考研数学二（常微分方程）模拟试卷1（共234题）

考研数学二（常微分方程）模拟试卷1（共9套）（共234题）考研数学二（常微分方程）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0，且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小，则y(x)=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：原方程可化为=一1，其通解为V==x+Cx2。曲线y=C+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(C)=π∫01(x+Cx2)2dx=。故C=是唯一的极值点，则为最小值点，所以y=x一x2。2、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)线性无关的解，所以(y1一y3)，(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解，且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关，因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，故本题的答案为D。3、在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1，C2，C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。标准答案：D知识点解析：已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x，可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1，λ=±2i，所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0，即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系，可知所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0。4、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案：D知识点解析：齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0，特征根为λ1=1，λ2=2，则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)，故选D。二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)5、微分方程y’=的通解是_________。标准答案：y=Cxe－x(x≠0)知识点解析：原方程等价为两边积分得ln｜y｜=ln｜x｜－x+C。取C=eC1，整理得y=Cxe－x(x≠0)。6、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_________。标准答案：y=知识点解析：原方程可化为(xy)’=0，积分得xy=C，代入初始条件得C=2，故所求特解为xy=2，即y=。7、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=_________。标准答案：(x+C)cosx知识点解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知y=e－∫tanxdx[∫cosx．e∫tanxdxdx+C]=(x+C)cosx。8、微分方程y’+y=e－xcosx满足条件y(0)=0的特解为_________。标准答案：y=e－xsinx知识点解析：原方程的通解为y=e－∫1dx(∫e－xcosx．e∫1dxdx+C)=e－x(∫cosxdx+C)=e－x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0，故所求解为y=e－xsinx。9、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y｜x=1=的特解为_________。标准答案：y=x3知识点解析：公式法。原方程变形为，由一阶线性微分方程通解公式得10、已知y1=e3x一xe2x，y2=ex一xe2x，y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解，则该方程的通解为y=_________。标准答案：y=C1e3x+C2ex一xe2x知识点解析：显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解，且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理，该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x。11、微分方程y’’一y’+y=0的通解为_________。标准答案：y=(C1+C2x)知识点解析：二阶齐次微分方程的特征方程为λ2一λ+=0，解方程得λ1=λ2=。因此齐次方程的通解为y=(C1+C2x)。12、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为__________。标准答案：y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析：对应的特征方程为λ2一2λ+2=0，解得其特征根为λ1，2=1±i。由于α=1不是特征根，可设原方程的特解为y*=Aex，代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。13、若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+by’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex，则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2，y’(0)=0的特解为y=_________。标准答案：x(1一ex)+2知识点解析：由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex，y2=xex为其两个线性无关的解，代入齐次方程，有y1’’+ay1’+by1=(1+a+b)ex=01+a+b=0，y2’’+ay2’+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=02+a=0，从而a=一2，b=1，故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。设特解y*=Ax+B，代入非齐次微分方程，得一2A+Ax+B=x，即所以特解为y*=x+2，非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2，y’(0)=0代入通解，得C1=0，C2=一1。故所求特解为y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。标准答案：齐次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0，由此得λ1=2，λ2=1。即对应齐次方程的通解为y=C1e2x+C2ex。设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex，则有(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex。(y*)’’=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex，代入原方程得a=一1，b=一2，因此所求解为y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。知识点解析：暂无解析15、设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，求f(t)。标准答案：因f(t)连续，因此∫0tf(s)sinsds可导，从而f(t)可导，于是f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds，利用公式f(t)=e∫sintdt[∫－2sin2t．e∫sintdtdt+C]，由f(0)=1得C=e。因此，f(t)=e1－cost+4(cost一1)。知识点解析：暂无解析设函数y=y(x)在(一∞，+∞)内具有二阶导数，且y'≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数。16、试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程；标准答案：由反函数的求导公式知，于是有代入原微分方程得y’’一y=sinx。(*)知识点解析：暂无解析17、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0，y’(0)=的特解。标准答案：方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e－x。设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx，代入方程(*)，求得A=0，sinx，因此y’’一y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e－x一sinx。由y(0)=0，y’(0)=，得C1=1，C2=一1。故所求初值问题的特解为y=ex—e－x一sinx。知识点解析：暂无解析18、设f(μ，ν)具有连续偏导数，且fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：由y(x)=e－2xf(x，x)，有y’(x)=一2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，由fμ’(μ，ν)+fν’(μ，ν)=sin(μ+ν)eμ＋ν可得f1’(x，x)+f2’(x，x)=(sin2x)e2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x，通解为y(x)=e－2x[∫sin2x．e2xdx+C]，由分部积分公式，可得∫sin2x．e2xdx=(sin2x—cos2x)e2x，所以y(x)=(sin2x—cos2x)+Ce－2x。知识点解析：暂无解析19、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点，其上任一点P(x，y)处的法线与y轴的交点为Q，且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。标准答案：曲线y=f(x)在点P(x，y)处的法线方程为Y一y=(X一x)，令X=0，则它与y轴的交点为(0，y+)。由题意，此点与点P(x，y)所连的线段被x轴平分，由中点公式得=0，即2ydy+xdx=0，上式两端积分得+y2=C(C为任意常数)，代入初始条件，故曲线y=f(x)的方程为，即x2+2y2=1。知识点解析：暂无解析20、设函数y(x)(x≥0)二阶可导，且y’(x)＞0，y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1一S2恒为1，求曲线y=y(x)的方程。标准答案：设曲线y=y(x)上的点P(x，y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x)，它与x轴的交点为(x一，0)。由于y’(x)＞0，y(0)=1，因此y(x)＞1(x＞0)。于是S1=。又可得s2=∫0xy(t)dt。根据题设2S1一S2=1，有一∫0xy(t)dt=1。并且y’(0)=1，两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2，这是可降阶的二阶常微分方程，令p(y)=y’，则上述方程可化=p2，分离变量得从而有y=C2eC1x。根据y’(0)=1，y(0)=1，可得C1=1，C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。知识点解析：暂无解析21、如图1—5—1，C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象，过点(0，1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x，y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1，C2与lx所围图形的面积为S1(x)；C2，C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y)，求曲线C3的方程x=φ(y)。标准答案：由已知条件S1(x)=∫0x[et一(1+et)]dt=(et—t)｜0x=(ex一x一1)，S2(y)=∫1y(lnt一φ(t)dt，故有(ex一x一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt，而y=ex，于是(y一lny一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt，两边对y求导得=lny一φ(y)，故所求的函数关系为x=φ(y)=lny—。知识点解析：暂无解析有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面，容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求，当以3m3／min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm2／min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)。22、根据t时刻液面的面积，写出t与φ(y)之间的关系式；标准答案：设在t时刻，液面的高度为y，此时液面的面积为A(t)=πφ2(y)，由题设，液面的面积将πm2／min的速率均匀扩大，可得所以φ2(y)=t+C。由题意，当t=0时φ(y)=2，代入得C=4，于是得φ2(y)=t+4。从而t=φ2(y)一4。知识点解析：暂无解析23、求曲线x=φ(y)的方程。标准答案：液面的高度为Y时，液体的体积为V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ，由题设，以3m3／min的速率向容器内注入液体，得[π∫0yφ2(μ)dμ]=3，所以π∫0yφ2(μ)dμ=3t=3φ2(y)一12，上式两边对y求导，得πφ2(y)=6φ(y)φ’(y)，即φ(y)，解此微分方程，得φ(y)=，其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为x=。知识点解析：暂无解析24、从船上向海中沉放某种探测仪器，按探测要求，需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系。设仪器在重力作用下，从海平面由静止开始铅直下沉，在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m，体积为B，海水比重为ρ，仪器所受的阻力与下沉速度成正比，比例系数为k(k＞0)。试建立y与ν所满足的微分方程，并求出函数关系式y=y(ν)。标准答案：选取沉放点为原点O，Oy轴正向取铅直向下，则根据牛顿第二定律得=mg一Bρ一kν，这是一个可降阶的二阶微分方程，其中ν=。知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y｜x=2=1的特解为()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。标准答案：C知识点解析：原微分方程分离变量得，两端积分得ln｜y｜=一2ln｜x｜+lnC，x2y=C，将y｜x=2=1代入得C=4，故所求特解为x2y=4。应选C。2、设y1，y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解，若常数λ，μ使λy1+μλ2是该方程的解，λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由已知条件可得由λy1+μy2仍是该方程的解，得(λy1’+μxy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x)，则λ+μ=1；由λy1一μy2是所对应齐次方程的解，得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x)，那么λ一μ=0。综上所述λ=μ=。3、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求方程的三个特解知，λ=一1，一1，1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根，则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2一λ—1=0，对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0，故选B。4、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+C的解，则()A、a=1，b=1，c=1。B、a=1，b=1，c=一2。C、a=一3，b=一3，c=0。D、a=一3，b=1，c=1。标准答案：B知识点解析：由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解，则xex是对应的齐次方程的解，其特征方程有二重根λ1=λ2=1，则a=1。x为非齐次方程的解，将y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c，得b=1，c=一2，故选B。5、微分方程y’’一λ2y=eλx+e－λx(λ＞0)的特解形式为()A、a(eλx+e－λx)。B、ax(eλx+e－λx)。C、x(axλx+be－λx)。D、x2(aeλx+be－λx)。标准答案：C知识点解析：原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0，其特征根为r1，2=±λ，所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx，y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe－λx，根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx＋be－λx)，因此选C。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为_________。标准答案：y=tan[(1+x)2+C]知识点解析：将已知微分方程变形整理得，=(1+x)(1+y2)，则=(1+x)dx，两边积分可得，arctany=(1+x)2+C，因此y=tan[(1+x)2+C]。7、微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_________。标准答案：xe1－x知识点解析：此方程为一阶齐次微分方程，令y=μx，则有，所以原方程可化为μ+=μlnμ，μx=1=1。解此微分方程得ln｜lnμ-1｜=ln｜C1x｜，去绝对值可得lnμ=C1x+1，μ=eC1x＋1，将μ｜x=1=1代入，得C1=－1，μ=e1－x，因此原方程的解为y=xe1－x。8、微分方程xy’+2y=sinx满足条件y｜x=π=的特解为_________。标准答案：y=(sinx-xcosx)知识点解析：将已知方程变形整理得，，根据通解公式得，y==(sinx—xcosx+C)，由y｜x=π=，得C=0，因此y=(sinx—xcosx)。9、微分方程(y+x2e－x)dx一xdy=0的通解是y=_________。标准答案：x(一e－x+C)知识点解析：微分方程(y+x2e－x)dx—xdy=0，可变形为=xe－x。所以其通解为y==x(一e－x+C)。10、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0，x＞0满足条件y｜x=1=1的特解为_________。标准答案：x=y2知识点解析：对原微分方程变形可得=3y。此方程为一阶线性微分方程，所以x=，又y=1时x=1，解得C=0，因此x=y2。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解为_________。标准答案：y=C1+知识点解析：令p=y’，则原方程化为p’+p=0，其通解为p=Cx－3。因此，y=∫Cx－3dx=C1一。12、微分方程y’’一4y=e2x的通解为_________。标准答案：y=C1e－2x+(C2+x)e2x知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为λ2一4=0，解得λ1=2，λ2=一2。故y’’一4y=0的通解为y1=C1e－2x+C2e2x，其中C1，C2为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出A=。故所求通解为y=C1e－2x+(C2+x)e2x。13、微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足=1的特解为_________。标准答案：y=一3ex+3e2x一2xex知识点解析：y’’一3y’+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0，它的两个特征根分别是λ1=1，λ2=2。因此对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x。又因为x=1是特征方程的单根，所以，设非齐次方程的特解为y*=Axex，则(y*)’=Aex+Axex，(y*)’’=2Aex+Axex，将以上三式代入方程得A=一2。因此，此非齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex。由所给题设条件可得y(0)=0，y’(0)=1，代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)14、求微分方程(x2一1)dy+(2xy一cosx)dx=0满足y(0)=1的解。标准答案：整理微分方程(x2一1)dy＋(2xy－cosx)dx=0，得，先解对应的齐次方程，解得ln｜y｜=一｜lnx2一1｜＋C，即有y=。将上式代入原微分方程得到，故C(x)=sinx+c，则原微分方程的解为y=。又因为y(0)=1，代入上式得到c=一1，则原微分方程的解为y=。知识点解析：暂无解析15、求微分方程y’’(x+y’2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解。标准答案：因本题不含y，所以可设y’=p，于是y’’=p’，因此原方程变为p’(x+p2)=p，从而有+p，解之得x=p(p+C)。将P(1)=1代入x=p(p+c)得C=0。于是x=p2，所以y’=+C1，结合y(1)=1得C1=。故y=。知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)上可导，f(0)=1，且满足等式f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。16、求导数f’(x)；标准答案：由题设知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式两边对x求导，得(x+1)f’’(x)=一(x+2)f’(x)，即有。两边积分，得ln｜f’(x)｜=一x一ln(x+1)+C1，所以f’(x)=。在题设等式中令x=0，得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1，于是f’(0)=一1，代入f’(x)的表达式，得C=一1，故有f’(x)=。知识点解析：暂无解析17、证明：当x≥0时，成立不等式e－x≤f(x)≤1。标准答案：由(I)中结果知，当x≥0时，f’(x)＜0，即f(x)单调减少，又f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e－x，则φ(0)=0，φ’(x)=f’(x)+e－x=e－x，当x≥0时，φ’(x)≥0，即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0，即有f(x)≥e－x。综上所述，当x≥0时，不等式e－x≤f(x)≤1成立。知识点解析：暂无解析18、利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解。标准答案：由y==μsecx，得y’=μ’secx+μsecxtanx，y’’=μ’’secx+2μ’secxtanx+μ(secxtan2x+sec3x)，代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex，得μ’’+4μ=ex。(*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0，则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1，C2为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为μ*(x)=Aex，代入(*)式，得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex，解得ex。故(*)的通解为μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1，C2为任意常数)。所以，原微分方程的通解为y=。知识点解析：暂无解析19、设y=y(x)是区间(一π，π)内过的光滑曲线，当一π＜x＜0时，曲线上任一点处的法线都过原点，当0≤x＜π时，函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。标准答案：由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有y=，即ydy=一xdx，得y2=一x2+C。又，代入y2=一x2+C得C=π2，从而有x2+y2=π2，即y=。当0≤x＜π时，y’’+y+x=0，得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为y1=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y1=一x是方程的特解，因此y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得y｜x=0=π，y｜x=0=0，故得C1=π，C2=1，所以知识点解析：暂无解析设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(，0)。20、(I)试求曲线L的方程；标准答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y一y=y’(X一x)，令X=0，则Y=－xy’+y，即它在y轴上的截距为－xy’+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为。故由题设条件得一xy’+y=(x＞0)，即得y’=(x＞0)，此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则，代入上式，方程变为知识点解析：暂无解析21、(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。标准答案：由(I)知曲线的方程为y=一x2，则y’=一2x，点P(x，y)=P(x，一x2)，所以在点P处的切线方程为Y一(一x2)=一2x(X一x)，分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x2+。此切线与两坐标轴围成的三角形面积为A(x)=(4x2+1)2，x＞0。由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S0，于是题中所求的面积为S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2一S0，求最值点时与S0无关，而S’(x)=，令S’(x)=0，得x=，S’(x)＞0。根据极值存在的第一充分条件知，x=是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为知识点解析：暂无解析22、设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。标准答案：由题设及曲率公式，有，(因曲线)y=y(x)是凸的，所以y’’＜0，｜y’’｜=一y’’。)化简得=一dx，两端同时积分解得arctany’=一x+C1。由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1。以x=0代入上式，得C1=。(本题选择是因为已知曲线在X=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含X=0在内并且使y(X)连续的一个区间。)对上式积分得又由题设可知y(0)=1，代入上式，得C2=1一，于是所求的曲线方程为y=。由于cos(一x)≤1，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当cos(一x)=1时，即x=，所以此时y取极大值，极大值为y=1+ln2，显然y在没有极小值。知识点解析：暂无解析23、假设：①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1；②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2；③曲线y=f(x)，直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。求函数y=f(x)的表达式。标准答案：由题设可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x)，两端求导，得f(x)=ex一f’(x)，即有f’(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式，得f(x)=e－x[∫ex．exdx+C]=Ce－x+ex。由f(0)=0得C=，因此所求函数为f(x)=(ex一e－x)。知识点解析：暂无解析24、设f(x)是区间[0，+∞)上具有连续导数的单调增加函数，且f(0)=1。对任意的t∈[0，+∞)，直线x=0，x=t，曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍，求函数f(x)的表达式。标准答案：旋转体的体积公式V=π∫0tf2(x)dx，侧面积公式S=2π∫0tf(x)，根据已知∫0tf2(x)dx=∫0tf(x)，上式两端对t求导得由分离变量法解得y+=Cet。将y(0)=1代入，知C=1，故因此，所求函数为y=f(x)=(ex+e－x)。知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设φ1(χ)，φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(χ)＋φ2(χ)]B、C[φ1(χ)－φ2(χ)]C、C[φ1(χ)－φ2(χ)]－φ2(χ)D、[φ1(χ)－φ2(χ)]＋Cφ2(χ)标准答案：C知识点解析：因为φ1(χ)，φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝Q(χ)的两个线性无关解，所以φ1(χ)－φ2(χ)为方程y′＋P(χ)y＝0的一个解，于是方程y＋P(χ)y＝Q(χ)的通解为C[φ1(χ)－φ2(χ)]＋φ2(χ)，选C．2、设y＝y(χ)为微分方程2χydχ＋(χ2－1)dy＝0满足初始条件y(0)＝1的解，则y(χ)dχ为()．A、－ln3B、ln3C、－ln3D、ln3标准答案：D知识点解析：由2χydχ＋(χ2－1)dy＝0得＝0，积分得ln(χ2－1)＋lny＝lnC，从而y＝，由y(0)＝1得C＝－1，于是y＝，故，因此选D．3、微分方程y〞－y′－6y＝(χ＋1)e-2χ的特解形式为()．A、(aχ＋b)e-2χB、aχ2e-2χC、(aχ2＋bχ)e-2χD、χ2(aχ＋b)e-2χ标准答案：C知识点解析：因为原方程的特征方程的特征值为λ1＝－2，λ2＝3，而－2为其中一个特征值，所以原方程的特解形式为χ(aχ＋b)e－2χ，选C．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设连续函数f(χ)满足f(χ)＝dt＋eχ，则f(χ)＝_______．标准答案：2e2χ－eχ知识点解析：暂无解析5、微分方程(2χ＋3)y〞＝4y′的通解为_______．标准答案：y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2知识点解析：令y′＝p，则，两边积分得lnp＝ln(2χ＋3)2＋lnC1，或y′＝C1(2χ＋3)3，于是y＝C1χ3＋6C1χ2＋9C1χ＋C2．6、yy〞＝1＋y′2满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝0的解为_______．标准答案：ln｜y＋｜＝±χ知识点解析：令y′＝p，则yp＝1＋p2，即，解得ln(1＋p2)＝lny2＋lnC1，则1＋p2＝C1Y2，由y(0)＝1，y′(0)＝0得y′＝±，ln｜y＋＋C2＝±χ，由y(0)＝1得C2＝0，所以特解为ln｜y＋｜＝±χ．7、微分方程y〞＋4y＝4χ－8的通解为_______．标准答案：y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2知识点解析：微分方程两个特征值为λ1＝－2i，λ2＝2i，则微分方程的通解为y＝C1cos2χ＋C2sin2χ＋χ－2．8、设y＝y(χ)过原点，在原点处的切线平行于直线y＝2χ＋1，又y＝y(χ)满足微分方程y〞－6y′＋9y＝e3χ，则y(χ)＝_______．标准答案：y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ知识点解析：由题意得y(0)＝0，y′(0)＝2，y〞－6y′＋9y＝e3χ的特征方程为λ2－6λ＋9＝0，特征值为λ1＝λ2＝3，令y〞＝6y′＋9y＝e3χ的特解为y0(χ)＝aχ2e3χ代入得以a＝，故通解为y＝(C1＋C2χ)e3χ＋χ2e3χ．由y(0)＝0，y′(0)＝2得C1＝0，C2＝2，则y(χ)＝2χe3χ＋χ2e3χ．9、微分方程2y〞＝3y2满足初始条件y(－2)－1，y′(－2)＝1的特解为_______．标准答案：χ＝－知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、求微分方程y〞－y′＋2y＝0的通解．标准答案：特征方程为λ2－λ＝0，特征值为λ1,2＝，则原方程的通解为y＝知识点解析：暂无解析11、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1＝e2χ，y2＝2e-χ－3e2χ为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1＝e2χ，y2＝2e－χ－3e2χ为特解，所以e2χ，e－χ也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1＝－1，λ2＝－2，特征方程为(λ＋1)(λ－2)＝0即λ2－λ－2＝0，所求的微分方程为y〞－y′－2y＝0．知识点解析：暂无解析12、求微分方程y〞＋2y′－3y＝(2χ＋1)eχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋2λ－3＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝－3，则y〞＋2y′－3y＝0的通解为y＝C1eχ＋C2e－3χ．令原方程的特解为y0＝χ(aχ＋b)eχ，代入原方程得，所以原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e－3χ＋(2χ2＋χ)eχ．知识点解析：暂无解析13、求y〞－2y′－e2χ＝0满足初始条件y(0)＝1，y′(0)＝1的特解．标准答案：原方程化为y〞－2y′＝e2χ．特征方程为λ2－2λ＝0，特征值为λ1＝0，λ2＝2，y〞－2y′＝0的通解为y＝C1＋C2e2χ．设方程y〞－2y′＝e2χ的特解为y0＝Aχe2χ代入原方程得A＝，原方程的通解为y＝C1＋C2e2χ＋χe2χ．由y(0)＝1，y′(0)＝1得解得故所求的特解为y＝．知识点解析：暂无解析14、求微分方程y〞＋4y′＋4y＝eaχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋4λ＋4＝0，特征值为λ1＝λ2＝－2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ．(1)当a≠－2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aeaχ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋；(2)当a＝－2时，因为a＝－2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(χ)＝Aχ2e－2χ，代入原方程得A＝，则原方程的通解为y＝(C1＋C2χ)e－2χ＋χ2e－2χ．知识点解析：暂无解析15、求微分方程y〞＋y＝χ2＋3＋cosχ的通解．标准答案：特征方程为λ2＋1＝0，特征值为λ1＝－i，λ2＝i，方程y〞＋y＝0的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ．对方程y〞＋y＝χ3＋3，特解为y1＝χ2＋1；对方程y〞＋y＝cosχ，特解为χsinχ，原方程的特解为χ2＋1＋χsinχ，则原方程的通解为y＝C1cosχ＋C2sinχ＋χ2＋1＋χsinχ．知识点解析：暂无解析16、设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v｜t＝0＝v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．标准答案：设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力F＝ma＝，则有，解此微分方程得v(t)＝v0e－t．由v0e－t＝得t＝ln3，从开始到t＝ln3的时间内质点所经过的路程为知识点解析：暂无解析17、设f(χ)在[0，＋∞)上连续，且f(0)＞0，设f(χ)在[0，χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数，求f(χ)．标准答案：根据题意得，令a＝，则有∫0χf(t)dt＝两边求导得，知识点解析：暂无解析18、设曲线L位于χOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点()，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(χ，y)，则切线MA：Y－y＝y′(X－χ)．令X＝0，则Y＝y－χy′，故A点的坐标为(0，y－χy′)．由｜MA｜－｜OA｜，得｜y－χy′｜＝即2yy′－y2＝－χ，或者＝－χ，则y2＝＝χ(－χ＋C)，因为曲线经过点()，所以C＝3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为y＝(0＜χ＜3)．知识点解析：暂无解析19、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(χ，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与χ轴平行．标准答案：设所求曲线为y＝y(χ)，该曲线在点P(χ，y)的法线方程为Y－y＝－(X－χ)(y′≠0)令Y＝0，得X＝χ＋yy′，该点到χ轴法线段PQ的长度为由题意得，即yy〞＝1＋y′2．令y′＝p，则y〞＝，则有＝1＋p2，或者，两边积分得y＝，由y(1)＝1，y′(1)＝0得C1＝1，所以y′＝，变量分离得＝±dy，两边积分得ln(y＋)＝±χ＋C2，由y(1)＝1得C2＝，两式相加得y＝＝ch(χ－1)．知识点解析：暂无解析20、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．标准答案：设t时刻雪堆的半径为r，则有＝－2kπr2，V(t)＝πr3，则于是有r＝－kt＋C0，由r(0)＝r0，r(3)＝，得C0＝r0，k＝，于是r＝－t＋r0，令r＝0得t＝6，即6小时雪堆可以全部融化．知识点解析：暂无解析21、设f(χ)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)．y＝f(χ)，χ＝0，χ＝1，y＝0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(χ)．标准答案：由f′(χ)－f(χ)＝a(χ－1)得f(χ)＝[a∫(χ－1)e∫－1dχdχ＋C]e－∫－dχ＝Ceχ－av，由f(0)＝1得C＝1，故f(χ)＝eχ－aχ．V(a)＝由V′(a)＝＝0得a＝3，因为V〞(a)＝＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(χ)＝eχ－3χ．知识点解析：暂无解析22、设f(χ)在(－1，＋∞)内连续且f(χ)－tf(t)dt＝1(χ＞－1)，求f(χ)．标准答案：由f(χ)－tf(t)dt＝1得(χ＋1)f(χ)－∫0χtf(t)dt＝χ＋1，两边求导得f(χ)＋(χ＋1)f′(χ)－χf(χ)＝1，由f(0)＝1得C＝3，故f(χ)＝知识点解析：暂无解析23、设f(χ)是连续函数．(1)求初值问题的解，其中a＞0；(2)若｜f(χ)｜≤k，证明：当χ≥0时，有｜f(χ)｜≤(eaχ－1)．标准答案：(1)y′＋ay＝f(χ)的通解为y＝[∫0χf(t)eatdt＋C]e－aχ，由y(0)＝0得C＝0，所以y＝e－aχ∫0χf(t)eatdt．(2)当χ≥0时，因为e－aχ≤1，所以｜y｜≤(eaχ－1)．知识点解析：暂无解析24、设有微分方程y′－2y＝φ(χ)，其中φ(χ)＝，在(－∞，＋∞)求连续函数y(χ)，使其在(－∞，1)及(1，＋∞)内都满足所给的方程，且满足条件y(0)＝0．标准答案：当χ＜1时，y′－2y＝2的通解为y＝C1e2χ－1，由y(0)＝0得C1＝1，y＝e2χ－1；当χ＞1时，y′－2y＝0的通解为y＝C2e2χ，根据给定的条件，y(1＋0)＝C2e2＝y(1－0)＝e2－1，解得C2＝1－e-2，y＝(1－e-2)e2χ，补充定义y(1)＝e2－1，则得在(－∞，＋∞)内连续且满足微分方程的函数知识点解析：暂无解析25、利用变换z＝arctant将方程cos4χ＋cos2χ(2－sin2χ)＋y＝tanχ化为y关于t的方程，并求原方程的通解．标准答案：代入整理得＋y＝t．＝0的特征方程为λ2＋2λ＋1＝0，特征值为λ1＝λ2＝－1，则＝t的通解为y＝(C1＋C2t)e-t＋t－2，故原方程通解为y＝(C1＋C2tanχ)e-tanχ＋tanχ－2．知识点解析：暂无解析26、设f(χ)为偶函数，且满足f′(χ)＋2f(χ)＝3∫0χf(t－χ)dt＝－3χ＋2，求f(χ)．标准答案：∫0χf(t－χ)dt＝－∫0χ(t－χ)d(χ－t)＝－∫χ0f(－u)du＝∫0χf(u)du，则有f′(χ)＋2f(χ)－3∫0χf(u)du＝－3χ＋2，因为f(χ)为偶函数，所以f′(χ)是奇函数，于是f′(0)＝0，代入上式得f(0)＝1．将f′(χ)＋2f(χ)－3∫0χf(u)du＝－3χ＋2两边对χ求导数得f〞(χ)＋2f′(χ)－3f(χ)＝－3，其通解为f(χ)＝C1eχ＋C2e－3χ＋1，将初始条件代入得f(χ)＝1．知识点解析：暂无解析27、设二阶常系数线性微分方程y〞＋ay′＋by＝ceχ有特解y＝e2χ＋(1＋χ)eχ，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y＝e2χ＋(1＋χ)eχ代入原方程得(4＋2a＋b)e2χ＋(3＋2a＋b)eχ＋(1＋a＋b)χeχ＝ceχ，则有解得a＝－3，b＝2，c＝－1，原方程为y〞－3y′＋2y＝－eχ．原方程的特征方程为λ2－3λ＋2＝0，特征值为λ1＝1，λ2＝2，则y〞－3y′＋2y＝0的通解为y＝C1eχ＋C2e2χ，于是原方程的通解为y＝C1eχ＋C2e2χ＋e2χ＋(1＋χ)eχ．知识点解析：暂无解析28、设u＝且二阶连续可导，又＝2且＝0，求f(χ)．标准答案：由＝2得f(1)＝0，f′(1)＝2，令＝r，则得f〞(r)＋f′(r)＝0或rf〞(r)＋f′(r)＝0，解得rf′(r)＝C1，由f′(1)＝2得C1＝2，于是f′(r)＝，f(r)＝lnr2＋C2，由f(1)＝0得C2＝0，所以f(χ)＝lnχ2．知识点解析：暂无解析29、设函数f(χ)在[0，＋∞)内可导，f(0)＝1，且f′(χ)＋f(χ)－f(t)dt＝0．(1)求f′(χ)；(2)证明：当χ≥0时，e－χ≤f(χ)≤1．标准答案：(1)(χ＋1)f′(χ)＋(χ＋1)f(χ)－∫0χf(t)dt＝0，两边求导数，得(χ＋1)f〞(χ)＝－(χ＋2)f′(χ)再由f(0)＝1，f′(o)＋f(0)＝0，得f′(0)＝－1，所以C＝－1，于是f′(χ)＝－．(2)当χ≥0时，因为f′(χ)＜0且f(0)＝1，所以f(χ)≤f(0)＝1．令g(χ)＝f(χ)－e－χ，g(0)＝0，g′(χ)＝f′(χ)＋e－χ＝e－χ≥0，由f(χ)≥e－χ(χ≥0)．知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设C，C1，C2，C3是任意常数，则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A、y=C1x2+C2x+C3．B、x2+y2=C．C、y=ln(C1x)+ln(C1sinx)．D、y=C1sin2x+C2cos2x．标准答案：D知识点解析：仅有D含有两个独立的任意常数C1与C2，选D．2、设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解，则C1y1(x)+C2y2(x)(C1，C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．B、y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)≠0．C、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0．D、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0．标准答案：B知识点解析：根据题目的要求，y1(x)与y2(x)应该线性无关，即≠λ(常数)．反之，若这个比值为常数，即y1(x)=λy2(x)，那么y1’(x)=λy2’(x)，利用线性代数的知识，就有y1(x)y2’(x)－y2(x)y1’(x)=0．所以，B成立时，y1(x)，y2(x)一定线性无关，应选B．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)3、已知(x－1)y"－xy’+y=0的一个解是y1=x，又知y=ex－(x2+x+1)，y*=－x2－1均是(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的解，则此方程的通解是y=________．标准答案：C1x+C2ex－x2－1知识点解析：由非齐次方程(x－1)y"－xy’+y=(x－1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解－y*=ex－x，事实上y2=(ex－x)+x=ex也是该齐次方程的解，又ex与x线性无关，因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex－x2－1，其中C1，C2为任意常数．4、微分方程y"+6y’+9y=0的通解y=________．标准答案：(C1+C2)e－3x知识点解析：特征方程λ2+6λ+9=0，即(λ+3)2=0．通解为y=(C1+C2)e－3x，其中C1，C2为任意常数．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)5、求解下列方程：(Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解；(Ⅱ)求yy"=2(y’2－y’)满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解．标准答案：(Ⅰ)此方程不显含y．令p=y’，则原方程化为xp’=plnp．当p≠1时，可改写为，其通解为ln｜lnp｜=ln｜x｜+C’，即lnp=C1x，即y’=这样，原方程的通解即为y=+C2，其中C1≠0，C2为任意常数．当p=1时，也可以得到一族解y=x+C3．(Ⅱ)此方程不显含x．令p=y’，且以y为自变量，，原方程可化为=2(p2－p)．当p≠0时，可改写为=2(p－1)或，解为p－1=C1y2．再利用p=y’，以及初始条件，可推出常数C1=1．从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2=>其通解为y=tan(x+C2)．再一次利用初始条件y(0)=1，即得C2=．所以满足初始条件的特解为y=tan(x+)．知识点解析：暂无解析6、设f(x)连续，且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx，求f(x)．标准答案：令tx=s，原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0)，即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx．①(x=0时两端自然成立，不必另加条件．)将②直接积分得f(x)==－xsinx+cosx+C．知识点解析：暂无解析7、求下列方程的通解：(Ⅰ)y"－3y’=2－6x；(Ⅱ)y"+y=cosxcos2x．标准答案：(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解，由于其特征方程为λ2－3λ=λ(λ－3)=0，所以通解为=C1+C2e3x．再求非齐次方程的特解，由于其自由项为一次多项式，而且0是特征方程的单根，所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B)，代入原方程，得[y*(x)]"－3[y*(x)]’=2A－3(2Ax+B)=－6Ax+2A－3B=2－6x．比较方程两端的系数，得解得A=1，B=0，即特解为y*(x)=x2．从而，原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x，其中C1，C2为任意常数．(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x)，根据线性微分方程的叠加原理，可以分别求出y"+y=的特解y1*(x)与y2*(x)，相加就是原方程的特解．由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0，特征根为±i，所以其通解应为C1cosx+C2sinx；同时y"+y=cosx的特解应具形式：y1*(x)=Axcosx+Bxsinx，代入原方程，可求得A=0，B=．即y1*(x)=另外，由于3i不是特征根，所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x，代入原方程，可得C=，D=0．这样，即得所解方程的通解为y(x)=+C1cosx+C2sinx，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析8、设曲线L位于Oxy平面的第一象限内，过L上任意一点M处的切线与y轴总相交，把交点记作A，则总有长度，若L过点，求L的方程．标准答案：设L的方程为y=y(x)，过点M(x，y(x))的切线与y轴的交点为A(0，y(x)－xy’(x))，又=x2+[y(x)－(y(x)－xy’(x))]2=x2+x2y’2，=(y－xy’)2，按题意得x2+x2y’2=(y－xy’)2，即2xyy’－y2=－x2．积分得ln(1+u2)=－lnx+C1，1+u2=代入u=得y2+x2=Cx．由初始条件，得C=3．因此L的方程为y2+x2=3x．知识点解析：暂无解析9、设热水瓶内热水温度为T，室内温度为T0，t为时间(以小时为单位)．根据牛顿冷却定律知：热水温度下降的速率与T－T0成正比．又设T0=20％，当t=0时，T=100℃，并知24小时后水瓶内温度为50℃，问几小时后瓶内温度为95℃?标准答案：温度变化的速率即，牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件，写出来它就是温度T所满足的微分方程：=－k(T－T0)，其中k为比例常数，且k＞0．其通解为T=T0+Ce－kt．再由题设：T0=20，T(0)=100，T(24)=50，所以这样，温度T=20+80．若T=95,则t==1．58,即在1．58小时后热水的温度降为95℃．知识点解析：暂无解析10、要设计一形状为旋转体水泥桥墩，桥墩高为h，上底面直径为2a，要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p．设水泥的比重为ρ，试求桥墩的形状．标准答案：首先建立坐标系，如图6．3所示，x轴为桥墩中心轴，y轴为水平轴．设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x)．其次列出y(x)满足的方程．由于顶面的压强也为p，则顶面承受的压力为F=pπa2．考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力，它应等于压强×截面积=pπy2(x)，另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhρπy2(s)ds．于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds．再将积分方程转化为微分方程的初值问题．将上述方程两边对x求导得2pπyy’=－ρπy2．又在(*)式中令x=h得y(h)=a，于是得到最后求解初值问题．这是一阶线性齐次方程的初值问题，易求得y=知识点解析：暂无解析11、求下列方程的通解：(Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y；(Ⅱ)xy’=+y．标准答案：(Ⅰ)属于变量可分离的方程．分离变量改写为=(sinlnx+coslnx+a)dx．两端求积分，由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)－=xsin(lnx)－∫cos(lnx)dx，所以通解为ln｜y｜=xsin(lnx)+ax+C1，或y=cexsin(lnx)+ax，其中C为任意常数．(Ⅱ)属齐次方程．令y=xu，并且当x＞0时，原方程可化为两端求积分，则得arcsinu=lnx+C，即其通解为=lnx+C，其中C为任意常数．当x＜0时，上面的方程变为，其通解应为=－ln｜x｜+C，其中C为任意常数．所得通解公式也可统一为y=｜x｜sin(ln｜x｜+C)．此处还需注意，在上面作除法过程中丢掉了两个特解a=±1，即y=±x．知识点解析：暂无解析12、求解二阶微分方程的初值问题标准答案：此方程不显含x，令p=y’，并以y为自变量，则y"=，并且方程变为其解为1+p2=Cy2．代入初始条件，可知C=1，即p2=y’2=y2－1，从而±dx．这是一个变量可分离的方程，两端求积分(ln(y+)=±x+c)，并代入初始条件，则无论右端取正号，还是取负号，其结果均为知识点解析：暂无解析13、求微分方程xy"－y’=x2的通解。标准答案：将原方程看作不显含y的二阶方程，则属于可降阶的范围．令p=y’，p’=y"，代入原方程，则化为p的一阶线性非齐次方程xp’－p=x2，即p’－=x．而，于是两边同乘=1．因此y’=p=Cx+x2．再积分一次，即得原方程的通解为y=x3+C1x2+C2，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析14、利用代换u=ycosx将微分方程y"cosx－2y’sinx+3ycosx=ex化简，并求出原方程的通解．标准答案：令ycosx=u，则y=usecx，从而y’=u’secx+usecxtanx．y"=u"secx+2u’secxtanx+usecxtan2x+usec2x．代入原方程，则得u"+4u=ex．这是一个二阶常系数线性非齐次方程，其通解为u=+C1cos2x+C2sin2x．代回到原未知函数，则有y=+2C2sinx，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析15、当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量，函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α，且y(0)=π，求y(1)的值．标准答案：首先尝试从△y的表达式直接求y(1)．为此，设x0=0，△x=1，于是△y=y(x0+△x)－y(x0)=y(1)－y(0)=y(1)－π，代入△y的表达式即得y(1)－π=π+α<=>y(1)=2π+α．由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小，而不知道α的具体表达式，因而从上式无法求出y(1)．由此可见，为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α．利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知，函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程，它满足初始条件y｜x=0=π的特解正是本题中的函数y(x)，解出y(x)即可得到y(1)．将方程dy=分离变量，得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定，从而y(1)=知识点解析：暂无解析16、设f(x)是以ω为周期的连续函数，证明：一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解，并求此特解，其中k≠0为常数．标准答案：此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e－kx[C+∫0xf(t)ektdt].y(x)以ω为周期，即y(x)=y(x+ω)，亦即对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数，而且这样的常数只有一个，所以周期解也只有一个．知识点解析：暂无解析17、求下列方程的通解或特解：标准答案：(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2－4=0，特征根λ=±2．零不是特征根，方程有特解y*=ax2+bx+c，代入方程得2a－4(ax2+bx+c)=4x2．=>－4a=4，b=0，2a－4c=0=>a=－1，c==>y*=－x2－=>通解为y=C1e2x+C2e－2x－x2－．(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0，特征根λ1=－1，λ2=－2．由于非齐次项是e－xcosx，－1±i不是特征根，所以设非齐次方程有特解y*=e－x(acosx+bsinx)．代入原方程比较等式两端e－xcosx与e－xsinx的系数，可确定出，所以非齐次方程的通解为y=C1e－x+C2e－2x+e－x(sinx－cosx)，其中C1，C2为任意常数．知识点解析：暂无解析18、设y=y(x)在[0，+∞)内可导，且在x＞0处的增量△y=y(x+△x)－y(x)满足△y(1+△y)=+α，其中当△x→0时α是△x的等价无穷小，又y(0)=2，求y(x)．标准答案：由题设等式可得从而y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解：方程两边乘，两边积分得=C+ln(4+x)<=>y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x)．令x=0，y=2可确定常数C=－2ln2，故知识点解析：暂无解析19、设有微分方程y’－2y=φ(x)，其中φ(x)=，试求：在(－∞，+∞)内的连续函数y=y(x)，使之在(－∞，1)和(1，+∞)内都满足所给方程，且满足条件y(0)=0．标准答案：这是一个一阶线性非齐次微分方程，由于其自由项为分段函数，所以应分段求解，并且为保持其连续性，还应将其粘合在一起．当x＜1时，方程y’－2y=2的两边同乘e－2x得(ye－2x)’=2e－2x，积分得通解y=C1e2x－1；而当x＞1时，方程y’－2y=0的通解为y=C2e2x．为保持其在x=1处的连续性，应使C1e2－1=C2e2，即C2=C1－e－2，这说明方程的通解为再根据初始条件，即得C1=1，即所求特解为y=知识点解析：暂无解析20、已知y1*=xex+e2x，y2*=xex+e－x)，y3*=xex+e2x－e－x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解．试求其通解及该微分方程．标准答案：易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解y1*－y3*=e－x，y2*－y3*=2e－x－e2x进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1=e－x，y2=2(y1*－y3*)－(y2*－y3*)=e2x，它们是线性无关的．为简单起见，我们又可得该非齐次方程的另一个特解y4*=y1*－y2=xex．因此该非齐次方程的通解是y=C1e－x+C2e2x+xex，其中C1，C2为任意常数．由通解结构易知，该非齐次方程是：二阶线性常系数方程y"+py’+qy=f(x)．它的相应特征根是λ1=－1，λ2=2，于是特征方程是(λ+1)(λ－2)=0，即λ2－λ－2=0．因此方程为y"－y’－2y=f(x)．再将特解y4*=xex代入得(x+2)ex－(x+1)ex－2xex=f(x)，即f(x)=(1－2x)ex因此方程为y"－y’－2y=(1－2x)ex．知识点解析：暂无解析21、设p(x)在(a，b)连续，∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数，C为任意常数，证明：y=Ce－∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解．标准答案：因为对任意常数C，y=Ce－∫p(x)dx是原方程的解，又设y是原方程的任意一个解，则[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx(x)dx[y’+p(x)y]=0，即存在常数C，使得ye∫p(x)dx=C，即y=Ce－∫p(x)dx．知识点解析：暂无解析22、在[0，+∞)上给定曲线y=y(x)＞0，y(0)=2，y(x)有连续导数．已知x＞0，[0，x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积．求曲线y=y(x)的方程．标准答案：(Ⅰ)列方程，定初值．在[0，x]上侧面积与体积分别为．按题意①y(0)=2．②(Ⅱ)转化．将①式两边求导得2y(x)=y2(x)(在①中令x=0，得0=0，不必另附加条件)．化简得知识点解析：暂无解析23、设曲线y=y(x)上点(x，y)处的切线垂直于此点与原点的连线，求曲线y=y(x)的方程．标准答案：(Ⅰ)列方程．曲线y=y(x)在点(x，y)处的切线斜率为，与原点连线的斜率为(Ⅱ)解方程．将方程改写为ydy+xdx=0，即d(x2+y2)=0．于是通解为x2+y2=C(C＞0为常数)．知识点解析：暂无解析24、设有一弹性轻绳(即重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?标准答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正．s=?时，v(速度)=0．(Ⅰ)受力分析．弹性恢复力f=ks，由条件知g==>k=24g=>f=24gs，g为重力加速度．重力mg=3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度a=(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得=3g－24gs．初始条件：t=0时s(0)=0，=0=>v(s)｜s=0=0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv=(g－8gs)ds=gs－4gs2+c．由v(0)=0=>c=0=>=gs－4gs2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v=0．解gs－4gs2=0得s=0，s=．因此，s=为所求．知识点解析：暂无解析考研数学二（常微分方程）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、微分方程y〞－4y＝e2χ＋χ的特解形式为()．A、ae2χ＋bχ＋cB、aχ2e2χ＋bχ＋cC、aχe2χ＋bχ2＋cχD、aχe2χ＋bχ＋c标准答案：D知识点解析：y〞－4y＝0的特征方程为λ2＝4＝0，特征值为λ1＝－2，λ2＝2．y〞－4y＝e2χ的特解形式为y1＝aχe2χ，y〞－4y＝χ的特解形式为y2＝bχ＋c，故原方程特解形式为aχe2χ＋bχ＋c，选D．2、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1＝eχ，y2＝2χeχ，y3＝3e-χ，则该微分方程为()．A、y″′－y〞－y′＋y＝0B、y″′＋y〞－y′－y＝0C、y″′＋2y〞－y′－2y＝0D、y″′－2y〞－y′＋2y＝0标准答案：A知识点解析：由y1＝eχ，y2＝2χe－χ，y3＝3e－χ为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝－1，其特征方程为(λ－1)2(χ＋1)＝0，即λ3－λ2－λ＋1＝0，所求的微分方程为y″′－y＋y＝0，选A．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、微分方程y′＋ytanχ＝cosχ的通解为_______．标准答案：y＝(χ＋C)cosχ知识点解析：暂无解析4、设f(χ)在[0，＋∞)上非负连续，且f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，则f(χ)＝_______．标准答案：2χ知识点解析：∫0χf(χt)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χ(u)du，令F(χ)＝∫0χf(u)du，由f(χ)∫0χf(χ－t)dt＝2χ3，得f(χ)∫0χf(u)du＝2χ3，即＝2χ3，则F2(χ)＝χ4＋C0．因为F(0)＝0，所以C0＝0，又由F(χ)≥0，得F(χ)＝χ2，故f(χ)＝2χ．5、连续函数f(χ)满足f(χ)＝3∫0χf(χ－t)dt＋2，则f(χ)＝_______．标准答案：2e3χ知识点解析：由∫0χf(χ－t)dt∫χ0f(u)(－du)＝∫0χf(u)du得f(χ)＝3∫0χf(u)du＋2，两边对χ求导得f′(χ)－3f(χ)＝0，解得f(χ)＝Ce-∫-3dχ＝Ce3χ，取χ＝0得f(0)＝2，则C＝2，故f(χ)＝2e3χ．6、设y＝y(χ)可导，y(0)＝2，令△y＝y(χ＋△χ)－y(χ)，且△y＝△χ＋α，其中α是当△χ→0时的无穷小量，则y(χ)＝_______．标准答案：2知识点解析：暂无解析7、的通解为_______．标准答案：χ＝知识点解析：由得－2χ＝y2，则8、微分方程χy′－y[ln(χy)－1]＝0的通解为_______．标准答案：ln(χy)＝Cχ知识点解析：令χy＝u，y＋χy′＝，代入原方程得＝0，分离变量得，积分得lnlnu＝lnχ＋lnC，即lnu＝Cχ，原方程的通解为ln(χy)＝Cχ．9、微分方程y2dχ＋(χ2－χy)dy＝0的通解为_______．标准答案：y＝C知识点解析：令＝u＋χ，则，代入原方程得，两边积分得u－lnu－lnχ－lnC＝0，解得y＝C．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、求微分方程＝1＋χ＋y＋χy的通解．标准答案：由＝1＋χ＋y＋χy得＝(1＋χ)(1＋y)，分离变量得＝(1＋χ)dχ，两边积分得ln｜1＋y｜＝χ＋＋C．知识点解析：暂无解析11、求微分方程χy′＝yln的通解．标准答案：χy′＝yln可写为，令u＝，原方程化为u＋χ＝ulnu，变量分离得，积分得ln(lnu－1)＝lnχ＋lnC，即lnu－1＝Cχ，或u＝eCχ＋1，故原方程的通解为y＝χeCχ＋1．知识点解析：暂无解析12、求微分方程χy〞＋2y′＝eχ的通解．标准答案：令y′＝p，则原方程化为知识点解析：暂无解析13、设χ＞0时，f(χ)可导，且满足：f(χ)＝1＋f(t)dt，求f(χ)．标准答案：由f(χ)＝1＋f(t)dt得χf(χ)＝χ＋∫1χf(t)dt，两边对χ求导得f(χ)＋χf′(χ)＝1＋f(χ)，解得f′(χ)＝，f(χ)＝lnχ＋C，因为F(1)＝1，所以C＝1，故f(χ)＝lnχ＋1．知识点解析：暂无解析14、求微分方程(y＋)dχ－χdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．标准答案：由(y＋)dχ－χdy＝0，得．令u＝，则原方程化为，积分得ln(u＋)＝lnχ＋lnC，即＝Cχ，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由即满足初始条件的特解为y＝．知识点解析：暂无解析15、求微分方程(y－χ3)dχ－2χdy＝0的通解．标准答案：由(y－χ2)dχ－2χdy＝0，得即原方程的通解为y＝(其中C为任意常数)．知识点解析：暂无解析16、求微分方程y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0的通解．标准答案：由y2dχ＋(2χy＋y2)dy＝0得令u＝，则，解得u2(u＋3)＝，所以原方程的通解为y2(y＋3χ)＝C．知识点解析：暂无解析17、求微分方程cosy－cosχsin2y＝siny的通解．标准答案：由cosy－cosχsin2y＝siny得－cosχsin2y＝siny，令u＝siny，则－u＝cosχ.u2，令u-1＝z，则z＝－cosχ，解得z＝[－cosχ)e∫dχdχ＋C]e－∫dχ＝[－∫eχcosχdχ＋C]－χ＝[－eχ(sinχ＋cosχ＋C]e－χ＝Ce－χ－(sinχ＋cosχ)则知识点解析：暂无解析18、求微分方程χy＝χ2＋y2满足初始条件y(e)＝2e的特解．标准答案：由χy＝χ2＋y2，得，令＋u，得，解得u2＝lnχ2＋C，由y(e)＝2e，得C＝2，所求的特解为y2＝χ2lnχ2＋2χ2．知识点解析：暂无解析19、求微分方程χ2y′