2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用-专项训练【含解析】

2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用-专项训练【原卷版】[A级基础达标]1.在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75∘，∠CBA=60∘A.6km B.2km C.3km 2.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CDA.30∘ B.45∘ C.60∘ 3.如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153−15)m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A、该建筑物顶C的仰角分别是15∘和60∘，在楼顶AA.20m B.30m C.203m4.在△ABC中，内角A的平分线与BC交于点D，若AB=2，AC=1，AD=1，则△ABC的面积为()A.374 B.734 C.375.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120∘的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿着OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到CA.505米 B.507米 C.5011米 6.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB，以该路段的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90∘,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60∘,则P7.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在A，B处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C为无人机在水平地面上的正投影.已知甲、乙两人相距100m，甲观察无人机的仰角为45∘，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC，则这两个角可以是①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB；③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC.8.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若B=π3，c=2，且sinA=3sinC，AC的中点为9.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccos（1）求角C的大小；（2）设CD是△ABC的角平分线，求证：1CA[B级综合运用]10.三峡大瀑布是国家5A级景区，峡谷内溪水常年不断，构成30多道形态各异的瀑布镶嵌于峡谷内，其中最壮观的是高102米、宽80米的三峡大瀑布.为了测量三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32,沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为πA.60m B.90m C.108m 11.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若b=ccosA,角A的平分线交BC于点D，AD=1，A.AC=34 B.C.CDBD=18 D.12.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=2，则△BCD的面积为13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,3(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA,则a+bc14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos（1）求cosA（2）若b=4，点M在线段BC上，且AB+AC=2AM，[C级素养提升]15.在△ABC中，B=120∘，AB=2，∠BAC的平分线AD的长为数列{anA.2 B.3 C.6 D.2316.如图，在锐角△ABC中，sin∠BAC=2425,sin∠ABC=45,BC=6，点D在边BC上，且BD=2DC，点E在边AC上，且BE⊥AC，（1）求AC的长；（2）求cos∠DAC及AF2025年高考一轮复习-4.7-正弦、余弦定理的综合应用-专项训练【解析版】[A级基础达标]1.在相距2km的A，B两点处测量目标点C，若∠CAB=75∘，∠CBA=60∘，则AA.6km B.2km C.3km [解析]选A.如图，在△ABC中，由已知可得∠ACB=45∘，所以ACsin60∘2.如图，两座相距60m的建筑物AB，CD的高度分别为20m,50m,BD为水平面，则从建筑物AB的顶端A看建筑物CDA.30∘ B.45∘ C.60∘ [解析]选B.由已知，AD=2010m，AC=305m，又CD=50m由余弦定理的推论得cos∠CAD=A又0∘<∠CAD<180∘,所以∠CAD=45∘，所以从顶端A看建筑物3.如图，小明同学为了估算某建筑物的高度，在该建筑物的正东方向找到一座建筑物AB，高为(153−15)m，在它们之间的地面上的点M（B,M,D三点共线）处测得楼顶A、该建筑物顶C的仰角分别是15∘和60∘，在楼顶A处测得该建筑物顶CA.20m B.30m C.203m[解析]选D.在Rt△MBA中，MA=ABsin15∘=153−156−24=15(3−1)2(3−1)4=302.在△MAC中，4.在△ABC中，内角A的平分线与BC交于点D，若AB=2，AC=1，AD=1，则△ABC的面积为(C)A.374 B.734 C.37[解析]选C.因为AD在内角A的平分线上，所以ABAC=设BD=2x，CD=x，结合已知得cos∠BAD=cos所以1+4−4x22×2×1=1+1−x22×1×1所以cosA=A则sinA=1−所以S△ABC=5.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120∘的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿着OD走到D用了2分钟，从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径的长度为(BA.505米 B.507米 C.5011米 [解析]选B.设该扇形的半径为r米，连接CO.由题意，得CD=150米，OD=100米，∠CDO=60∘,在△CDO中，CD2+OD2−2CD⋅OD⋅6.如图,为了测量两座山峰上P,Q两点之间的距离,选择山坡上一段长度为3003m且和P,Q两点在同一平面内的路段AB，以该路段的两个端点作为观测点,现测得∠PAB=90∘,∠PAQ=∠PBA=∠PBQ=60∘,则P[解析]由已知,得∠QAB=∠PAB−∠PAQ=30∘.又∠PBA=∠PBQ=60∘,所以∠AQB=30∘,所以AB=BQ.又PB为公共边,所以△PAB≅△PQB,所以PQ=PA.在Rt△PAB中,AP=AB⋅tan60∘=900,故PQ=9007.微型航空遥感技术以无人机为空中遥感平台，为城市经济和文化建设提供了有效的技术服务手段.如图所示，有一架无人机在空中P处进行航拍，水平地面上甲、乙两人分别在A，B处观察该无人机（两人的身高忽略不计），C为无人机在水平地面上的正投影.已知甲、乙两人相距100m，甲观察无人机的仰角为45∘，若再测量两个角的大小就可以确定无人机的飞行高度PC，则这两个角可以是①∠BAC和∠ABC；②∠BAC和∠PAB；③∠PAB和∠PBA；④∠PAB和∠ABC.[解析]①：当已知∠BAC和∠ABC时，在△ABC中利用内角和定理及正弦定理可得AC，然后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC②：当已知∠BAC和∠PAB时，在△ABC中已知一角一边，在△PAB中已知一角一边，显然无法求解，故②错误；③：当已知∠PAB和∠PBA时，在△PAB中已知两角一边，可解出PA，然后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC④：当已知∠PAB和∠ABC时，可先由最小角定理求得∠BAC，解△ABC可得AC，最后在Rt△PAC中，由三角函数定义可得PC8.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a,b,c，若B=π3，c=2，且sinA=3sinC，AC的中点为D[解析]因为sinA=3sinC，由正弦定理得，a=3c,所以由余弦定理得，b2=所以b=27所以cosA=b因为D是AC的中点，所以AD=7所以BD2所以BD=139.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c,a+b=ccos（1）求角C的大小；[答案]解：因为a+b=ccosB−bcosC因为sin(B+C)=sin所以sin(B+C)+sin所以2sinB因为B∈(0,π),所以sinB≠0,所以又C∈(0,π),所以C=（2）设CD是△ABC的角平分线，求证：1CA[答案]证明：因为CD是△ABC的角平分线，且C=2π所以∠ACD=∠BCD=π3在△ABC中，S△ABC=即CA⋅CB=CA⋅CD+CD⋅CB，两边同时除以CA⋅CB⋅CD,得1CA+[B级综合运用]10.三峡大瀑布是国家5A级景区，峡谷内溪水常年不断，构成30多道形态各异的瀑布镶嵌于峡谷内，其中最壮观的是高102米、宽80米的三峡大瀑布.为了测量三峡大瀑布的某一处实际高度，李华同学设计了如下测量方案：有一段水平山道，且山道与瀑布不在同一平面内，瀑布底端与山道在同一平面内，可粗略认为瀑布与该水平山道所在平面垂直，在水平山道上A点位置测得瀑布顶端仰角的正切值为32,沿山道继续走20m，抵达B点位置测得瀑布顶端的仰角为π3;已知该同学沿山道行进的方向与他第一次望向瀑布底端的方向所成角为A.60m B.90m C.108m [解析]选A.根据题意作出示意图,其中tanα=32，β=θ=π3设OH=3x，则OA=2x，OB=3x在△AOB中，由余弦定理的推论得cosθ=A即12=整理得x2−40x+400=0，解得x=20所以该瀑布此处的高度约为OH=3x=60m11.（多选）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a,b,c.若b=ccosA,角A的平分线交BC于点D，AD=1，cos∠BAC=A.AC=34 B.C.CDBD=18 D.[解析]选ACD.在△ABC中，b=ccosA,根据正弦定理得sinB=sinC⋅cosA，因为A+B+C=π，所以sin(A+C)=sinC⋅cosA,整理得sinAcosC=0对于A，在Rt△ACD中，AC=ADcos对于B，在Rt△ABC中，cos∠BAC=ACAB=对于C，根据角平分线定理知,CDBD=对于D，在△ABD中，由cos∠BAD=34，得sin∠BAD=712.如图，在△ABC中，D是AB边上的点，且满足AD=3BD，AD+AC=BD+BC=2，CD=2，则△BCD的面积为1[解析]设BD=x，则AD=3x，AC=2−3x，BC=2−x，因为∠ADC+∠BDC=π,所以cos∠ADC=−cos∠BDC,由余弦定理的推论可得9x2+2−(2−3x)22×2×3x=−x2+2−(2−x)22×2×x,解得13.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,3(tanA+tanB)=tanAcosB+tanBcosA,则a+bc=[解析]由3(tanA+tanB)=tan化简得3(sinAcosB+cosAsinB)=sinA+sinB,即3sin(A+B)=sinA+sinB=3sinC,由正弦定理得，a+b=3c,所以a+bc=3.在△ABC中，CA⋅CB=(CD+DA)⋅(14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acos（1）求cosA[答案]解：由正弦定理及题意得sinAcos即sinAcos可得sin(A+B)=4sin即sinC=4sin因为在△ABC中，sinC≠0，所以cosA=（2）若b=4，点M在线段BC上，且AB+AC=2AM，[答案]方法一：由AB+AC可知点M为BC的中点.构造▱ABDC，如图所示，则cos∠ABD=−cos∠CAB=−14,且|在△ABD中，利用余弦定理可得AD2即(26)解得AB=2或AB=−4（舍去）.由cos∠CAB=14得所以△ABC的面积S=