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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.阿基米德(公元前287年—公元前212年),伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家,他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形,为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的,且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形,其表面积为,则该圆柱的内切球体积为()A. B. C. D.2.记为等差数列的前项和.若,,则()A.5 B.3 C.-12 D.-133.已知,,,若,则正数可以为()A.4 B.23 C.8 D.174.已知为定义在上的奇函数,若当时,(为实数),则关于的不等式的解集是()A. B. C. D.5.如图示,三棱锥的底面是等腰直角三角形,,且,,则与面所成角的正弦值等于()A. B. C. D.6.已知数列是公比为的等比数列,且,若数列是递增数列,则的取值范围为()A. B. C. D.7.若函数,在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则实数的取值范围是()A. B. C. D.8.若复数满足,则()A. B. C. D.9.不等式组表示的平面区域为,则()A., B.,C., D.,10.已知函数是奇函数,且,若对,恒成立,则的取值范围是()A. B. C. D.11.若实数、满足,则的最小值是()A. B. C. D.12.已知非零向量满足,,且与的夹角为,则()A.6 B. C. D.3二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.我国古代名著《张丘建算经》中记载:“今有方锥下广二丈,高三丈,欲斩末为方亭;令上方六尺:问亭方几何?”大致意思是:有一个四棱锥下底边长为二丈,高三丈;现从上面截取一段,使之成为正四棱台状方亭,且四棱台的上底边长为六尺,则该正四棱台的高为________尺,体积是_______立方尺(注:1丈=10尺).14.若,则=______,=______.15.正四棱柱中,,.若是侧面内的动点,且,则与平面所成角的正切值的最大值为___________.16.已知,,是平面向量,是单位向量.若,,且,则的取值范围是________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)为了加强环保知识的宣传,某学校组织了垃圾分类知识竟赛活动.活动设置了四个箱子,分别写有“厨余垃圾”、“有害垃圾”、“可回收物”、“其它垃圾”;另有卡片若干张,每张卡片上写有一种垃圾的名称.每位参赛选手从所有卡片中随机抽取张,按照自己的判断将每张卡片放入对应的箱子中.按规则,每正确投放一张卡片得分,投放错误得分.比如将写有“废电池”的卡片放入写有“有害垃圾”的箱子,得分,放入其它箱子,得分.从所有参赛选手中随机抽取人,将他们的得分按照、、、、分组,绘成频率分布直方图如图:(1)分别求出所抽取的人中得分落在组和内的人数;(2)从所抽取的人中得分落在组的选手中随机选取名选手,以表示这名选手中得分不超过分的人数,求的分布列和数学期望.18.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.19.(12分)如图在直角中,为直角,,,分别为,的中点,将沿折起,使点到达点的位置,连接,,为的中点.(Ⅰ)证明:面;(Ⅱ)若,求二面角的余弦值.20.(12分)如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,底面ABCD是边长为2的菱形,点E,F分别为棱DC,BC的中点,点G是棱SC靠近点C的四等分点.求证:(1)直线平面EFG;(2)直线平面SDB.21.(12分)已知矩阵,求矩阵的特征值及其相应的特征向量.22.(10分)已知函数(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的值域为A,且,求a的取值范围.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
设圆柱的底面半径为,则其母线长为,由圆柱的表面积求出,代入圆柱的体积公式求出其体积,结合题中的结论即可求出该圆柱的内切球体积.【详解】设圆柱的底面半径为,则其母线长为,因为圆柱的表面积公式为,所以,解得,因为圆柱的体积公式为,所以,由题知,圆柱内切球的体积是圆柱体积的,所以所求圆柱内切球的体积为.故选:D【点睛】本题考查圆柱的轴截面及表面积和体积公式;考查运算求解能力;熟练掌握圆柱的表面积和体积公式是求解本题的关键;属于中档题.2.B【解析】
由题得,,解得,,计算可得.【详解】,,,,解得,,.故选:B【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,前项和公式,考查了学生运算求解能力.3.C【解析】
首先根据对数函数的性质求出的取值范围,再代入验证即可;【详解】解:∵,∴当时,满足,∴实数可以为8.故选:C【点睛】本题考查对数函数的性质的应用,属于基础题.4.A【解析】
先根据奇函数求出m的值,然后结合单调性求解不等式.【详解】据题意,得,得,所以当时,.分析知,函数在上为增函数.又,所以.又,所以,所以,故选A.【点睛】本题主要考查函数的性质应用,侧重考查数学抽象和数学运算的核心素养.5.A【解析】
首先找出与面所成角,根据所成角所在三角形利用余弦定理求出所成角的余弦值,再根据同角三角函数关系求出所成角的正弦值.【详解】由题知是等腰直角三角形且,是等边三角形,设中点为,连接,,可知,,同时易知,,所以面,故即为与面所成角,有,故.故选:A.【点睛】本题主要考查了空间几何题中线面夹角的计算,属于基础题.6.D【解析】
先根据已知条件求解出的通项公式,然后根据的单调性以及得到满足的不等关系,由此求解出的取值范围.【详解】由已知得,则.因为,数列是单调递增数列,所以,则,化简得,所以.故选:D.【点睛】本题考查数列通项公式求解以及根据数列单调性求解参数范围,难度一般.已知数列单调性,可根据之间的大小关系分析问题.7.D【解析】
利用导数求得在区间上的最大值和最小,根据三角形两边的和大于第三边列不等式,由此求得的取值范围.【详解】的定义域为,,所以在上递减,在上递增,在处取得极小值也即是最小值,,,,,所以在区间上的最大值为.要使在区间上任取三个实数,,均存在以,,为边长的三角形,则需恒成立,且,也即,也即当、时,成立,即,且,解得.所以的取值范围是.故选:D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值,考查恒成立问题的求解,属于中档题.8.B【解析】
由题意得,,求解即可.【详解】因为,所以.故选:B.【点睛】本题考查复数的四则运算,考查运算求解能力,属于基础题.9.D【解析】
根据题意,分析不等式组的几何意义,可得其表示的平面区域,设,分析的几何意义,可得的最小值,据此分析选项即可得答案.【详解】解:根据题意,不等式组其表示的平面区域如图所示,其中,,
设,则,的几何意义为直线在轴上的截距的2倍,
由图可得:当过点时,直线在轴上的截距最大,即,当过点原点时,直线在轴上的截距最小,即,故AB错误;
设,则的几何意义为点与点连线的斜率,由图可得最大可到无穷大,最小可到无穷小,故C错误,D正确;故选:D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用,关键是对目标函数几何意义的认识,属于基础题.10.A【解析】
先根据函数奇偶性求得,利用导数判断函数单调性,利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数是奇函数,所以函数是偶函数.,即,又,所以,.函数的定义域为,所以,则函数在上为单调递增函数.又在上,,所以为偶函数,且在上单调递增.由,可得,对恒成立,则,对恒成立,,得,所以的取值范围是.故选:A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式,根据方程组法求函数解析式,利用导数判断函数单调性,属压轴题.11.D【解析】
根据约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,求出最优解的坐标,代入目标函数得答案【详解】作出不等式组所表示的可行域如下图所示:联立,得,可得点,由得,平移直线,当该直线经过可行域的顶点时,该直线在轴上的截距最小,此时取最小值,即.故选:D.【点睛】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,是基础题.12.D【解析】
利用向量的加法的平行四边形法则,判断四边形的形状,推出结果即可.【详解】解:非零向量,满足,可知两个向量垂直,,且与的夹角为,说明以向量,为邻边,为对角线的平行四边形是正方形,所以则.故选:.【点睛】本题考查向量的几何意义,向量加法的平行四边形法则的应用,考查分析问题解决问题的能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.213892【解析】
根据题意画出图形,利用棱锥与棱台的结构特征求出正四棱台的高,再计算它的体积.【详解】如图所示:正四棱锥P-ABCD的下底边长为二丈,即AB=20尺,高三丈,即PO=30尺,截去一段后,得正四棱台ABCD-A'B'C'D',且上底边长为A'B'=6尺,所以,解得,所以该正四棱台的体积是,故答案为:21;3892.【点睛】本题考查了棱锥与棱台的结构特征与应用问题,也考查了棱台的体积计算问题,属于中档题.14.10【解析】
①根据换底公式计算即可得解;②根据同底对数加法法则,结合①的结果即可求解.【详解】①由题:,则;②由①可得:.故答案为:①1,②0【点睛】此题考查对数的基本运算,涉及换底公式和同底对数加法运算,属于基础题目.15.2.【解析】
如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,由得,证明为与平面所成角,令,用三角函数表示出,求解三角函数的最大值得到结果.【详解】如图,以为原点建立空间直角坐标系,设点,则,,又,得即;又平面,为与平面所成角,令,当时,最大,即与平面所成角的正切值的最大值为2.故答案为:2【点睛】本题主要考查了立体几何中的动点问题,考查了直线与平面所成角的计算.对于这类题,一般是建立空间直角坐标,在动点坐标内引入参数,将最值问题转化为函数的最值问题求解,考查了学生的运算求解能力和直观想象能力.16.【解析】
先由题意设向量的坐标,再结合平面向量数量积的运算及不等式可得解.【详解】由是单位向量.若,,设,则,,又,则,则,则,又,所以,(当或时取等)即的取值范围是,,故答案为:,.【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)所抽取的人中得分落在组和内的人数分别为人、人;(2)分布列见解析,.【解析】
(1)将分别乘以区间、对应的矩形面积可得出结果;(2)由题可知,随机变量的可能取值为、、,利用超几何分布概率公式计算出随机变量在不同取值下的概率,可得出随机变量的分布列,并由此计算出随机变量的数学期望值.【详解】(1)由题意知,所抽取的人中得分落在组的人数有(人),得分落在组的人数有(人).因此,所抽取的人中得分落在组的人数有人,得分落在组的人数有人;(2)由题意可知,随机变量的所有可能取值为、、,,,,所以,随机变量的分布列为:所以,随机变量的期望为.【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频数,同时也考查了离散型随机变量分布列与数学期望的求解,考查计算能力,属于基础题.18.(1)见证明;(2)【解析】
(1)设是的中点,连接、,先证明是平行四边形,再证明平面,即(2)以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建空间直角坐标系,分别计算各个点坐标,计算平面法向量,利用向量的夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)证明:设是的中点,连接、,是的中点,,,,,,,是平行四边形,,,,,,,,由余弦定理得,,,,平面,,;(2)由(1)得平面,,平面平面,过点作,垂足为,平面,以为坐标原点,的方向为轴的正方向,建立如图的空间直角坐标系,则,,,,设是平面的一个法向量,则,,令,则,,,直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查了线面垂直,线线垂直,利用空间直角坐标系解决线面夹角问题,意在考查学生的空间想象能力和计算能力.19.(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中点,连结、,四边形是平行四边形,由,,得,从而,,求出,由此能证明.(Ⅱ)以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角的余弦值.【详解】证明:(Ⅰ)取中点,连结、,∵,,∴四边形是平行四边形,∵,,,∴,∴,∴,在中,,又∵为的中点,∴,又∵,∴.解:(Ⅱ)∵,,,∴,以为原点,、、所在直线分别为,,轴,建立空间直角坐标系,设,则,,,,∴,,,设面的法向量,则,取,得,同理,得平面的法向量,设二面角的平面角为,则,∴二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直及线面垂直性质定理、线面垂直判定与性质定理以及利用空间向量求线面角与二面角,考查基本分析求解能力,属中档题.20.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,再证明即可.(2)证明与即可.【详解】(1)连接AC、BD交于点O,交EF于点H,连接GH,所以O为AC的中点,H为OC的中点,由E、F为DC、BC的中点,再由题意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直线平面EFG.(2)在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因为侧面底面ABCD,由面面垂直的性质定理可知平面ABCD,所以,因为底面ABCD是菱形,所以,因为,所以平面SDB.【点睛】本题考查线面平行与垂直的证明.需要根据题意利用等比例以及余弦定理勾股定理等证明.属于中档题.21.矩阵属于特征值
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