2024-2025学年高中数学 第1章 三角函数 6 6.1 余弦函数的图像 6.2 余弦函数的性质（教师用书）教案 北师大版必修4

2024-2025学年高中数学第1章三角函数66.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质（教师用书）教案北师大版必修4科目授课时间节次--年—月—日（星期——）第—节指导教师授课班级、授课课时授课题目（包括教材及章节名称）2024-2025学年高中数学第1章三角函数66.1余弦函数的图像6.2余弦函数的性质（教师用书）教案北师大版必修4教学内容分析本节课的主要教学内容是北师大版高中数学必修4第1章《三角函数》中的6.1节“余弦函数的图像”和6.2节“余弦函数的性质”。具体内容包括：

1.余弦函数的图像：让学生掌握余弦函数的基本图像特征，了解余弦函数的周期性、对称性以及突变点等。

2.余弦函数的性质：让学生理解并掌握余弦函数的单调性、奇偶性、有界性等基本性质，并能运用这些性质解决一些简单问题。

教学内容与学生已有知识的联系：

1.知识前置：学生在学习本节课之前，应已掌握正弦函数的图像与性质，这为本节课学习余弦函数的图像与性质提供了基础。

2.函数概念：学生在学习本节课之前，应已掌握函数的基本概念，如函数的定义、表达式等，这有助于理解余弦函数的相关性质。

3.数学几何：学生应具备一定的数学几何知识，如坐标系、直线、曲线等，这有助于理解余弦函数的图像特征。

结合以上分析，本节课的教学重点是让学生掌握余弦函数的图像与性质，教学难点是理解并运用余弦函数的性质解决实际问题。在教学过程中，教师应注重引导学生通过观察、分析、归纳等方法自主学习，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。核心素养目标本节课旨在培养学生的数学核心素养，主要包括：

1.逻辑推理：通过观察余弦函数的图像和分析其性质，让学生学会从具体事物中抽象出余弦函数的基本特征，并能运用这些特征进行逻辑推理。

2.直观想象：让学生通过观察余弦函数的图像，培养学生的空间想象能力，能将余弦函数的性质与图像建立起直观的联系。

3.数学建模：培养学生运用余弦函数的性质解决实际问题的能力，学会建立数学模型，并用数学语言描述和解决问题。

4.数据分析：让学生掌握数据分析的基本方法，学会从余弦函数的图像和性质中提取有价值的信息，并对数据进行合理的分析。重点难点及解决办法重点：

1.余弦函数的图像特征：包括周期性、对称性和突变点等。

2.余弦函数的性质：包括单调性、奇偶性、有界性等。

难点：

1.理解并运用余弦函数的性质解决实际问题。

2.掌握余弦函数图像的分析和解读方法。

解决办法：

1.对于重点内容，可以通过引导学生观察图像、分析实例、进行小组讨论等方式加深理解。

2.对于难点内容，可以通过分步骤讲解、提供具体案例、引导学生进行数学建模实践等方法加以突破。

具体操作上，可以设计一些具有启发性的问题和练习题，让学生在解决问题的过程中自然地理解和掌握余弦函数的图像和性质。同时，利用多媒体教学手段，如动画演示余弦函数的图像变化，有助于直观地展示余弦函数的性质，使学生更好地理解和记忆。此外，鼓励学生参与课堂讨论，分享彼此的学习心得和方法，也能有效提高学生的学习效果。教学资源1.软硬件资源：多媒体投影仪、计算机、白板、彩色粉笔、余弦函数图像演示软件。

2.课程平台：学校提供的网络教学平台，用于上传教学课件、作业和交流。

3.信息化资源：余弦函数相关的视频教程、在线练习题、数学论坛和学术文章。

4.教学手段：小组讨论、问题解答、案例分析、数学建模实践、课堂问答和互动游戏。

5.教辅材料：余弦函数的教学指导书、练习册、参考书籍和习题集。

6.评估工具：在线测试系统、纸质测验和口头提问，用于监测学生对余弦函数图像和性质的掌握情况。教学实施过程1.课前自主探索

教师活动：

-发布预习任务：提供余弦函数图像和性质的预习资料，要求学生通过在线平台或班级微信群下载并阅读。

-设计预习问题：提出关于余弦函数图像和性质的探究性问题，如“余弦函数的周期性如何体现？”、“余弦函数的单调性在图像上有何表现？”

-监控预习进度：通过在线平台或学生反馈，了解学生的预习进度，确保学生对即将学习的内容有初步了解。

学生活动：

-自主阅读预习资料：学生独立阅读余弦函数图像和性质的相关资料，理解相关概念。

-思考预习问题：学生针对提出的问题进行独立思考，记录自己的理解和疑问。

-提交预习成果：学生将预习成果（如笔记、思维导图、问题等）提交至平台或老师处。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：学生独立阅读和思考，培养自主学习能力。

-信息技术手段：利用在线平台、微信群等，实现预习资源的共享和监控。

作用与目的：

-帮助学生提前了解余弦函数图像和性质，为课堂学习做好准备。

-培养学生的自主学习能力和独立思考能力。

2.课中强化技能

教师活动：

-导入新课：通过展示一个实际问题，如物体在简谐运动中的位移函数，引出余弦函数的重要性。

-讲解知识点：详细讲解余弦函数的图像特征，如周期性、对称性等，并通过实例帮助学生理解。

-组织课堂活动：设计小组讨论，让学生分析余弦函数图像的性质，并进行角色扮演，模拟余弦函数的应用场景。

-解答疑问：针对学生在学习中产生的疑问，进行及时解答和指导。

学生活动：

-听讲并思考：学生认真听讲，积极思考老师提出的问题。

-参与课堂活动：学生积极参与小组讨论、角色扮演等活动，体验余弦函数知识的应用。

-提问与讨论：学生针对不懂的问题或新的想法，勇敢提问并参与讨论。

教学方法/手段/资源：

-讲授法：通过详细讲解，帮助学生理解余弦函数图像和性质。

-实践活动法：设计实践活动，让学生在实践中掌握余弦函数的性质。

-合作学习法：通过小组讨论等活动，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

作用与目的：

-帮助学生深入理解余弦函数图像和性质，掌握相关技能。

-通过实践活动，培养学生的动手能力和解决问题的能力。

-通过合作学习，培养学生的团队合作意识和沟通能力。

3.课后拓展应用

教师活动：

-布置作业：根据本节课的内容，布置适量的课后作业，巩固学习效果。

-提供拓展资源：提供与余弦函数相关的拓展资源，如数学竞赛题目、实际应用案例等，供学生进一步学习。

-反馈作业情况：及时批改作业，给予学生反馈和指导。

学生活动：

-完成作业：学生认真完成老师布置的课后作业，巩固学习效果。

-拓展学习：学生利用老师提供的拓展资源，进行进一步的学习和思考。

-反思总结：学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结，提出改进建议。

教学方法/手段/资源：

-自主学习法：引导学生自主完成作业和拓展学习。

-反思总结法：引导学生对自己的学习过程和成果进行反思和总结。

作用与目的：

-巩固学生在课堂上学到的余弦函数图像和性质知识点。

-通过拓展学习，拓宽学生的知识视野和思维方式。

-通过反思总结，帮助学生发现自己的不足并提出改进建议，促进自我提升。拓展与延伸1.余弦函数在现实生活中的应用：

a.物理领域：余弦函数在简谐振动、电磁波传播等方面的应用。可以引导学生了解物理中的简谐运动，例如单摆、弹簧振子等，让学生了解余弦函数在描述这些物理现象中的作用。

b.工程领域：余弦函数在信号处理、电路设计等方面的应用。可以让学生了解余弦波在信号处理中的重要性，以及如何利用余弦函数进行电路设计和优化。

c.建筑领域：余弦函数在建筑结构分析、地震波分析等方面的应用。可以引导学生了解建筑结构中的受力分析，以及如何利用余弦函数来描述和分析地震波的传播。

2.余弦函数的进一步研究：

a.余弦函数的积分与微分：引导学生深入研究余弦函数的积分与微分性质，例如余弦函数的不定积分、定积分等，以及余弦函数的导数和原函数。

b.余弦函数的周期性与对称性：引导学生探究余弦函数的周期性、奇偶性、对称性等性质，并探讨这些性质的深层原因。

c.余弦函数的极限与连续性：让学生了解余弦函数在极限和连续性方面的性质，例如余弦函数的极限存在性、连续性等。

3.与其他三角函数的关系与转化：

a.余弦函数与正弦函数的关系：引导学生了解余弦函数与正弦函数之间的关系，例如余弦函数与正弦函数的相互转化、公式推导等。

b.余弦函数与正切函数的关系：让学生掌握余弦函数与正切函数之间的关系，例如余弦函数与正切函数的图像关系、性质转化等。

c.余弦函数的复合函数：引导学生研究余弦函数与其他函数的复合关系，例如余弦函数与多项式、指数函数、对数函数等的复合，并探讨这些复合函数的性质。

4.余弦函数在数学竞赛中的应用：

提供一些与余弦函数相关的数学竞赛题目，让学生在解决问题的过程中运用余弦函数的知识，提高学生的数学思维能力和解决问题的能力。

鼓励学生进行课后自主学习和探究，通过阅读教材、查找资料、参加学术讲座等方式，拓宽知识面，提高自己的数学素养。同时，引导学生关注数学在实际生活中的应用，培养学生的数学应用能力和创新精神。板书设计标题：余弦函数图像与性质

一、余弦函数图像特征

-周期性：\[周期\]

-对称性：\[对称轴\]

-突变点：\[零点、π/2、π、3π/2\]

二、余弦函数性质

-单调性：\[单调递增、递减区间\]

-奇偶性：\[奇函数\]

-有界性：\[最小值、最大值\]

三、余弦函数应用

-物理领域：简谐振动、电磁波传播

-工程领域：信号处理、电路设计

-建筑领域：建筑结构分析、地震波分析

四、余弦函数进一步研究

-积分与微分：\[不定积分、定积分\]

-周期性与对称性：\[周期、对称轴\]

-极限与连续性：\[极限、连续性\]

五、余弦函数与其他三角函数的关系

-与正弦函数：\[相互转化、公式推导\]

-与正切函数：\[图像关系、性质转化\]

-复合函数：\[多项式、指数函数、对数函数\]

六、余弦函数在数学竞赛中的应用

-竞赛题目：\[题目1、题目2、题目3\]

板书设计说明：

-目的明确：通过板书设计，让学生清晰地了解余弦函数的图像特征、性质、应用以及进一步研究的内容。

-结构清晰：板书结构分为六个部分，每个部分都有明确的标题和内容，条理分明。

-简洁明了：板书内容简洁精炼，突出重点，准确概括余弦函数的相关知识。

-艺术性和趣味性：板书设计具有艺术性和趣味性，激发学生的学习兴趣和主动性。教学反思与总结今天，我上了一节关于余弦函数图像与性质的课程。回顾整个教学过程，我对自己在教学方法、策略、管理等方面的表现进行了反思，也对本节课的教学效果进行了客观评价。

在教学方法上，我采用了讲授法、实践活动法和合作学习法，通过详细讲解、小组讨论和角色扮演等活动，帮助学生理解和掌握余弦函数的图像特征和性质。在教学策略上，我设计了针对性的预习任务和课后作业，以及拓展阅读材料，引导学生进行自主学习和探究。在教学管理上，我注重与学生的互动，及时解答疑问，并鼓励学生积极参与课堂活动。

总体来说，本节课的教学效果是积极的。学生在知识上对余弦函数的图像特征和性质有了更深入的理解，在技能上掌握了余弦函数的应用和进一步研究的方法，在情感态度上对数学学习产生了更浓厚的兴趣。

然而，我也发现了一些问题和不足。首先，在课堂活动中，部分学生的参与度不高，可能是因为他们对余弦函数的概念还不太熟悉，或者对课堂活动的方式不太感兴趣。其次，在讲解余弦函数性质时，我对一些概念的阐述可能不够清晰，导致学生理解上存在困难。最后，在布置作业时，我可能没有考虑到学生的实际能力，导致部分学生感到作业难度较大。

针对这些问题，我提出以下改进措施和建议：

1.在课堂活动中，我可以尝试更多样化的教学方法，如小组竞赛、数学游戏等，以提高学生的参与度和兴趣。

2.在讲解余弦函数性质时，我可以使用更多的实例和图示，帮助学生更好地理解和记忆。

3.在布置作业时，我可以根据学生的实际能力，提供不同难度的作业，以满足不同学生的需求。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.余弦函数的图像特征：周期性、对称性和突变点。

2.余弦函数的性质：单调性、奇偶性、有界性。

3.余弦函数的应用：物理、工程、建筑领域。

4.余弦函数的进一步研究：积分与微分、周期性与对称性、极限与连续性。

5.余弦函数与其他三角函数的关系：正弦函数、正切函数。

当堂检测：

1.判断题（每题2分，共10分）

a.余弦函数的图像是对称的。（）

b.余弦函数的周期是2π。（）

c.余弦函数在第一象限是单调递增的。（）

d.余弦函数的零点是（0,0）。（）

2.选择题（每题4分，共20分）

a.余弦函数的图像与x轴的交点是（）。

-A.(0,0)

-B.(π/2,0)

-C.(π,0)

-D.(3π/2,0)

b.余弦函数的单调递增区间是（）。

-A.[0,π/2]

-B.[π/2,π]

-C.[π,3π/2]

-D.[3π/2,2π]

c.余弦函数的奇偶性是（）。

-A.奇函数

-B.偶函数

-C.非奇非偶函数

-D.以上都对

d.余弦函数的极限值是（）。

-A.0

-B.1

-C.-1

-D.无穷大

3.解答题（每题10分，共30分）

a.请画出余弦函数的图像，并标出其周期性、对称性和突变点。

b.请解释余弦函数的单调性，并给出具体的单调递增和递减区间。

c.请举例说明余弦函数在物理领域中的应用。

4.应用题（每题15分，共30分）

a.已知一个简谐振动位移函