2023-2024学年湖南省怀化市会同第一中学中考考前最后一卷数学试卷含解析

2023-2024学年湖南省怀化市会同第一中学中考考前最后一卷数学试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1．如图，BD是∠ABC的角平分线，DC∥AB，下列说法正确的是（）A．BC=CD B．AD∥BCC．AD=BC D．点A与点C关于BD对称2．一次函数与的图象如图所示，给出下列结论：①；②；③当时，.其中正确的有（）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个3．甲、乙两人约好步行沿同一路线同一方向在某景点集合，已知甲乙二人相距660米，二人同时出发，走了24分钟时，由于乙距离景点近，先到达等候甲，甲共走了30分钟也到达了景点与乙相遇.在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A．甲的速度是70米/分 B．乙的速度是60米/分C．甲距离景点2100米 D．乙距离景点420米4．下列计算正确的是（）A．x2x3＝x6 B．（m+3）2＝m2+9C．a10÷a5＝a5 D．（xy2）3＝xy65．剪纸是水族的非物质文化遗产之一，下列剪纸作品是中心对称图形的是（）A． B．C． D．6．如图，a∥b，点B在直线b上，且AB⊥BC，∠1=40°，那么∠2的度数（）A．40° B．50° C．60° D．90°7．若⊙O的半径为5cm，OA=4cm，则点A与⊙O的位置关系是（）A．点A在⊙O内 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外 D．内含8．函数y=的自变量x的取值范围是（）A．x≠2 B．x＜2 C．x≥2 D．x＞29．下列各组单项式中,不是同类项的一组是（）A．和 B．和 C．和 D．和310．下列函数中，y关于x的二次函数是()A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x2二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．“若实数a，b，c满足a＜b＜c，则a+b＜c”，能够说明该命题是假命题的一组a，b，c的值依次为_____．12．若分式的值为正，则实数的取值范围是__________________.13．二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1

的图象经过原点，则a的值为______．14．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=26，CD=24，那么sin∠OCE=▲．15．一个n边形的内角和为1080°，则n=________.16．如图所示,在△ABC中,∠C=90°,∠CAB=50°.按以下步骤作图:①以点A为圆心,小于AC的长为半径画弧,分别交AB,AC于点E,F;②分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧相交于点G;③作射线AG交BC边于点D．则∠ADC的度数为.

17．若反比例函数y=的图象在每一个象限中，y随着x的增大而减小，则m的取值范围是_____．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）已知关于x的一元二次方程3x2﹣6x+1﹣k=0有实数根，k为负整数．求k的值；如果这个方程有两个整数根，求出它的根．19．（5分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BD并延长至F，使得BD=DF，连接CF、BE．（1）求证：DB=DE；（2）求证：直线CF为⊙O的切线；（3）若CF=4，求图中阴影部分的面积．20．（8分）在大课间活动中，体育老师随机抽取了七年级甲、乙两班部分女学生进行仰卧起坐的测试，并对成绩进行统计分析，绘制了频数分布表和统计图，请你根据图表中的信息完成下列问题：频数分布表中a=，b=，并将统计图补充完整；如果该校七年级共有女生180人，估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有多少人？已知第一组中只有一个甲班学生，第四组中只有一个乙班学生，老师随机从这两个组中各选一名学生谈心得体会，则所选两人正好都是甲班学生的概率是多少？21．（10分）抛物线经过A（-1，0）、C（0，-3）两点，与x轴交于另一点B．求此抛物线的解析式；已知点D在第四象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点D’的坐标;在（2）的条件下，连结BD，问在x轴上是否存在点P，使，若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.22．（10分）已知关于x的方程.当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程的另一根；求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.23．（12分）某市飞翔航模小队，计划购进一批无人机．已知3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元．（1）求一台A型无人机和一台B型无人机的售价各是多少元？（2）该航模小队一次购进两种型号的无人机共50台，并且B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍．设购进A型无人机x台，总费用为y元．①求y与x的关系式；②购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少？24．（14分）图1和图2中，优弧纸片所在⊙O的半径为2，AB＝2，点P为优弧上一点（点P不与A，B重合），将图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′．发现：（1）点O到弦AB的距离是，当BP经过点O时，∠ABA′＝；（2）当BA′与⊙O相切时，如图2，求折痕的长．拓展：把上图中的优弧纸片沿直径MN剪裁，得到半圆形纸片，点P（不与点M，N重合）为半圆上一点，将圆形沿NP折叠，分别得到点M，O的对称点A′，O′，设∠MNP＝α．（1）当α＝15°时，过点A′作A′C∥MN，如图3，判断A′C与半圆O的位置关系，并说明理由；（2）如图4，当α＝°时，NA′与半圆O相切，当α＝°时，点O′落在上．（3）当线段NO′与半圆O只有一个公共点N时，直接写出β的取值范围．

参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、A【解析】

由BD是∠ABC的角平分线，根据角平分线定义得到一对角∠ABD与∠CBD相等，然后由DC∥AB，根据两直线平行，得到一对内错角∠ABD与∠CDB相等，利用等量代换得到∠DBC=∠CDB，再根据等角对等边得到BC=CD，从而得到正确的选项．【详解】∵BD是∠ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，又∵DC∥AB，∴∠ABD=∠CDB，∴∠CBD=∠CDB，∴BC=CD．故选A．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定，以及平行线的性质．学生在做题时，若遇到两直线平行，往往要想到用两直线平行得同位角或内错角相等，借助转化的数学思想解决问题．这是一道较易的证明题，锻炼了学生的逻辑思维能力．2、B【解析】

仔细观察图象，①k的正负看函数图象从左向右成何趋势即可；②a，b看y2=x+a，y1=kx+b与y轴的交点坐标；③看两函数图象的交点横坐标；④以两条直线的交点为分界，哪个函数图象在上面，则哪个函数值大．【详解】①∵y1=kx+b的图象从左向右呈下降趋势，

∴k＜0正确；

②∵y2=x+a，与y轴的交点在负半轴上，

∴a<0，故②错误；

③当x<3时，y1>y2错误；

故正确的判断是①．

故选B．【点睛】本题考查一次函数性质的应用.正确理解一次函数的解析式：y=kx+b（k≠0）y随x的变化趋势：当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小.3、D【解析】

根据图中信息以及路程、速度、时间之间的关系一一判断即可.【详解】甲的速度==70米/分，故A正确，不符合题意；设乙的速度为x米/分．则有，660+24x-70×24=420，解得x=60，故B正确，本选项不符合题意，70×30=2100，故选项C正确，不符合题意，24×60=1440米，乙距离景点1440米，故D错误，故选D．【点睛】本题考查一次函数的应用，行程问题等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题．4、C【解析】

根据乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方进行计算即可得到答案.【详解】x2•x3＝x5，故选项A不合题意；（m+3）2＝m2+6m+9，故选项B不合题意；a10÷a5＝a5，故选项C符合题意；（xy2）3＝x3y6，故选项D不合题意．故选：C．【点睛】本题考查乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方解题的关键是掌握乘方的运算法则、完全平方公式、同底数幂的除法和积的乘方的运算.5、D【解析】

根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析即可．【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是中心对称图形，故此选项错误；D、是中心对称图形，故此选项正确；故选：D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义．6、B【解析】分析：根据“平行线的性质、平角的定义和垂直的定义”进行分析计算即可.详解：∵AB⊥BC，∴∠ABC=90°，∵点B在直线b上，∴∠1+∠ABC+∠3=180°，∴∠3=180°-∠1-90°=50°，∵a∥b，∴∠2=∠3=50°.故选B.点睛：熟悉“平行线的性质、平角的定义和垂直的定义”是正确解答本题的关键.7、A【解析】

直接利用点与圆的位置关系进而得出答案．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，OA=4cm，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在⊙O内．故选A．【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确①点P在圆外⇔d＞r，②点P在圆上⇔d=r，③点P在圆内⇔d＜r是解题关键．8、D【解析】

根据被开放式的非负性和分母不等于零列出不等式即可解题.【详解】解：∵函数y=有意义,∴x-20,即x＞2故选D【点睛】本题考查了根式有意义的条件,属于简单题,注意分母也不能等于零是解题关键.9、A【解析】

如果两个单项式，它们所含的字母相同，并且相同字母的指数也分别相同，那么就称这两个单项式为同类项．【详解】根据题意可知：x2y和2xy2不是同类项.故答案选：A.【点睛】本题考查了单项式与多项式，解题的关键是熟练的掌握单项式与多项式的相关知识点.10、B【解析】

判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【详解】A.当a=0时，y=ax2+bx+c=bx+c，不是二次函数，故不符合题意；B.y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；C.的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；D.y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、答案不唯一，如1,2,3；【解析】分析：设a，b，c是任意实数．若a<b<c，则a+b<c”是假命题，则若a<b<c，则a+b≥c”是真命题，举例即可，本题答案不唯一详解：设a，b，c是任意实数．若a<b<c，则a+b<c”是假命题，则若a<b<c，则a+b≥c”是真命题，可设a，b，c的值依次1，2，3，（答案不唯一），故答案为1，2，3.点睛：本题考查了命题的真假，举例说明即可，12、x＞0【解析】【分析】分式值为正，则分子与分母同号，据此进行讨论即可得.【详解】∵分式的值为正，∴x与x2+2的符号同号，∵x2+2>0，∴x>0，故答案为x>0.【点睛】本题考查了分式值为正的情况，熟知分式值为正时，分子分母同号是解题的关键.13、-1【解析】

将（2，2）代入y=（a-1）x2-x+a2-1即可得出a的值．【详解】解：∵二次函数y=（a-1）x2-x+a2-1的图象经过原点，∴a2-1=2，∴a=±1，∵a-1≠2，∴a≠1，∴a的值为-1．故答案为-1．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象过原点，可得出x=2时，y=2．14、【解析】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。【分析】如图，设AB与CD相交于点E，则根据直径AB=26，得出半径OC=13；由CD=24，CD⊥AB，根据垂径定理得出CE=12；在Rt△OCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定义，求出sin∠OCE的度数：。15、1【解析】

直接根据内角和公式计算即可求解.【详解】（n﹣2）•110°=1010°，解得n=1．故答案为1．【点睛】主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：.16、65°【解析】

根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，根据角平分线的性质解答即可．【详解】根据已知条件中的作图步骤知，AG是∠CAB的平分线，∵∠CAB=50°，

∴∠CAD=25°；

在△ADC中，∠C=90°，∠CAD=25°，

∴∠ADC=65°（直角三角形中的两个锐角互余）；

故答案是：65°．17、m>1【解析】∵反比例函数的图象在其每个象限内，y随x的增大而减小，∴>0，解得：m>1，故答案为m>1.三、解答题（共7小题，满分69分）18、（2）k=﹣2，﹣2．（2）方程的根为x2=x2=2．【解析】

（2）根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0列出关于k的不等式，求出不等式的解集即可得到k的值；（2）将k的值代入原方程，求出方程的根，经检验即可得到满足题意的k的值．【详解】解：（2）根据题意，得△=（﹣6）2﹣4×3（2﹣k）≥0，解得k≥﹣2．∵k为负整数，∴k=﹣2，﹣2．（2）当k=﹣2时，不符合题意，舍去；当k=﹣2时，符合题意，此时方程的根为x2=x2=2．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：（2）△＞0时，方程有两个不相等的实数根；（2）△=0时，方程有两个相等的实数根；（3）△＜0时，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的解法．19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【解析】

（1）欲证明DB=DE.，只要证明∠DBE=∠DEB；

（2）欲证明CF是⊙O的切线.，只要证明BC⊥CF即可；（3）根据S阴影部分S扇形S△OBD计算即可．【详解】解：（1）∵E是△ABC的内心，∴∠BAE=∠CAE，∠EBA=∠EBC，∵∠BED=∠BAE+∠EBA，∠DBE=∠EBC+∠DBC，∠DBC=∠EAC，∴∠DBE=∠DEB，∴DB=DE(2)连接CD∵DA平分∠BAC，∴∠DAB=∠DAC，∴BD=CD，又∵BD=DF，∴CD=DB=DF，∴∴BC⊥CF，∴CF是⊙O的切线（3）连接OD∵O、D是BC、BF的中点，CF4，∴OD2.∵CF是⊙O的切线，∴∴△BOD为等腰直角三角形∴S阴影部分S扇形S△OBD．【点睛】本题考查数学圆的综合题，考查了圆的切线的证明，扇形的面积公式等，注意切线的证明方法，是高频考点．20、（1）a=0.3，b=4；（2）99人；（3）【解析】分析：（1）由统计图易得a与b的值，继而将统计图补充完整；（2）利用用样本估计总体的知识求解即可求得答案；（3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所选两人正好都是甲班学生的情况，再利用概率公式即可求得答案．详解：（1）a=1-0.15-0.35-0.20=0.3；∵总人数为：3÷0.15=20（人），∴b=20×0.20=4（人）；故答案为：0.3，4；补全统计图得：（2）估计仰卧起坐能够一分钟完成30或30次以上的女学生有：180×（0.35+0.20）=99（人）；（3）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，所选两人正好都是甲班学生的有3种情况，∴所选两人正好都是甲班学生的概率是：．点睛：此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．21、（1）（2）（0，-1）（3）（1,0）（9,0）【解析】

（1）将A（−1，0）、C（0，−3）两点坐标代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，列方程组求a、b的值即可；（2）将点D（m，−m−1）代入（1）中的抛物线解析式，求m的值，再根据对称性求点D关于直线BC对称的点D'的坐标；（3）分两种情形①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，分别求出直线CP和直线CP′的解析式即可解决问题．【详解】解：（1）将A（−1，0）、C（0，−3）代入抛物线y＝ax2＋bx−3a中，得，解得∴y＝x2−2x−3；（2）将点D（m，−m−1）代入y＝x2−2x−3中，得m2−2m−3＝−m−1，解得m＝2或−1，∵点D（m，−m−1）在第四象限，∴D（2，−3），∵直线BC解析式为y＝x−3，∴∠BCD＝∠BCO＝45°，CD′＝CD＝2，OD′＝3−2＝1，∴点D关于直线BC对称的点D'（0，−1）；（3）存在．满足条件的点P有两个．①过点C作CP∥BD，交x轴于P，则∠PCB＝∠CBD，∵直线BD解析式为y＝3x−9，∵直线CP过点C，∴直线CP的解析式为y＝3x−3，∴点P坐标（1，0），②连接BD′，过点C作CP′∥BD′，交x轴于P′，∴∠P′CB＝∠D′BC，根据对称性可知∠D′BC＝∠CBD，∴∠P′CB＝∠CBD，∵直线BD′的解析式为∵直线CP′过点C，∴直线CP′解析式为，∴P′坐标为（9，0），综上所述，满足条件的点P坐标为（1，0）或（9，0）．【点睛】本题考查了二次函数的综合运用．关键是由已知条件求抛物线解析式，根据抛物线的对称性，直线BC的特殊性求点的坐标，学会分类讨论，不能漏解．22、（1），；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求解即可.（2）要证方程都有两个不相等的实数根，只要证明根的判别式大于0即可.试题解析：（1）设方程的另一根为x1，∵该方程的一个根为1，∴.解得.∴a的值为，该方程的另一根为.（2）∵，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.考点：1.一元二次方程根与系数的关系；2.一元二次方程根根的判别式；3.配方法的应用.23、（1）一台A型无人机售价800元，一台B型无人机的售价1000元；（2）①y＝﹣200x+50000；②购进A型、B型无人机各16台、34台时，才能使总费用最少．【解析】

（1）根据3台A型无人机和4台B型无人机共需6400元，4台A型无人机和3台B型无人机共需6200元，可以列出相应的方程组，从而可以解答本题；（2）①根据题意可以得到y与x的函数关系式；②根据①中的函数关系式和B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，可以求得购进A型、B型无人机各多少台，才能使总费用最少．【详解】解：（1）设一台型无人机售价元，一台型无人机的售价元，，解得，，答：一台型无人机售价元，一台型无人机的售价元；（2）①由题意可得，即y与x的函数关系式为；②∵B型无人机的数量不少于A型无人机的数量的2倍，，解得，，，∴当时，y取得最小值，此时，答：购进型、型无人机各台、台时，才能使总费用最少．【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．24、发现：（1）1，60°；（2）2；拓展：（1）相切，理由详见解析；（2）45°；30°；（3）0°＜α＜30°或45°≤α＜90°．【解析】

发现：（1）利用垂径定理和勾股定理即可求出点O到AB的距离；利用锐角三角函数的定义及轴对称性就可求出∠ABA′．（2）根据切线的性质得到∠OBA′=90°，从而得到∠ABA′=120°，就可求出∠ABP，进而求出∠OBP=30°．过点O作OG⊥BP，垂足为G，容易求出OG、BG的长，根据垂径定理就可求出折痕的长．拓展