第二章控制系统的数学模型

第二章控制系统的数学模型

2.1引言

控制系统是由控制对象、执行机构、放大器、检测（测量）装置和控制器等组成。

数学模型：在分析和设计系统时，了解这些砖砖瓦瓦的工作原理及运动过程是很重要的，.

更重要的是深入研究宜们的动态特性2JE确列写出它们的数学表达式2_

我们把描述系统或元件的动态特性的数学表达式叫做系统或元件的数学模型。

深入了解元件及系统的动态特性，准确建立它们的数学模型一称建模，只有得到较为准确的

数学建模，.才能设计出姓能良好的控制系统。一

动态特性控制系统所采用的元件种类繁多，虽然各自服从的规律，但它们有一共同点：

即任何系统或元件总有物质或能量流入，同时又有某些物质或能量流出，系统通常又是有贮

存物质或能量的能力，贮存量的多少用状态变量来表示。状态变量是反应系统流入量或流出

量之间平衡的物理量，由于外部供给系统的物质或能量的速率是有限的，不可能是无穷大，

因此，系统的状态变量有一个状态变到另一个状态不可能瞬间完成，而要经过一段时间。这

样，状态变量的变化就有一个过程，这就是动态过程。例如，电路中电容上的电压是一个状

态变量，它由一个值变到另一个值不可能瞬间完成。具有一定惯量的物体的转速是一个状态

变量，转速的变化也是一个过渡过程，具有一定质量的物体的温度是一个状态变量，它由温

度TO变到T,同样有一个动态过程；又如容器中液位也是一个状态变量，液位的变化也要一

定的时间。

物理模型任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必

须进行简化或理想化。简化后的元件或系统为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，

要根据问题的性质和求解的精确要求，来确定出合理的物理模型。

建立控制系统数学模型的方法有

分析法一对系统各部分的运动机理进行分析，物理规律、化学规律

建立系统数学模型的几个步骤：

•建立物理模型。

•列写原始方程。利用适当的物理定律一如牛顿定律、基尔霍夫电流和电压定律、能

量守恒定律等）

•选定系统的输入量、输出量及状态变量（仅在建立状态模型时要求），消去中间变

量，建立适当的输入输出模型或状态空间模型。

实验法一人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。

输入（已知）--------输出（已知）

—T黑——►

数学模型的逼近

数学模型有多种表现形式

一、时1微分方程一输入量和状态变量都是连续的。集总参数

偏微分方程，分布参数

2差分方程一离散系统

二、复域1传递函数

2结构图一信号流图

三、频率一频率特性，波特图

连续系统一微分方程1线性微分方程线性系统

时2常系数线性微分方程线性定常系统线性时变系统

3偏微分方程一分布参数系统

域4非线性微分方程

离散系统一差分方程

2.2控制系统的时域数学模型

2.2.1线性元件的微分方程

例2-1图2-1为由一RC组成的四端无源网络。试列写以UI(t)为输入量，U2(t)为输出

量的网络微分方程。

RIR2

°---1I--T--1I--1---°

UIC1±C2士U2

o---------------------------------------------------------o

图2-1RC组成的四端网络

解：设回路电流il、i2

根据克希霍夫定律，列写方程

。1=财+4①

"cl-，2)4

G②

+42③

Uc2=—\hdt

“④

U2=Uc2