//

即：360°-2ZBDC=1800-ZJ

：.2ZBDC=180"+NZ

AZBDC=90"+ZA

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规律18.三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°减去第三个内角的一半.

例：如图，BD、C。分别平分NE8C、Z.FCB,求证：Z5DC=90°-

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证明：•:BD、CD分别平分/E8C、NFCB

：.ZEBC=2Z\.ZFCB=2Z2

A2Z1=ZA+ZACB①

2Z2=ZA+ZABC②

①+②得

2(Z1+Z2)=ZA+ZABC+ZACB+ZA

2(Z1+Z2)=180°+//

(Z1+Z2)=90°+

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,：4BDC=180°-(Zl+Z2)

:.NBDC=180°-(90°+4)

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ZBDC=90°-/A

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规律19.从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差

(的绝对值)的一半.

例：己知，如图，在△/8C中，NONB,8c于。，/E平分N8/C.

求证：/EAD=(NC-NB)

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证明：平分/B/C

/.ZBAE=NCAE=

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ZBAC

VZ5/1C=18O,-(ZS+ZC)

.".ZEAC=(180o-(Z5+ZQ)

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'：AD±BC

：.ADAC=9^'-ZC

ZEAD=ZEAC-ADAC

:.NEAD=(180°-(ZS+ZQ)-(90°-ZQ

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=90°-(ZS+

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ZQ-900+ZC

=(ZC-Z5)

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如果把AO平移可以得到如下两图，J_5C其它条件不变，结论为NEFZ)=

错误!

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注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解

一道题掌握一类题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.

规律20.在利用三角形的处角大壬任何和它丕相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证

不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角

的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.

例：已知。为△N8C内任一点，求证：ZBDC>ABAC

证法(-)：延长8。交NC于E,

:NBDC是4EDC的外角，

NBDC>ZDEC/入

同理：ZDEOZBAC

ZBDOABACB^——B^——

uCFC

证法(二)：连结并延长交BC于产

NBDF是A4BD的外角，

NBDF>NBAD

同理

NBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDC>ABAC

规律21.有角平分线时常在角两边截取相等的线段，构造全等三角形.

例：已知，如图，/。为△/8C的中线且/I=/2,Z3=Z4,

求证：BE+CF>EF

证明：在D4上截取。N=Q8,连结NE、NF,则DN=DC

在ABDE和ANDE中，

DN=DB

Z1=Z2

ED=ED)

：.丛BDEQ/XNDE/y\

:・BE=NE

同理可证：CF=NFD

在△£■?%中，EN+FN>EF

：.BE+CF>EF

规律22.有以线段中点为端点的线段时，常加倍延长此线段构造全等三角形.

例：已知，如图，为△/8C的中线，且N1=N2,Z3=Z4,求证：BE+CF>EF

证明：延长到使。M=DE,连结CM、FM

4BDE和中,

BD=CD

Zl=Z5

ED=MD

：.△BDEW4CDM

：.CM=BE

又：N1=N2,Z3=Z4

Z1+Z2+Z3+Z4=180°

AZ3+Z2=90°

即NEDF=90°

ZFDM=NEDF=90"

△ED尸和中

ED=MD

M

ZFDM=NEDF

DF=DF

：.AEDF/AMDF

：.EF=MF

在△CM尸中，CF+CM>MF

BE+CF>EF

（此题也可加倍尸D,证法同上）

规律23.在三角形中有中线时，常加倍延长中线构造全等三角形.

例：已知，如图，为△/BC的中线，求证：AB+AO2AD

证明：延长/。至E,使。E=4）,连结8E

为△/8C的中线

：.BD=CD

在△/CD和△E8。中

BD=CD

Zl=Z2

AD=ED

:.△ACD/AEBD

,//\ABE中有AB+BE>AE

：.AB+AC>2AD

规律24.截长补短作辅助线的方法

截长法：在较长的线段上截取一条线段等于较短线段；

补短法：延长较短线段和较长线段相等.

这两种方法统称截长补短法.

当已知或求证中涉及到线段。、b、c、d有下列情况之一时用此种方法:

①

②=C

®a±b=c±d

例：已知，如图，在△/8C中，AB>AC,Zl=Z2,P为AD上任一点，

求证：AB-AOPB-PC

证明：⑴截长法：在48上截取/N=/C,连结PN

在和中，

AN=AC

Zl=Z2

AP^AP

：./XAPN^^APC

：.PC=PN

,：ABPN中有PB-PCVBN

：.PB-PC<AB~AC

⑵补短法：延长ZC至使=连结PM

在△Z8P和中

AB=AM

Z1=Z2

AP=AP

\ABP%4AMP

:.PB=PM

又V在△PCM中有CA/>PM~PC

J.AB-AOPB-PC

练习：1.已知，在△NBC中，N3=6014。、CE是△N8C的角平分线，并且它们交于点O

求证：AC=AE+CD

2.已知，如图，AB//CDZI=Z2,Z3=Z4.D

求证：BC=AB+CD

BC

规律25.证明两条线段相等的步骤：

①观察要证线段在哪两个可能全等的三角形中，然后证这两个三角形全等。

②若图中没有全等三角形，可以把求证线段用和它相等的线段代换，再证它们所

在的三角形全等.

③如果没有相等的线段代换，可设法作辅助线构造全等三角形.

例:如图，已知，BE、CD相交于尸，NB=/C,Zl=Z2,求证：DF=EF

证明：VZADF=ZB+Z3

NAEF=ZC+Z4

又：N3=N4

ZS=ZC

ZADF=ZAEF

在AADF和△NEF中

NADF=ZAEF

Zl=Z2

AF=AF

：.△ADa/\AEF

：.DF=EF

规律26.在一个图形中，有多个垂直关系时，常用同角（等角）的余角相等来证明两个角相

等.

例：已知，如图RfZX/BC中，AB=AC,NBAC=90",过工作任一条直线4V,作8Z）_L/N

于。，CEJ_ZN于E,求证：DE=BD~CE

证明：•:NBAC=90°,BDLAN

.".Zl+Z2=90°Zl+Z3=90°

,Z2=Z3

■:BDL4NCELAN

；.NBDA=NAEC=90°

在△Z8D和△◎£中，

ABDA=ZAEC

Z2=Z3

AB=AC

:.AABD妾ACAE

J.AE-AD=BD-CE

：.DE=BD~CE

规律27.三角形一边的两端点到这边的中线所在的直线的距离相等.

例：4。为△/8C的中线，且CF_L/。于尸，。的延长线于E

求证：BE=CF

证明：（略）

规律28.条件不足时延长已知边构造三角形.

例：已知/C=8。，ADLAC^A,BCBD于B

求证：AD=BC

证明：分别延长。/、C8交于点E

'：ADA-ACBCLBD

：.ZCAE=NDBE=90"

在△D8E和△%£中

NDBE=NCAE

BD=AC

ZE=ZE

：.4DBE迫ACAE

：.ED=EC,EB=EA

：.ED-EA=EC-EB

：.AD=BC

规律29.连接四边形的对角线，把四边形问题转化成三角形来解决问题.

例：已知，如图，AB//CD,AD//BC

求证：AB=CD

证明：连结ZC（或8。）

,:AB〃CD,AD//BC

.\Z1=Z2

在△48C和△CD4中，

Zl=Z2

AC=CA

Z3=Z4

，AABC义ACDA

：.AB=CD

练习：已知，如图，AB=DC,AD=BC,DE=BF,

求证：BE=DF

规律30.有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。可归结为“角分垂等腰归”.

例：已知，如图，在R/ZXXBC中，AB=AC,ZBAC=90°,Z1=Z2,CE_L8。的延长线

于E

求证：BD=2CE

证明：分别延长84CE交于F

■:BELCF

：.ZBEF=ZBEC=90°

在△8EF和△8EC中

Zl=Z2

BE=BE

ZBEF=ZBEC

:.△BEF/ABEC

：.CE=FE

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'：ABAC=90",BE1.CF

：.ZBAC=/C4F=90°

Z1+ABDA=90”

Zl+ZBFC=90°

ABDA=ZBFC

在△48。和△ZCF中

ABAC=ZCAF

ABDA=NBFC

AB=AC

：./\ABD^/\ACF

：.BD=CF

：.BD=2CE

练习：已知，如图，NACB=3NB,N1=/2,CD_L/D于

求证：AB-AC=2CD

规律31.当证题有困难时，可结合已知条件，把图形中的某两点连接起来构造全等三角形.

例：已知，如图，AC,8。相交于O,SiAB=DC,AC=BD,

求证：Z.A=NDA

证明：（连结8C,过程略）

规律32.当证题缺少线段相等的条件时，可取某条线段中点，为证题提供条件.

例：已知，如图，AB=DC,N4=ND

求证：ZABC=ZDCB

证明：分别取Z。、BC中点、N、M,An

连结NB、NM、NC（过程略）/\

规律33.有角平分线时，常过角平分线上的点向角两边做垂线，利用角平分线上的点到角两

边距离相等证题.

例：已知，如图，Zl=Z2,P为AV上一点，且心J_8C于。，AB+BC=2BD,

求证：ZBAP+ZBCP=180°

证明：过P作PE_L8/于E

■:PD1.BC,Zl=Z2

：.PE=PD

在RtABPE和Rt/\BPD中

BP=BP

PE=PD

:.RtABPEmRt/\BPD

：.BE=BD

■:AB+BC=2BD,BC=CD+BD,AB=BE~AE

：.AE=CD

".'PE1.BE,PDA.BC

NPEB=NPDC=90°

在△尸E4和△PAC中

PE=PD

NPEB=NPDC

AE=CD

：.△PEAQXPDC

：.ZPCB=NEAP

"：ZBAP+ZEAP=180°

：.ZBAP+ZBCP=180°

练习：1.已知，如图，PA.PC分别是△N8C外角4c与/NC/的平分线，它们交于产,

PDLBM于M,PFLBN于'F,求证：8P为NM8N的平分线

2.已知，如图，在△NBC中，AABC=\W°,ZACB=20°,CE是/ZC8的平分线,

。是/C上一点，若NCBD=20",求NCED的度数。

规律34.有等腰三角形时常用的辅助线

⑴作顶角的平分线，底边中线，底边高线

例：已知，如图，AB=AC,BDLAC^D,

求证：ZBAC=2ZDBC

证明：（方法一）作/8/C的平分线交.BC于E,则Nl=/2=

错误！嵌入对象

ABAC

无效。

又,：AB=AC

J.AELBC

：.Z2+ZACB=90°

'：BD±AC

：.ZDBC+N4cB=900

Z2=ZDBC

：.ZBAC=2ZDBC

（方法二）过/作NELBC于E（过程略）

（方法三）取8c中点E,连结/E（过程略）

⑵有底边中点时，常作底边中线

例：已知,如图，△ABC中，AB=AC,。为BC中点，DE1.4B于E,DFLACTF,

求证:DE=DF

证明:连结ZD

•.•。为8c中点，

：.BD=CD

又「/BMC

，力。平分/8/C

".'DEA.AB,DFLAC

：.DE=DF

⑶将腰延长一倍，构造直角三角形解题

例：已知，如图，△/8C中，AB=AC,在邮延长线和4C上各取一点E、F,使/E=

AF,求证：EFLBC

证明：延长8£1到N,使ZN=/8,连结CN,则/8=ZN=ZC

Z5=NACB,ZACN=ZANC

'：ZB+ZACB+ZACN+ZANC=180°

：.2ZBCA+2ZACN=180"

ZBCA+ZACN=90°

即ZBCN=90"

.'.NC±BC

\"AE=AF

：.NAEF=ZAFE

又：ZBAC=NAEF+ZAFE

ZBAC=ZACN+ZANC

：./BAC=2NAEF=2ZANC

ZAEF=NANC

：.EF//NC

J.EFVBC

⑷常过一腰上的某一已知点做另一腰的平行线

例：已知，如图，在△48C中，AB=AC,。在48上，£在ZC延长线上，且BD=CE,连

结DE交BC于F

求证：DF=EF

证明：（证法一）过。作。N〃/E,交8C于N,则/DNB=NACB,NNDE=NE,

*:AB=AC9

：.ZB=ZACB

：.ZB=/DNB

：.BD=DN

又♦:BD=CE

：.DN=EC

在△DW'和中

Z1=Z2

/NDF=/E

DN=EC

：./\DN厘AECF

：.DF=EF

（证法二）过后作£忖〃48交8c延长线于则（过程略）

⑸常过一腰上的某一已知点做底的平行线

例：已知，如图，ZViBC中，AB=AC,E在力。上，。在A4延长线上，£LAD=AE,连

结DE

求证：DE1.BC

证明：（证法一）过点E作律〃8。交43于E则

/AFE=NB

ZAEF=ZC

\'AB=AC

：.ZB=ZC

：.ZAFE=ZAEF

'：AD=AE

：./AED=NADE

又,?ZAFE+ZAEF+ZAED+ZADE=180”

：・2/AEF+2/4ED=900

即N在。=90"

：.DE.LFE

^：EF//BC

：.DE1,BC

（证法二）过点。作。N〃8c交。的延长线于M（过程略）

（证法三）过点4作8c交QE于（过程略）

⑹常将等腰三角形转化成特殊的等腰三角形一一等边三角形

例：已知，如图，△45C中，AB=AC,ABAC=80°，为形内一点，若NPBC=10°

Z.PCB=30"求/为8的度数.

解法一：以Z5为一边作等边三角形，连结CE

则N84石=/48£=60"

AE=AB=BE

AB=AC

：.AE=ACNABC=ZACB

：.ZAEC=ZACE

ZEAC=ZBAC-ZBAE

=80。-60°=20°

:.NACE=、(180"

错误！嵌入对象无效。

-ZEAQ=800/

•：N4CB=(180°

错误！嵌入对象无效。、

-ZBAQ=50°E

NBCE=ZACE-NACB

=80"-50"=30”

ZPCB=30°

ZPCB=/BCE

"?ZABC=ZACB=50°,/ABE=600

NEBC=ZABE~ZABC=600-50°=10°

'：NPBC=10°

/PBC=NEBC

在△PBC和△EBC中

ZPBC=ZEBC

BC=BC

ZPCB=ABCE

:APBCqMBC

：.BP=BE

•：AB=BE

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBR4

'：NABP=NABC-ZPBC=500~10"=40”

，ZPAB=(180°-ZABP)=70"

错误！嵌入对象无效。

解法二:以ZC为一边作等边三角形，证法同一。

解法三：以8C为边作等边三角形△8CE,连结/E,则

EB=EC=BC,ZBEC=ZEBC=60°

,:EB=EC

.♦.E在BC的中垂线上

同理4在BC的中垂线上

：.EA所在的直线是BC的中垂线

：.EALBC/\\

ZAEB=ZBEC=30"

错误！嵌入对象无效。------A。

=NPCB

由解法一知：ZABC=50"

ZABE=ZEBC-NABC=10"=NPBC

"：ZABE=ZPBC,BE=BC/AEB=ZPCB

：.A4BE@/\PBC

：.AB=BP

：.ZBAP=ZBPA

'：NABP=ZABC-NPBC=50°—100=40"

/.ZPAB=（180°-ZJ5P）=（180°

错误！嵌入对象无效。错误！嵌入对象无效。

-40°）=70°

规律35.有二倍角时常用的辅助线

⑴构造等腰三角形使二倍角是等腰三角形的顶角的外角

例：已知，如图，在中，Zl=Z2,ZABC=2ZC,

求证：AB+BD=AC

证明：延长N8到E,使BE=BD,连结OE

^\ZBED=ZBDE

'：NABD=ZE+NBDE

：.ZABC=2ZE

"：ZABC=2ZC

:.NE=NC忒

在&4ED和A4CD中/

Z£=ZCB/\

Z1=Z2

AD=ADE

/XAED^/XACD

：.AC=AE

\"AE=AB+BE

：.AC=AB+BE

B|JAB+BD=AC

⑵平分二倍角

例：已知，如图，在△/BC中，8D_LNC于。，ZBAC=2ZDBC

求证：ZABC=ZACB

证明：作/A4c的平分线4E交8c于E,则/A4£=/C/E=/D8C

,：BD1AC

：.ZCBD+ZC=900

.\ZCAE+ZC=90°