考研数学（数学二）模拟试卷5（共221题）

考研数学（数学二）模拟试卷5（共9套）（共221题）考研数学（数学二）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、当x→0时，f(x)=x－sinax与g(x)=x2ln(1－bx)是等价无穷小，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：本题可采用排除法。当x→0时，ln(1－bx)与-bx为等价无穷小，则所以a3=－6b，故排除B、C。另外是存在的，即满足1－acosxax→0(x→0)，故a=1，排除D。故本题选A。2、则f(x)在x=0处()A、极限不存在B、极限存在，但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：f+’(0)，f－(0)都存在，则f(x)在x=0处右连续和左连续，所以f(x)在x=0处连续；但f+’(0)≠f－’(0)，所以f(x)在x=0处不可导。故本题选C。3、设则I，J，K的大小关系为()A、I＜J＜KB、I＜K＜JC、J＜I＜KD、K＜J＜I。标准答案：B知识点解析：当时，因为0＜sinx＜cosx，所以ln(sinx)＜ln(cosx)，因此同时，又因为所以综上可知，I＜K＜J。故本题选B。4、具有特解y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex的三阶常系数齐次线性微分方程是()A、y’"－y"－y’+y=0。B、y’"+y"－y’－y=0。C、y’"－6y"+11y’－6y=0。D、y’"－2y"－y’+2y=0。标准答案：B知识点解析：由y1=e－x，y2=2xe－x，y3=3ex是所求三阶常系数齐次线性微分方程的三个特解可知，λ1=－1，λ2=－1，λ3=1是所求方程的三个根，其特征方程为(λ－1)(λ+1)2=0，即λ3+λ2－λ－1=0，其对应的微分方程为y’"+y"－y’－y=0。故本题选B。5、设f(x)和φ(x)在(－∞，+∞)上有定义，f(x)为连续函数，且f(x)≠0，φ(x)有间断点，则()A、φ[f(x)]必有间断点B、φ2(x)必有间断点。C、f[φ(x)]必有间断点。D、必有间断点。标准答案：D知识点解析：取f(x)=1，x∈(－∞，+∞)，则f(x)，φ(x)满足题设条件。由于φ[f(x)]=1，φ2(x)=1，f[φ(x)]=1都是连续函数，故可排除A、B、C。故本题选D。6、周期函数y=f(x)在(－∞，+∞)内可导，周期为4，且则y=f(x)在点(5，f(5))处的切线斜率为()A、B、0C、－1D、－2标准答案：D知识点解析：因为y=f(x)在(－∞，+∞)内可导，且f(x)=f(x+4k)，其中k为整数，故有f’(x)=f’(x+4k)。取x=1，k=1可得，f’(1)=f’(5)。又因为所以因此f’(1)=－2。故本题选D。7、下列矩阵中，A和B相似的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A项，r(A)≠r(B)；B项，tr(A)≠tr(B)；C项，|A|≠|B|；由矩阵相似的必要条件可知，A、B、C三项错误。由排除法可知，本题选D。实际上，对于D项，r(A)=3，特征值为1(三重)，r(A－E)=2；r(B)=3，特征值为1(三重)，r(B－E)=2，所以矩阵A和B相似。8、设二次型f(x1，x2，x3)=(x1+x2－2x3)2+[－3x1+(a－1)x2+7x3]2+(x1+ax3)2正定，则参数a的取值范围是()A、a=－2。B、a=－3。C、a＞0。D、a为任意值。标准答案：D知识点解析：方法一：f(x1，x2，x3)是平方和的形式，所以f(x1，x2，x3)≥0。上述方程组的系数行列式为所以a取任意值，上述方程组都有唯一零解，即对任意的x≠0，都有f(x1，x2，x3)＞0，f正定。故本题选D。方法二：其中A=BTB且AT=A。其中a为任意值，所以对任意的a，矩阵B均可逆，则A=BTB正定，即f(x1，x2，x3)是正定二次型。故本题选D。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线的渐近线为________________。标准答案：x=0和知识点解析：曲线的可能间断点为x=0，则所以x=0为曲线的垂直渐近线。因为所以为曲线的斜渐近线。又因为所以曲线无水平渐近线。10、与曲线(y－2)2=x相切，且与曲线在点(1，3)的切线垂直的直线方程为______________。标准答案：知识点解析：曲线方程(y－2)2=x对x求导得2(y－2))y’=1，即当y=3时，即曲线在(1，3)处的法线斜率为－2。因为所求直线与曲线在点(1，3)的法线平行，所以直线斜率为解得则所求直线方程与曲线的切点为因此所求直线方程为即11、已知凹曲线y=f(x)在曲线上的任意一点(x，f(x))处的曲率为且f(0)=0,f’(0)=0，则f(x)=______________。标准答案：知识点解析：根据曲率公式因为函数y=f(x)为凹曲线，所以f"(x)＞0，则有微分方程令f’(x)=p，则解微分方程可得12、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，z=f(xy，y)，则标准答案：f1’+xyf11"+yf12"知识点解析：因为所以13、设函数f(x，y)连续，则交换积分次序标准答案：知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D，如右图阴影部分所示，则有交换积分次序14、设A是一个n阶矩阵，且A2－2A－8E=O，则r(4E－A)+r(2E+A)=___________。标准答案：n知识点解析：已知A2-2A－8E=O，所以(4E－A)(2E+A)=O。根据矩阵秩的性质可知r(4E－A)+r(2E+A)≤n，同时r(4E-A)+r(2E+A)≥r[(4E－A)+(2E+A)]=r(6E)=n，因此r(4E－A)+r(2E+A)=n。三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)15、求极限标准答案：对极限式先通分，然后再利用麦克劳林公式展开得知识点解析：暂无解析16、证明不等式3x＜tanx+2sinx，标准答案：设则有f’(x)=sec2x+2cosx－3，f"(x)=2sec2xtanx-2sinx=2sinx(sec3x－1)，由于当时，sinx＞0，sec3x－1＞0，所以f"(x)＞0，所以函数f’(x)=sec2x+2cosx－3为增函数，且f’(0)=0，因此当时，f’(x)＞0，所以f(x)=tanx+2sinx－3x为增函数，f(x)=tanx+2sinx－3x＞f(0)=0，即有知识点解析：暂无解析17、设函数z=x(x，y)具有二阶连续导数，变量代换u=ax+y，v=x+by把方程化为求ab。标准答案：对函数z=z(x，y)求偏导数得所以由题意得解得所以ab=－1。知识点解析：暂无解析18、设函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，x=1是f(x)的极值点，且证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=0。标准答案：由于x=1是f(x)的极值点，所以f’(1)=0。因为f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内二阶可导，所以由积分中值定理可知，存在使得即有又因为f(x)在上连续，在内可导，所以由罗尔定理可知，存在使得f’(ζ)=0。再由f’(x)在[ζ，1]上连续，在(ζ，1)内可导，且f’(ζ)=f’(1)=0可知，存在ξ∈(ζ，1)(0，1)，使得f"(ξ)=0。知识点解析：暂无解析19、求函数f(x，y)=x2+xy+y2在闭区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上的最大值和最小值。标准答案：由于所给的区域D是闭区域，故先考虑函数f(x，y)在区域D内部{(x，y)|x2+y2＜1)的极值，这属于无条件极值，解线性方程组所以x=0，y=0。在(0，0)点，有fxx"=2＞0，fxy"=1，fyy"=2，所以fxx"fyy"－(fxy")2＞0，所以(0，0)点是函数的极小值点，极小值为f(0，0)=0。然后考虑函数f(x，y)在区域D边界{(x，y)|x2+y2=1)的极值，这属于条件极值，构造如下的拉格朗日函数L(x，y，λ)=x2+xy+y2－λ(x2+y2－1)，对上式求偏导得如下方程组将上述方程组化简得4λ2－8λ+3=0．解得当时，x=－y，当时，x=y，因为连续函数在闭区间上必可取得最大值和最小值，所以f(x，y)在边界上的最大值为最小值为综上所述，f(x，y)在闭区域D上的最大值为最小值为0。知识点解析：暂无解析20、计算二重积分其中D是由直线y=1、曲线y=x2(x≥0)以及y轴所围成的区域。标准答案：二重积分的积分区域D如下图阴影部分所示。其中，被积函数xe－(1－x2)2适合先y后x的积分次序，被积函数xe－y2适合先x后y的积分次序，则令t=1－x2，则同理可得因此知识点解析：暂无解析21、设f(u，v)具有连续偏导数，且满足fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，求y(x)=e－2xf(x，x)所满足的一阶微分方程，并求其通解。标准答案：方法一：y(x)=e－2xf(x，x)对x求导得y’=－2e－2xf(x，x)+e－2xf1’(x，x)+e－2xf2’(x，x)=－2e－2xf(x，x)+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]=－2y+e－2x[f1’(x，x)+f2’(x，x)]，因为f’u(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，因此y’=－2y+x2e－2x，即y(x)满足一阶微分方程y’+2y=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得其中C为任意常数。方法二：由y(x)=e－2xf(x，x)得f(x，x)=e2xy(x)，因为fu’(u，v)+fv’(u，v)=uv，即f1’(u，v)+f2’(u，v)=uv，所以f1’(x，x)+f2’(x，x)=x2，即将其代入f(x，x)=e2xy(x)有[e2xy(x)]’=x2，即2e2xy(x)+e2xy’(x)=x2，化简得y’(x)+2y(x)=x2e－2x。由一阶线性微分方程的通解公式得其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析22、设X是三阶矩阵。求当a为何值时，方程AX－B=BX无解；当a为何值时，方程AX－B=BX有解，有解时，求出全部解。标准答案：由题意得，矩阵方程为(A－B)X=B，且将矩阵B和X写成分块矩阵(按列分)的形式，则B=(β1，β2，β3)，X=(x1，x2，x3)，所以矩阵方程为(A－B)X=(A－B)(x1，x2，x3)=(β1，β2，β3)，则有(A－B)xi=βi，i=1，2，3。对增广矩阵(A－B，B)作初等行变换当a=3时，r(A－B)=2，r(A－B，B)=3，则r(A－B)＜r(A－B，B)，此时方程AX—B=BX无解。当a≠3时，r(A－B)=r(A－B，B)=3，此时方程AX－B=BX有唯一解。(A－B)x1=β1的解为(A－B)x2=β2的解为(A－B)x3=β3的解为综上，方程AX－B=BX的解为知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32－2x1x2－2x1x3+2ax2x3通过正交变换化为标准形f=2y12+2y22+by32。23、求常数a，b及所用的正交变换矩阵Q；标准答案：由题意得，二次型矩阵及其对应的标准形矩阵分别为由矩阵B可知，矩阵A的特征值为2，2，b。矩阵A的迹tr(A)=3=2+2+b，所以b=－1。由于2是矩阵A的二重特征值，而实对称矩阵A必可相似对角化，所以矩阵A的对应于特征值2的线性无关的特征向量有2个。于是矩阵A－2E的秩为1，而所以a=－1。由(A－λE)x=0得，特征值为λ1=λ2=2，λ3=－1，对应的特征向量分别为α1=(1，0，－1)T，α2=(0，1，－1)T，α3=(1，1，1)T，由于实对称矩阵属于不同特征值的特征向量正交，所以先将α1，α2正交化得再将β1，β2，α3单位化得则正交变换矩阵知识点解析：暂无解析24、求f在xTx=3下的最大值。标准答案：二次型f=xTAx在正交变换x=Qy下的标准形为f=2y12+2y22－y32。条件xTx=3等价于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此时f=2y12+2y22－y32=6－3y32的最大值为6，所以f在xTx－3下的最大值为6。知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、下列命题中正确的个数是①若f(x)在x=x0存在左、右导数且f+′(x0)≠f-′(x0)，则f(x)在x=x0处连续②若函数极限f(x)=A，则数列极限f(n)=A③若数列极限，则函数极限f(x)=A④若不存在，则f(x)g(x)不存在A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：B知识点解析：要逐一分析．若f(x)在x=x0存在f+′(x0)与f-′(x0)f(x)在x=x0右连续及左连续f(x)在x=x0连续，即①正确．由函数极限与数列极限的关系知，若函数极限一串xn→+∞(n→+∞)均有f(xn)=A．若但只有某串xn→+∞(n→+∞)，=A．如f(x)=sinπx，f(n)=0，f(n)=0，但f(x)不存在，于是②正确，③不正确．命题④是错误的．当A=0时f(x)g(x)可能存在．例如，若取f(x)=0，则f(x)=0，f(x)g(x)=0，所以④是错误．因此，只有2个正确．选B．2、设函数f(x)=则下列结论正确的是A、f(x)有间断点B、f(x)在(—∞，+∞)上连续，但在(—∞，+∞)内有不可导的点C、f(x)在(—∞，+∞)内处处可导，但f′(x)在(—∞，+∞)上不连续D、f′(x)在(—∞，+∞)上连续标准答案：C知识点解析：本题主要考查分段函数在分界点处的连续性，可导性及导函数的连续性问题．f(x)的定义域是(—∞，+∞)，它被分成两个子区间(—∞，0]和(0，+∞)．在(—∞，0]内f(x)=x2，因而它在(—∞，0]上连续，在(—∞，0)内导函数连续，且f-′(0)=0；在(0，+∞)内f(x)=x2cos，因而它在(0，+∞)内连续且导函数连续．注意=0=f(0)，因而f(x)在(—∞，+∞)连续．可见A不正确．又因即f(x)在x=0右导数f+′(0)存在且等于零，这表明f′(0)存在且等于零．于是，f′(x)在(—∞，+∞)上处处存在．可见B不正确．注意，当x＞0时，f′(x)=，于是f′(x)不存在，这表明f′(x)在x=0处间断可见C正确，D不正确．故选C．3、设函数f(x)在(—∞，+∞)上连续，且分别在(—∞，0)与(0，+∞)上二次可导，其导函数f′(x)的图像如图(1)所示，则f(x)在(—∞，+∞)有A、一个极大值点与两个拐点B、一个极小值点与两个拐点C、一个极大值点，一个极小值点与两个拐点D、一个极大值点，一个极小值点与三个拐点标准答案：D知识点解析：设a，b，c，d各点如图(2)所示，由题设可得下表：(注意，表中对应于x=x0处注有“拐点”是指对应的点(x0，f(x0))为曲线y=f(x)的一个拐点．)这表明函数f(x)有一个极大值点，一个极小值点以及三个拐点，结论D正确．4、设f(x，y)有连续的偏导数且f(x，y)(ydx+xdy)为某一函数u(x，y)的全微分，则下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由已知du=f(x，y)ydx+f(x，y)xdy5、已知累次积分I=f(rcosθ，rsinθ)rdr，其中a＞0为常数，则I可写成A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：这是把极坐标系下的累次积分转换成Oxy直角坐标系下的累次积分的问题．先将I表示成I=f(x，y)dσ．由D的极坐标表示，0≤r≤acosθ，即r2=x2+y2≤arcosθ=ax，可知D：，如图．若是先y后x的积分顺序，则D：0≤x≤a，于是I=．故应选C．6、设η1，η2，η3为3个n维向量，AX=0是n元齐次方程组，则()正确．A、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．B、如果η1，η2，η3都是AX=0的解，并且r(A)=n—3，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．C、如果η1，η2，η3等价于AX=0的一个基础解系．则它也是AX=0的基础解系．D、如果r(A)=n—3，并且AX=0每个解都可以用η1η2，η3线性表示，则η1，η2，η3为AX=0的一个基础解系．标准答案：D知识点解析：A缺少n—r(A)=3的条件．(B)缺少η1，η2，η3线性无关的条件．(C)例如η1，η2是基础解系η1+η2=η3，则η1，η2，η3和η1，η2等价，但是η1，η2，η3不是基础解系．要说明D的正确，就要证明η1，η2，η3都是AX=0的解，并且线性无关．方法如下：设α1，α2，α3是AX=0的一个基础解系，则由条件，α1，α2，α3可以用η1，η2，η3线性表示，于是3≥r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)≥r(α1，α2，α3)=3，则r(η1，η2，η3)=r(η1，η2，η3，α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3，于是η1，η2，η3线性无关，并且和α1，α2，α3等价，从而都是AX=0的解．7、下列矩阵中不相似于对角矩阵的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：A矩阵的3个特征值两两不同，D是实对称矩阵，因此它们都相似于对角矩阵．C矩阵的秩为1，它的特征值都为0，其重数3＞3—C矩阵的秩．因此C不相似于对角矩阵．(B)矩阵的秩也为1，它的特征值为0，0，6，0的重数2=3—B矩阵的秩．因此相似于对角矩阵．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设曲线的极坐标方程为r=eθ，则处的法线的直角坐标方程是________．标准答案：y=+x知识点解析：的参数方程是的直角坐标是在此点的切线的斜率为=—1法线的斜率为1，因此处的法线方程为y=+x．9、设f′(x)=arctan(1—x)，且f(0)=0，则∫01f(x)dx=________．标准答案：(π—2)．知识点解析：已知f′(x)=arctan(1—x)，求I=∫01f(x)dx，我们不必先求出f(x)，而是把求I转化为求与f′(x)有关的定积分，就要用分部积分法．或把f(x)f(0)+∫0xf′(y)dy再积分．方法：利用分部积分法可得10、曲线y=的斜渐近线方程为_________．标准答案：y=±x知识点解析：因为因此斜渐近线方程为y=±x．11、设f(x，y)=et2dt，则df(x，y)=__________．标准答案：(2xe(x2+y2)2+)dx+(2ye(x2+y2)2—)dy知识点解析：dy(x，y)=e(x2+y2)2d(x2+y2)—=e(x2+y2)2(2xdx+2ydy)—=2xe(x2+y2)2+)dx+(2ye(x2+y2)2—)dy12、设f(x，y)为连续函数，且f(x，y)=e—x2—y2+xy2f(u，υ)dudυ，其中D：u2+υ2≤a2(a＞0)，则f(x，y)=________．标准答案：e—(x2+y2)+π(1—e—a2)xy2知识点解析：注意f(u，υ)dudυ为常数，记为A，由于xy2对u、υ来说为常数，因此对u，υ积分时可提到积分号外f(x，y)=e—x2—y2+Axy2．求f(x，y)归结为求常数A．等式两边在D内积分得d(x，y)dσ=e—(x2+y2)dσ+Axy2dσ①作极坐标变换e—(x2+y2)dσ=∫02πdθ∫0ae—r2rdr=—πe—r2|0a=π(1—e—a2又xy2dσ=0(D关于y轴对称，被积函数对x为奇函数)，将它代入①式A=π(1—e—a2)．因此f(x，y)=e—(x2+y2)+π(1—e—a2)xy2．13、已知A=，则A—1=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)已知曲线在直角坐标系中由参数方程给出x=t+e—t，y=2t+e—2t(t≥0)．14、证明该参数方程确定连续函数y=y(x)，x∈[1，+∞)．标准答案：因为xt′=1—e—t＞0(t＞0)，xt′(0)=0→x=t+e—t在[0，+∞)单调上升，值域为[x(0)，]=[1，+∞)→x=t+e—t在[0，+∞)存在反函数，记为t=t(x)，它在[1，+∞)连续(单调连续函数的反函数连续)．再由连续的复合函数的连续性→y=2t(x)+e—2t(x)y(x)在[1，+∞)连续．知识点解析：暂无解析15、证明y=y(x)在[1，+∞)单调上升且是凸的．标准答案：由参数式求导法因此y=y(x)在[1，+∞)是凸的．知识点解析：暂无解析16、求y=y(x)的渐近线．标准答案：又因y=y(x)在[1，+∞)连续，所以y=y(x)只有一条渐近线y=2x．知识点解析：暂无解析从抛物线y=x2—1上的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线．17、求这两条切线的切线方程．标准答案：抛物线y=x2在点(x0，x02)处的切线方程为y=x02+2x0(x—x0)，即y=2x0x—x02．若它通过点P，则t2—1=2x0t—x02，即x02—2x0t+t2—1=0，解得x0的两个解x1=t—1，x2=t+1．①从而求得从抛物线y=x2—1的任意一点P(t，t2—1)引抛物线y=x2的两条切线的方程是L1：y=2x1x—x12；L2：y=2x2x—x12．知识点解析：暂无解析18、证明该两条切线与抛物线y=x2所围面积为常数．标准答案：这两条切线与抛物线y=x2所围图形的面积为S(t)=∫1t[x2—(2x1x—x12)]dx+∫tx2[x2—(2x2x—x22)]dx，下证S(t)为常数．方法：求出S′(t)．S′(t)=(t—x1)2—(t—x2)212—(—1)2=0，→S(t)为常数．知识点解析：暂无解析设函数f(x)在(0，+∞)内可导，f(x)＞0，且19、求f(x)．标准答案：题设中等式左端的极限为1∞型，先转化成由导数的定义及复合函数求导法得知识点解析：暂无解析20、定义数列xn=，证明数列{xn}收敛．标准答案：于是xn有界．因此{xn}单调有界，{xn}必收敛．知识点解析：暂无解析已知y1*(x)=xe—x+e—2x，y2*(x)=xe—x+xe—2x，y3*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y″+py′+qy=f(x)的三个特解．21、求这个方程和它的通解．标准答案：由线性方程解的叠加原理y1(x)=y3*(x)—y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)—y1*(x)=xe—2x均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根λ=—2，相应的特征方程为(λ+2)2=0，即λ2+4λ+4=0．原方程为y″+4y′+4y=f(x)．①由于y*(x)=xe—x是它的特解，求导得y*′(x)=e—x(1—x)，y*″(x)=e—x(x—2)．代入方程①得e—x(x—2)+4e—x(1—x)+4xe—x=f(x)f(x)=(x+2)e—x原方程为y″+4y′+4y=(x+2)e—x，其通解为y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为常数．知识点解析：暂无解析22、设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y′(0)=0的特解，求标准答案：C1，C2，方程的解y(x)均有不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得∫0+∞y″(x)dx+4∫0+∞y′(x)dx+4∫0+∞y(x)dx=∫0+∞(x+2)e—xdx知识点解析：暂无解析23、求累次积分I=标准答案：将累次积分表示为二重积分其中D2：≤y≤1，y≤x≤．记D=D1∪D2,则I=，D1，D2如图所示，问题转化为求二重积分I=方法：改用极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，则D的极坐标表示是：知识点解析：暂无解析24、求f(x，y，z)=x+y—z2+5在区域Ω：x2+y2+z2≤2上的最大值与最小值．标准答案：f(x，y，z)在有界闭区域Ω上连续，一定存在最大、最小值．第一步，先求f(x，y，z)在Ω内的驻点．由f(x，y，z)在Ω内无驻点，因此f(x，y，z)在Ω的最大、最小值都只能在Ω的边界上达到．第二步，求f(x，y，z)在Ω的边界x2+y2+z2=2上的最大、最小值，方法：即求f(x，y，z)在条件x2+y2+z2—2=0下的最大、最小值．令F(x，y，z，λ)=x+y—z2+5+λ(x2+y2+z2—2)，解方程组由①，②→x=y，由③→z=0或λ=1．由x=y，z=0代入④→x=y=±1，z=0．当λ=1时由①，②，得x=y=．因此得驻点P1(—1，—1，0)，P2(1，1，0)，P3计算得知f(P1)=3，f(P2)=7，f(P3)=f(P4)=．因此，f(x，y，z)在Ω的最大值为7，最小值为．知识点解析：暂无解析若函数f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内具有二阶导数，f(0)=f(1)=0，f″(x)＜0，且f(x)在[0，1]上的最大值为M．求证：25、f(x)＞0(x∈(0，1))．标准答案：由题设条件及罗尔定理，a∈(0，1)，f′(a)=0．由f″(x)＜0(x∈(0，1))→f′(x)在(0，1)↘f(x)在[0，a]↗，在[a，1]↘f(x)＞f(0)=0(0＜x≤a)，f(x)＞f(1)=0(a≤x＜1)，f(x)＞0(x∈(0，1))．知识点解析：暂无解析26、自然数n，存在唯一的xn∈(0，1)，使得f′(xn)=．标准答案：由题设知存在xM∈(0，1)使得f(xM)=M＞0．方法：先证是f′(x)的某一中间值．因f′(xM)=0，由拉格朗日中值定理，存在ξn∈(0，xM)使得这里f′(x)在[ξn，xM]连续，再由连续函数中间值定理→存在xn∈(ξn，xM)(0，1)，使得f′(xn)=最后再证唯一性．由f″(x)＜0(x∈(0，1))→f′(x)在(0，1)单调减少→在区间(0，1)内f′(x)=的点是唯一的，即xn．知识点解析：暂无解析设α1，α2，α3都是矩阵A的特征向量，特征值两两不同，记γ=α1+α2+α3．27、证明γ，Aγ，A2γ线性无关，γ，Aγ，A2γ，A3γ线性相关．标准答案：设α1，α2，α3的特征值为a，b，c，由于它们两两不同，α1，α2，α3线性无关，γ=α1+α2+α3，Aγ=aα1+bα2+cα3，A2γ=a2α1+b2α2+c2α3，A3γ=a3α1+b3α2+C3α3，则γ，Aγ，A2γ对α1，α2，α3的表示矩阵为，其行列式为范德蒙行列式，并且(因为a，b，c两两不同)值不为0，于是r(γ，Aγ，A2γ)=r(α1，α2，α3)=3，因此γ，Aγ，A2γ无关．γ，Aγ，A2γ，A3γ可以用α1，α2，α3线性表示，因此线性相关．知识点解析：暂无解析28、设α1，α2，α3的特征值依次为1，—1，2，记矩阵B=(γ，Aγ，A2γ)，β=A3γ，求解线性方程组BX=β．标准答案：γ=α1+α2+α3，Aγ=α1—α2+2α3，A2γ=α1+α2+4α3，A3γ=α1—α2+8α3，B=(γ，Aγ，A2γ)=(α1，α2，α3)，β=A3γ=(α1，α2，α3)，则BX=β具体写出就是由于α1，α2，α3线性无关，它和同解．解此方程组得唯一解(—2，1，2)T．知识点解析：暂无解析设二次型xTAx=x12+4x22+x32+2ax1x2+2bx1x3+2cx2x3，矩阵B=，满足AB=0．29、用正交变换化xTAx为标准形，写出所作变换．标准答案：A=先作正交矩阵Q，使得Q—1AQ是对角矩阵．条件说明B的3个列向量都是A的特征向量，并且特征值都是0．由于B的秩大于1，特征值0的重数大于1．于是A的特征值为0，0，6．(tr(A)=6．)求属于特征值0的两个单位正交特征向量：对B的第1，2两个列向量α1=(1，0，1)T，α2=(2，—1，0)T作施密特正交化：η1=α1／(1，0，1)T，求属于特征值6的一个单位特征向量：属于特征值6的特征向量与α1，α2都正交，即是方程组{x1+x3=0，2x1的非零解，求出α3=(1，2，—1)T是属于6的一个特征向量，单位化η3=α3(1，2，—1)T．记Q=(η1，η2，η3)，则Q是正交矩阵，Q—1AQ=．作正交变换X=Qy，它xTAx化为标准二次型6y32．知识点解析：暂无解析30、求(A—3E)6．标准答案：A的特征值为0，0，6，则A—3E的特征值为—3，—3，3，(A—3E)6的3个特征值都是36．于是(A—3E)6～36E→(A—3E)6=36E．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、两个相同直径为2R＞0的圆柱体，它们的中心轴垂直相交，则此两圆柱体公共部分的体积为()(所画出的图形的体积是要求的，如图)A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：如图所示，作水平剖面，此剖面切在离底h处，图中阴影是个正方形，此正方形的边长为．于是正方形的面积为R2－h2．用微元法，薄片的厚度为dh，薄片的体积dV＝(R2－h2)dh，图中画的是整个公共部分的，所以所求公共部分的体积为，选(B)．2、()A、1／2B、1／3C、1／4D、1／5标准答案：D知识点解析：作积分变量代换u＝x－t，则3、设函数z＝z(x，y)由方程F＝0确定，其中F为可微函数，且F2’≠0．则()A、x．B、y．C、z．D、0．标准答案：C知识点解析：方程F＝0两边对x求偏导数，得4、设g(x)在x＝0的某邻域内连续，且，又设f(x)在该邻域内存在二阶导数，且满足x2f”(x)－[f’(x)]2＝xg(x)，则()A、f(0)是f(x)的极大值．B、f(0)是f(x)的极小值．C、f(0)不是f(x)的极值．D、f(0)是否为f(x)的极值要由具体的g(x)决定．标准答案：B知识点解析：当x≠0时，g(x)＝x·．由于g(x)在x＝0处连续，则所以f(0)是f(x)的一个极小值．5、设F(x)可导，下述命题：①F’(x)为偶函数的充要条件是F(x)为奇函数；②F’(x)为奇函数的充要条件是F(x)为偶函数；③F’(x)为周期函数的充要条件是F(x)为周期函数．正确的个数是()A、0．B、1．C、2D、3．标准答案：B知识点解析：②是正确的．设F’(x)＝f(x)为奇函数，则φ(x)＝∫0xf(t)dt必是偶函数．证明如下：φ(－x)＝∫0－xf(t)dt＝∫0xf(－t)－dt＝∫0xf(t)dt＝φ(x)．又因f(x)的任意一个原函数必是φ(x)﹢C的形式，所以f(x)的任意一个原函数必是偶函数．必要性证毕．设F(x)为偶函数，则F(x)＝F(－x)，两边对x求导，得F’(x)＝－F’(－x)所以F’为基函数，充分性证毕．①是不正确的．反例：(x3﹢1)’＝3x2为偶函数，但x3’﹢1并非奇函数，必要性不成立．③是不正确的．反例：(sinx﹢x)’＝cosx﹢1为周期函数，但sinx﹢x不是周期函数，必要性不成立．6、设f(x，y)＝则在点O(0，0)处A、偏导数存在，但函数不连续．B、偏导数不存在，但函数连续．C、偏导数存在，函数连续，但函数不可微．D、函数可微．标准答案：D知识点解析：｜f(x，y)｜≤x2﹢y2’，令(x，y)→(0，0)，由夹逼定理有f(x，y)＝0＝f(0，0)，故(A)不正确．又同理f’y(0，0)＝0．故(B)不正确．考虑点O(0，0)处的△f，按可微定义，f(x，y)在点(0，0)处可微．故应选(D)．7、设A是m×n矩阵，将A的行及列分块，记成对A作若干次初等行变换后，记成则下列结论中错误的是()A、α1，α2，…，αm和α1’，α2’，…，αm’有相同的线性相关性．B、β1，β2，…，βn和β1’，β2’，…，βn’有相同的线性相关性．C、x＝0同解(s≤m)．D、(βi1，βi2，…，βis)x＝0和(βi1’，βi2’，…，βis’)x＝0同解(s≤n)．标准答案：C知识点解析：初等变换不改变矩阵的秩结论(A)，(B)成立．对(D)，列向量作初等行变换后不改变方程组的解，其对应的部分组组成的方程组也同解，故(D)成立．由排除法，应选(C)．对(C)，将α1和αm互换得部分向量组组成的方程组，则显然不同解．故选(C)．8、设向量组(I)α1，α2，α3，α4线性无关，则和(I)等价的向量组是()A、α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4．B、α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4，α4﹢α1．C、α1－α2，α2﹢α3，α3－α4，α4﹢α1．D、α1，α1－α2，α2－α3，α3－α4，α4－α1．标准答案：D知识点解析：两个向量组可以相互表出两个向量组等价．两个向量组等价等秩，但反之不成立，即等秩不一定等价，但不等秩必不等价．法一用排除法．α1，α1，α3，α4线性无关，则r(α1，α2，α3，α4)＝4．(A)：只有3个向量．r(α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4)≤3．(I)和(A)不等价．(B)：因(α1﹢α2)－(α2﹢α3)﹢(α3﹢α4)－(α4﹢α11)＝0，向量组(B)线性相关．r(α1﹢α2，α2﹢α3，α3﹢α4，α4﹢α1)≤3．故(I)和(B)不等价．(C)：(α1－α2)﹢(α2﹢α3)－(α3－α4)一(α4﹢α1)＝0，向量组(C)线性相关．r(α1－α2，α2﹢α3，α3－α4，α4﹢α1)≤3．故(I)和(C)也不等价．由排除法知，应选(D)．法二对于选项(D)，令β1＝α1，β2＝α1－α2，β3＝α2－α3，β4＝α3－α4，β5＝α4－α1，则α1＝β1，α2＝α1－β2＝β1－β2，α3＝α2－β3＝β1－β2－β3，α4＝α3－β4＝β1－β2－β3－β4，故(I)和(D)可相互表出，是等价向量组，应选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y＝y(x)由方程＝______．标准答案：－2π知识点解析：由x＝∫1y－xsin2dt，将x＝0代入，有y＝1．再将所给方程两边对x求导，得将x＝0，y＝1代入，得y’｜x＝0＝3，y”＝－2π．10、在(－∞，﹢∞)内连续的充要条件是a＝______．b＝______．标准答案：0；1知识点解析：应写出f(x)的分段表达式．在x＝1处，f(x)＝a﹢b，f(1)＝(1﹢a﹢b))，f(x)＝1，所以在x＝1处连续的充要条件是1＝a﹢b＝(1﹢a﹢b)．在x＝－1处，f(x)＝－1，f(－1)＝(－1﹢a－b)，f(x)＝a－b，所以在x＝－1处连续的充要条件是－1＝a－b＝(－1﹢a－b)．所以解得a＝0，b＝1．11、设y＝y(x)由y3﹢(x﹢1)y﹢x2＝0及y(0)＝0所确定，则＝______．标准答案：－2／3知识点解析：此未定式为“”型．若用洛必达法则，求导中要用到y’(0)，y”(0)，先求出备用．由y3﹢(x﹢1)y﹢x2＝0，两边对x求导，有3y2y’﹢(x﹢1)y’﹢y﹢2x＝0．以y(0)＝0代入，得0﹢y’(0)＝0，有y’(0)＝0．再求导，有6y(y’)2﹢3y2y”﹢(x﹢1)y”﹢y’﹢2＝0．以y(0)＝0，y’(0)＝0代入，得0﹢0﹢0﹢y”﹢0﹢2＝0，有y”(0)＝－2．则12、设excos2x与3x为某n阶常系数齐次线性微分方程的两个特解，设n为尽可能小的正整数，y(n)前的系数为1，则该微分方程为______．标准答案：y(4)－2﹢5y”＝0知识点解析：excos2x为一特解，因此有特征根1±2i；3x为一特解，因此该方程有特征根0，并且至少是二重根．于是该方程至少为4阶，对应的特征方程为[r－(1﹢2i)][r－(1－2i)]r2＝0，r4－2r3﹢5r2＝0．所以对应的微分方程为y(4)－2﹢5y”＝0．13、设f’(lnx)＝xlnx，则f(n)(x)＝______．标准答案：ex(x﹢n－1)知识点解析：由f’(lnx)=xlnx，则f’(x)＝xex．由莱布尼茨高阶导数乘法公式，有f(n)(x)＝(xex)n－1＝exx﹢Cn－1nex·(x)’﹢0＝ex(x﹢n－1)．14、设．若A，B等价，则参数t应满足条件______．标准答案：t＝4知识点解析：矩阵A与B等价r(A)＝r(B)．现由则r(A)＝r(B)＝2，故t＝4．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、标准答案：由拉格朗日中值定理，有tan(tanx)－tan(sinx)＝sec2ξ·(tanx－sinx)，其中ξ介于tanx与sinx之间．又sec2＝sec20＝1，于是知识点解析：暂无解析16、设f(x)在x＝0处连续，且x≠0时，f(x)＝，求曲线y＝f(x)在x＝0对应的点处的切线方程．标准答案：由f(x)在x＝0处连续，所以切线方程为y－e2＝－2e2(x－0)，即y＝－2e2x﹢e2．知识点解析：暂无解析17、设D＝{(x，y)｜x2﹢y2≥1，(x－1)2﹢y2≤1)．求I＝标准答案：用极坐标变换，如图所示，点A对应的极角为θ＝arctan由于D关于x轴对称，为y的奇函数，则知识点解析：暂无解析18、求函数u＝在约束条件下的最大值与最小值．标准答案：求函数在约束条件下的最大值与最小值，等价于求函数v＝x2﹢y2﹢z2在同样的约束条件下的最大值与最小值．令F(x，y，z，λ，μ)＝x2﹢y2﹢z2﹢λ(x2﹢y2－z2)﹢μ(x﹢y﹢z－4)，①－②得(λ﹢1)(x－y)＝0．若λ＝－1，由①式可得μ＝0，由③式得x＝，与④式矛盾．故只能推得x＝y．再由④，⑤两式，得点(x1，y1，z1)＝(1，1，2)或点(x2，y2，z2)＝(－2，－2，8)．由约束条件x2﹢y2－z＝0及x﹢y﹢z－4＝0可知，点(x，y，z)只能在有限范围内变动，可见范围内必存在最小值与最大值．所以知识点解析：暂无解析19、设α是常数，考虑积分(I)证明上述积分总是收敛的；(Ⅱ)求上述积分的值．标准答案：(I)若α≥0，则题给被积函数在区间[0，﹢∞)上连续且为正值，且所以x＝0不是瑕点，为讨论x→﹢∞的情形，令α＝－β，β>0，于是综上，无论α≥0还是α<0，所给积分都收敛．(Ⅱ)作积分变量代换，知识点解析：暂无解析20、求微分方程满足y(－2)＝0并且在定义的区间上可导的特解y(x)，并求它的定义区间．标准答案：原方程改写为以上的｜x｜来自ln｜x｜．而当x＝0时，原方程中x在分母上，原方程无定义，上面得到的解式中，x＝0处z也无定义，所以要求在区间上可导的特解，这个区间应该是不含x＝0在内但含x＝－2(初值处)在内．所以只要讨论x<0处．于是当x＝－2时，y＝0，以此初值代入，得0＝－ln(2﹢C)，所以C＝，所求特解为该解存在导数的定义区间为(﹣∞，)．知识点解析：暂无解析21、设平面图形D由摆线x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)，0≤t≤2π，a＞0的第一拱与x轴围成，求该图形D对y轴的面积矩My．标准答案：题中所给的D是一个以摆线一拱x＝a(t－sint)，y＝a(1－cost)，0≤t≤2π，a>0为上边界，x轴为下边界，从x＝0到x＝2πa的曲边梯形．取竖条，其面积微元为ydx，它对y轴的面积矩为sydx，所以D对y轴的面积矩为∫02πaxydx．(*)现在按此公式求My．将摆线表达式代入式(*)，可以看出将积分变量由x换成t，得My﹦∫02πaxydx﹦∫02πa3(t﹣sint)(1﹣cost)2dt﹦a3∫02πt(1﹣cost)2dt﹣a3∫02πsint·(1﹣cost)2dta3I1﹣a3I2．其中I1﹦∫02πt(1﹣cost)2dt，I2﹦∫02πsint(1﹣cost)2dt．采用一个巧妙的办法计算I1，令t﹦2π﹣u，则I1﹦∫2π0（2π﹣u）(1﹣cosu）2(﹣du)﹦∫02π2π(1﹣cosu）2(du)﹣∫02πu(1﹣cosu）2du，故2I1﹦∫02π2π(1﹣cosu）2du，I1﹦π∫02π(1﹣cosu）2du﹦4π∫02πdu﹦4π∫02πsin4du8π∫0πsin4θdθ﹦16πsin4θdθ﹦16π﹦3π2．I2﹦π∫02πsint(1﹣cost）2dt＝(1﹣cost）3｜02π＝0，所以My﹦3a3π2．知识点解析：暂无解析22、问a，b，c为何值时，向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3是等价向量组?向量组等价时，求α1由β1，β2，β3线性表出的表出式及βα1由α1，α2，α3线性表出的表出式．标准答案：将(α1，α2，α3β1，β2，β3)作初等行变换，有向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3等价故应取a＝1，b＝2，c＝－2．当a＝1，b＝2，c＝－2时，故向量组α1’，α2’，α3’与β1’，β2’，β3’等价，从而有向量组α1，α2，α3与β1，β2，β3等价．求α1由β1，β2，β3线性表出的表出式，即解方程组得通解为l(－4，1，2)T﹢(1，0，0)T，即α1＝(－4l﹢1)β1﹢lβ2﹢2lβ3，其中l是任意常数．求β1由α1，α2，α3线性表出的表出式，即解方程组得通解为k(－1，－1，1)T﹢(1，0，0)T，即β1＝(－k﹢1)α1－kα2﹢kα3，其中k是任意常数．知识点解析：暂无解析23、设矩阵A＝，矩阵B＝(μE﹢A)n，其中μ是实数，E是单位矩阵．求对角矩阵A，使B～A，并讨论B的正定性．标准答案：由｜λE－A｜＝＝(λ﹢2)[(λ－1)2－1]＝(λ﹢2)λ(λ－2)，知A有特征值λ1＝－2，λ2＝0，λ3＝－2．由于A是实对称矩阵(或A有三个不同的特征值)，故A～＝A1，所以存在正交矩阵P，使得P－1AP=A1，故A＝PA1P－1，代入矩阵B，有B＝(μE﹢A)n＝(μPP－1﹢PA1P－1)n＝[P(μE﹢A1)P－1]n＝P(μE﹢A1)nP－1当n=2k(k＝0，1，2，…)且μ≠，μ≠2，μ≠－2时，A正定，则B正定；当n＝2k﹢1(k＝0，1，2，…)且μ>2时，A正定，则B正定．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(u)为u的连续函数，并设f(0)＝a>0．又设平面区域σ1＝{(x，y)｜｜x｜﹢｜y｜≤t，t≥0}，Ф(t)＝f(x2﹢y2dxdy．则Ф(t)在t＝0处的右导数Ф’﹢﹢(0)＝()A、a．B、2πa．C、πa．D、0．标准答案：D知识点解析：令Dt＝{(x，y)｜x2﹢y2≤t2)，于是＝{(x，y)｜x2﹢y2≤}．由于f(u)连续且f(0)＝a>0，所以存在T>0，当0﹤t2﹤T时，f(t2)>>0．而当0≤x2﹢y2≤t2﹤T时，f(x2﹢y2)﹥>0．此外，关于3块区域，显然有所以当0﹤t2﹤T时，此外显然有Ф(0)＝0．于是有即Ф’﹢(0)＝0．2、微分方程y”－2y’﹢y＝ex的特解形式为()A、y*＝Aex(A≠0)．B、y*＝(A﹢Bx)ex(B≠0)．C、y*＝(A﹢Bx﹢Cx2)ex(C≠0)．D、y*＝(A﹢Bx﹢Cx2﹢Dx3)ex(D≠0)．标准答案：C知识点解析：因为方程右边ex指数上的1是特征方程的二重特征根，故特解形式为y*=Ax2ex(A≠0)，即(C)中C≠0的形式．故应选(C)．3、设f(x)在x＝a处可导，则｜f｜(x)在x＝a处不可导的充分必要条件是()A、f(a)＝0，f’(a)＝0．B、f(a)＝0，f’(a)≠0．C、f(a)≠0，f’(a)≠0．D、f(a)≠0，f’(a)≠0．标准答案：B知识点解析：若f(a)≠0，则存在x＝的某邻域U(a)，在该邻域内f(x)与f(a)同号．于是推知，当x∈U(a)时，若f(a)>0，则｜f(x)｜＝f(x)；若f(a)﹤0，则｜f(x)｜＝－f(x)．总之，若f(a)≠0，｜f(x)｜在x＝a处总可导．其中x→a﹢时取“﹢”x→a－时取“－”，所以f(a)＝0时，｜f(x)｜在x＝a处可导的充要条件为｜f’(a)｜＝0，即f’(a)＝a．所以当且仅当f(a)＝0，f’(a)≠0时，｜f(x)｜在x＝a处不可导，选(B)．4、f(x)＝在区间(－∞，﹢∞)内零点的个数为()A、0．B、1．C、2．D、无穷多．标准答案：C知识点解析：f(x)为偶函数，f(0)﹤0，>0，所以在区间(0，)内f(x)至少有1个零点．当x>0时，所以在区间(0，﹢∞)内f(x)至多有1个零点．故在区间(0，﹢∞)内f(x)有且仅有1个零点，所以在区间(－∞，﹢∞)内f(x)有且仅有2个零点．选(C)．5、设f(x)在x＝x0的某邻域U内有定义，在x＝x0的去心邻域内可导，则下述命题：①f’(x0)存在，则f’(x)也必存在．②设f’(x)存在，则f’(x0)也必存在．③设f’(x0)不存在，则’(x0)也必不存在．④设f’(x)不存在，则’(x0)也必不存在．其中不正确的个数为()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：D知识点解析：举例说明所述命题没有一个是正确的．①的反例：设所以①不正确，②的反例：设则当x≠0时，f’(x)＝0，f’(x)＝(存在)，而f(x)在x＝0处不连续，所以f”(0)不存在．所以②不正确．③的反例，可取与②同一反例，所以③不正确．④的反例，可取与①同一反例，所以④不正确．所以选(D)．6、设当x>0时，f(x)连续且严格单调增加，F(x)＝∫0x(2t－x)f(t)dt，则F(x)在x>0时()A、没有驻点．B、有唯一驻点且为极大值点．C、有唯一驻点且为极小值点．D、有唯一驻点但不是极值点．标准答案：A知识点解析：F(x)＝∫x0(2t－x)f(t)dt＝2∫x0tf(t)dt－x∫x0f(t)dt，F’(x)＝2xf(x)－xf(x)－∫x0f(t)dt－xf(x)－∫x0f(t)dt＝∫x0[f(x)－f(t)]dt．由于f(x)严格单调增加，可知当t∈(0，x)时，f(x)>f(t)，故当x>0时，f’(x)＝∫0x[f(x)－f(t))]dt﹥0，也即F(x)在x>0时没有驻点．故应选(A)．7、设A，B均是4阶方阵，且r(A)＝3，A*，B*是矩阵A，B的伴随矩阵，则矩阵方程A*X＝B一定有解的充要条件是()A、r(B)≤1．B、r(B)≤2．C、r(B)≤3．D、r(B)≤4．标准答案：B知识点解析：由题设条件知，r(A)＝3，则r(A*)＝1．A*X＝B有解r(A*)＝r(A*B*)＝1r(B*)≤1．而当r(B*)＝1时，有可能使r(A*B*)＝2．如则r(A*)≠r(A*B*)A*X＝B*无解．故r(B*)＝0，此时r(B)≤2，有r(A*)＝r(A*B*)＝1A*X＝B*有解．故应选(B)．8、设()A、P1P2A．B、P2P1A．C、AP1P2．D、AP2P1．标准答案：A知识点解析：B是上三角形矩阵，应作初等行变换将A中下三角元素a21＝－1，a32＝2消为0，故应选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、设y＝y(x)是由所确定，则曲线y＝y(x)在t＝0对应的点处的曲率k＝_______．标准答案：知识点解析：10、设un＝_______．标准答案：知识点解析：11、标准答案：e－2知识点解析：所以原式＝e－2．12、已知y＝u(x)x是微分方程的解，则在初始条件｜x＝2下，上述微分方程的特解是y＝_______．标准答案：2xtan(x－2)知识点解析：由y＝u(x)x，有于是原方程化为由于初值为x＝2，所以在x＝2的不包含x＝0在内的邻域上，上述方程可改写成以x＝2，y＝0代入，得u=0，C＝－2．从而得特解y＝u(x)x＝2xtan(x－2)．13、圆周x2﹢y2＝16与直线L：﹢y＝4围成的小的那块弓形状的图形绕该直线L旋转一周生成的旋转体(形如橄榄状)的体积V＝______．标准答案：知识点解析：原点到直线L：x﹢y＝4的距离所以直线y＝2与圆周x2﹢y2＝16围成的小的那块弓形状的图形绕直线y＝2旋转一周生成的旋转体体积与题中要求的旋转体体积相同．由此有14、设是等价矩阵，则a＝______．标准答案：－3知识点解析：由矩阵A与B等价可得r(A)＝r(B)，其中故a﹢3＝0，解得a＝－3．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设f(x)具有二阶连续导数，f(0)＝0，f’(0)＝0，f”(0)＞0．在曲线y＝f(x)上任意一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距记为u，求．标准答案：由于f’(0)＝0及f”(0)﹥0，故存在x＝0的一个去心邻域，使得当x∈时，f’(x)≠0．过点(x，f(x))(x≠0)的切线方程为Y－f(x)＝f’(x)(X－x)．令Y=0，得截距．从而知识点解析：暂无解析16、证明：标准答案：当0﹤x﹤时，上式第二个括号内显然为正．取第一个括号，并记为g(x)．则有g(x)＝tanx－x－x3，g’(x)＝sec2x－1－x2＝tan2x－x2＝(tanx－x)(tanx﹢x)，由于当0﹤x﹤时，显然有tanx﹥x﹥0．所以g’(x)﹥0．又g(0)＝0，因此g(x)﹥0(0﹤x﹤)．所以f’(x)﹥0．又因f(0)＝0，所以f(x)﹥0(0﹤x﹤)．证毕．知识点解析：暂无解析17、(I)求定积分an＝∫02x(2x－x2)ndx，n＝1,2，…；(Ⅱ)对于(I)中的an，证明an﹢1＜an(n＝1，2，…)且＝0．标准答案：(I)当n≥2时，计算an＝∫02x(2x－x2)ndx＝∫02x[1－(1－x)2]ndx，作积分变量代换，令1－x＝t，于是an＝∫1－1(1一t)(1－t2)n(－dt)＝∫－11(1－t2)ndt－∫－11t(1－t2)ndt＝∫－11(1－t2)ndt＝2∫01(1－t2)ndt．下面用分部积分法计算：an＝2∫01(1﹣t2)ndt＝2∫01(1﹣t2)(1﹣t2)n﹣1dt＝an﹣1﹣2∫01t(1﹣t2)n﹣1tdt＝an﹣1﹢∫01td[(1﹣t2)n]＝an﹣1﹣∫01(1﹣t2)ndt＝an﹣1﹣其中a1＝∫02x(2x﹣x2)dx＝(Ⅱ)由(I)知，以an的迭代式显然有0﹤an﹤an－1(n＝2，3，…)．又知识点解析：暂无解析18、设f(u)具有连续的一阶导数，且当x＞0，y＞0时，，求z的表达式．标准答案：其中C为任意常数．知识点解析：暂无解析19、设f(x，y)=max{x，y}，D＝{(x，yy)｜0≤x≤1，0≤y≤1)．求标准答案：如图所示，曲线y＝x和y＝x2将D划分成三块：D1∪D2∪D3，知识点解析：暂无解析20、过坐标原点作曲线y＝ex的切线，该切线与曲线y＝ex以及x轴围成的向z轴负向无限伸展的平面图形记为D．求：(I)D的面积A；(Ⅱ)D绕直线X＝1旋转一周所成的旋转体的体积V．标准答案：如图所示，设切点坐标为P(x0，y0)，于是曲线y＝ex在点P的切线斜率为y’(x0)＝ex0，切线方程为y－y0＝ex0(x－x0)．它经过点(0，0)，所以－y0＝－x0ex0．又因y0＝ex0，代入求得x0＝1，从而y0＝ex0＝e，切线方程为y＝ex．(I)取水平条面积元素，则D的面积(积分∫0elnydy为反常积分，根据洛必达法则得到ylny＝0)．(Ⅱ)D绕直线x＝1旋转一周所成的旋转体的体积微元为知识点解析：暂无解析21、求满足微分方程yy”﹢1＝(y’)，及初始条件y(0)＝1，y’(0)＝的特解，并验证你所得到的解的确满足上述方程及所给初始条件．标准答案：本题为y”＝f(y，y’)型，按教材中的标准方法解之．令y’＝p，将y作为自变量，得原方程化为方程①为变量可分离方程：方程②两边积分并去掉绝对值符号及对数符号，得以初始条件y’(0)＝代入并注意到y(0)＝1，于是得所以“±”号应取“﹢”，C32＝1，于是③式成为将④式分离变量、积分，得所以yy’﹢1＝(y’)2．此外，显然满足y(0)＝1，y’＝，解毕．知识点解析：暂无解析22、设齐次线性方程组Ax＝0为(I)求方程组(*)的基础解系和通解；(Ⅱ)问a，b满足什么条件时，方程组(*)和(**)是同解方程组．标准答案：(I)故方程组(*)的基础解系为(－3，－5，1，0)T，通解为k(－3，－5，1，0)T，k是任意常数．(Ⅱ)法一：方程组(*)，(**)是同解方程组方程组(*)的通解满足方程组(**)的第4个方程．将(*)的通解代入，得2(－3k)﹢a(－5k)－4k﹢0＝0，即－5ak＝10k．又k是任意常数，得a＝－2．故当a＝－2，b为任意值时，方程组(*)，(**)同解．法二方程组(*)，(**)是同解方程组，方程组(**)中新添的第4个方程应可由方程组(*)的3个方程线性表出，表达成列向量形式为故a＝－2，b为任意值时，方程组(**)中第4个方程可由方程组(*)的3个方程线性表出，从而方程组(*)，(**)同解．知识点解析：暂无解析23、问：(I)A是否相似于B，说明理由；(Ⅱ)A和C是否相似，说明理由．标准答案：(I)由｜λE－A｜＝＝(λ﹢1)(λ2－1)＝(λ﹢1)2(λ－1)，知A有特征值λ1＝λ2＝－1，λ3＝1．当λ1＝λ2＝－1时，所以A的对应于二重特征值λ1＝λ2＝－1的线性无关的特征向量有两个，则A可相似于对角矩阵．由｜λE－B｜＝＝(λ﹢1)(λ2－1)＝(λ﹢1)2(λ－1)，知B有特征值λ1＝λ2＝－1，λ3＝1，又B是实对称矩阵．所以C的对应于二重特征值λ1＝λ2＝－1的线性无关的特征向量只有一个，故C不能相似于对角矩阵．故A与C不相似．知识点解析：暂无解析考研数学（数学二）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x)满足f”(x)﹢x[f’(x)]2sinx，且f’(0)＝0，则()A、f(0)是fx)的极小值．B、f(0)是f(x)的极大值．C、曲线y＝f(x)在点(0，f(0))左侧邻域是凹的，在右侧邻域是凸的．D、曲线y＝f(x)在点(0，f(0))左侧邻域是凸的，在右侧邻域是凹的．标准答案：D知识点解析：由f”(x)﹢x[f’(x)]2＝sinx有f”(0)＝0，再求导，得(x)﹢[f’(x)]2﹢2xf’(x)f”(x)＝cosx，(0)＝1．所以由极限的局部保号性知，存在x＝0的去心邻域，当x∈且x＜0时，f”(x)＜0；当x∈且x＞0时，f”(x)＞0．故应选(D)．2、下列命题：①设f’(x)与f“(x)均存在，则f(x)在x＝x0处必连续；②设f’－(x0)与f’﹢(x0)均存在，则f(x)在x＝x0处必连续；③设f(－0)与f(﹢0)均存在，则f(x)在x＝x0处必连续；④设f’(x)与f’中至少有一个不存在，则f(x)在x＝x0处必不可导．正确的个数是()A、1．B、2．C、3．D、4．标准答案：A知识点解析：f’－(x0)存在，即f(x)在x＝x0处左导数存在，推知f(x)在x＝x0处左连续；f’－(x0)存在，推知f(x)在x＝x0处右连续．故f(x)x＝x0处连续，②正确．①与③都不正确，因为这两种情形，f(x0)可能没有定义．④也不正确，反例：不存在，但f’(0)存在．3、曲线共有渐近线()A、1条．B、2条．C、3条．D、4条．标准答案：C知识点解析：＝﹢∞，所以x＝0是一条铅直渐近线．所以沿x→﹢∞方向有一条水平渐近线y＝所以沿x→－∞方向有一条斜渐近线y＝－2x﹢．共3条．4、设f(x)在(－∞，﹢∞)上连续且严格单调增加，f(0)＝0，常数n为正奇数，并设F(x)＝∫0xf(t)dt．则下列选项中正确的是()A、F(x)在(－∞，0)内严格单调增加，在(0，﹢∞)内也严格单调增加．B、F(x)在(－∞，0)内严格单调增加，在(0，﹢∞)内严格单调减少．C、F(x)在(－∞，O)内严格单调减少，在(0，﹢∞)内严格单调增加．D、F(x)在(－∞，0)内严格单调减少，在(0，﹢∞)内也严格单调减少．标准答案：C知识点解析：设x﹥0，则0﹤ξ﹤x，0﹤ξn﹤xn，0﹤f(ξ)﹤f(x)，故0﹤ξnf(ξ)﹤xnf(x)，从而F’(x)>0；设x﹤0，则x﹤ξ﹤0，xn﹤ξn﹤0，f(x)nf(x)﹥ξnf(ξ)，从而F’(x)﹤0．故应选(C)．5、设f(x)在区间(－∞，﹢∞)上连续，且满足f(x)＝∫0xf(x－t)sintdt﹢x．则在(－∞，﹢∞)上，当x≠0时，f(x)()A、恒为正．B、恒为负．C、与x同号．D、与x异号．标准答案：C知识点解析：令x－t＝u，作积分变量代换，得f(x)＝∫x0f(u)sin(x－u)d(－u)﹢x＝∫0xf(u)sin(x－u)du﹢x＝sinx∫0xf(u)cosudu－cosx∫0xf(u)sinudu﹢x，f’(x)＝cosx∫0xf(u)cosudu﹢sinx·cosx·f(x)﹢sinx∫0xf(u)sinudu－cosx·sinx·f(x)﹢1＝cosx∫0xf(u)cosudu﹢sinx∫0xf(u)sinudu﹢1，f”(x)＝－sinx∫0xf(u)cosudu﹢cos2x·f(x)﹢cosx∫0xf(u)sinudu﹢sin2x·f(z)＝f(x)－f(x)﹢x＝x，所以f(x)＝﹢C1x﹢C2．又因f(0)＝0，f’(0)＝1，所以C1＝1，C2＝0．从而．故应选(C)．6、设f(x)在(－∞，﹢∞)上连续，下述命题：①若对任意a，∫－aaf(x)dx＝0，则f(x)必是奇函数；②若对任意a，∫－aaf(x)dx＝2∫0af(x)dx，则F(X)必是偶函数；③若f(x)为周期为T的奇函数，则F(x)＝∫0xf(t)dt也具有周期T．正确的个数是()A、0B、1．C、2．D、3．标准答案：D知识点解析：①是正确的．记F(a)＝∫－aaf(x)dx，有F’(a)＝f(a)﹢f(－a)．由于F(a)＝0，所以F’(a)，即f(a)＝－f(－a)，f(x)为奇函数．②是正确的．记F(a)＝∫－aaf(x)dx－2∫0af(x)dx，F’(a)＝f(a)﹢f(－a)－2f(a)0，所以f(－a)＝f(a)，f(x)为偶函数．③是正确的．F(x﹢T)－F(x)＝∫0x﹢Tf(t)dt－∫0xf(t)df＝∫x0x﹢Tf(t)dt＝∫0Tf(t)dt＝f(t)dt＝0，所以F(x)具有周期T故应选(D)．7、设A，B均是3阶非零矩阵，满足AB＝O，其中B＝，则()A、当a＝－1时，必有r(A)＝1B、当a≠－1时，必有r(A)＝2．C、当a＝2时，必有r(A)＝1．D、当a≠2时，必有r(A)＝2．标准答案：C知识点解析：A是非零矩阵，r(A)>0．AB＝O，r(A)﹢r(B)≤3，故r(B)≤2．当a≠－1时，必有a＝2，r(B)＝2r(A)＝1，(B)不成立，(C)正确．当a≠2时，必有a＝－1，r(B)＝1r(A)＝1或2，(A)，(D)不成立．故应选(C)．8、设ξ1，ξ2，ξ3，ξ1﹢aξ2－2ξ3均是非齐次线性方程组Ax＝b的解，则对应齐次线性方程组Ax＝0有解()A、η1＝2ξ1﹢aξ2﹢ξ3．B、η2＝－2ξ1﹢3ξ2－2aξ3．C、η3＝aξ1﹢2ξ2－ξ3．D、η4＝3ξ3－2aξ2﹢ξ3．标准答案：D知识点解析：由题设条件Aξi＝b，2．i＝1，2，3及A(ξ1﹢aξ22－2ξ3)＝b﹢ab－2b＝b，得(1﹢a－2)b＝b，b≠0，即1﹢a－2＝1，故a＝2．当a＝2时，看是否满足Aηi＝0，i＝1，2，3，4．Aη1＝A(2ξ1﹢2ξ2﹢ξ3)＝5b≠0，Aη2＝A(－2ξ1﹢3ξ2－4ξ3)＝－3b≠0，Aη3＝A(2ξ1﹢2ξ2－ξ2)＝3b≠0，Aη4＝A(3ξ1－4ξ2﹢ξ3)＝0．故η4是对应齐次线性方程组Ax＝0的解，故应选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、＝______．标准答案：1／2知识点解析：10、椭圆绕x轴旋转一周生成的旋转曲面S的面积＝______．标准答案：知识点解析：11、曲线r＝a(1﹢cosθ)(常数a>0)在点处的曲率k＝_______．标准答案：知识点解析：将极坐标方程r＝a(1﹢cosθ)化成参数式：代入由参数式表示的曲率公式：并经较复杂但初等的运算，得k＝12、在区间[0，1]上函数f(x)=nx(1－x)n(n为正整数)的最大值记为M(n)，则＝_______．标准答案：e－1知识点解析：f(x)＝nx(1－x)n，f’(x)＝n(1－x)n－n2x(1－x)n－1＝n(1－x)n－1(1－x－nx)．令f’(x)＝0，得x＝或x＝1．记x1＝，x2＝1．由于f(0)＝f(1)＝0，f(x)>0(x∈0，1))，在区间(0，1)内求得唯一驻点x1＝，所以f(x1)为最大值．则13、设函数f与g可微，z＝f[xy，g(xy)﹢lnx]，则＝_______．标准答案：f’2知识点解析：14、设二次型f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x2－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x41﹢(a－1)2x42的规范形为y12﹢y22－y32，则参数a＝______．标准答案：1／2知识点解析：法一由二次型的规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1．利用配方法，有f(x1，x2，x3，x4)＝x12﹢2x1x3－x22﹢4x2x3－x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42＝(x1﹢x2)2－2x22﹢4x2x3－x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42＝(x1﹢x2)2－2(x2－x3)2﹢x32－2ax3x4﹢(a－1)2x42＝(x1﹢x2)2－2(x2－x3)2﹢(x3－ax4)2－(2a－1)x42，故由f的正惯性指数为2，负惯性指数为1，应有a＝1／2．法二f是四元二次型，由规范形知，其正惯性指数为2，负惯性指数为1，且有一项为零．故知其有特征值λ＝0，故该二次型的对应矩阵A有｜A｜＝0．因三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)15、设平面区域D是由参数方程0≤t≤2π给出的曲线与x轴围成的区域，求二重积分，其中常数a>0．标准答案：先对y后对x积分．摆线纵坐标记为y(x)，于是y2dσ＝∫02πadx∫0y(x)y2dy＝∫02πay3(x)dx，上式中的y＝y(x)通过参数式联系着．对上式作积分变量代换x＝a(t－sint)，从而y(x)成为t的函数y(t)＝a(1－cost)，于是知识点解析：暂无解析16、设y＝f(x)＝．(I)讨论函数f(x)的奇偶性、单调性、极值；(Ⅱ)讨论曲线y＝f(x)的凹凸性、拐点、渐近线，并根据(I)．(Ⅱ)的讨论结果，画出函数y＝f(x)的大致图形．标准答案：(I)因为二次式x2±x﹢1的判别式(±1)2－4＝－3﹤0，所以x2±x﹢1＞0恒成立，f(x)的定义域为(－∞，﹢∞)．又f(x)＝－f(－x)，所以f(x)为奇函数．f’(x)的分子中两项分别记为a，b，a﹥0，b﹥0，考虑故0﹤a﹤b．所以当x>时，仍有f’(x)﹤0，从而当0≤x﹤﹢∞时，f’(x)＜0．又f(x)为奇函数，故当－∞﹤x﹤0时，f’