概率第三章集合论课后答案

第三章集合论

P45

1.解：

(1)集合可表示为｛尤|ax+%=O,a,beR｝

(2)集合可表示为｛1"-+-Kx2+x+1,x3—1,x3+1,x6—1｝

(3)集合可表示为｛<%V>1Y+V<0｝

(4)集合可表示为｛<x,y>\x>cos。,y>sin6,6€[0,2%]｝

(5)集合可表示为｛x|x=5〃,〃e/｝

2.解：

设戏剧、音乐、广告分配的时间分别为x,y,z

(2)可表示为｛<x,y,z>\x+y+z=30.x>y,x,y,z=5n,neI]

(3)可表示为｛<x,y,z>|x+y+z=30,z=xvz=y,x,y,z=5〃,〃£/｝

(4)可表示为｛<x,y,z>|x+y+z=30,y=5,x,y,z=5〃,〃c/｝

P46

3.

给出集合A、8和C的例子，使得AwB,36c而4任。。

解：

A={a}

B={{a},b}

C={{{a},b},c]

4.

(1)该命题为假命题

(2)该命题为假命题

(3)该命题为真命题

证明：任取xeA,由于AC,所以必有xeB。又也。，所以必有

即对于任意的^^人，都有xeC,所以如果A[B且8±C,则AqC。

(4)该命题为假命题

(5)该命题为假命题。

5.

解：可能。若4={1},8={1,2,{1}},则

6.

⑴{a,{a}}

解：设.={。，{。}}

则夕(4)={0,{a},{{a}},{a,{a}})

(2){{1,{2,3}}}

解：设>={{1,{2,3}}}

则p(A)={0,{{l,{2,3}}}}

⑶{<Z>,a,{b}}

解：设4={0,。,{8}}

则2(4)={0,{0},{。},{蚀,{0同,{0,{圻},{。,g}},{0,。,仍}}}

(4)。(°)

解：设A=p(0)={0}

则p(A)={0,{0}}

⑸p(p(0))

解:设A=Q(Q(0))={0,{0}}

则夕G4)={0,{0},{{0}},{0,{0}}}

7.

解：A={0}

p(A)={0,{0}}

B=p(p(A))={0,{0},{{0}},{0,{0}}}

(1)0eB,0^B

⑵{0}eB,{0}cB

(3){{0}}eB,{{0}}cS

8.证明：

充分性："{{a},{a,b}}={{c},{c,d}},

:.{a}={c},{a,b}=[c,d}

:.a-c,b=d

充分性得证。

必要性：a=c,b=d

:.{a}={c},{a,b}={c,d]

[[a},{a,b}]={{c],{c,d}],b}={c,d}

必要性得证。

9.

(i)解：子集个数2KM

^101

(2)解：元素的奇数的子集个数为J=2i°°

2

(3)解：不会有102个元素的子集。

10.

解：把17化为二进制，是00010001,Bn={a4,a^}；

把31化为二进制，是00011111,用1={々4，%,々6

{。2M6，%}，编码为01000110，为B：o

{q,%},编码为10000001,为429

P53

1.解：4={0,l,2,3,4}8={2,4,6}

AU8={0,123,4,6}

API8={2,4}

2.解：A={h,o,k]B={b,I,a,c,k}

A\jB={b,l,a,c,k,o]

AC\B={b,k}

3.解:A={1,2,7,8}B={12,3,4,5,6,7}

C={(),3,6,9,12,15,18,21,24,27,30}D={1,2,4,8,16,32,64}

(1)AU(BU(CUO))={0,123,4,5,6,7,8,9,12,15,16,18,21,24,27,30,32,64}

(2)An(5n(cnr>))=0

Auc={0,123,6,7,8,9,12,15,18,21,24,27,30)

⑶B-(AUC)={4,5}

={345,6}

(4)~

(An6)U。={12,3,4,5,6,8,16,32,64)

P53

4.证明：充分性：由于(An8)uc=Ari(Buc>=(AnB)u(An。

所以c=anc,即

充分性得证。

必要性：由于

所以C=AflC

所以(AnB)UC=(AC|B)U(AnC)

必要性得证。

5.

(1)(A-B)-C=A-(BC)

证明:

(A-B)-C

=(A-B)-C

=(A~B)~C

=A(~B~C)

=A~(BC)

=A-(BC)

上面是一种简单的方法，还可以利用文字叙述，任取x属于(A-B)-C,。。。。。证明。

还有一种方法，就是利用第五章的特征函数证明，下面给出过程

W(A-B)-C

=(〃AA*〃8)一(心一

=(〃A-〃A*〃B)(1-*〃C)

▼A-(BC)

="A，A*(/B+〃C，B*/C)

=〃A(1-(〃B+〃C-〃8*〃C))

所以，W(A-B)-C=WATBC)

从而可得，(A—8)—C=A—(5C)o

(2)(A-B)-C=(A-C)-B

证明：

(A-B)-C

=(A-B)-C

=A~B~C

=A~C~B

=(A—C)~B

(3)(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

证明:

(A-C)-(B-C)

=(A~C)-(B~C)

=(A~C)~(B~C)

=(A~C)(~BC)

=(A~C~B)(A~CC)

=A~B~C

=(A-B)~C

因止匕，(A-B)-C=(A-C)-(B-C)

6.解：0A{0}=0

{0}A{0}={0}

{0,{0}}-0={0,{0})

{0,{0}}-{0}={{0}}

7.

(1)证明：

①证明AqBA。

充分性：若AqB,则若xeA,那么必有xeB。因此，若x史8,则必有

即若xc~B,则有xc~A,即~81~4

必要性：若~81~人，则若xe~B,则有xe~A,即若x走8,则必有xeA。那么，

若xeA,那么必有xeB,即AqB；

由以上两点可知：AcBo~Ba~A。

②证明：AqBoAuB=B

充分性：若xeAUB,那么有xwA或xeB。

若xeA,则由A[B可知，必有xeB,所以若XGAUB,必有xeB,即

若xeB,那么必有xeAUB，即6工AUB,所以AUB=B,充分性得证;

必要性：因为AuB=B,所以，对于任意的xwAUB，必有xeB,所以AqB,必

要性得证；

由以上两点可知：Aq8oAuB=B

③证明：Ac5<=>AnB=A

充分性：若xeAflB,那么必有尤eA,即

若xwA,那么由AqB可知，必有无€8,所以xeAflB，即4口4口5,

所以，AnB=A；

必要性：因为AnB=A,所以对于任意的xeA,必有xeAp|6,xeB,所以Aq3；

由以上两点可知，A三8=AnB=A。

由以上三点可知，A屋Bo~Bu~A=AuB=B=AnB=A。

(2)

①证明:Af]B=0oAc~B

充分性：因为Afi3=0,所以对于任意的x,若xwA,则必有x纪B,即xc~B,

所以Ac~B；

必要性：因为Au~B,所以对于任意的》,若xeA,则必有xc~B,即x史8,所以

AD3=0；

由以上两点可知：APl5=0<=>Ac~B

②证明：AA5=0<=>Bc~A

充分性：因为4口8=0,所以对于任意的x,若xeB,则必有x史A,即xc~A,

所以Bc~A；

必要性：因为BU~A,所以对于任意的x,若无则必有xc~A,即xeA,所以

AC\B=0；

由以上两点可知：AnB=0oBG~A.

由上可知：Ap|B=0<=>Ac~B<=>Bc~A

(3)

①证明：AUB=EQ~AUB

充分性：因为AuB=E,所以若x史A,则必有xeB,即若xe~A,则必有九eB,

所以~AuB；

必要性：因为Au~A=E,又~AUB,必有AuB=E；

由以上两点可知：AuB=E=~AuB

②证明：AUB=E=~BGA

充分性：因为AuB=E,所以若则必有尤eA,即若xe~B,则必有xeA,

所以~BcA；

必要性：因为Bu~B=E,又~BuA,必有AuB=E；

由以上两点可知：AuB=E=~BuA.

由上可知：AuB=E=~AuB=~BUA.。

(4)证明：A=B<=>A0B=4)

充分性：由于A=B,所以Ac~B=©,Bn~A=。

所以A◎B=(An~B)u(Bn~A)=。

必要性：因为A合B=(Ac~B)u(Bn~A)=。

所以An~B=©且Bc~A=©

因为Ac~B=0，所以AGB

又Bc~A=©,所以BuA

所以A=B。

由上可知：A=B=A〶B=0。

8.

(1)解：不一定。

若此时有AUB=AUC=A,但BwC。

⑵解：不一定。

若=此时有AnB=AnC=A，但BHC。

(3)解：一定有。

9.

(1)(A-5)(A—C)=A

解：由于(A—8)(4-。)=人，因此必有4-8=4且4—。=4。也就是4B=0

并且AC=0o

(2)(A—B)(A-C)=0

解：由于(A—8)(A—。=0,因此必有A—6=0且A—C=0。也就是并且

AcCo

(3)(A-3)(A-C)=0

解：

(A-B)(A-C)

=(A~B)(A~C)

=A~B~C

=A~(BC)

因此，(A—3)(A-C)=0意味着C)

(4)(A-5)©(A-C)=0

解：

(A—B)㊉(A-C)

=(A~8)㊉(A~C)

=(A~B~(A~C))(A~C~(A~B))

={A-B(~AC))(A~C(~AB))

=(A~BC)(AB~C)

=A(B㊉C)

两种可能，第一种8㊉C=0,即B=C：

第二种，A^BC或者4口~(3C)

因此，此题答案为3=C或者A=3C或者〜(BC)o

c

11.

(1)A(B®C)=(A8)㊉(AC)

证明:

(A8)㊉(AC)

=(AB~(AC))(AC-(AB))

=(AB(~A~C))(AC(~A~B))

=(AB-A)(AB~C)(AC~A)(AC~B)

=(AB~C)(AC~B)

=A((B~C)(C~6))

=A(B㊉C)

因此，A(8㊉C)=(AB)㊉(A0。

(2)A(3㊉C)=(A8)㊉(AC)

注意:这个题目本身不正确，举例如下：全集为{1,2,3},A=⑴,B={2},C={3}

则A(B©C)={1,2,3}1(A5)㊉(AC)={2,3},不相等。

P57

1.解：设A,B,C分别表示参加足球队、篮球队和棒球队的队员的集合

MnBnq=3

|AUBUC|=|A|+|B|+|C|-|AnB|-|AnC|-|BnC|+|AnBnC|=>

|AnB|+|AnC|+|BnCb|A|+|B|+|C|+|AAenC|-|AUSUC|

=38+15+20+3-58=18

即同时参加两个对的队员共有18个。

2.解：设A,B,C分别表示读甲种、乙种、丙种杂志的学生的集合。

(1)wriBnq=io%网=60%网=50%冏=50%

|AAJ3|=30%怛Ciq=30%|AACj=30%

|AnBn-c|+iAncn-BI+IBncn-Ai=|AnB|+|Bnc|+|Anc|-3|AnBnc|

=30%+30%+30%-3*10%

=60%

所以确定读两种杂志的学生的百分比为60%»

(2)

l~An~Bn~c|=ioo%-(Ancn~Bi+iBncn-Ai+iAnBn-ci+|AnBnc|)

=100%-(60%+10%)

=30%

所以不读任何杂志的学生的百分比为30%。

3.

解：设A,B,C分别表示骑木马、坐滑行轨道和乘宇宙飞船的儿童集合。

由公园的总收入知，|A|+|B|+|C|=70/0.5=140

|ABC|=20

IAB-C\+\A〜BC\+\-ABC\+\ABC|=55

|AB\+\AC\+\BC\

=3|ABC\+\AB~C\+\A~BC\+\~ABC\

因此，=55+2|ABC\

=55+40

=95

没有坐过任何一种的儿童总数为

|~A~B~C|

=75-|ABC\

=75-(|AI+I^I+ICI-IAB\-\AC\-\BC\+\ABC|)

=75-(140-95+20)

=10

答：一共io个儿童没有坐过其中任何一种游乐设备。

4.解：用A,B分别表示在第一次考试和第二次考试中得A的学生的集合。

(1)网=26|B|=21

又卜AD〜@+|AU3|=50,则

|~/in-=50-1AUB|=50-dA|+|B|-|AAB|)

=50-(26+21-1AD3|)=17

n|AnB|=14

所以有14个学生两次考试都取得Ao

(2)网=4()冏=4()卜小~曰=4

又卜/lf|~@+|AUB|=50,则

|AU8|=46=|A|+|8|-lAflBI

n|Ap|8|=34

所以有34个学生在两次考试中都取得A。

|/l|=|AA-B|+|AAfi|

n|柏~8|=|川-lAflBI

=40-34

=6

所以有6个学生仅在第一次考试中取得Ao

|B|=|BA-A|+|AAB|

n|fiA-AH5|-|AAB|

=40-34

=6

所以有6个学生仅在第二次考试中取得A。

5.

解：设A,B,C分别是学习数学、物理、生物的大一学生集合。

由题意可知，

|A|=67,|5|=47,|C|=95,

|A8|=28,|AC\=26,C\=27,

|~A~B~C|=50

|~A~B~C|

=200-|ABC\

=200-(|A|+|B|+|C|-|AB\-\AC\-\BC\+\ABC|)

=200-(67+47+95-26-27-28+1ABC|)

=50

解方程，得

IABCi=22

因此，一共有22人三门功课都学•

P59

i.

(1)Ax{l}x5

解：AX{1}X5={<0,1,1>,<0,1,2>,<1,1,1>,<1,1,2>}

(2)A2X5

解

A2xB={<0,0,1>,<0,1,1>,<1,0,1>,<1,1,1>,<0,0,2>,<0,1,2>,<1,0,2>,<1,1,2>}

(3)(BxA)2

解：j?xA={<1,0>,<1,1>,<2,0>,<2,1>}

(fixA)2={«1,0>,<1,0»,«l,0>,<l,l»,«l,0>,<2,0»,«1,0>,<2,1»,

«1,1>,<1,0»,«1,1>,<1,1»,«1,1>,<2,0»,«1,1>,<2,1»,

«2,0>,<1,0»,«2,0>,<l,l»,«2,0>,<2,0»,«2,0>,<2,1»,

«2,1>,<1,0»,«2,1>,<1,1»,«2,1>,<2,0»,«2,1>,<2,1»}

P60

2.

解：XxY表示在在笛卡尔坐标系中，一34》〈2且一2《丁40的矩形区域内的点集。

12.第60页第3题

(1)(AB)x(CD)=(AxC)(BxD)

证明：任取<%,y>e(AB)x(C。)，有

<%,y〉c(A5)x(CD)

<=>jce(A5)A_ye(CD)

<^>(xeA/\yeC)/\(xe.B/\yED)

=<x,y>&AxCA<x,yBXD

=<x,y>e(AxC)(BxD)

由<x,y〉取值的任意性知，(AB)x(CD)=(AxQ(BxDf.

(2)当且仅当才，才有(AB)C=A(BC)

证明：当C=A时，AC=A,于是(AB)C=(AC)(BC)=A(BC)。

当(AB)C=A(BC)时，

任取可知xe(AB)C,由(AB)C=A(B。知XGA(BC),

于是得到xeA。所以，C=A。

3.

(1)证明：

任取<x,y>

<x,y>w(AnB)x(cnO)=(x€AnB)A(ywCn。)

=>(xeA/\xeB)A(yeCAyeD)

=(xw/IAJeC)A(xeBAy&D)

=>(<x,y>EAXC)A(<x,y>eBxD)

=><x,y>e(AxC)Pl(Bx£))

所以(AnB)x(cno)q(Axc)n(Bx。)

<苍y>e(AxC)n(Bx£))=(<>e/IQC)A(<>eBQD)

=>(xeAAyeC)/\(xeBAyeD)

任取=(XEAAxeB)A(yeCAyeD)

=>(%GAriB)A(yGCriD)

=><x,y>G(AAB)x(CAD)

所以(4xC)「(5x£>)q(A「5)x(C「D)

故(Ar)3)x(criD)=(AxC)ri(BxO)

(2)证明：

充分性：由于（AnB）uc=Ari（5Uc）=（AriB）u（Aric）

所以C=AC|C，即CqA

充分性得证。

必要性：由于CqA

所以C=ADC

所以(An3)uc=(An3)u(Anc)

必要性得证。

4.证明：

必要性：若A=0,AxB=BxA=0；

同理，若8=0,AxB=5xA=0；

若A=B,则显然有AxB=3xA；

必要性得证。

充分性性：由于Ax8=BxA

所以对于任意的<x,y>eAxB,必有<x,y>eBxA

<x,yAxBx&A/\y&B<x,y>^BxA<^x^B/\y&A

即若xeA则必有xeB；若yeB,则必有yeA,所以当A#0,8时,

A=B；

充分性得证。

5,

(1)(AB)x(CD)=(AxQ(BxD)

解：任取<%,y>c(AB)x(C。)，有

<x,y>e(AJ5)x(CD)

o%c(AB)/\ye(CD)

<=>(xeAvxeB)A(yeCvyeD)

=(%cA/\(yeCvyeD))v(JCG5A(_yeCvyeD))

<=>(xeAAyeC)v(xeA/\yeD)v(xeBAyeC)v(xeB/\yeD)

<=><x,y>e(AxC)(AxD)(BxC)(BxD)

选择A=⑴,B=⑵，C={a},D={b}

则(A5)x(。D)={<l,a>,<l,b>,<2,a>,<2,b>}

(AxC)(BxD)={<\,a>,<2,b>]

因此该等式不成立。

(2)(A-B)x(C-D)=(AxQ-(BxD)

解：任取<%,y>c(A—B)x(C—D),有

<x,>G(A-B)x(C-D)

u><%,y〉e(A~B)义(C〜D)

0%c(A〜8)Aye(C~D)

=(%eA/\%£3)/\(yGC/\yw£>)

o(xeA/\yeC)/\(%e3/\ywZ))

o(%eA/\yeC)/\(%£B/\y£。)

=(%GAA)GC)A—I(%cBvycD)

选择A={1,2},B=⑴,C={a,b},D={a}

(A-B)x(C-D)={<2,b>j

(AxC)-(BxD)={<l,b>,<2,a>,<2,b>}

因此，该等式不成立。

(3)(A㊉B)x(C㊉O)=(AxC)㊉(Bx£>)

解：设八={1,2},B=⑵，C={3,4},D={4}

则(A㊉3)x(。㊉。)={<1,3>}

(AxC)㊉(8x£))={<1,3>,<1,4>,<2,3>}

因此，该等式不成立。

(4)(A-B)xC=(AxC)-(BxC)

解：取<x,y>G(A-8)XC,有

<x,y>e(A-B)xC

0<%,y〉e(4~B)xC

oxe(A-B)AyeC

(xeA/\yeC)A(x^Bvy^C)

o(xeA/\yeC)八-n(xeB△yeC)

=(<%,y>cAxC)△(<%,y〉£8xC)

=<x,y>e(AxC-BxC)

因此，该等式成立。

(5)(A㊉3)xC=(AxC)㊉(BxC)

解：任取取<%,y>c(AxC)㊉(3xC),有

<%,y>c(AxC)㊉(8xC)

o((%eAAyeC)八一)(%eB八yeC))V((XGBA^GC)A-)(XeAAyeC))

o((%eAAycC)A(xeBvy£C))v((xEB/\y&C)A(xAvyC))

o(xeA/\yeC/\%£3)v(%£A/\xeB/\yeC)

0((%eA/\%£B)v(%£A/\%eB))△yeC

o%e((A〜B)(~AB))A_yGC

xEA®B/\yEC

o<%,y〉w(A㊉8)xC

因此，该等式成立。

第四章二元关系

P63

1.给出下列关系R的所有序偶。

(1)4={0,1,2},3={0,2,4}

7?={<x,y>|x,yGAAB}

解：AC13={0,2}

R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}

(2)A={1,2,3,4,5},3={1,2,3}

H=|<x,y>|xeA/\yeB/\x=y2}

解：7?={<1,1>,<4,2>}

2.设为和R2都是从A={1,2,3,4}到8={2,3,4}的二元关系，并且

R,={<1,2>,<2,4>,<3,3>}

R2={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求KU%、胭）、D限）、R⑻、幽）、。（凡UR?）、砧0因）。

解：/?(U7?2={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}

与0%={<2,4>}

£>(/?,)={1,2,3)

。(&)={1,2,4}

H(Rj={2,3,4}

双&)={2,3,4}

咽U&)={1,2,3,4}

/?(/?,A7?2)={4,4}

3.用L表示“小于或等于”，D表示“整除”，这里X。》表示“x整除y”。L和D都定义

于集合{1,2,3,4,5,6}上。试把L和D表示成集合，并求出Lf]。。

解：

<1,1><1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,

L=<<3,3>,

<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,4>,<4,5>,<4,6>,<5,5>,<5,6>,<6,6>

[<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,

D—<

<4,4>,<5,5>,<6,6>

<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<1,5>,<1,6>,<2,2>,<2,4>,<2,6>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,

LC)D-<

<5,5>,<6,6>

4.如果关系R和S都是自反的。证明：RUS,RAS也是自反的。

证明：设R是集合A上的二元关系，S是集合B上的二元关系。

因为R和S都是自反的，

所以对于VxeA,都有＜x,x〉eR,

对于VxeB,都有＜x,x〉eS。

(1)设xwAUB,那么尤eA或xeB。

若xeA,有<x,x>cR,那么必有<x,x>e/?US。

若xeB,有<x,x>eS,那么必有<x,x>cRUS。

因此，当xwAUB时，必有<X,X>G/?US,

所以RUS也是自反的。

(2)设XGACIB,那么XGA且xeB

因此<x,x〉eR且<x,x〉eS,即<x,x〉e/?DS。

所以APIS也是自反的。

5.如果关系R和S都是自反的、对称的、可传递的，证明：ACIS也是自反的、对称的和

可传递的。

证明：设R是集合A上的二元关系，S是集合B上的二元关系。

①自反性的证明如题4。

②对于任意的eADB,若<x,y>eRp|S,

那么<x,y〉eR且<x,y〉eS

因为R和S都是对称的，所以<y,x〉eH且<y,x〉eS,

所以<y,x〉e/?ASo

即对于任意的MyeAAB,若<x,y>eRnS,则必有V>e/?PlS,

所以APIS是对称的。

③对于任意x,y,zeACIB,若<x,y>eRDS且<y,z>cRDS,

那么有<x,y>eR,<y,z>w—且<x,y>eS,<y,z>eS»

因为R和S都是可传递的，

所以有<x,z>eR且<x,z〉eS,即<x,z〉eRnS。

即对于任意x,y,zeAQB,若<x,y〉eRnS且<y,z>e/?DS,都有

<x,z>e/?nso

所以/?ns是可传递的。

6.给定集合S={1,2,3,4}和S中的关系R,证明R是不可传递的。求出一个关系R=R,

而N是可传递的，能否再求出另外一个关系&卫R且凡是可传递的。

解：此题不正确，关系R没有给出

7.给定集合5={1,2,…J0}和S中的关系R,R={<x,y>|x+y=10},关系R有哪几

种性质。

解：R是不自反的，对称的，不可传递的。

不自反性：

当x=5时，<尤,x>eR；当x是集合S中的其他数时，<x,x>史R

因此，R不是自反的，也是反自反的。

对称性：

对于任意的x,yeS,若有<x,y>eR,

那么x+y=10,则必有y+x=10

即<y,x>eRo

即对于任意的x,yeS,若有<x,y〉eH,则必有<y,x〉eH。

所以R是对称的。

不可传递性：举反例即可。

由此可知，<4,6>eR且<6,4>eR,但是<4,4>eR。

所以R是不可传递的。

8.给出满足下列要求的二元关系的实例。

(1)既是自反的又是反自反的。

(2)既不是自反的又不是反自反的。

(3)既是对称的又是反对称的。

(4)既不是对称的又不是反对称的。

解：(1)空集上的二元关系。

(2)A={1,2},R={。。}，R是集合A上的二元关系。

(3)空集上的二元关系。

(4)A={1,2,3},R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<1,3>},R是集合A上的二元关系。

P69

1.给定集合X={0,1,2,3},R是X中的关系，并可表示成

R={<0,0>,<0,3>,<2,0>,<2,1>,<2,3>,<3,2>}

试画出R的关系图，并写出对应的关系矩阵。

0123

0F1001

解:%=10000

21101

310010

关系图如下:

2.设集合X={1,2,3},则集合X中有多少个二元关系。

解：有2寸=512个二元关系。

3.设X是具有n个元素的有穷集合，证明:X中有个二元关系。

证明：集合X中的每个二元关系都是XxX的子集，X有〃个元素，XxX有1个元素,

夕(XxX)有2"'个元素，每一个元素都是XxX的一个子集，也是一种二元关系，因而,

在X中有2/个不同的二元关系。

4.给定集合*={1,2,3}。图4-6给出了X中的关系R的12个关系图。对于每个关系图，

写出相应的关系矩阵，并证明被表达的关系是否是自反的或反自反的；是否是对称的或反对

称的；是否是可传递的。

(a)自反的、不对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

110

MR=\11

101

(b)不自反的、反对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

110

MK=001

100

(c)自反的、对称的、可传递的；

其对应的关系矩阵为：

111

MR=\11

111

(d)自反的、不对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

110

MR=011

111

(e)不自反的、不对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

010

MR=111

110

(f)不自反的、对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

111

MR=\00

100

(g)自反的、反对称的、可传递的；

其对应的关系矩阵为：

101

MR=111

001

(h)自反的、不对称的、不可传递的;

其对应的关系矩阵为:

110

/=111

001

(i)不自反的、对称的、可传递的；此题图有错误

其对应的关系矩阵为：

011

妁=111

111

(J)自反的、反对称的、不可传递的；

其对应的关系矩阵为：

101

%=110

011

(k)自反的、反对称的、可传递的；

其对应的关系矩阵为：

100

“«=110

101

(1)不自反的、反对称的、可传递的。

其对应的关系矩阵为：

001

%=111

001

5.给定集合X={0,1,2,3},舄和可是X中的关系,分别为

R1={<i，/>l/=i+lv/=〃2}

R2={<i,j>\i=j+2}

求出下列合成关系。

(1)R］。R2

(2)R2OR1

(3)R、。艮。&

(4)R：

(5)R；

解：&={<0,1>,<1,2>,<2,3>,<0,0>,<2,1>},

鸟={<2,0>,<3,1>}

(1)4/?,={<1,O>,<2,1>}

(2)R24={<2,0>,<2,l>,<3,2>}

(3)4Ry/?,={<1,0>,<1,1>,<2,2>}

(4)&={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>}

(5)R；=0

.设为和是集合中的二元关系。试证或反证下列命题：

6R2x

(1)如果为和&是自反的，则名。此也是自反的。

(2)如果用和与是反自反的，则与。此也是反自反的。

(3)如果N和凡是对称的，则鸟。凡也是对称的。

(4)如果K和凡是反对称的，则/。夫2也是反对称的。

(5)如果鸟和凡是可传递的，则K。&也是可传递的。

解：(1)证明：任取％eX,由于用和&是自反的，因此,<尤,%>6火2,

可得<%,%>6勺&,由x取值的任意性可知，/?,&是自反的。

⑵设X={1,2,3}，4={<1,3>},鸟={<3,1>},则凡此={<1,1>},不是反

自反的。

(3)设X={1,2,3}，N={<1,2>,<2,1>},凡={<3,2>,<2,3>},则

显g={<1,3>},不是对称的。

(4)设X={1,2,3},/^={<1,2>,<3,1>},7?2={<1,1>,<2,3>},则

R]&={<1,3>,<3,1>},不是反对称的。

(5)设X={1,2,3,4,={<1,2>,<2,3>,<1,3>,<5,4>},/?,={<2,3>,

<3,5>,<2,5>,<4,4>},则44={<1,3>,<1,5>,<2,5>,<5,4>},不可传递。

7.设凡，和R.3是集合X中的二元关系。试证明：若与之尺2,则有

(1)oR2R,

(2)&R\=R3R,

证明：

(1)任取<%,z>c勺％,则一定存在某一个yeX,使得

<y,z>c叫，由4=鸟知，

(3j)(<>GNA<y,z>cR)

=>(3_y)(<x,y>GA,A<y,z>wR3)

=<X,Z>G凡R3

根据<%,z〉取值的任意性，问题得证，&/?3口&

(2)任取&,则一定存在某一个ycX,使得<%,

<y,z>^Rl,由4口鸟知,

(力)(<%,y>w居人<Kz><与)

二>(3j)(<x,y>&R3A<y，z>wR?)

OCX.ZAWR,R2

根据<%,Z>取值的任意性，问题得证，鸟4口鸟与。

8.试证明定理4.4.1的(2),(3),(4)。

(2)见书本67页

(3)当且仅当存在某一个yeF,使得<x,y>e&UR3且<y，z>eK,，才有

<X9Z>G(凡1)凡)。&,而

(3>'X<x,y>e&U4△<y,z>e&)

<

。(3_yX(x,y>ER2\/<x,y>e&)A<y,z>e/?4)

=(3yX(<x,y>e/?2△<Xz>e&)v(<x,y>e&A<y,z>e/?4))

o(3yX<%y>e&△<y,z>e&)v(3yX<x,y>e&△<y,z>e&)

<=><X,Z>G1?2o/?4V<X,Z>G7?3oz?4

o<X,z>e(7?2OR4)U(&oR4)

(4)当且仅当存在某一个yeY,使得<x,y>e&D&且<y,z〉e4,才有

<x,z>G(7?2m?3)o7?4,而

(3>'X<x,y>eR2PI/?3A<y,z>e/?4)

o(3JX(<>e/?2A<X,jy>e7?3)A<y,z>e7?4)

o(3yX(<x,y>eR2A<y,z>e/?4)A(<x,y>eR3A<y,z>&&))

=>(3yX<x,y>e/?,A<y,z>e/?4)A(3J\<x,y>&&人<y,z>eR4)

=<龙,z>e火2。R4A<龙，z>eR3。H4

o<x,z>e(R2°&)C|(4°&)

P75

1.设乂={0,1,2,3},K和&是X中的关系，

"={<，,/>|/=i+lv/=〃2}

叫={C=j+2}

试求出关系矩阵：M&；MR。；MR/MR?；MR「MR1；

MROMR?。%；%。

解：R]={<0,0>,<0,1>,<1,2>,<2,3>,<2,1>}

&={<2,0>,<3,1>}

由此可得：&。&={<1，0>，<2,1>}

R,。&={<2,0>,<2,1>,<3,2>}

&。R?。&={<1,0>,<1,1>,<2,2>}

R：={<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<2,1>,<2,3>}

所以:

11000000

00100000

MR、MR2

01011000

00000100

00000000

10000000

MROMRr=MRUMR、=11

R\2010000

00000010

00001111

11000010

M肝一

一00100101

00000000

2.此题有错误

3.试证明定理4.4.6的(3)、(4)、(5)、(7)和(8)式。

>e

<>£R]n&}=<〉£<<y，x与nR2

=<y,x>e/?,A<y.x>eR?

(3)证明：〜〜

=<>£/?]△<>eR2

o<x,y>eR}AR2

所以我1『”=篇「用。

<x,y>eXxY=<y,x>eXxY

(4)证明:

xeY/\yeX

o<x,y>&YxX

所以xqy=Yxx。

(5)证明：

(7)证明：见书上P74页

<x,y>GR2<=><>GR2

(8)证明:0meRUN

=<x,y>GR、—>R]

所以&=&—K

同理与=尺2一/

得证。

4.试证明：如果关系R是自反的，则A也是自反的；如果R是可传递的、非自反的、对称

的或反对称的，则巨亦然。

证明：设R是A上的二元关系，

(1)若R是自反的，则〃uR,由于，的转置仍是〃，因此，〃u去，故A是自反

的；

(2)若R是反自反的，则，R=0。把，和R都取转置，由于，的转置仍是，，因

此，IAr>R=0,故京是反自反的；

(3)若R是对称的,任取<y,x>e且，则<%y>eR,由R的对称性可知，<>wR,

于是<x,y>cR。由x,y取值的任意性知，A是对称的；

(4)若R是反对称的，任取<y,x>e天，则<%,y>wR,由R的反对称性可知，

<y,X>^R,于是<x,y>e且。由x,y取值的任意性知，A是反对称的；

(5)若R是可传递得，任取<>eH,<y,z>eR,则<、％王氏，<z,y>wR,

由R的可传递性，可知<z,%>eH,于是<x,z>e无。故片是可传递的。

5.如果R是反对称的关系，则在RCI天的关系矩阵中有多少个非零值？

解：R的关系矩阵上，主对角线有多少个非零值，RD友的关系矩阵中就有多少非零记入值。

P79

1.设X是一个集合，N和尺2是X中的二元关系，并设与3H2,试证明:

⑵s（K）2s'（/?2）

（3）r（Rj3伏）

2.在图4-11中给出的三个关系图，试求出每一个的自反的、对称的闭包，并画出闭包的关

系图。

a）解：由关系图可知，

R=0

则：r（R）={<a,a>,<b,b>}

s（R）=0

t（R）=0

b）解：由关系图可知，

7?={<a,a>,<a,b>]

则：r（7?）={<a,a>,<h,b>,<a,h>}

s（R）={<〃,〃>,<a,/?>,</?,«>}

Z（7?）={<a,a>,<a.b>}

c）解：由关系图可知，

R={<a,b>,<b,c>,<c.a>}

则：r（/?）={<a,a>,<b,b>,<c,c>,<a,b>,<b,c>,<c.a>}

s（R）={<a.b>,<b,a>,<b,c>,<c,b>,<c,a>,<a,c>}

t（玲=卜a,b>,<b,c>,<c,a>,<a,c>,<b,a>,<c,b>,<a,a>.<b,b>,<c,c>}

3.飞和&是集合X中的关系。试证明：

（1）厂（鸟u&b

（2）s（KU〃）=s（K）Us（中）

（3）RUR2）=《K）U依）

4.设集合X={aS,c,d,e,/,g,/z},R是X中的二元关系，图4-12给出了R的关系图。

试画出可传递闭包《R）的关系图，并求出tsr（R）o

解：由关系图可知，

R={<a,b>,<b,c>,<c,a>,<d,e>,<e,f>,<f,g>,<g,h>,<h,d>}

则：

<a,b