初中数学-切线的性质与判定

题型五切线的性质与判定

针对演练

类型一等腰三角形模型

1.如图，在△NBC中，AB=BC,以8c为直径的。。交ZC于点。，过点

。作。DFA.BC,垂足分别为点£、F.

(1)求证：是。。的切线；

(2)若DF—3小，cosA=§,求。。的直径.

第1题图

2.(2016葫芦岛12分)如图，在△N8C中，AB=AC,以为直径的。。分

别交线段3C、ZC于点。、E,过点。作。垂足为E线段尸。、N8的

延长线相交于点G.

(1)求证：。/是。。的切线；

(2)若CF=1,DF=®求图中二阴影部分的面积.

第2题图

3.(2016甘孜州10分)如图，在△N8C中，AB=AC,以为直径作的(DO

与边BC,/C分别交于。，E两点，过点。作。于点〃

(1)判断。”与。。的位置关系，并说明理由;

(2)求证：”为CE的中点;

J5

(3)若BC=10,cosC=yr，求AE的长.

/YE

/7\//

第3题图

4.已知：如图，在△N8C中，BC=AC,以3C为直径的。。与边N3相交

于点。，DELAC,垂足为点E.

(1)求证：点。是ZB的中点；

(2)判断。E与。O的位置关系，并证明你的结论；

(3)若。。的直径为3,BD=\,求DE的长.

八方¥

第4题图

5.(2017原创)如图，半。。是的外接圆，AB=AC,延长8。与/C

交于点C,过点。作。EL/C,垂足为点E,延长E。，交AS的延长线于点E

(1)求证：跖是。。的切线；

(2)求证：AFDBS4FAD；

(3)如果。。的半径为5,黑AF=言4求职的长.

I)

第5题图

类型二弦切角模型

1.(2016常德8分)如图，已知。。是△Z8C的外接圆，是。。的直径,

且HD=3C,延长/。到E,且有

(1)求证：8E是。。的切线；

⑵若BC=小,AC=5,求圆的直径4D及切线BE的长.

第1题图

2.(2016宿迁8分)如图①，在△/8C中，点。在边8c上，

/ABC：/ACB:NADB=1：2：3,。。是的外接圆.

(1)求证：NC是。。的切线;

(2)当BD是。。的直径时(如图②)，求NC/O的度数.

图①图②

第2题图

3.(2016来宾12分)如图，在△48C中，ZC=90°,NA4c的平分线交3C

于点。，DE±AD,交N8于点E,/E为。。的直径.

⑴判断与。。的位置关系，并证明你的结论;

⑵求证：LABDsADBE；

⑶若cos8=手，AE=4,求CD

4.(2016黔南州12分)如图,是。O的直径,点D是上一点,且NBDE=ZCBE,

BD与AE交于点F.

(1)求证：8C是。。的切线；

(2)若8。平分NZ3E,求证：DE2=DFDB；

(3)在(2)的条件下，延长E。、8/交于点尸，若a=ZO,DE=2,求PO的

长.

第4题图

5.(2016柳州10分汝口图，AB为AABC外接圆。O的直径，点P是线段CA延长

线上一点，点£在圆上且满足产层=a.pc,连接CE,AE,OE,OE交CA于点、

D.

(1)求证：△尸EC；

(2)求证：PE为。。的切线;

(3)若N8=30。，AP=^AC,求证：DO=DP.

第5题图

类型三直角三角形模型

1.如图，在中，NZCB=90。，以NC为直径的。。与边交于

点。，点E是边8C的中点.

(1)求证：BC2=BDBA；

(2)判断。E与。。位置关系，并说明理由.

第1题图

2.(2016永州10分)如图，△Z8C是。。的内接三角形，48为直径，过点3

的切线与NC的延长线交于点。，E是BD中点、,连接CE.

(1)求证：CE是。。的切线；

(2)若/C=4,BC=2,求8。和CE的长.

第2题图

3.(2016呼伦贝尔8分)如图，已知。。的直径为AC1AB于点4,BC与0O

相交于点。，在NC上取一点E,使得ED=E4

(1)求证：E0是。。的切线；

(2)当。£=10时，求8C的长.

4.如图，在△NBC中，ZBAC=90°,AB=AC,N8是。。的直径，。。交

8c于点。，DELAC于点、E,BE交0O于点、F,连接NRZE的延长线交。E

于点P.

(1)求证：是。。的切线;

⑵求tanAABE的值;

(3)若。4=2,求线段/P的长.

第4题图

5.(2016长沙9分)如图，四边形4SC。内接于。。，对角线NC为。。的直径,

过点。作NC的垂线交4。的延长线于点E,点E为CE的中点，连接08,DC,

DF.

(1)求N8E的度数;

(2)求证：OF是。。的切线；

⑶若AC=2y[5DE,求tanZABD的值.

第5题图

类型四角平分线模型

1.(2016宁波10分)如图，已知。O的直径/8=10,弦ZC=6,的平

分线交。O于点D,过点D作DEYAC交AC的延长线于点E.

(1)求证：DE是。。的切线;

(2)求。E的长.

第1题图

2.(2016张家界6分)如图，是OO的直径,。是。。上的一点，直线朋N经

过点C,过点4作直线的垂线，垂足为点。，且NC平分

(1)求证：直线WN是。。的切线；

(2)若/。=4,AC=5,求。。的直径.

第2题图

3.(2016武汉8分)如图，点C在以Z8为直径的。。上，与过点。的切

线垂直，垂足为。，交。。于点E

(1)求证：/C平分ND48;

(2)连接BE交/C于点R若co$NC4O=/求器的值.

第3题图

4.(2015西宁)如图，已知8c为。。的直径，84平分NF8C交。。于点4,

RDRA

。是射线8尸上的一点，且满足需=能.过点。作。M_L4C于点E,交。。于

15ADC

点"，连接BA/,AM.

(1)求证：是。。的切线；

3

(2)若比〃AM=6,求。。的半径.

第4题图

5.(2016巴彦淖尔12分)如图，在△48C中，ZC=90°,的平分线交

/C于点E,过点E作8E的垂线交N8于点R是△5EF的外接圆.

(1)求证：NC是。。的切线;

(2)过点E作E/AL/8,垂足为〃，求证：CD=HF；

(3)若CZ)=1,EH=3,求8E及/E长.

第5题图

答案

类型一等腰三角形模型

1.(1)证明：如解图，连接。。、BD,

•.•8C是。。的直径，

第1题解图

Z.ZBDC=90°,

：.BD±AC,

•：AB=BC,

：.AD=CD,

•：OB=OC,

为△NBC的中位线，

J.OD//AB,

'：DE±AB,

：.DE±OD,

又「。。为。。的半径，

.•.0E是。。的切线；

(2)M：'：AB=BC,

：.ZA=ZC,

CF2

在Rt/\CFD中，CO$C=^B=COS/=W，

设C尸=2x,贝UC0=3x,

DF=7(3X)2—(2x)2=y[5x,

.,.小x=3/，解得x=3,

：.CD=9,

CD2

在Rt/\BCD中，•:cosC=口厂，

JDCJ

327

・・・8C=铲9=g,

27

即。。的直径为奇.

2.(1)证明：如解图，连接力。、OD.

•・Z8是。。的直径，

第2题解图

，ZJZ)5=90°,

又..[。力瓦

:.CD=BD,

5L'：OA=OB,

...8是△N8C的中位线，

.,.OD//AC,

XVZ)F±JC,

J.DFLOD,

又：。。是。。的半径，

尸是。。的切线；(6分)

(2)解：•.•在放△")产中，tanZCDF=^=^=y-

；.NCDF=30。,

AZC=60°,则△N8C为等边三角形，

：.ZODB=60°,

又，：OD=OB,

...△80。为等边三角形，

，ZDOB=60°,

OD=BD=CD=^/CF2+DF2=^/12+(^3)2=2,

.60—222

・・S扇形080=-360—=]兀'

♦:在RtAODG中，NZ>OG=60。，

：.DG=y[3OD=2y[3,

S△DOG=]DG.OD=¥Qx2"\[^,

2

・'・S阴影=S^OOG-S扇形O8£)=2、/§—产(12分)

3.(1)解：。“与。。相切.理由如下:

第3题解图

如解图，连接O。、AD,

•.18为直径，

AZJ£>5=90°,ADLBC,

'：AB=AC,

：.BD=CD,

'：AO=BO,

二。。为△/BC的中位线，

J.OD//AC,

•:DHL4C,

：.OD±DH,

又「。。是。。的半径，

为。。的切线；(4分)

(2)证明：连接。E,如解图，

•••四边形ABDE为。。的内接四边形，

，ZDEC=NB,

•:AB=AC,

：.ZB=ZC,

：.ZDEC=ZC,

：.DE=CD,

'：DH±CE,

：.CH=EH,即〃为CE的中点；(7分)

(3)解：在放△4DC中，CD=^BC=5,

.".AC=5\[5,

在RtACDH中，•.7。5。=器=坐,

：.CH=y15,

：.CE=2CH=2y/5,

:.AE=AC—CE=5小—2小=3小.(10分)

4.(1)证明：如解图，连接。0,

第4题解图

•：0D=0B,

：.Z0DB=ZB,

•:BC=AC,

•*.NA=NB,

：./0DB=/A,

：.OD//AC,

•：OB=OC,

：.BD=AD,

即点。是48的中点；

(2)解：与。。相切.证明如下:

•：0D〃AC,DE工AC,

J.DELOD,

又：。。为。。的半径，

为。。的切线；

(3)解:连接CD,如解图，

•••8C为直径，

,Z5DC=90°,

，CZ)=A/BC2-BD2=^/32-12=2^2,

2/2

在放△8DC中，sinB=~^;=,

DCQ3

DE

:・sinA=XB=sinB,

•：AD=BD=L

.DE2小

,,丁=3'

.rw2小

••DIL3.

5.(1)证明：如解图，连接。。，

•:AB为OO的直径，

第5题解图

，ZADB=90°,

J.ADLBC,

•:AB=AC,

：.DB=DC,

'：OA=OB,

二。。为△NBC的中位线,

：.OD//AC,

'：DELAC,

：.ODLDE,

又为半。。的半径，

是。。的切线；

(2)证明：是。。的切线,

：.ZODB+ZBDF=90°,

'：OD=OB,

：.ZOBD=ZODB,

：.ZOBD+ZBDF=90°,

又ZDAB+ZOBD=90°,

，/DAB=/BDF,

,//BFD=NDE4,

：.AFDBsAFAD；

(3)解：•：NDAC=/DAB,ZAED=ZADB=9Q°,

，ZADE=ZABD,

sin/ADE=x1W«-=)wD=sinZABD,

AD4

・.口=三,

sinN4BD=At)DAB—10,

.\AD=8,

•：OD〃AE,

：./\FDO^/\FEA,

.OD_FO5_BF+5

**AE-FA,即交—BF+10'

90

：

.BF=7-

类型二弦切角模型

1.(1)证明：如解图，连接。5,

第1题解图

,:BD=BC,

：.ZCAB=ZBAD,

'：/EBD=/CAB,

：.ZBAD=ZEBD,

•.1。是。。的直径，

,ZABD=90°,

'：OA=BO,

：.ZBAD=ZABO,

：./EBD=NABO,

：.ZOBE=NEBD+4OBD=ZABO+ZOBD=480=90。,

•..OB是。。的半径，

.,.BE是。O的切线.(4分)

(2)解：如解图，连接8,交OB于点F,设圆的半径为火，

••1。为。。的直径，

48=90。，

,:BC=BD,

C.OBLCD,

J.OB//AC,

'：OA=OD,

OF=^AC=2,

•.•四边形ZCAD是圆内接四边形,

：.ZBDE=ZACB,

'：/DBE=NCAB,

，ADBES△CAB,

.DBDE

，，AC=BC,

即坐=用,

3\3

3

:.DE=q,

253

火2-/一］=(),

.,.Ri=­&=3,

•：/OBE=/OFD=9G0,

：.DF//BE,

.OFOoDE

OB

5

-

2R

R-3

R-

+-5

・•R=3,

:.AD=2R=6,

VZDBE=ZBAE,NDEB=NBEA,

...ABDEsAABE,

•BEDE

,,AE=BE'

；.BE=qDExAE=]|x(2x3+|):斗五.(8分)

2.(1)证明：如解图，连接CM,0D设

"3"

第2题解图

VZABC:/ACB:ZADB=]：2：3,

/.ZADB=3x,ZACB=2x,

：.ZDAC=x,ZAOD=2ZABC=2x,

,,180°-2x

.•NO4D=2=90°-x,

ZOAC=90°-x+x=90°,

：.OA±AC,

又＜OA为00的半径，

是。。的切线；(4分)

(2)解：：8。是。。的直径，

，ZBAD=90°,

'：ZABC：NACB:ZADB=]：2：3,ZABC+ZADB=9Q°,

：.ZABC+3ZABC=9Q°,

解得N/8C=22.5。，

，//。8=67.5°,ZACB=45°,

：.ZG4Z)=22.5°.(8分)

3.(1)解：8C与。O相切.

证明：如解图，连接O。,

D

第3题解图

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

又平分N8ZC,

:./CAD=NBAD,

：.ZCAD=ZODA,

J.AC//OD,

VZC=90°,

：.ZBDO=90°,（3分）

:。。是。。的半径，

.•.8C与OO相切；（4分）

（2）证明：•.【£是。。的直径，

二ZADE=9Q°,

'：ZODB=90°,

：.ZADO=/BDE,

*/ZDAO=ZADO,

，/DAB=NBDE,

•:NB=/B,

：.AABD^ADBE；（8分）

（3）解:设8E=x,则。8=x+2,AB=x+4,

在RtABOD中，。。58=器=率=平，

OBx+23

.吁鸣+逑

由AABDSADBE,得|^=器，即8。2=8七.34,

/.(^^x+^2^)2=x(x+4),

解得xi=-8(舍去)或X2=4,

.•./8=4+4=8,BD=4y[2,

R09"\/9

在RtAABC中，cosB=~^W=T~,

ADJ

.16小

・・/5C/3，

4、历

:.CD=BC—BD=+.(12分)

4.(1)证明：•.ZB是。。的直径，

ZAEB=9Q°,：.ZEAB+ZEBA=9Q°,

■:/EDB=/EAB,NBDE=NCBE,:.NEAB=/CBE,

：.NABE+NCBE=90。,

：.BCLAB.

•.18是。。的直径，

是。。的切线；(4分)

⑵证明：•••8。平分N/8E,

:./ABD=/DBE,=,

：./DEA=/DBE,

,/NEDB=/BDE,

：.ADEF-ADBE,

.DEDF

,,DB=DE'

：.DE2=DFDB；(8分)

(3)解：如解图,连接。O,

,:DO=OB,

：.ZODB=ZOBD,

第4题解图

又,:/EBD=/OBD,

，/EBD=/ODB,

：.OD//BE,

.PD=PO

•，PE=PB,

'：PA=AO,

：.PA=AO=OB,

.P0=2

,•PB-?

.PD_2

,,瓦

.PD2

-PD+DE巧,

,:DE=2,

，产。=4.（12分）

5.证明：（1）：。片=刈/。,

■PA=PE

"PE~PC,

,//P=NP,

:.AR4EsAPEC;（2分）

（2）VAPAEsAPEC,

：.ZPEA=ZPCE,

'：OA=OE,

：.ZOEA=ZOAE,

如解图①，连接8E,

c

第5题解图①

•.78是。。的直径，

，ZAEB=90°,

：.ZABE+ZBAE=90°,

又；ZABE=ZACE,

：.ZOAE+N/CE=90。，

，ZPEO=NPEA+ZOEA=ZPCE+ZOAE=90a,

即OEUE,（5分）

为。。的半径，

...PE为。。的切线；（6分）

（3）如解图②，过点。作OH±AC于点H,

第5题解图②

则NN”O=90。，

'：AB是。O的直径，

，ZACB=ZAHO=90°,

：.BC//OH,（7分）

又：Z5=30°,

AZAOH=ZB=30°,AC=^AB=OA=OB,

OH=^OA=当4c.

1

"：AP=^AC,PE27=PA-PC,

3

：.PE2=PA-（PA+AO=^AC2,（8分）

：.PE=^-AC=OH,

在ADHO和△£>£1?中，

ZDHO=ZPED=90°

ZHDO=ZEDP,

OH=PE

:.ADHO咨ADEP（AAS）,（9分）

分)

类型三直角三角形模型

1.(1)证明：丁/C为。。的直径,

，ZADC=90°,

，ZBDC=9Q0,

又•:ZACB=90°,

：.ZACB=ZBDC,

又：ZB=Z5,

，ABCDsABAC,

.BCBD

，，BA=BC,

即BC1=BABD；

(2)解：DE与。O相切.理由如下：

如解图，连接。O,

第1题解图

,/ZBDC=90°,E为8C的中点，

：.DE=CE=BE,

：.ZEDC=ZECD,

又・：OD=OC,

：./ODC=NOCD,

,：ZOCD+ZDCE=ZACB=90°,

：.ZEDC+ZODC^90°,即NEZ>0=90。,

：.DE1OD,

又为。。的半径，

...OE与。。相切.

2.(1)证明：如解图，连接OC,

第2题解图

•••8。是。。的切线，

/.ZABD=ZCBD+ZCBA=90°,

•:AB是。O的直径，

AZACB=90°,ZJ+ZC5J=90°,

AZACO+ZBCO=90°,ZBCD=90°,

ZCBE=ZA,(2分)

•:E是BD中点，

：.CE=BE=^BD,

:./BCE=/CBE=/A,（3分）

"：OC=OA,

，NACO=ZA,

，/ACO=/BCE,

：.Z5C£+Z5CO=90°,（5分）

即NOCE=90°,CELOC,

又YOC为GO的半径，

是G）O的切线；（6分）

（2）解:VZACB=90°,

.,.J5=^AC2+BC2=^/42+22=24,

.BDBC21

•,to/?J=AB=AC=4=2,

BD=^AB=-\[5,（8分）

.•.CE=；3O=坐（10分）

3.（1）证明：如解图，连接OD

,：ACLAB,

：.ZBAC=90°,即/O/E=90°.

在△ZOE与△OOE中，

第3题解图

OA=OD

AE=DE,

OE=OE

，AJOE咨/\DOE(SSS),

：.ZOAE=ZODE=90°,

即ODtED.

又是。。的半径，

是。。的切线；(4分)

(2)解：•.•(?£=10,••75是直径,

AZADB=9Q°,B|JADLBC.

又•.•由(1)知，/\AOE^/\DOE,

，/AEO=NDEO,

又,：AE=DE,

：.OE±AD,

：.OE//BC,

.OAOEl

，，AB=BC=2,

：.BC=2OE=20,即BC的长是20.(8分)

4.(1)证明：如解图，连接Z。、OD,

第4题解图

•.18是。。的直径，

，ZADB=90°,

,:AB=AC,

垂直平分8C,E[JDC=DB,

为△8/C的中位线,

：.OD//AC,

'：DELAC,

C.ODLDE,

又是。。的半径，

.•.0E是。。的切线；

(2)解：'JODLDE,DELAC,ZBAC=90°,

，四边形ONE。为矩形，

"：OD=OA,

，四边形为正方形，

.,.AE=AO,

•,/“叩AE1

.・ternNAB乜=入==不

(3)解：•.73是。。的直径，

，N4ra=90。，

，ZABF+ZE4B=90°,

'：ZEAP+ZFAB=90°,

：.NEAP=/ABF,

:.tan/EAP=taw/ABE=/

EP1

在中，口一劣

AE=2,tanNEAP=A.HZ,

：.EP=\,

.,.^P=^AE2+EP2=V5.

5.(1)解：•.•对角线/C为。O直径，

，ZADC=9Q°,

；.NCDE=90°；(2分)

(2)证明：如解图，连接。。，

第5题解图

•:/CDE=90。,F为CE中点,

：.DF=^CE=CF,

：./FDC=ZFCD.

又，：OD=OC,

：.ZODC=ZOCD,

：.ZODC+ZFDC=ZOCD+ZFCD,

：.ZODF=ZOCF,

".'EC1AC,

：.ZOCF=90°,

：.ZODF=90°,

:。。为。。的半径，

二。厂是。。的切线；(5分)

(3)解：由圆周角定理得N/BO=NZC。，

由(1)可知NN0C=NCr>E=9O。，由不难得到⑵可知NC40=NEC。,

,XADCsACDE,

.ADDC

•，CD=DE,

：.CD2=ADDE,

,:AC=2邓DE,

故设。AD=b,

则AC=2/a,CD=y[^),

在Rt/\ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2,

即h2+（Vab）2=（2^/5a）2,

整理得（与产+）-20=0,

aa

解得2=4或：=—5（舍去），

dd

状=2.（9分）

tun^.ABD—tun/A.CD=CD=

类型四角平分线模型

1.(1)证明：如解图，连接。。,

第1题解图

•.1。平分N比1C,

二ZDAE=ZDAB,

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD,

：.ZODA=ZDAE,

：.OD//AE.(3分)

,：DEA.AC,

：.OD±DE,

又为。。的半径，

是。。的切线；(5分)

(2)解：如解图，过点。作于点R

易得AF=CF=^AC=3,

（9F=A/AO2-AF2=^/52-32=4,

ZOFE=ZDEF=ZODE=90°,

，四边形OEE。是矩形,

.•.OE=Ob=4.（10分）

2.(1)证明：如解图，连接OC,

第2题解图

'：OA=OC,

：.NBAC=/ACO.

•.1C平分N84D,

，ZBAC=ZCAD,

：.ZACO=ZCAD,

：.OC//AD,

又•：ADLMN,

：.OC±MN,

又为。。的半径,

二直线A/N是。。的切线;（3分）

（2）解：VZADC=ZACB,ZBAC=ZCAD,

：.△ADCs”CB,

■ADAC

，，AC=AB,

.,O=AC!=25

,'AB~AD~4，

25

...G）O的直径是m.（6分）

3.(1)证明：如解图①，连接。C,

D

F..

第3题解图①

•.•CD是。。的切线，

：.OC±CD,

'.'AD1.CD,

：.OC//AD,

：.ZDAC=ZOCA,

'：OC=OA,

：.ZOCA=ZOAC,

：.ZDAC=ZOAC,

平分ND48；(4分)

第3题解图②

(2)解：如解图②，连接8C,

'：AB是。O的直径，

•*.ZACB=90°,