等差数列的通项公式练习题

第四章数列

4.2.2等差数列的通项公式

一、单选题（共5小题，满分25分，每小题5分）

1.若等差数列｛斯｝满足"2=20,45=8,则田=（）

A.24B.23

C.17D.16

【答案】A

【解析】根据题意，"=发二黑=无型=-4,则4=。2-〃=20-（-4）=24,故选:A.

5—25—2

2.在等差数列｛4｝中，4+/+为=9,a4+a5+a6=21,则%的值是（）

A.9B.11C.13D.15

【答案】B

【解析】：｛%｝是等差数列，...4+%+4=34=9，%=3，4+。5+。6=3。=21,

4=7,

/.%=2a5—%=2x7—3=11.故选：B.

3.《九章算术》是中国古代张苍、耿寿昌所撰写的一部数学专著，全书总结了战国、秦、汉

时期的数学成就，其中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得

几何?”其意思为：“今有5人分5钱，各人所得钱数依次为等差数列，其中前2人所得之和

与后3人所得之和相等，问各得多少钱?”则第2人比第4人多得钱数为（）

A.9钱B.V钱C.1•钱D.2钱

6333

【答案】D

【解析】设从前到后的5个人所得钱数构成首项为4,公差为d的等差数列伍“｝,

则有4+。2=。3+。4+%，4+。2+。3+。4+。5=5,

4+8d=0,

解得则%-4=-21=g,故选：D.

4+2d=L

4.若数列｛4｝为等差数列，且％=工，%=工，贝ijcos%)=()

62

A1B6

22

C.--D.--

22

【答案】C

,.a,-a.7i7i10万

【解析】"=—=—.%0=4+1ir>i'=—，

2663

10乃41(万、1u小

cos%。=cos—=cos-^-=cos乃+§)=-/,故选：C.

r\1

5.已知数列｛4｝的首项6=3,且满足则｛%｝中最小

2n—3

的一项是（）

A.a2B.%

D.a5

【答案】B

G14M

【解析】因为a“+1=-E%+2〃-l(〃eN*),所以f+1,

2n-3''2n.—12〃-3

4

又q=3,所以_%_=一3,所以数列是首项为-3,公差为1的等差数列,

2-32/7-3

所以2"3=_3+（〃_1）=〃_4，即4,=（2〃-3）（〃一4）,

所以q=3,a2=-2,4=-3,当〃24时，之。，

所以｛4｝中最小的一项是巴•故选：B.

二、多选题（共3小题，满分15分，每小题5分，少选得3分，多选不得分）

6.下列命题正确的是（）

A.给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式

B.若等差数列｛%｝的公差d>0,则｛q｝是递增数列

C.若a,从c成等差数列，则可能成等差数列

abc

D.若数列｛4｝是等差数列，则数列｛4+24+）也是等差数列

【答案】BCD

【解析】A选项：给出数列的有限项不一定可以确定通项公式；

B选项：由等差数列性质知d>（）,｛%｝必是递增数列；

C选项：a=h=c=l时，L=L=1=1是等差数列，而a=l,8=2,c=3时不成立；

abc

。选项：数列｛q｝是等差数列公差为4,所以

an+2a“+]=q+（〃-l）d+2。]+2nd=3q+（3〃-l）d也是等差数列；故选:BCD

7.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，4=18,。5=12,则下列选项正确的是（）

A.d=-2B.a1=22

C.%+%=30D.A=0

【答案】ACD

【解析】设等差数列｛%｝的公差为4，

则%=%+3d=18+3d=12,解得d=—2.

所以q=20,4+。4=。2+%=30,4］=a】+10d=20-10x2=0,

故选：ACDo

8.在数列｛4,｝中，若片一=P（〃22,〃GN*.p为常数），则称｛4｝为“等方差数列”

下列对“等方差数列”的判断正确的是（）

A.若｛4｝是等差数列，则｛4｝是等方差数列

B.｛（-1）"｝是等方差数列

C.若｛%｝是等方差数列，贝I｛%,,｝（%eN*）次为常数）也是等方差数列

D.若｛。“｝既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列

【答案】BCD

［解析］对于A,若｛%｝是等差数列，如an=n,

则片一。3=〃2-（〃一1）2=2〃-1不是常数，故｛%｝不是等方差数列,故A错误；

对于B,数列［（一1）"｝中，端一“3=［（-1）"］2-［（-1）”了=0是常数，

：.｛（—1）"｝是等方差数列，故B正确；

对于C,数列｛4｝中的项列举出来是，卬,%，…，4，…，aik>"•

数列｛他,｝中的项列举出来是，ak,a2k,4*，,

(吭-a；)=(心-<i)=侬+3-4+2)=…=(娘一)=P,将这，个式子累加得

aa+a_6f+-<3+，，+a*<3=a

(k+t~k)(k+2*+l)(^+3L2)'(2*2i-l)^>-'-2k=kp,

，4,用)一嫌=切"为常数)是等方差数列，故C正确；对于D,••・｛4｝

是等差数列，4T=。，则设a“=办+，〃，♦••｛%｝是等方差数列，

:.cTn-a^_|=(a“+41])4=(1〃+/77+~〃+1+/加)4=26/2〃+(2/77+1)4是常数，故

2/=0,故d=0,所以(2加+")"=0,。：-43=()是常数，故D正确.故选：BCD.

三、填空题(共3小题，满分15分，每小题5分，一题两空，第一空2分)

9.将数列｛2”1｝与｛3"-2｝的公共项从小到大排列得到数列｛a“｝,则”“=.

【答案】6n-5

【解析】因为数列｛2〃一1｝是以1为首项，以2为公差的等差数列，

数列｛3〃一2｝是以1首项，以3为公差的等差数列，

所以这两个数列的公共项所构成的新数列｛4｝是以I为首项，以6为公差的等差数列，

所以a,尸6n-5

故答案为：小=6n-5

10.已知数列｛a,,｝中，6=2，%=1，若，为等差数列，则《9=.

【答案】0

111

【解析】因为,2,—紊7=5/

2

所以113)..1,2「故69=0.故答案为：0

-------=--------+-------^xl6=-4--=1

Q1g+1生+1433

11.若数列｛q｝满足：。“+。”+[=5〃，％=1,则%020=.

【答案】5049.

【解析】an+an+1=5〃=>an_x+=5〃-5.两式相减,得an+l-an_x=5.

%+4=5=。2=4.故%020是首项为4,公差为5的等差数列的第101（）项，

故4020=4+（1010-1）x5=5049.故答案为：5049.

四、解答题：（本题共3小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

12.已知数列｛%｝满足q=1,且+=2/+2〃，nwN".

（1）求。2，。3的值；

（2）证明数列是等差数列，并求｛4｝的通项公式.

【答案】（1）4=6;%=15；（2）证明见解析，4=2/一〃.

【解析】（1）由已知，a,=1,且〃a“+i+=2"+2〃，

得4-24=4,则。2=2卬+4,又％=1,所以々=6,

由2a3-3a2=12,得2a3=12+3g,所以4=15.

（2）由已知“%一（〃++得一J'=2,即上—-i=2,

n[n+l）n+1n

所以数列｛2｝是首项;=1,公差d=2的等差数列，

则组=1+2（〃—1）=2〃—1,所以=2〃2一”.

13.在①对任意〃>1满足S.M+S,T=2(S.+1)；②S,”1-2=S“+%；③

s“=〃%+i-〃(〃+D-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中•问题：己知数列｛4｝的

前〃项和为3，。2=4,,若数列｛4｝是等差数列，求出数列｛%｝的通项公式；若

数列｛4｝不是等差数列，说明理由.

【答案】答案见解析

【解析】若选择条件①：因为对任意〃>1,〃eN*，满足5川+S„,1=2(S„+1),

所以5„+,-SH=Sn-S„_,+2,即an+l-a„=2,

因为无法确定外的值，所以4-4不一定等于2，

所以数列｛4｝不一定是等差数列.

若选择条件②:由S向一2=S“+a“，则S向一S“—a“=2,即%-%=2,

因为生=4,所以6=2,所以数列｛为｝是等差数列，公差为2，

因此数列｛4｝的通项公式为%=2〃.

若选择条件③：因为S“=〃4+]+,所以S,_|(“N2,〃eN*),

两式相减得，an=nan+i-(n-l)a„-2n,(n>2),即。7一。“=2(〃N2),

又S]=电—2,即。2-4=2,所以—〃〃=2,〃£N"，

又。2=4,a2-a1=2,所以q二2,

所以数列｛q｝是以2为首项，2为公差的等差数列.

所以=2+2（〃-1）=2〃.

14.已知数列｛4｝满足4=-5,且a“+2a,i=(-2)"-3(n>2K«eM).

(1)求见，。3的值；

(2)设2