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文档简介
考研数学二(常微分方程)模拟试卷1(共9套)(共234题)考研数学二(常微分方程)模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题,每题1.0分,共4分。)1、设曲线y=y(x)满足xdy+(x一2y)dx=0,且y=y(x)与直线x=1及x轴所围的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积最小,则y(x)=()A、
B、
C、
D、
标准答案:C知识点解析:原方程可化为=一1,其通解为V==x+Cx2。曲线y=C+Cx2与直线x=1及x轴所围区域绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为V(C)=π∫01(x+Cx2)2dx=。故C=是唯一的极值点,则为最小值点,所以y=x一x2。2、设线性无关的函数y1,y2,y3都是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)的解,C1,C2是任意常数,则该非齐次方程的通解是()A、C1y1+C2y2+y3。B、C1y1+C2y2一(C1+C2)y3。C、C1y1+C2y2一(1一C1—C2)y3。D、C1y1+C2y2+(1一C1—C2)y3。标准答案:D知识点解析:因为y1,y2,y3是二阶非齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=f(x)线性无关的解,所以(y1一y3),(y2一y3)都是齐次线性方程y’’+p(x)y’+q(x)y=0的解,且(y1一y3)与(y2一y3)线性无关,因此该齐次线性方程的通解为y=C1(y1一y3)+C2(y2一y3)。比较四个选项,且由线性微分方程解的结构性质可知,故本题的答案为D。3、在下列微分方程中,以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3为任意常数)为通解的是()A、y’’’+y’’一4y’一4y=0。B、y’’’+y’’+4y’+4y=0。C、y’’’一y’’一4y’+4y=0。D、y’’’一y’’+4y’一4y=0。标准答案:D知识点解析:已知题设的微分方程的通解中含有ex、cos2x、sin2x,可知齐次线性方程所对应的特征方程的特征根为λ=1,λ=±2i,所以特征方程为(λ一1)(λ一2i)(λ+2i)=0,即λ3一λ2+4λ一4=0。因此根据微分方程和对应特征方程的关系,可知所求微分方程为y’’’一y’’+4y’一4y=0。4、方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解形式为()A、y=axex+b+Aexcos2x。B、y=aex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。C、y=axex+b+xex(Acos2x+Bsin2x)。D、y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x)。标准答案:D知识点解析:齐次微分方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0,特征根为λ1=1,λ2=2,则方程y’’一3y’+2y=ex+1+excos2x的特解为y=axex+b+ex(Acos2x+Bsin2x),故选D。二、填空题(本题共9题,每题1.0分,共9分。)5、微分方程y’=的通解是_________。标准答案:y=Cxe-x(x≠0)知识点解析:原方程等价为两边积分得ln|y|=ln|x|-x+C。取C=eC1,整理得y=Cxe-x(x≠0)。6、微分方程xy’+y=0满足初始条件y(1)=2的特解为_________。标准答案:y=知识点解析:原方程可化为(xy)’=0,积分得xy=C,代入初始条件得C=2,故所求特解为xy=2,即y=。7、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=_________。标准答案:(x+C)cosx知识点解析:直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知y=e-∫tanxdx[∫cosx.e∫tanxdxdx+C]=(x+C)cosx。8、微分方程y’+y=e-xcosx满足条件y(0)=0的特解为_________。标准答案:y=e-xsinx知识点解析:原方程的通解为y=e-∫1dx(∫e-xcosx.e∫1dxdx+C)=e-x(∫cosxdx+C)=e-x(sinx+C)。由y(0)=0得C=0,故所求解为y=e-xsinx。9、微分方程(y+x3)dx一2xdy=0满足y|x=1=的特解为_________。标准答案:y=x3知识点解析:公式法。原方程变形为,由一阶线性微分方程通解公式得10、已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=一xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程的通解为y=_________。标准答案:y=C1e3x+C2ex一xe2x知识点解析:显然y1一y3=e3x和y2一y3=ex是对应的二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的解,且y*=一xe2x是非齐次微分方程的一个特解。由解的结构定理,该方程的通解为y=C1e3x+C2ex一xe2x。11、微分方程y’’一y’+y=0的通解为_________。标准答案:y=(C1+C2x)知识点解析:二阶齐次微分方程的特征方程为λ2一λ+=0,解方程得λ1=λ2=。因此齐次方程的通解为y=(C1+C2x)。12、微分方程y’’一2y’+2y=ex的通解为__________。标准答案:y=C1excosx+C2exsinx+ex知识点解析:对应的特征方程为λ2一2λ+2=0,解得其特征根为λ1,2=1±i。由于α=1不是特征根,可设原方程的特解为y*=Aex,代入原方程解得A=1。因此所求的通解为y=C1excosx+C2exsinx+ex。13、若二阶常系数齐次线性微分方程y’’+by’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex,则非齐次方程y’’+ay’+by=x满足条件y(0)=2,y’(0)=0的特解为y=_________。标准答案:x(1一ex)+2知识点解析:由常系数齐次线性微分方程y’’+ay’+by=0的通解为y=(C1+C2x)ex可知y1=ex,y2=xex为其两个线性无关的解,代入齐次方程,有y1’’+ay1’+by1=(1+a+b)ex=01+a+b=0,y2’’+ay2’+by2=[2+a+(1+a+b)x]ex=02+a=0,从而a=一2,b=1,故非齐次微分方程为y’’+ay’+by=x。设特解y*=Ax+B,代入非齐次微分方程,得一2A+Ax+B=x,即所以特解为y*=x+2,非齐次方程的通解为y=(C1+C2x)ex+x+2。把y(0)=2,y’(0)=0代入通解,得C1=0,C2=一1。故所求特解为y=一xex+x+2=x(1一ex)+2。三、解答题(本题共11题,每题1.0分,共11分。)14、求微分方程y’’一3y’+2y=2xex的通解。标准答案:齐次方程y’’一3y’+2y=0的特征方程为λ2一3λ+2=0,由此得λ1=2,λ2=1。即对应齐次方程的通解为y=C1e2x+C2ex。设非齐次方程的特解为y*=(ax+b)xex,则有(y*)’=[ax2+(2a+b)x+b]ex。(y*)’’=[ax2+(4a+b)x+2a+2b]ex,代入原方程得a=一1,b=一2,因此所求解为y=C1e2x+C2ex一x(x+2)ex。知识点解析:暂无解析15、设f(t)连续并满足f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds,求f(t)。标准答案:因f(t)连续,因此∫0tf(s)sinsds可导,从而f(t)可导,于是f(t)=cos2t+∫0tf(s)sinsds,利用公式f(t)=e∫sintdt[∫-2sin2t.e∫sintdtdt+C],由f(0)=1得C=e。因此,f(t)=e1-cost+4(cost一1)。知识点解析:暂无解析设函数y=y(x)在(一∞,+∞)内具有二阶导数,且y'≠0,x=x(y)是y=y(x)的反函数。16、试将x=x(y)所满足的微分方程=0变换为y=y(x)满足的微分方程;标准答案:由反函数的求导公式知,于是有代入原微分方程得y’’一y=sinx。(*)知识点解析:暂无解析17、求变换后的微分方程满足初始条件y(0)=0,y’(0)=的特解。标准答案:方程(*)所对应的齐次方程y’’一y=0的通解为Y=C1ex+C2e-x。设方程(*)的特解为y*=Acosx+Bsinx,代入方程(*),求得A=0,sinx,因此y’’一y=sinx的通解是y=Y+y*=C1ex+C2e-x一sinx。由y(0)=0,y’(0)=,得C1=1,C2=一1。故所求初值问题的特解为y=ex—e-x一sinx。知识点解析:暂无解析18、设f(μ,ν)具有连续偏导数,且fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν,求y(x)=e-2xf(x,x)所满足的一阶微分方程,并求其通解。标准答案:由y(x)=e-2xf(x,x),有y’(x)=一2e-2xf(x,x)+e-2x[f1’(x,x)+f2’(x,x)],由fμ’(μ,ν)+fν’(μ,ν)=sin(μ+ν)eμ+ν可得f1’(x,x)+f2’(x,x)=(sin2x)e2x。于是y(x)满足一阶线性微分方程y’(x)+2y(x)=sin2x,通解为y(x)=e-2x[∫sin2x.e2xdx+C],由分部积分公式,可得∫sin2x.e2xdx=(sin2x—cos2x)e2x,所以y(x)=(sin2x—cos2x)+Ce-2x。知识点解析:暂无解析19、设位于第一象限的曲线y=f(x)过点,其上任一点P(x,y)处的法线与y轴的交点为Q,且线段PQ被x轴平分。求曲线y=f(x)的方程。标准答案:曲线y=f(x)在点P(x,y)处的法线方程为Y一y=(X一x),令X=0,则它与y轴的交点为(0,y+)。由题意,此点与点P(x,y)所连的线段被x轴平分,由中点公式得=0,即2ydy+xdx=0,上式两端积分得+y2=C(C为任意常数),代入初始条件,故曲线y=f(x)的方程为,即x2+2y2=1。知识点解析:暂无解析20、设函数y(x)(x≥0)二阶可导,且y’(x)>0,y(0)=1。过曲线y=y(x)上任意一点P(x,y)作该曲线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2,并设2S1一S2恒为1,求曲线y=y(x)的方程。标准答案:设曲线y=y(x)上的点P(x,y)处的切线方程为Y—y=y’(X—x),它与x轴的交点为(x一,0)。由于y’(x)>0,y(0)=1,因此y(x)>1(x>0)。于是S1=。又可得s2=∫0xy(t)dt。根据题设2S1一S2=1,有一∫0xy(t)dt=1。并且y’(0)=1,两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2,这是可降阶的二阶常微分方程,令p(y)=y’,则上述方程可化=p2,分离变量得从而有y=C2eC1x。根据y’(0)=1,y(0)=1,可得C1=1,C2=1。故所求曲线的方程为y=ex。知识点解析:暂无解析21、如图1—5—1,C1和C2分别是y=(1+ex)和y=ex的图象,过点(0,1)的曲线C3是一单调增函数的图象。过C2上任一点M(x,y)分别作垂直于x轴和y轴的直线lx和ly。记C1,C2与lx所围图形的面积为S1(x);C2,C3与ly所围图形的面积为S2(y)。如果总有S1(x)=S2(y),求曲线C3的方程x=φ(y)。标准答案:由已知条件S1(x)=∫0x[et一(1+et)]dt=(et—t)|0x=(ex一x一1),S2(y)=∫1y(lnt一φ(t)dt,故有(ex一x一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt,而y=ex,于是(y一lny一1)=∫1y(lnt一φ(t))dt,两边对y求导得=lny一φ(y),故所求的函数关系为x=φ(y)=lny—。知识点解析:暂无解析有一平底容器,其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面,容器的底面圆的半径为2m。根据设计要求,当以3m3/min的速率向容器内注入液体时,液面的面积将以πm2/min的速率均匀扩大(假设注入液体前,容器内无液体)。22、根据t时刻液面的面积,写出t与φ(y)之间的关系式;标准答案:设在t时刻,液面的高度为y,此时液面的面积为A(t)=πφ2(y),由题设,液面的面积将πm2/min的速率均匀扩大,可得所以φ2(y)=t+C。由题意,当t=0时φ(y)=2,代入得C=4,于是得φ2(y)=t+4。从而t=φ2(y)一4。知识点解析:暂无解析23、求曲线x=φ(y)的方程。标准答案:液面的高度为Y时,液体的体积为V(t)=π∫0yφ2(μ)dμ,由题设,以3m3/min的速率向容器内注入液体,得[π∫0yφ2(μ)dμ]=3,所以π∫0yφ2(μ)dμ=3t=3φ2(y)一12,上式两边对y求导,得πφ2(y)=6φ(y)φ’(y),即φ(y),解此微分方程,得φ(y)=,其中C为任意常数。由φ(0)=2知C=2,故所求曲线方程为x=。知识点解析:暂无解析24、从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度y(从海平面算起)与下沉速度ν之间的函数关系。设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用。设仪器的质量为m,体积为B,海水比重为ρ,仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为k(k>0)。试建立y与ν所满足的微分方程,并求出函数关系式y=y(ν)。标准答案:选取沉放点为原点O,Oy轴正向取铅直向下,则根据牛顿第二定律得=mg一Bρ一kν,这是一个可降阶的二阶微分方程,其中ν=。知识点解析:暂无解析考研数学二(常微分方程)模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题,每题1.0分,共5分。)1、微分方程xdy+2ydx=0满足初始条件y|x=2=1的特解为()A、xy2=4。B、xy=4。C、x2y=4。D、一xy=4。标准答案:C知识点解析:原微分方程分离变量得,两端积分得ln|y|=一2ln|x|+lnC,x2y=C,将y|x=2=1代入得C=4,故所求特解为x2y=4。应选C。2、设y1,y2是一阶线性非齐次微分方程y’+p(x)y=q(x)的两个特解,若常数λ,μ使λy1+μλ2是该方程的解,λy1一μy2是该方程对应的齐次方程的解,则()A、
B、
C、
D、
标准答案:A知识点解析:由已知条件可得由λy1+μy2仍是该方程的解,得(λy1’+μxy2’)+p(x)(λy1+μy2)=(λ+μ)q(x),则λ+μ=1;由λy1一μy2是所对应齐次方程的解,得(λy1’一μy2’)+p(x)(λy1一μy2)=(λ一μ)q(x),那么λ一μ=0。综上所述λ=μ=。3、具有特解y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’’’一y’’一y’+y=0。B、y’’’+y’’一y’一y=0。C、y’’’一6y’’+11y’一6y=0。D、y’’’一2y’’一y’+2y=0。标准答案:B知识点解析:由y1=e-x,y2=2xe-x,y3=3ex是所求方程的三个特解知,λ=一1,一1,1为所求三阶常系数齐次微分方程的特征方程的三个根,则其特征方程为(λ一1)(λ+1)2=0,即λ3+λ2一λ—1=0,对应的微分方程为y’’’+y’’一y’一y=0,故选B。4、若y=xex+x是微分方程y’’一2y’+ay=bx+C的解,则()A、a=1,b=1,c=1。B、a=1,b=1,c=一2。C、a=一3,b=一3,c=0。D、a=一3,b=1,c=1。标准答案:B知识点解析:由于y=xex+x是方程y’’一2y’+ay=bx+c的解,则xex是对应的齐次方程的解,其特征方程有二重根λ1=λ2=1,则a=1。x为非齐次方程的解,将y=x代入方程y’’一2y’+y=bx+c,得b=1,c=一2,故选B。5、微分方程y’’一λ2y=eλx+e-λx(λ>0)的特解形式为()A、a(eλx+e-λx)。B、ax(eλx+e-λx)。C、x(axλx+be-λx)。D、x2(aeλx+be-λx)。标准答案:C知识点解析:原方程对应的齐次方程的特征方程为r2一λ2=0,其特征根为r1,2=±λ,所以y’’一λ2y=eλx的特解为y1*=axeλx,y’’一λ2y=eλ2x的特解为y2*=bxe-λx,根据叠加原理可知原方程的特解形式为y*=y1*+y2*=x(aeλx+be-λx),因此选C。二、填空题(本题共8题,每题1.0分,共8分。)6、微分方程y’=1+x+y2+xy2的通解为_________。标准答案:y=tan[(1+x)2+C]知识点解析:将已知微分方程变形整理得,=(1+x)(1+y2),则=(1+x)dx,两边积分可得,arctany=(1+x)2+C,因此y=tan[(1+x)2+C]。7、微分方程满足初始条件y(1)=1的特解是y=_________。标准答案:xe1-x知识点解析:此方程为一阶齐次微分方程,令y=μx,则有,所以原方程可化为μ+=μlnμ,μx=1=1。解此微分方程得ln|lnμ-1|=ln|C1x|,去绝对值可得lnμ=C1x+1,μ=eC1x+1,将μ|x=1=1代入,得C1=-1,μ=e1-x,因此原方程的解为y=xe1-x。8、微分方程xy’+2y=sinx满足条件y|x=π=的特解为_________。标准答案:y=(sinx-xcosx)知识点解析:将已知方程变形整理得,,根据通解公式得,y==(sinx—xcosx+C),由y|x=π=,得C=0,因此y=(sinx—xcosx)。9、微分方程(y+x2e-x)dx一xdy=0的通解是y=_________。标准答案:x(一e-x+C)知识点解析:微分方程(y+x2e-x)dx—xdy=0,可变形为=xe-x。所以其通解为y==x(一e-x+C)。10、微分方程ydx+(x一3y2)dy=0,x>0满足条件y|x=1=1的特解为_________。标准答案:x=y2知识点解析:对原微分方程变形可得=3y。此方程为一阶线性微分方程,所以x=,又y=1时x=1,解得C=0,因此x=y2。11、微分方程xy’’+3y’=0的通解为_________。标准答案:y=C1+知识点解析:令p=y’,则原方程化为p’+p=0,其通解为p=Cx-3。因此,y=∫Cx-3dx=C1一。12、微分方程y’’一4y=e2x的通解为_________。标准答案:y=C1e-2x+(C2+x)e2x知识点解析:对应齐次微分方程的特征方程为λ2一4=0,解得λ1=2,λ2=一2。故y’’一4y=0的通解为y1=C1e-2x+C2e2x,其中C1,C2为任意常数。由于非齐次项为f(x)=e2x,α=2为特征方程的单根,因此原方程的特解可设为y*=Axe2x,代入原方程可求出A=。故所求通解为y=C1e-2x+(C2+x)e2x。13、微分方程y’’一3y’+2y=2ex满足=1的特解为_________。标准答案:y=一3ex+3e2x一2xex知识点解析:y’’一3y’+2y=2ex对应的齐次方程的特征方程是λ2一3λ+2=0,它的两个特征根分别是λ1=1,λ2=2。因此对应齐次方程的通解为y=C1ex+C2e2x。又因为x=1是特征方程的单根,所以,设非齐次方程的特解为y*=Axex,则(y*)’=Aex+Axex,(y*)’’=2Aex+Axex,将以上三式代入方程得A=一2。因此,此非齐次线性微分方程的通解为y=C1ex+C2e2x一2xex。由所给题设条件可得y(0)=0,y’(0)=1,代入上式解得y=一3ex+3e2x一2xex。三、解答题(本题共11题,每题1.0分,共11分。)14、求微分方程(x2一1)dy+(2xy一cosx)dx=0满足y(0)=1的解。标准答案:整理微分方程(x2一1)dy+(2xy-cosx)dx=0,得,先解对应的齐次方程,解得ln|y|=一|lnx2一1|+C,即有y=。将上式代入原微分方程得到,故C(x)=sinx+c,则原微分方程的解为y=。又因为y(0)=1,代入上式得到c=一1,则原微分方程的解为y=。知识点解析:暂无解析15、求微分方程y’’(x+y’2)=y’满足初始条件y(1)=y’(1)=1的特解。标准答案:因本题不含y,所以可设y’=p,于是y’’=p’,因此原方程变为p’(x+p2)=p,从而有+p,解之得x=p(p+C)。将P(1)=1代入x=p(p+c)得C=0。于是x=p2,所以y’=+C1,结合y(1)=1得C1=。故y=。知识点解析:暂无解析设函数f(x)在[0,+∞)上可导,f(0)=1,且满足等式f'(x)+f(x)一∫0xf(t)dt=0。16、求导数f’(x);标准答案:由题设知(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)一∫0xf(t)dt=0。上式两边对x求导,得(x+1)f’’(x)=一(x+2)f’(x),即有。两边积分,得ln|f’(x)|=一x一ln(x+1)+C1,所以f’(x)=。在题设等式中令x=0,得f’(0)+f(0)=0。又已知f(0)=1,于是f’(0)=一1,代入f’(x)的表达式,得C=一1,故有f’(x)=。知识点解析:暂无解析17、证明:当x≥0时,成立不等式e-x≤f(x)≤1。标准答案:由(I)中结果知,当x≥0时,f’(x)<0,即f(x)单调减少,又f(0)=1,所以f(x)≤f(0)=1。设φ(x)=f(x)一e-x,则φ(0)=0,φ’(x)=f’(x)+e-x=e-x,当x≥0时,φ’(x)≥0,即φ(x)单调增加。因而φ(x)≥φ(0)=0,即有f(x)≥e-x。综上所述,当x≥0时,不等式e-x≤f(x)≤1成立。知识点解析:暂无解析18、利用代换y=将方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解。标准答案:由y==μsecx,得y’=μ’secx+μsecxtanx,y’’=μ’’secx+2μ’secxtanx+μ(secxtan2x+sec3x),代入原方程y’’cosx一2y’sinx+3ycosx=ex,得μ’’+4μ=ex。(*)先求其相应齐次方程的通解。由于其特征方程为λ2+4=0,则特征方程的根为λ=±2i。所以通解为=C1cos2x+C2sin2x(C1,C2为任意常数)。再求非齐次方程的特解。设其特解为μ*(x)=Aex,代入(*)式,得(Aex)’’+4Aex=Aex+4Aex=5Aex=ex,解得ex。故(*)的通解为μ(x)=C1cos2x+C2sin2x+ex(C1,C2为任意常数)。所以,原微分方程的通解为y=。知识点解析:暂无解析19、设y=y(x)是区间(一π,π)内过的光滑曲线,当一π<x<0时,曲线上任一点处的法线都过原点,当0≤x<π时,函数y(x)满足y’’+y+x=0。求函数y(x)的表达式。标准答案:由题意,当一π<x<0时,法线均过原点,所以有y=,即ydy=一xdx,得y2=一x2+C。又,代入y2=一x2+C得C=π2,从而有x2+y2=π2,即y=。当0≤x<π时,y’’+y+x=0,得其对应齐次微分方程y’’+y=0的通解为y*=C1cosx+C2sinx。设其特解为y1=Ax+B,则有0+Ax+B+x=0,得A=一1,B=0,故y1=一x是方程的特解,因此y’’+y+x=0的通解为y=C1cosx+C2sinx一x。因为y=y(x)是(一π,π)内的光滑曲线,故y在x=0处连续且可导,所以由已知得y|x=0=π,y|x=0=0,故得C1=π,C2=1,所以知识点解析:暂无解析设L是一条平面曲线,其上任意一点P(x,y)(x>0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距,且L经过点(,0)。20、(I)试求曲线L的方程;标准答案:设曲线L过点P(x,y)的切线方程为Y一y=y’(X一x),令X=0,则Y=-xy’+y,即它在y轴上的截距为-xy’+y。根据距离公式,点P(x,y)到坐标原点的距离为。故由题设条件得一xy’+y=(x>0),即得y’=(x>0),此为一阶齐次微分方程,令y=μx,则,代入上式,方程变为知识点解析:暂无解析21、(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线,使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。标准答案:由(I)知曲线的方程为y=一x2,则y’=一2x,点P(x,y)=P(x,一x2),所以在点P处的切线方程为Y一(一x2)=一2x(X一x),分别令X=0,Y=0,解得在y轴,x轴上的截距分别为x2+。此切线与两坐标轴围成的三角形面积为A(x)=(4x2+1)2,x>0。由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值,记为S0,于是题中所求的面积为S(x)=A(x)一S0=(4x2+1)2一S0,求最值点时与S0无关,而S’(x)=,令S’(x)=0,得x=,S’(x)>0。根据极值存在的第一充分条件知,x=是S(x)在x>0时的唯一极小值点,即最小值点,于是所求切线方程为知识点解析:暂无解析22、设y=y(x)是凸的连续曲线,其上任意一点(x,y)处的曲率为,且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,求该曲线的方程,并求函数y=y(x)的极值。标准答案:由题设及曲率公式,有,(因曲线)y=y(x)是凸的,所以y’’<0,|y’’|=一y’’。)化简得=一dx,两端同时积分解得arctany’=一x+C1。由题设,曲线上点(0,1)处的切线方程为y=x+1,可知y(0)=1,y’(0)=1。以x=0代入上式,得C1=。(本题选择是因为已知曲线在X=0处有值,且曲线是一条连续曲线,因此该解的范围应该包含X=0在内并且使y(X)连续的一个区间。)对上式积分得又由题设可知y(0)=1,代入上式,得C2=1一,于是所求的曲线方程为y=。由于cos(一x)≤1,且lnx在定义域内是增函数,所以当且仅当cos(一x)=1时,即x=,所以此时y取极大值,极大值为y=1+ln2,显然y在没有极小值。知识点解析:暂无解析23、假设:①函数y=f(x)(0≤x≤+∞)满足条件f(0)=0和0≤f(x)≤ex一1;②平行于y轴的动直线MN与曲线y=f(x)和y=ex一1分别相交于点P1和P2;③曲线y=f(x),直线MN与x轴所围成的封闭图形的面积S恒等于线段P1P2的长度。求函数y=f(x)的表达式。标准答案:由题设可得∫0xf(x)dx=ex一1一f(x),两端求导,得f(x)=ex一f’(x),即有f’(x)+f(x)=ex。由一阶线性方程求解公式,得f(x)=e-x[∫ex.exdx+C]=Ce-x+ex。由f(0)=0得C=,因此所求函数为f(x)=(ex一e-x)。知识点解析:暂无解析24、设f(x)是区间[0,+∞)上具有连续导数的单调增加函数,且f(0)=1。对任意的t∈[0,+∞),直线x=0,x=t,曲线y=f(x)以及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周得一旋转体。若该旋转体的侧面积在数值上等于其体积的2倍,求函数f(x)的表达式。标准答案:旋转体的体积公式V=π∫0tf2(x)dx,侧面积公式S=2π∫0tf(x),根据已知∫0tf2(x)dx=∫0tf(x),上式两端对t求导得由分离变量法解得y+=Cet。将y(0)=1代入,知C=1,故因此,所求函数为y=f(x)=(ex+e-x)。知识点解析:暂无解析考研数学二(常微分方程)模拟试卷第3套一、选择题(本题共3题,每题1.0分,共3分。)1、设φ1(χ),φ2(χ)为一阶非齐次线性微分方程y′+P(χ)y=Q(χ)的两个线性无关的特解,则该方程的通解为().A、C[φ1(χ)+φ2(χ)]B、C[φ1(χ)-φ2(χ)]C、C[φ1(χ)-φ2(χ)]-φ2(χ)D、[φ1(χ)-φ2(χ)]+Cφ2(χ)标准答案:C知识点解析:因为φ1(χ),φ2(χ)为方程y′+P(χ)y=Q(χ)的两个线性无关解,所以φ1(χ)-φ2(χ)为方程y′+P(χ)y=0的一个解,于是方程y+P(χ)y=Q(χ)的通解为C[φ1(χ)-φ2(χ)]+φ2(χ),选C.2、设y=y(χ)为微分方程2χydχ+(χ2-1)dy=0满足初始条件y(0)=1的解,则y(χ)dχ为().A、-ln3B、ln3C、-ln3D、ln3标准答案:D知识点解析:由2χydχ+(χ2-1)dy=0得=0,积分得ln(χ2-1)+lny=lnC,从而y=,由y(0)=1得C=-1,于是y=,故,因此选D.3、微分方程y〞-y′-6y=(χ+1)e-2χ的特解形式为().A、(aχ+b)e-2χB、aχ2e-2χC、(aχ2+bχ)e-2χD、χ2(aχ+b)e-2χ标准答案:C知识点解析:因为原方程的特征方程的特征值为λ1=-2,λ2=3,而-2为其中一个特征值,所以原方程的特解形式为χ(aχ+b)e-2χ,选C.二、填空题(本题共6题,每题1.0分,共6分。)4、设连续函数f(χ)满足f(χ)=dt+eχ,则f(χ)=_______.标准答案:2e2χ-eχ知识点解析:暂无解析5、微分方程(2χ+3)y〞=4y′的通解为_______.标准答案:y=C1χ3+6C1χ2+9C1χ+C2知识点解析:令y′=p,则,两边积分得lnp=ln(2χ+3)2+lnC1,或y′=C1(2χ+3)3,于是y=C1χ3+6C1χ2+9C1χ+C2.6、yy〞=1+y′2满足初始条件y(0)=1,y′(0)=0的解为_______.标准答案:ln|y+|=±χ知识点解析:令y′=p,则yp=1+p2,即,解得ln(1+p2)=lny2+lnC1,则1+p2=C1Y2,由y(0)=1,y′(0)=0得y′=±,ln|y++C2=±χ,由y(0)=1得C2=0,所以特解为ln|y+|=±χ.7、微分方程y〞+4y=4χ-8的通解为_______.标准答案:y=C1cos2χ+C2sin2χ+χ-2知识点解析:微分方程两个特征值为λ1=-2i,λ2=2i,则微分方程的通解为y=C1cos2χ+C2sin2χ+χ-2.8、设y=y(χ)过原点,在原点处的切线平行于直线y=2χ+1,又y=y(χ)满足微分方程y〞-6y′+9y=e3χ,则y(χ)=_______.标准答案:y(χ)=2χe3χ+χ2e3χ知识点解析:由题意得y(0)=0,y′(0)=2,y〞-6y′+9y=e3χ的特征方程为λ2-6λ+9=0,特征值为λ1=λ2=3,令y〞=6y′+9y=e3χ的特解为y0(χ)=aχ2e3χ代入得以a=,故通解为y=(C1+C2χ)e3χ+χ2e3χ.由y(0)=0,y′(0)=2得C1=0,C2=2,则y(χ)=2χe3χ+χ2e3χ.9、微分方程2y〞=3y2满足初始条件y(-2)-1,y′(-2)=1的特解为_______.标准答案:χ=-知识点解析:暂无解析三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)10、求微分方程y〞-y′+2y=0的通解.标准答案:特征方程为λ2-λ=0,特征值为λ1,2=,则原方程的通解为y=知识点解析:暂无解析11、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2χ,y2=2e-χ-3e2χ为特解,求该微分方程.标准答案:因为y1=e2χ,y2=2e-χ-3e2χ为特解,所以e2χ,e-χ也是该微分方程的特解,故其特征方程的特征值为λ1=-1,λ2=-2,特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0,所求的微分方程为y〞-y′-2y=0.知识点解析:暂无解析12、求微分方程y〞+2y′-3y=(2χ+1)eχ的通解.标准答案:特征方程为λ2+2λ-3=0,特征值为λ1=1,λ2=-3,则y〞+2y′-3y=0的通解为y=C1eχ+C2e-3χ.令原方程的特解为y0=χ(aχ+b)eχ,代入原方程得,所以原方程的通解为y=C1eχ+C2e-3χ+(2χ2+χ)eχ.知识点解析:暂无解析13、求y〞-2y′-e2χ=0满足初始条件y(0)=1,y′(0)=1的特解.标准答案:原方程化为y〞-2y′=e2χ.特征方程为λ2-2λ=0,特征值为λ1=0,λ2=2,y〞-2y′=0的通解为y=C1+C2e2χ.设方程y〞-2y′=e2χ的特解为y0=Aχe2χ代入原方程得A=,原方程的通解为y=C1+C2e2χ+χe2χ.由y(0)=1,y′(0)=1得解得故所求的特解为y=.知识点解析:暂无解析14、求微分方程y〞+4y′+4y=eaχ的通解.标准答案:特征方程为λ2+4λ+4=0,特征值为λ1=λ2=-2,原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2χ)e-2χ.(1)当a≠-2时,因为a不是特征值,所以设原方程的特解为y0(χ)=Aeaχ,代入原方程得A=,则原方程的通解为y=(C1+C2χ)e-2χ+;(2)当a=-2时,因为a=-2为二重特征值,所以设原方程的特解为y0(χ)=Aχ2e-2χ,代入原方程得A=,则原方程的通解为y=(C1+C2χ)e-2χ+χ2e-2χ.知识点解析:暂无解析15、求微分方程y〞+y=χ2+3+cosχ的通解.标准答案:特征方程为λ2+1=0,特征值为λ1=-i,λ2=i,方程y〞+y=0的通解为y=C1cosχ+C2sinχ.对方程y〞+y=χ3+3,特解为y1=χ2+1;对方程y〞+y=cosχ,特解为χsinχ,原方程的特解为χ2+1+χsinχ,则原方程的通解为y=C1cosχ+C2sinχ+χ2+1+χsinχ.知识点解析:暂无解析16、设单位质点在水平面内作直线运动,初速度v|t=0=v0.已知阻力与速度成正比(比例系数为1),问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程.标准答案:设t时刻质点运动的速度为v(t),阻力F=ma=,则有,解此微分方程得v(t)=v0e-t.由v0e-t=得t=ln3,从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为知识点解析:暂无解析17、设f(χ)在[0,+∞)上连续,且f(0)>0,设f(χ)在[0,χ]上的平均值等于f(0)与f(χ)的几何平均数,求f(χ).标准答案:根据题意得,令a=,则有∫0χf(t)dt=两边求导得,知识点解析:暂无解析18、设曲线L位于χOy平面的第一象限内,L上任意一点M处的切线与y轴总相交,交点为A,已知|MA|=|OA|,且L经过点(),求L的方程.标准答案:设点M的坐标为(χ,y),则切线MA:Y-y=y′(X-χ).令X=0,则Y=y-χy′,故A点的坐标为(0,y-χy′).由|MA|-|OA|,得|y-χy′|=即2yy′-y2=-χ,或者=-χ,则y2==χ(-χ+C),因为曲线经过点(),所以C=3,再由曲线经过第一象限得曲线方程为y=(0<χ<3).知识点解析:暂无解析19、在上半平面上求一条上凹曲线,其上任一点P(χ,y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与χ轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与χ轴平行.标准答案:设所求曲线为y=y(χ),该曲线在点P(χ,y)的法线方程为Y-y=-(X-χ)(y′≠0)令Y=0,得X=χ+yy′,该点到χ轴法线段PQ的长度为由题意得,即yy〞=1+y′2.令y′=p,则y〞=,则有=1+p2,或者,两边积分得y=,由y(1)=1,y′(1)=0得C1=1,所以y′=,变量分离得=±dy,两边积分得ln(y+)=±χ+C2,由y(1)=1得C2=,两式相加得y==ch(χ-1).知识点解析:暂无解析20、一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比,比例系数为k>0,设融化过程中形状不变,设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的,求全部融化需要的时间.标准答案:设t时刻雪堆的半径为r,则有=-2kπr2,V(t)=πr3,则于是有r=-kt+C0,由r(0)=r0,r(3)=,得C0=r0,k=,于是r=-t+r0,令r=0得t=6,即6小时雪堆可以全部融化.知识点解析:暂无解析21、设f(χ)在[0,1]上连续且满足f(0)=1,f′(χ)-f(χ)=a(χ-1).y=f(χ),χ=0,χ=1,y=0围成的平面区域绕χ轴旋转一周所得的旋转体体积最小,求f(χ).标准答案:由f′(χ)-f(χ)=a(χ-1)得f(χ)=[a∫(χ-1)e∫-1dχdχ+C]e-∫-dχ=Ceχ-av,由f(0)=1得C=1,故f(χ)=eχ-aχ.V(a)=由V′(a)==0得a=3,因为V〞(a)=>0,所以当a=3时,旋转体的体积最小,故f(χ)=eχ-3χ.知识点解析:暂无解析22、设f(χ)在(-1,+∞)内连续且f(χ)-tf(t)dt=1(χ>-1),求f(χ).标准答案:由f(χ)-tf(t)dt=1得(χ+1)f(χ)-∫0χtf(t)dt=χ+1,两边求导得f(χ)+(χ+1)f′(χ)-χf(χ)=1,由f(0)=1得C=3,故f(χ)=知识点解析:暂无解析23、设f(χ)是连续函数.(1)求初值问题的解,其中a>0;(2)若|f(χ)|≤k,证明:当χ≥0时,有|f(χ)|≤(eaχ-1).标准答案:(1)y′+ay=f(χ)的通解为y=[∫0χf(t)eatdt+C]e-aχ,由y(0)=0得C=0,所以y=e-aχ∫0χf(t)eatdt.(2)当χ≥0时,因为e-aχ≤1,所以|y|≤(eaχ-1).知识点解析:暂无解析24、设有微分方程y′-2y=φ(χ),其中φ(χ)=,在(-∞,+∞)求连续函数y(χ),使其在(-∞,1)及(1,+∞)内都满足所给的方程,且满足条件y(0)=0.标准答案:当χ<1时,y′-2y=2的通解为y=C1e2χ-1,由y(0)=0得C1=1,y=e2χ-1;当χ>1时,y′-2y=0的通解为y=C2e2χ,根据给定的条件,y(1+0)=C2e2=y(1-0)=e2-1,解得C2=1-e-2,y=(1-e-2)e2χ,补充定义y(1)=e2-1,则得在(-∞,+∞)内连续且满足微分方程的函数知识点解析:暂无解析25、利用变换z=arctant将方程cos4χ+cos2χ(2-sin2χ)+y=tanχ化为y关于t的方程,并求原方程的通解.标准答案:代入整理得+y=t.=0的特征方程为λ2+2λ+1=0,特征值为λ1=λ2=-1,则=t的通解为y=(C1+C2t)e-t+t-2,故原方程通解为y=(C1+C2tanχ)e-tanχ+tanχ-2.知识点解析:暂无解析26、设f(χ)为偶函数,且满足f′(χ)+2f(χ)=3∫0χf(t-χ)dt=-3χ+2,求f(χ).标准答案:∫0χf(t-χ)dt=-∫0χ(t-χ)d(χ-t)=-∫χ0f(-u)du=∫0χf(u)du,则有f′(χ)+2f(χ)-3∫0χf(u)du=-3χ+2,因为f(χ)为偶函数,所以f′(χ)是奇函数,于是f′(0)=0,代入上式得f(0)=1.将f′(χ)+2f(χ)-3∫0χf(u)du=-3χ+2两边对χ求导数得f〞(χ)+2f′(χ)-3f(χ)=-3,其通解为f(χ)=C1eχ+C2e-3χ+1,将初始条件代入得f(χ)=1.知识点解析:暂无解析27、设二阶常系数线性微分方程y〞+ay′+by=ceχ有特解y=e2χ+(1+χ)eχ,确定常数a,b,c,并求该方程的通解.标准答案:将y=e2χ+(1+χ)eχ代入原方程得(4+2a+b)e2χ+(3+2a+b)eχ+(1+a+b)χeχ=ceχ,则有解得a=-3,b=2,c=-1,原方程为y〞-3y′+2y=-eχ.原方程的特征方程为λ2-3λ+2=0,特征值为λ1=1,λ2=2,则y〞-3y′+2y=0的通解为y=C1eχ+C2e2χ,于是原方程的通解为y=C1eχ+C2e2χ+e2χ+(1+χ)eχ.知识点解析:暂无解析28、设u=且二阶连续可导,又=2且=0,求f(χ).标准答案:由=2得f(1)=0,f′(1)=2,令=r,则得f〞(r)+f′(r)=0或rf〞(r)+f′(r)=0,解得rf′(r)=C1,由f′(1)=2得C1=2,于是f′(r)=,f(r)=lnr2+C2,由f(1)=0得C2=0,所以f(χ)=lnχ2.知识点解析:暂无解析29、设函数f(χ)在[0,+∞)内可导,f(0)=1,且f′(χ)+f(χ)-f(t)dt=0.(1)求f′(χ);(2)证明:当χ≥0时,e-χ≤f(χ)≤1.标准答案:(1)(χ+1)f′(χ)+(χ+1)f(χ)-∫0χf(t)dt=0,两边求导数,得(χ+1)f〞(χ)=-(χ+2)f′(χ)再由f(0)=1,f′(o)+f(0)=0,得f′(0)=-1,所以C=-1,于是f′(χ)=-.(2)当χ≥0时,因为f′(χ)<0且f(0)=1,所以f(χ)≤f(0)=1.令g(χ)=f(χ)-e-χ,g(0)=0,g′(χ)=f′(χ)+e-χ=e-χ≥0,由f(χ)≥e-χ(χ≥0).知识点解析:暂无解析考研数学二(常微分方程)模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)1、设C,C1,C2,C3是任意常数,则以下函数可以看作某个二阶微分方程的通解的是A、y=C1x2+C2x+C3.B、x2+y2=C.C、y=ln(C1x)+ln(C1sinx).D、y=C1sin2x+C2cos2x.标准答案:D知识点解析:仅有D含有两个独立的任意常数C1与C2,选D.2、设y1(x)、y2(x)为二阶变系数齐次线性方程y"+p(x)y’+q(x)y=0的两个特解,则C1y1(x)+C2y2(x)(C1,C2为任意常数)是该方程通解的充分条件为A、y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.B、y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)≠0.C、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)=0.D、y1(x)y2’(x)+y2(x)y1’(x)≠0.标准答案:B知识点解析:根据题目的要求,y1(x)与y2(x)应该线性无关,即≠λ(常数).反之,若这个比值为常数,即y1(x)=λy2(x),那么y1’(x)=λy2’(x),利用线性代数的知识,就有y1(x)y2’(x)-y2(x)y1’(x)=0.所以,B成立时,y1(x),y2(x)一定线性无关,应选B.二、填空题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)3、已知(x-1)y"-xy’+y=0的一个解是y1=x,又知y=ex-(x2+x+1),y*=-x2-1均是(x-1)y"-xy’+y=(x-1)2的解,则此方程的通解是y=________.标准答案:C1x+C2ex-x2-1知识点解析:由非齐次方程(x-1)y"-xy’+y=(x-1)2的两个特解与y*可得它的相应齐次方程的另一特解-y*=ex-x,事实上y2=(ex-x)+x=ex也是该齐次方程的解,又ex与x线性无关,因此该非齐次方程的通解是y=C1x+C2ex-x2-1,其中C1,C2为任意常数.4、微分方程y"+6y’+9y=0的通解y=________.标准答案:(C1+C2)e-3x知识点解析:特征方程λ2+6λ+9=0,即(λ+3)2=0.通解为y=(C1+C2)e-3x,其中C1,C2为任意常数.三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)5、求解下列方程:(Ⅰ)求方程xy"=y’lny’的通解;(Ⅱ)求yy"=2(y’2-y’)满足初始条件y(0)=1,y’(0)=2的特解.标准答案:(Ⅰ)此方程不显含y.令p=y’,则原方程化为xp’=plnp.当p≠1时,可改写为,其通解为ln|lnp|=ln|x|+C’,即lnp=C1x,即y’=这样,原方程的通解即为y=+C2,其中C1≠0,C2为任意常数.当p=1时,也可以得到一族解y=x+C3.(Ⅱ)此方程不显含x.令p=y’,且以y为自变量,,原方程可化为=2(p2-p).当p≠0时,可改写为=2(p-1)或,解为p-1=C1y2.再利用p=y’,以及初始条件,可推出常数C1=1.从而上述方程为变量可分离的方程y’=1+y2=>其通解为y=tan(x+C2).再一次利用初始条件y(0)=1,即得C2=.所以满足初始条件的特解为y=tan(x+).知识点解析:暂无解析6、设f(x)连续,且满足∫01f(tx)dt=f(x)+xsinx,求f(x).标准答案:令tx=s,原方程改写成∫0xf(s)ds=f(x)+xsinx(x≠0),即∫0xf(s)ds=xf(x)+x2sinx.①(x=0时两端自然成立,不必另加条件.)将②直接积分得f(x)==-xsinx+cosx+C.知识点解析:暂无解析7、求下列方程的通解:(Ⅰ)y"-3y’=2-6x;(Ⅱ)y"+y=cosxcos2x.标准答案:(Ⅰ)先求相应齐次方程的通解,由于其特征方程为λ2-3λ=λ(λ-3)=0,所以通解为=C1+C2e3x.再求非齐次方程的特解,由于其自由项为一次多项式,而且0是特征方程的单根,所以特解应具有形式y*(x)=x(Ax+B),代入原方程,得[y*(x)]"-3[y*(x)]’=2A-3(2Ax+B)=-6Ax+2A-3B=2-6x.比较方程两端的系数,得解得A=1,B=0,即特解为y*(x)=x2.从而,原方程的通解为y(x)=x2+C1+C2e3x,其中C1,C2为任意常数.(Ⅱ)由于cosxcos2x=(cosx+cos3x),根据线性微分方程的叠加原理,可以分别求出y"+y=的特解y1*(x)与y2*(x),相加就是原方程的特解.由于相应齐次方程的特征方程为λ2+1=0,特征根为±i,所以其通解应为C1cosx+C2sinx;同时y"+y=cosx的特解应具形式:y1*(x)=Axcosx+Bxsinx,代入原方程,可求得A=0,B=.即y1*(x)=另外,由于3i不是特征根,所以另一方程的特解应具形式y2*(x)=Ccos3x+Dsin3x,代入原方程,可得C=,D=0.这样,即得所解方程的通解为y(x)=+C1cosx+C2sinx,其中C1,C2为任意常数.知识点解析:暂无解析8、设曲线L位于Oxy平面的第一象限内,过L上任意一点M处的切线与y轴总相交,把交点记作A,则总有长度,若L过点,求L的方程.标准答案:设L的方程为y=y(x),过点M(x,y(x))的切线与y轴的交点为A(0,y(x)-xy’(x)),又=x2+[y(x)-(y(x)-xy’(x))]2=x2+x2y’2,=(y-xy’)2,按题意得x2+x2y’2=(y-xy’)2,即2xyy’-y2=-x2.积分得ln(1+u2)=-lnx+C1,1+u2=代入u=得y2+x2=Cx.由初始条件,得C=3.因此L的方程为y2+x2=3x.知识点解析:暂无解析9、设热水瓶内热水温度为T,室内温度为T0,t为时间(以小时为单位).根据牛顿冷却定律知:热水温度下降的速率与T-T0成正比.又设T0=20%,当t=0时,T=100℃,并知24小时后水瓶内温度为50℃,问几小时后瓶内温度为95℃?标准答案:温度变化的速率即,牛顿冷却定律给出了这个变化率满足的条件,写出来它就是温度T所满足的微分方程:=-k(T-T0),其中k为比例常数,且k>0.其通解为T=T0+Ce-kt.再由题设:T0=20,T(0)=100,T(24)=50,所以这样,温度T=20+80.若T=95,则t==1.58,即在1.58小时后热水的温度降为95℃.知识点解析:暂无解析10、要设计一形状为旋转体水泥桥墩,桥墩高为h,上底面直径为2a,要求桥墩在任意水平截面上所受上部桥墩的平均压强为常数p.设水泥的比重为ρ,试求桥墩的形状.标准答案:首先建立坐标系,如图6.3所示,x轴为桥墩中心轴,y轴为水平轴.设桥墩侧面的曲线方程为y=y(x).其次列出y(x)满足的方程.由于顶面的压强也为p,则顶面承受的压力为F=pπa2.考察中心轴上点x处的水平截面上所受总压力,它应等于压强×截面积=pπy2(x),另一方面又等于顶面的压力+该截面上方桥墩的重量=pπa2+∫xhρπy2(s)ds.于是得pπy2(x)=pπa2+ρπ∫xhy2(s)ds.再将积分方程转化为微分方程的初值问题.将上述方程两边对x求导得2pπyy’=-ρπy2.又在(*)式中令x=h得y(h)=a,于是得到最后求解初值问题.这是一阶线性齐次方程的初值问题,易求得y=知识点解析:暂无解析11、求下列方程的通解:(Ⅰ)y’=[sin(lnx)+cos(lnx)+a]y;(Ⅱ)xy’=+y.标准答案:(Ⅰ)属于变量可分离的方程.分离变量改写为=(sinlnx+coslnx+a)dx.两端求积分,由于∫sin(lnx)dx=xsin(lnx)-=xsin(lnx)-∫cos(lnx)dx,所以通解为ln|y|=xsin(lnx)+ax+C1,或y=cexsin(lnx)+ax,其中C为任意常数.(Ⅱ)属齐次方程.令y=xu,并且当x>0时,原方程可化为两端求积分,则得arcsinu=lnx+C,即其通解为=lnx+C,其中C为任意常数.当x<0时,上面的方程变为,其通解应为=-ln|x|+C,其中C为任意常数.所得通解公式也可统一为y=|x|sin(ln|x|+C).此处还需注意,在上面作除法过程中丢掉了两个特解a=±1,即y=±x.知识点解析:暂无解析12、求解二阶微分方程的初值问题标准答案:此方程不显含x,令p=y’,并以y为自变量,则y"=,并且方程变为其解为1+p2=Cy2.代入初始条件,可知C=1,即p2=y’2=y2-1,从而±dx.这是一个变量可分离的方程,两端求积分(ln(y+)=±x+c),并代入初始条件,则无论右端取正号,还是取负号,其结果均为知识点解析:暂无解析13、求微分方程xy"-y’=x2的通解。标准答案:将原方程看作不显含y的二阶方程,则属于可降阶的范围.令p=y’,p’=y",代入原方程,则化为p的一阶线性非齐次方程xp’-p=x2,即p’-=x.而,于是两边同乘=1.因此y’=p=Cx+x2.再积分一次,即得原方程的通解为y=x3+C1x2+C2,其中C1,C2为任意常数.知识点解析:暂无解析14、利用代换u=ycosx将微分方程y"cosx-2y’sinx+3ycosx=ex化简,并求出原方程的通解.标准答案:令ycosx=u,则y=usecx,从而y’=u’secx+usecxtanx.y"=u"secx+2u’secxtanx+usecxtan2x+usec2x.代入原方程,则得u"+4u=ex.这是一个二阶常系数线性非齐次方程,其通解为u=+C1cos2x+C2sin2x.代回到原未知函数,则有y=+2C2sinx,其中C1,C2为任意常数.知识点解析:暂无解析15、当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小量,函数y(x)在任意点x处的增量△y=+α,且y(0)=π,求y(1)的值.标准答案:首先尝试从△y的表达式直接求y(1).为此,设x0=0,△x=1,于是△y=y(x0+△x)-y(x0)=y(1)-y(0)=y(1)-π,代入△y的表达式即得y(1)-π=π+α<=>y(1)=2π+α.由于仅仅知道当△x→0时α是比△x较高阶的无穷小,而不知道α的具体表达式,因而从上式无法求出y(1).由此可见,为了求出y(1)必须去掉△y的表达式中包含的α.利用函数的增量△y与其微分dy的关系可知,函数y(x)在任意点x处的微分这是一个可分离变量方程,它满足初始条件y|x=0=π的特解正是本题中的函数y(x),解出y(x)即可得到y(1).将方程dy=分离变量,得求积分可得由初始条件y(0)=π可确定,从而y(1)=知识点解析:暂无解析16、设f(x)是以ω为周期的连续函数,证明:一阶线性微分方程y’+ky=f(x)存在唯一的以ω为周期的特解,并求此特解,其中k≠0为常数.标准答案:此线性方程的通解即所有解可表示为y(x)=e-kx[C+∫0xf(t)ektdt].y(x)以ω为周期,即y(x)=y(x+ω),亦即对应于这个C的特解就是以ω为周期的函数,而且这样的常数只有一个,所以周期解也只有一个.知识点解析:暂无解析17、求下列方程的通解或特解:标准答案:(Ⅰ)相应齐次方程的特征方程λ2-4=0,特征根λ=±2.零不是特征根,方程有特解y*=ax2+bx+c,代入方程得2a-4(ax2+bx+c)=4x2.=>-4a=4,b=0,2a-4c=0=>a=-1,c==>y*=-x2-=>通解为y=C1e2x+C2e-2x-x2-.(Ⅱ)相应齐次方程的特征方程λ2+3λ+2=0,特征根λ1=-1,λ2=-2.由于非齐次项是e-xcosx,-1±i不是特征根,所以设非齐次方程有特解y*=e-x(acosx+bsinx).代入原方程比较等式两端e-xcosx与e-xsinx的系数,可确定出,所以非齐次方程的通解为y=C1e-x+C2e-2x+e-x(sinx-cosx),其中C1,C2为任意常数.知识点解析:暂无解析18、设y=y(x)在[0,+∞)内可导,且在x>0处的增量△y=y(x+△x)-y(x)满足△y(1+△y)=+α,其中当△x→0时α是△x的等价无穷小,又y(0)=2,求y(x).标准答案:由题设等式可得从而y=y(x)是如下一阶线性微分方程初值问题的特解:方程两边乘,两边积分得=C+ln(4+x)<=>y=C(4+x)+(4+x)ln(4+x).令x=0,y=2可确定常数C=-2ln2,故知识点解析:暂无解析19、设有微分方程y’-2y=φ(x),其中φ(x)=,试求:在(-∞,+∞)内的连续函数y=y(x),使之在(-∞,1)和(1,+∞)内都满足所给方程,且满足条件y(0)=0.标准答案:这是一个一阶线性非齐次微分方程,由于其自由项为分段函数,所以应分段求解,并且为保持其连续性,还应将其粘合在一起.当x<1时,方程y’-2y=2的两边同乘e-2x得(ye-2x)’=2e-2x,积分得通解y=C1e2x-1;而当x>1时,方程y’-2y=0的通解为y=C2e2x.为保持其在x=1处的连续性,应使C1e2-1=C2e2,即C2=C1-e-2,这说明方程的通解为再根据初始条件,即得C1=1,即所求特解为y=知识点解析:暂无解析20、已知y1*=xex+e2x,y2*=xex+e-x),y3*=xex+e2x-e-x是某二阶线性常系数非齐次方程的三个特解.试求其通解及该微分方程.标准答案:易求得该微分方程相应的齐次方程的两个特解y1*-y3*=e-x,y2*-y3*=2e-x-e2x进一步又可得该齐次方程的两个特解是y1=e-x,y2=2(y1*-y3*)-(y2*-y3*)=e2x,它们是线性无关的.为简单起见,我们又可得该非齐次方程的另一个特解y4*=y1*-y2=xex.因此该非齐次方程的通解是y=C1e-x+C2e2x+xex,其中C1,C2为任意常数.由通解结构易知,该非齐次方程是:二阶线性常系数方程y"+py’+qy=f(x).它的相应特征根是λ1=-1,λ2=2,于是特征方程是(λ+1)(λ-2)=0,即λ2-λ-2=0.因此方程为y"-y’-2y=f(x).再将特解y4*=xex代入得(x+2)ex-(x+1)ex-2xex=f(x),即f(x)=(1-2x)ex因此方程为y"-y’-2y=(1-2x)ex.知识点解析:暂无解析21、设p(x)在(a,b)连续,∫p(x)dx表示p(x)的某个原函数,C为任意常数,证明:y=Ce-∫p(x)dx是方程y’+p(x)y=0的所有解.标准答案:因为对任意常数C,y=Ce-∫p(x)dx是原方程的解,又设y是原方程的任意一个解,则[ye∫p(x)dx]’=e∫p(x)dx(x)dx[y’+p(x)y]=0,即存在常数C,使得ye∫p(x)dx=C,即y=Ce-∫p(x)dx.知识点解析:暂无解析22、在[0,+∞)上给定曲线y=y(x)>0,y(0)=2,y(x)有连续导数.已知x>0,[0,x]上一段绕x轴旋转所得侧面积等于该段旋转体的体积.求曲线y=y(x)的方程.标准答案:(Ⅰ)列方程,定初值.在[0,x]上侧面积与体积分别为.按题意①y(0)=2.②(Ⅱ)转化.将①式两边求导得2y(x)=y2(x)(在①中令x=0,得0=0,不必另附加条件).化简得知识点解析:暂无解析23、设曲线y=y(x)上点(x,y)处的切线垂直于此点与原点的连线,求曲线y=y(x)的方程.标准答案:(Ⅰ)列方程.曲线y=y(x)在点(x,y)处的切线斜率为,与原点连线的斜率为(Ⅱ)解方程.将方程改写为ydy+xdx=0,即d(x2+y2)=0.于是通解为x2+y2=C(C>0为常数).知识点解析:暂无解析24、设有一弹性轻绳(即重量忽略不计),上端固定,下端悬挂一质量为3克的物体,又已知此绳受一克重量的外力作用时伸长厘米,如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下,问此物体向下运动到什么地方又开始上升?标准答案:取物体刚放下时所处位置为坐标原点,建立坐标系,位移s,向下为正.s=?时,v(速度)=0.(Ⅰ)受力分析.弹性恢复力f=ks,由条件知g==>k=24g=>f=24gs,g为重力加速度.重力mg=3g.(Ⅱ)加速度表示.由题目的需要,加速度a=(Ⅲ)列方程与初始条件.由牛顿第二定律得=3g-24gs.初始条件:t=0时s(0)=0,=0=>v(s)|s=0=0.(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv=(g-8gs)ds=gs-4gs2+c.由v(0)=0=>c=0=>=gs-4gs2.(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时,此时v=0.解gs-4gs2=0得s=0,s=.因此,s=为所求.知识点解析:暂无解析考研数学二(常微分方程)模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题,每题1.0分,共2分。)1、微分方程y〞-4y=e2χ+χ的特解形式为().A、ae2χ+bχ+cB、aχ2e2χ+bχ+cC、aχe2χ+bχ2+cχD、aχe2χ+bχ+c标准答案:D知识点解析:y〞-4y=0的特征方程为λ2=4=0,特征值为λ1=-2,λ2=2.y〞-4y=e2χ的特解形式为y1=aχe2χ,y〞-4y=χ的特解形式为y2=bχ+c,故原方程特解形式为aχe2χ+bχ+c,选D.2、设三阶常系数齐次线性微分方程有特解y1=eχ,y2=2χeχ,y3=3e-χ,则该微分方程为().A、y″′-y〞-y′+y=0B、y″′+y〞-y′-y=0C、y″′+2y〞-y′-2y=0D、y″′-2y〞-y′+2y=0标准答案:A知识点解析:由y1=eχ,y2=2χe-χ,y3=3e-χ为三阶常系数齐次线性微分方程的特解可得其特征值为λ1=λ2=1,λ3=-1,其特征方程为(λ-1)2(χ+1)=0,即λ3-λ2-λ+1=0,所求的微分方程为y″′-y+y=0,选A.二、填空题(本题共7题,每题1.0分,共7分。)3、微分方程y′+ytanχ=cosχ的通解为_______.标准答案:y=(χ+C)cosχ知识点解析:暂无解析4、设f(χ)在[0,+∞)上非负连续,且f(χ)∫0χf(χ-t)dt=2χ3,则f(χ)=_______.标准答案:2χ知识点解析:∫0χf(χt)dt∫χ0f(u)(-du)=∫0χ(u)du,令F(χ)=∫0χf(u)du,由f(χ)∫0χf(χ-t)dt=2χ3,得f(χ)∫0χf(u)du=2χ3,即=2χ3,则F2(χ)=χ4+C0.因为F(0)=0,所以C0=0,又由F(χ)≥0,得F(χ)=χ2,故f(χ)=2χ.5、连续函数f(χ)满足f(χ)=3∫0χf(χ-t)dt+2,则f(χ)=_______.标准答案:2e3χ知识点解析:由∫0χf(χ-t)dt∫χ0f(u)(-du)=∫0χf(u)du得f(χ)=3∫0χf(u)du+2,两边对χ求导得f′(χ)-3f(χ)=0,解得f(χ)=Ce-∫-3dχ=Ce3χ,取χ=0得f(0)=2,则C=2,故f(χ)=2e3χ.6、设y=y(χ)可导,y(0)=2,令△y=y(χ+△χ)-y(χ),且△y=△χ+α,其中α是当△χ→0时的无穷小量,则y(χ)=_______.标准答案:2知识点解析:暂无解析7、的通解为_______.标准答案:χ=知识点解析:由得-2χ=y2,则8、微分方程χy′-y[ln(χy)-1]=0的通解为_______.标准答案:ln(χy)=Cχ知识点解析:令χy=u,y+χy′=,代入原方程得=0,分离变量得,积分得lnlnu=lnχ+lnC,即lnu=Cχ,原方程的通解为ln(χy)=Cχ.9、微分方程y2dχ+(χ2-χy)dy=0的通解为_______.标准答案:y=C知识点解析:令=u+χ,则,代入原方程得,两边积分得u-lnu-lnχ-lnC=0,解得y=C.三、解答题(本题共20题,每题1.0分,共20分。)10、求微分方程=1+χ+y+χy的通解.标准答案:由=1+χ+y+χy得=(1+χ)(1+y),分离变量得=(1+χ)dχ,两边积分得ln|1+y|=χ++C.知识点解析:暂无解析11、求微分方程χy′=yln的通解.标准答案:χy′=yln可写为,令u=,原方程化为u+χ=ulnu,变量分离得,积分得ln(lnu-1)=lnχ+lnC,即lnu-1=Cχ,或u=eCχ+1,故原方程的通解为y=χeCχ+1.知识点解析:暂无解析12、求微分方程χy〞+2y′=eχ的通解.标准答案:令y′=p,则原方程化为知识点解析:暂无解析13、设χ>0时,f(χ)可导,且满足:f(χ)=1+f(t)dt,求f(χ).标准答案:由f(χ)=1+f(t)dt得χf(χ)=χ+∫1χf(t)dt,两边对χ求导得f(χ)+χf′(χ)=1+f(χ),解得f′(χ)=,f(χ)=lnχ+C,因为F(1)=1,所以C=1,故f(χ)=lnχ+1.知识点解析:暂无解析14、求微分方程(y+)dχ-χdy=0的满足初始条件y(1)=0的解.标准答案:由(y+)dχ-χdy=0,得.令u=,则原方程化为,积分得ln(u+)=lnχ+lnC,即=Cχ,将初始条件y(1)=0代入得C=1.由即满足初始条件的特解为y=.知识点解析:暂无解析15、求微分方程(y-χ3)dχ-2χdy=0的通解.标准答案:由(y-χ2)dχ-2χdy=0,得即原方程的通解为y=(其中C为任意常数).知识点解析:暂无解析16、求微分方程y2dχ+(2χy+y2)dy=0的通解.标准答案:由y2dχ+(2χy+y2)dy=0得令u=,则,解得u2(u+3)=,所以原方程的通解为y2(y+3χ)=C.知识点解析:暂无解析17、求微分方程cosy-cosχsin2y=siny的通解.标准答案:由cosy-cosχsin2y=siny得-cosχsin2y=siny,令u=siny,则-u=cosχ.u2,令u-1=z,则z=-cosχ,解得z=[-cosχ)e∫dχdχ+C]e-∫dχ=[-∫eχcosχdχ+C]-χ=[-eχ(sinχ+cosχ+C]e-χ=Ce-χ-(sinχ+cosχ)则知识点解析:暂无解析18、求微分方程χy=χ2+y2满足初始条件y(e)=2e的特解.标准答案:由χy=χ2+y2,得,令+u,得,解得u2=lnχ2+C,由y(e)=2e,得C=2,所求的特解为y2=χ2lnχ2+2χ2.知识点解析:暂无解析19、求微分方程χ2y′
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