高考数学一轮复习 （基础知识 高频考点 解题训练）导数的应用(二)教学案

第日三节/导数的应用(二)

后高频考点要通关抓考点|学技法|得拔高分|掌握程度

3利用导数研究恒成立问题及参数求解

小典题导入

［例1］已知函数_f(x)=Vlnx~

(1)当a=—1时，求曲线Ax)在点(1,Hl))处的切线方程；

(2)若当时，F(x)20成立，求”的取值范围.

［自主解答］(1)当a=—1时，ax)=Ylnx+f—1,

f'(^)=2xlnx+3x.

则曲线广(x)在点(1,F(l))处的切线的斜率为/(1)=3,又广⑴=0,所以切线方程

为3x—y-3=0.

(2)f'(x)=2xlnx+(l-2a)x=x(21nx+l—2a),其中x21.

当舄时，因为41,所以/(x)20,所以函数/'(x)在［1,+8)上单调递增，故

F(x)》F(1)=0.

当於2时，令f(X)=0,得X=ea—

若x£［l,“一；)，贝必(x)<0,所以函数Ax)在［1,ea—；)上单调递减.所以当x

£［1,ea—；)时，f(x)W_f(l)=0,不符合题意.

1-

-

综上a的取值范围是一8,2

-

出由题悟法

利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：

(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为

求函数在给定区间上的最值问题求解.

(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为F(x)20(或F(x)WO)恒成立的问

题.

(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致

图象，数形结合求解.

务以题试法

1.设函数f(x)=%+e'—xe'.

(1)求/<x)的单调区间；

出若当了^［—2,2］时，不等式/'(x)”恒成立，求实数0的取值范围.

解：(1)函数广(才)的定义域为(—8,+8),

,:f(JV)=x+ex—(e"+xe?=x(l—e?,

若x=0,则/(x)=0；

若水0,贝!J1—e〉0,所以/(x)〈0；

若x>0,贝也一ey0,所以/(x)<0.

.,.『(X)在(一8,+8)上为减函数，

即广(X)的单调减区间为(一8,十8).

(2)由(1)知，Ax)在［—2,2］上单调递减.

故"(x)］min=/*(2)=2—e2,

・••加2—e之时，不等式_f(x)>宜恒成立.

故〃的取值范围为(一8,2-e2).

3利用导数证明不等式问题

占典题导入

1nx

［例2］已知_f(x)=ax—lnx,(0,e］,g(x)=----，其中e是自然常数，@£R.

x

(1)讨论a=l时，函数广(x)的单调性和极值；

(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)+点

［自主解答］(1)：/U)=x—Inx,

...当0〈/1时，f'W<0,此时『(x)单调递减；

当1〈矛<e时，f'(x)>0,此时F(x)单调递增.

•••『(X)的极小值为AD=i.

1—1nV

⑵证明：由(1)知"(x)Lin=l.又H5)=——,

・••当QGKe时,g'(T)>0,g(x)在(0,e］上单调递增.

••[g(x)]max=g(e)=—<].

[/(Jr)]min

・••在⑴的条件下，f{x}>g(x)+-.

:一题多变

在本例条件下，是否存在正实数必使Hx)的最小值是3?若存在，求出a的值；若不

存在，说明理由.

解：假设存在正实数a，使F(x)=〃x—Inx(x£(0,e])有最小值3.因为/(x)=a-,

x

ax~\

x

当og〈e时，r(x)在(0,0上单调递减，在e上单调递增，

所以"(x)]min=d=l+lna—3,a=e,,满足条件；

当时，f(x)在(0,e]上单调递减，

a

，

[/(^]min=/(e)=ae—1=3,

4

片一(舍去)，所以，此时石不存在.

e

综上，存在实数a=£使得当xd(0,e]时f(x)有最小值3.

[由题悟法

利用导数方法证明不等式/U)>g(x)在区间，上恒成立的基本方法是构造函数尔x)=

f(x)—g(x),然后根据函数的单调性，确定函数的最值证明Mx)>0.

否以题试法

2.已知_f(x)=xlnx.

(1)求g(x)='；+&R)的单调区间；

(2)证明：当时，2x—eWf(x)恒成立.

解：(l)g(x)=lnx+g,

.，/、x~k/口

令g(②=—―=0得x=k.

・•・当”WO时，g'(x)>0.

函数g(x)的增区间为(0,+8),无减区间；

当A>0时g'(x)>0得x>k-,g'(x)<0得0〈x〈k,

.,.增区间为(“，十8),减区间为(0,A).

(2)证明：设为(x)=xlnx—2x+e(x2l),

令H(x)=ln才-1=0得《=6,

尔x),"(x)的变化情况如下：

X1(Le)e(e,+0°)

h'(x)-1一0+

力(x)e-20

故7;(x)20.即『(x)22x—e.

利用导数研究生活中的优化问题

占典题导入

［例3］某物流公司购买了一块长/〃=30米，宽2220米的矩-----------P

形地块加侬规划建设占地如图中矩形4?⑺的仓库，其余地方为道DPXC

路和停车场，要求顶点C在地块对角线MN上,顶点反〃分别在边AM,

AV上，假设的长度为x米.ABM

(1)要使仓库的占地面积不少于144平方米，求x的取值范围；

(2)要规划建设的仓库是高度与46的长度相同的长方体建筑，问力方的长度为多少时仓

库的库容量最大.(墙地及楼板所占空间忽略不计)

［自主解答］(1)依题意得△回与aMl〃相似，所以知当，即a=也请，故

/iM/VziJUZU

22

20--jr,矩形ABCD的面积为20才一金才2(0〈水30).

uJ

2

要使仓库的占地面积不少于144平方米，则20JT—~/^144,

化简得V—30x+216W0,

解得12W后18.

2.

⑵由⑴知仓库的体积勺20/—懑3(0〈水30),令V=40才一2系=0,得x=0或x=20.

O

当0〈x<20时，『>0,当20<京30时，『<0,

所以当x=20时，取最大值，且最大值为空”，即的长度为20米时仓库的库存容

量最大.

［由题悟法

利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤

（1）分析实际问题中各个量之间的关系，建立数学模型，写出函数关系式了=『5）;

（2）求出函数的导函数/（x）,解方程（x）=0；

（3）比较函数在区间端点和使f'（x）=0的点处的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）

值.

否以题试法

3.某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到有关部门的关注，据有关统计数据显示，

从上午6点到中午12点，车辆通过该市某一路段的用时y（分钟）与车辆进入该路段的时刻t

之间关系可近似地用如下函数给出：

r133629

——7f2+3616W伙9,

o44

159

31+丁，9WZW10,

o4

<-3t2+661-345,10〈02,

求从上午6点到中午12点，通过该路段用时最多的时刻.

解：①当6W«9时，

,3,3,

y=一6—广+36

oZ

3

=—［（方+12）（方一8）.

O

令/=0,得力=—12（舍去）或方=8.

当6WK8时，/>0,

当8〈伙9时，/<0,

故力=8时，p有最大值，%ax=18.75.

159

②当9〈方W10时，1+7是增函数，

o4

故Z=10时，％ax=16.

③当10心小12时,尸一3（11）2+18,

故Z=11时，％ax=18.

综上可知，通过该路段用时最多的时刻为上午8点.

用|解瞿州1季W高琴GAOXIAO抓速度|抓规范|拒绝眼高手低|掌握程度

4级全员必做题

1./<x)是定义在(0,+8)上的非负可导函数，且满足xf(x)+f(x)W0,对任意正

数a,6,若a<b,则必有()

A.af(mWbf(/B.

C.(0D.(/?)</1(a)

解析：选Axf'(x)—f{x),f{x}20,

fxfafh

则函数------在(0,+8)上是单调递减的，由于0〈a〈6,则一一。一二•即

xab

af(6)^bf(a).

2.(2012•山西适应性训练)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式

y=-f+27x+123(x〉0),则获得最大利润时的年产量为()

A.1百万件B.2百万件

C.3百万件D.4百万件

解析：选C依题意得，y'=-3/+27=—3(x—3)(x+3),当0〈矛〈3时，y'>0；当

x〉3时，V〈0.因此，当x=3时，该商品的年利润最大.

3.已知函数/'(x)是R上的偶函数，且在(0,+8)上有/(王)>0,若/'(—1)=0,那

么关于X的不等式xf®<0的解集是.

解析：在(0,+8)上有/(x)〉0,所以f(x)在(0,+8)单调递增.又函数f(x)是R

上的偶函数，所以/'(1)=f(—1)=0.当x>0时，/'(x)〈0,.,.()〈*1；当水。时，图象关于y

轴对称，f(x)>0,AX-l.

答案：(-8,-1)u(0,1)

4.直线y=a与函数f(x)=x3—3x的图象有相异的三个公共点，则a的取值范围是

解析：令/(x)=3x?—3=0,得矛=±1,可得极大值为『(一1)=

2,极小值为/1&)=—2,如图，观察得一2<a<2时恰有三个不同的公共

点.

答案：(一2,2)

5.已知函数/'(x)=/+111x.

(1)求函数f(x)在［1,e］上的最大值和最小值;

91

(2)求证：当xG(l,+8)时，函数/1(x)的图象在g(x)=『^+5才2的下方.

O乙

解：(1)•:/'(x)n1+lnx,*.f'(x)=2x+2

x

时，/(x)>0,故f(x)在［1,e］上是增函数,

Mx)的最小值是广⑴=1,最大值是He)=l+e2.

i9

(2)证明：令尸(x)=_f(x)—g(x)=5x2—g£+］nx,

♦—f—f+ll—X—+x+

='x=X,

V^>1,：.F'(x)VO.

・(x)在(1,+8)上是减函数.

121

F(x)<FW=~--=—g<0,即广(x)Vg(x).

・••当x£(l,+8)时，函数〃x)的图象总在g(x)的图象的下方.

6.(2012•乌鲁木齐诊断性测验)己知函数(理)f(x)=er—x,(文)f(x)=56、-x,其

中川为常数.

(1)若对任意x£R有f(x)20成立，求力的取值范围；

(2)当加>1时，判断Hx)在［0,2加上零点的个数，并说明理由.

解：(1)依题意，可知f(x)在R上连续，且/(x)=e”——1,

令f(x)=0,得x=m.

故当X£(—8,血时，f'(x)<0,_f(x)单调递减；

当xG5,+8)时，f'(才)>0,f(x)单调递增；

故当时，/1(㈤为极小值，也是最小值.

令/*(勿)=1一/20,得加W1,

即对任意x£R,Ax)》。恒成立时，力的取值范围是(一8,1］.

(2)由(1)知_f(x)在［0,2加上至多有两个零点，当勿>1时，广(力)=1一欣0.

_ffl

vr(o)=e>o,Ao)•ATZ/XO,

・・・f(x)在(0,加上有一个零点.

又f(2/n)—Q—2m,令g(ni)=e"—2勿，

*/当ni>l时，g'(2Z7)=e"—2>0,

・・・g(而在(1,+8)上单调递增.

•.g{ni)>^(1)=e—2>0,即/*(2血>0.

•A2zz?)<0,：.f(x)在(m,2血上有一个零点.

故Ax)在［0,2加上有两个零点.

7.(2013•泰安模拟)某种产品每件成本为6元，每件售价为x元年销售为

(21、

U万件，若已知一§——〃与卜一句2成正比，且售价为10元时，年销量为28万件.

(1)求年销售利润y关于售价x的函数关系式；

(2)求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润.

585

解：(设

1)8__W

•••售价为10元时，年销量为28万件,

58528=(10一胡)解得A=2.

・3-21号2585

—

—2x+21x+18.

y=(—2/+21x+18)(x—6)

=-2/+33/-108^-108(6<X11).

(2)/=—6/+66x—108

=—6(/—IIJT+18)

=—6(x—2)(x—9).

令y'=0,得x=2(舍去)或x=9,

显然，当xG(6,9)时，y'>0；

当xG(9,11)时，y'<0.

函数尸一29+33/—108x—108在(6,9)上是递增的，在(9,11)上是递减的.

...当x=9时，y取最大值，且为ax=135,

.••售价为9元时，年利润最大，最大年利润为135万元.

B级重点选做题

1.(2012•潍坊模拟)已知函数广(x)=(*—3x+3)e",[―2,万(方>—2).

⑴当仅1时，求函数p="x)的单调区间；

(2)设/(—2)=m,f(t)=n,求证：水〃.

解：(I)/7(x)=(2x—3)ex~\~ex(x—3x+3)=e"x(x—1),

①当一2<ZW0,x£[—2,万时，/(x)20,F(x)单调递增；

②当0<伙1,x£[—2,0)时，f'(x)>0,F(x)单调递增，

当(0,行时，f'(x)<0,F(x)单调递减.

综上，当一2〈方W0时，尸f(x)的单调递增区间为[—2,8；

当0<伙1时，p=Ax)的单调递增区间为[—2,0),单调递减区间为(0,f],

⑵证明:依题意得力=广(-2)=13el\

n=/(t)=(d—31+3)el

设h(f)=n~/n=(/—31+3)e'—13e-2,方>一2,

h'(力)=(21—3)e'+e'(/—3力+3)=e%(t—1)(方〉一2).

故力(力，H(力随力的变化情况如下表：

t(—2,0)0(0,1)1(L+°°)

h'(t)+0一0+

h(«极大值极小值

13e—13

由上表可知力(方)的极小值为力(1)=e—F=--2—>0,又力(一2)=0,故当一2<力<0时,

ee

力(方)>/(—2)=0,即力(方)〉0,

因此，n—ni>0,即水刀.

2.(2012•资阳模拟)已知函数f(x)=£-3ax+6(a,北R)在x=2处的切线方程为p

=9X一14.

⑴求广(x)的单调区间；

(2)令g(x)=—S+2x+k若对任意不£[0,2],均存在毛£[0,2],使得仁(布)<g(意,

求实数A的取值范围.

解：(1)(x)=3/一3a,〈ax)在x=2处的切线方程为尸9x—14,

=4,18—6己+6=4,3=1,

则[12—38=9,解得

=9,6=2.

f{x)=x—3x+2,则f'(x)=3(-3=3(x+l)(£—1).

由/(x)>0,得x<—1或x>l；

由/(x)<0,得一l〈x〈L

故函数Hx)的单调递减区间是(一1,1)；单调递增区间是(一8,-1),(1,+8).

⑵由(1)知，函数广(D在(0,1)上单调递减,在(1,2)上单调递增.

又f(0)=2,f⑵=4,有F(0)(f(2),

・・・函数F(x)在区间[0,2]上的最大值〃X)max=F(2)=4.

又g(x)=—/+2x+k=—(^r—1)2+A+L

・•・函数g(x)在[0,2]上的最大值为g(x)max=g(l)=k+l.

•・,对任意荀£[0,2],均存在热£[0,2],使广(药)〈广(天)成立,

・•・有广(X)max〈g(x)max,则4<A+1,即4>3.

故实数A的取值范围是(3,+8).

|1乘备选题|

1.已知向量力=(刘，—1),〃=((，JX。，3g为成等差数列，2,，京，为成等比

数列.

(1)求证：m.Ln；

(2)若存在不为零的实数4与总使得己=(d—3)必+〃，/?=力"一A〃，且a_L6,|a|忘寸斫,

试讨论函数A=八方)的单调性，并求出函数的极值.

解：(1)证明：由痴平，％成等差数列得刘+%=芈，①

由2,y[xOfK成等比数列得施=2%，②

由①与②可得刘=十，%=平，

所以m_Ln.

⑵由⑴得|勿|=2,\n\=1,

因为I乃|m_Ln,所以|（/—|//+23）勿•n+|/7|2=4（f2—3）2+

1W37,

所以0W/W6,所以一小乖.

又a•b=方（F——3）\m\2—k{/-3）勿•n+tm•n-k\n\2=4^（^2—3）~k=Q,

所以左=/*（»=4力（d一3）（一mW力・/），k'=f'（方）=[4方（/-3）「=12^—12,

令12^-12=0,得t=±l.

当力变化时，r（力，〃力的变化情况如下表：

因此f(七的单调递增区间为(一十，一1),(1,加)；f(x)的单调递减区间为(-1,1).广(方)

的极大值为8,极小值为一8.

2.设函数F(x)=lnx-p(x-l),〃£R.

(1)当夕=1时，求函数广(入)的单调区间；

(2)设函数g(x)="(x)+,(23一x—1),对任意x21都有g(x)W0成立，求夕的取值

范围.

解：(1)当夕=1时，F(x)=lnx—>+1,其定义域为(0,+8).

所以/•'(x)=L—1.

X

由f(x)=——1>0得O〈x〈l,由f'(x)<0得X>1.

X

所以函数F(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+8).

(2)由函数g(x)=xf(x)+夕(2Ag—x—1)=xlnx+夕(3一1)(x>0),得g'(x)=lnx+1

-\-2px.

由(1)知，当夕=1时，f(x)由广⑴=0,

即不等式in1成立.

①当夕■时，g'(x)=lnx+1+2夕后(x—1)+l+2px=(1+20)xWO,

即函数g(x)在[1,+8)上单调递减，从而g(x)Wg(l)=O,满足题意；

②当一时，若一则Inx>0,l+2px>0,

从而g'(x)=lnx+l+2px〉0,即函数g(x)在(1,一2)上单调递增，从而存在刘6

[1，—J使得g(x0)〉g(l)=O,不满足题意；

③当夕三0时，由x21知g(x)=xlnx+夕(/一1)20恒成立，此时不满足题意.

1-

综上所述，实数0的取值范围为一8,2--

-

阶段验收评估(一)

集合与常用逻辑用语函数、导数及其应用

(时间120分钟，满分150分)

一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)

“一£,xWO,

1.(2012•广州调研)已知函数Ax)=X、若AD=F(—1),则实数a的

[<3,X>0,

值等于()

A.1B.2

C.3D.4

解析：选B根据题意，由广(1)=广(一1)可得己=1—(―1)=2.

2.(2012•江西高考)若全集〃={xGR|IW4},则集合A={xCR||x+l|Wl}的补集

[/为()

A.{xGR|0〈;K2}B.{xGR|0Wx〈2}

C.{xGR|0〈xW2}D.{xGR|0WxW2}

解析：选C因为〃={xdRlIWd}={xGR|—2WxW2},A—{x^R||x+111}={x^

R|-2WK0}.借助数轴易得[/={xeR|0〈xW2}.

3.下列函数中，恒满足/■(2x)="(x)『的是()

A.f(x)=|x|B.f{x)=-(AS^O)

x

C.f{x)=e'D.F(x)=sinx

解析：选C若/■(*)=/,则f(2x)=e*£=(e4=[f⑸

4.(2012•大同调研)已知函数/•(x)=f+Ar(6eR),则下列结论正确的是()

A.V6GR,f(x)在(0,+8)上是增函数

B.V6GR,F(x)在(0,+8)上是减函数

C.36GR,f(x)为奇函数

D.36GR,/'(X)为偶函数

解析：选D注意到当6=0时，/(x)=V是偶函数.

5.(2013•龙岩四校联考)己知函数y=f(x)的图象在点欣3,f(3))处的切线方程是y

=%1+19则/(3)+『,(3)的值为()

A.1B.2

C.3D.5

95

解析：选B因为切点(3,『(3))在切线上，所以f(3)=l+§=『切点处的导数为切线

的斜率，所以「(3)=，，所以广⑶+/(3)=2.

6.(2012•汕头一测)已知集合A是函数f(x)=|背.—1的定义域,集合6是整数集,

则4G8的子集的个数为()

A.4B.6

C.8D.16

f1—x?10,

解析：选A要使函数Ax)有意义，则需।.解得一lWx<0或(KxWl,

〔|x十(11TWO,

所以函数的定义域/={x|—lWx<0,或0<xWl}.所以zn6={i,-1},其子集的个数为

4.

7.已知a=log23+log2A/3,Z?=log29—log2^/3,c=log32,贝1Ja,b,c的大小关系是（）

A.a=b<cB.a=b>c

C.水伙。D.a>b>c

解析：选B*.*a=1og23+1og2^/3=1og23-\/3,b=log29—log2^/3=log23-\/3,

・・d,--b.

又•・•函数y=1ogax（a>1）为增函数，

a=Iog23^/3>log22=1,c=Iogs2<log33=1，a=b>c.

8.（2012•南昌一模）函数尸g—1的图象关于x轴对称的图象大致是（）

解析：选B函数尸该函数的图象就是抛物线产=*在x轴及其以上的部分,

故函数y=g—1=0—1是将上述图象向下平移一个单位得到的，再作其关于x轴对称的

图象，即选项B中的图象.

9.(2012•长春第二次调研)若a>2,则函数f(x)=1/-a/+l在(0,2)内零点的个数

为()

A.3B.2

C.1D.0

解析：选C依题意得/(x)=/—2ax,由a>2可知，f'(x)在(0,2)时恒为负，

即/'(X)在(0,2)内单调递减，又/'(0)=1>0,y(2)=|-4a+l<0,因此/<x)在(0,2)内只有

一个零点.

10.(2012•河南三市第二次调研)设〃为全集，对集合％K定义运算“*”，龄厂=

ICrcD.对于任意集合上，Y,z,贝曙翳D*Z=()

A.(zuj)n[vzB.CmDu[总

c.([/U]〃x)nzD.([MODuz

解析：选B依题意得(#D=[〃(xnD=([㈤u([，①，(期D*z=C/。n0=[C

〃(xn乃n0={[4卜(xnD]}u([必=(znX)uQ必.

11.(2012•重庆高考)己知f(x)是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f(x)为

[0,1]上的增函数"是"Ax)为[3,4]上的减函数”的()

A.既不充分也不必要的条件B.充分而不必要的条件

C.必要而不充分的条件D.充要条件

解析：选D由题意可知函数在［0,1］上是增函数，在［—1,0］上是减函数，在［3,4］上

也是减函数；反之也成立.

12.下列命题：

①Vx£R,不等式系+2x>4x—3均成立；

②若log2x+log*222,则x>l；

③“若a>b>0且K0,则的逆否命题是真命题；

ab

④若命题夕：Vx£R,f+121,命题Q：mx£R,x—x—IWO,则命题oA（㈱Q）是真

命题.其中真命题为（）

A.①②③B.①②④

C.①③④D.②③④

解析：选A由f+2x>4x—3推得2x+3=（x—1>+2>0恒成立，故①正确；根据

基本不等式可知要使不等式Iog2x+logx222成立需要x>l,故②正确；由a>6>0得0<-<T,

ab

又c<0,可得一>7,则可知其逆否命题为真命题，故③正确；命题。是真命题，命题g是真

ab

命题，所以g）为假命题，故④不正确.

二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）

13.（2013•河北质检）函数尸log1（3x—向的定义域是仔+°°j,贝lja=.

解析：由3x一己〉0得x〉*因此，函数y=log1（3x—a）的定义域是+°°\所以微=',

U乙yOJOO

即3=2.

答案：2

14.（2012•南通一调）设尸是函数尸爪（x+1）图象上异于原点的动点，且该图象在

点户处的切线的倾斜角为0,则。的取值范围是.

3131113111

解析：依题意得，〃=芍+芍，yr=-x^-\--x--{x>^,当x〉0时，y'=-x^+-x--^2

乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙

2^2X22,即该图象在点〃处的切线的斜率不小于线，即tan小.又0e

JIJI「兀JI、

［0,Ji）,因此可^<―,即9的取值范围是—J.

JIJ［、

答案：卬-）

15.（2012•山东高考）若函数F（x）=d（於0,aWl）在［—1,2］上的最大值为4,最小值

为加，且函数g（x）=（1—44F在10，+8）上是增函数，贝！Ja=.

解析：函数g(x)在［0,+8)上为增函数，则1—4o>0,即正［.若a>l,则函数f(x)在

［-1,2］上的最小值为，=如最大值为3=4,解得3=2,1=zzz,与水;矛盾；当0〈水1时，

a24

函数f(x)在［-1,2］上的最小值为a=m,最大值为a-1=4,解得a=［,片春］所以a=［.

答案：I

16.(2012•福州质检)已知集合〃是满足下列条件的函数f(力的全体：

(l)f(x)既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数/(x)有零点.那么在函数①/'(x)=|x|一

x-2,x>0,

1,②_f(x)=2"一1,③f(x)=<0,x=0,④_f(x)=/—x—1+lnx中，属于〃的有

、x+2,x〈0,

.(写出所有符合的函数序号)

解析：对于①，vr(—A)=|—T|—I=\X\—i=f{x),

・・.F(x)=|x|—1是偶函数，，①不符合条件；易知Ax)=2'—1既不是奇函数也不是偶

函数，且有一个零点x=0,

二・②符合条件；对于③，令x>0,则一x<0,f^x)=x—2,/(—x)——x+2=—(x—

2),即广(或)=一『(一x),

x~2,x>0,

又H0)=0,・・.F(x)={o,x=0,是奇函数，，③不符合条件；对于④，函数

、x+2,x<0.

r(x)=£—X—1+lnX的定义域为(0,+8),故它既不是奇函数也不是偶函数，・・・/(x)

12-20_力+?

=2^-1+-=---------=——-->0,.•.函数/'(x)在(0,+8)上单调递增，又/'(1)=1

XXX

—1—1+0=—1<0,/'(e)=e°—e—l+l=e(e—1)〉0,.,.函数f(x)在(1,e)上存在零点，

④符合条件.

答案：②④

三、解答题(本题共6小题，共70分)

17.(本小题满分10分)已知函数y=f(x)的图象关于原点对称，且x>0时，f(x)=/

—2x+3,试求『(x)在R上的表达式，并画出它的图象，根据图象写出它的单调区间.

解：•••『(X)的图象关于原点对称，

；.『(一X)=-f{x)>又当x>0时，=x—2x+3,

当x<0时，—=-x—2x—3.

当x—0时，f(x)=0.

~x2—2x+3,x>0.

，函数解析式为F(x)=｛。，x=0,

、一x—2x—3,x〈0.

作出函数的图象如图.

根据图象可以得函数的增区间为(—8,-1),(1,+8)；

函数的减区间为(一1,0),(0,1).

18.(本小题满分12分)

已知函数f(x)=log3(ax+6)的部分图象如右图所示.

(1)求f(x)的解析式与定义域；

(2)函数f(x)的图象能否由尸logsx的图象平移变换得到.

解：(1)由图可知(2,1)(5,2)是『(幻=1083心了+6)上的两点，将其代入函数表达式可得

2a+6=3,Ja=2,

5a+6=9[b=-1.

f(x)的解析式为f(x)=log3(2x—1).

：F(x)有意义需满足2x—1>0,

.../(x)的定义域为《，+8).

(2)Vf{x}=log3(2x-1)=log［2(x-0］

=log3^—1j+log32,

•••/(x)的图象是由y=log3X的图象向右平移(个单位，再向上平移logs2个单位得到的.

故可以由尸10g3X的图象平移得到.

19.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x(V—ax—3).

(1)若/<x)在区间［1,+8)上是增函数，求实数a的取值范围；

⑵若x=一；是f(x)的极值点，求f(x)在区间［1,4］上的最大值.

解：(1)/*(x)=x(x?—ax—3),fr(JT)=3x—2ax—3.

・・・f(x)在［1,+8)上是增函数,

・••在［1,+8)上恒有r(x)EO,

即33—2ax—320在［1,+8)上恒成立.

得?在［1,+8)上恒成立.

・.•当时,-Lr--^-(1—1)=0,

xj乙

aWO.

(2)依题意得/(一3=°，

即［+^3—3=0,得a=4,

故f(力=x~4：x—3x.

令f(必=33—8X一3=0,得矛=1一；，X2=3.

U

当x在［1,4］上变化时，r(x)与/"(X)的变化情况如下表:

X1(1,3)3⑶4)4

/(X)一0+

f(x)-6-18-12

所以/U)在区间［1,4］上的最大值是f(l)=—6.

20.(本小题满分12分)经市场调查，某种商品在过去5