电子科大matlab期末开卷

设数a是精确值，x是。的一个近似值，

,绝对误差（absoluteerror）：真实值与近似值差的绝对值。

・相对误差（relativeerror）：绝对误差与精确值之比（如果精确值未知，计算时用近

似值代替）。

・绝对误差限（精度，accuracy）：绝对误差的范围；

•相对误差限：相对误差的范围；

•真实值=00123.000456

•要求保留5位有效数字：00123.00（最前面0不计，最后0不省）

•绝对误差=|真实值-近似值|=0.000456,

•相对误差=0.000456/00123.000456=3.7073e-006

•保留7位有效数字：00123.0005（四舍五入）

•绝对误差=0.000044<0.00005（绝对误差不大于其最末数字的半个单位）

•相对误差=0.000044/00123.000456=3.5772e-007

•浮点数是什么数？

•实数？有理数？有限小数？

•有多少个不同的浮点数？

•28（64位，每位有两个状态，"0"和"1"）

•浮点数是由2s4个有限小数（包含整数）构成的集合？

•错。IEEE定义了一些异常值，inf（无穷）和NaN（“非数字”）

•浮点数精度是多少？（绝对误差限）

•esp=252=2.2204E-16

­最大的浮点数是多少？

•realmax=（2-esp）X21023=1.7977E+308

­最小的浮点数是多少？

•realmax=-1.7977E+308

•最小的正浮点数是多少？

•realmin=21022X2-52=4.9407e-324

•避免相近二数相减易减小有效数字

•避免小分母：分母小会造成浮点溢出

•求和时从小到大相加，可使和的误差减小

•简化计算步骤，减少运算次数，避免误差积累。

・选用稳定的算法

•eps是/的绝对误差限

,eps是f的精度

•浮点数的绝对误差不同；浮点数绝对值越大，绝对误差越大。

•浮点数的相对误差不大于eps,

•Matlab中“null”函数可计算欠定方程Ax=0的基础解系。

•Matlab中的“\"可计算方程的特解。

•性质1：若A的所有顺序主子式均不为0,则高斯消元无需换行即可进行到底，得到

唯一解。

•性质2：只要A非奇异，即A-1存在，则可通过逐次消元及行交换，将方程组化

为三角形方程组，求出唯一解。

•1.上（下）三角方阵的行列式的值等于对角线元素的乘积；

•2.上（下）三角方阵的转置为下（上）三角矩阵；

•3.上（下）三角方阵的逆矩阵为（上）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵对角元

的倒数；

•4.两个上（下）三角方阵的乘积也是上（下）三角矩阵，且对角元是原三角矩阵

对角元的乘积。

•1

例：计算迭代方程2=：p“一1-p”.2,加广〃=2,3,...A=6

该迭代方程存在解析解，7

Pn=G（；）"+c?3"

14

其中，Ci，C2由Po和Pl的取值决定,列和

如果取Po=1和Pl=所以，行和范数ML为24,列和范数MIL为16

贝"凡=lx（；）"+0x3"114=Aax（^）=16.7197

但是由于精度有限，

算子范数与其对应的向量范数相容,即网一引“"矶2,8

如果取p（）=1和[P=（）.33333,

则凡=1X（；）"+0.125x1（）4x3"网=皿胃=＞加|国硼*||

误差为：

e=0.125x1（）5x3”

矩阵A的谱半径记为0（4=嗯*41,其中4•为A的特征根。且班（A）411Ali

若A对称矩阵，则有||AII2=p（A）

若原始数据有很小的变化6x,对应的输出变化6y也很小，则称该数学问题

是良态问题：

-若8y很大，则称为病态问题

病态问题中，结果对于数据的变化率都很大（很敏感），因此数据微小变化

必将导致参数模型精确解的很大变化

-数学问题的病态问题完全取决于该数学问题本身的属性，在采用数值方法求

解之前就存在，与数值方法无关。

问题一：b存在扰动：

-给定方程组Ax=b,其解为x*,k*一斗MM上帆同

另给定包含误差方程组Ax=b+e,其解为分析其误差_11111

问题二，A存在扰动：WTT-wm"W

-给定方程组Ax=b,其解为x*,

-给定包含误差方程组（A+E）x=b,其解为，，分析误差CA+E可逆）

富业/+悯VIIA-1IlliEII/=(/士B)(I±Bp=(/土BY'±B(I±BY'

A-WM1-IIA''£II

==I+B(I±B)-1

HATIIIIAII㈣

nll(Z±B)-|ll<l+IISII-ll(7+B)-1II

<IIAII«IIA-1IlliAIIH

nII(/±B)-1II(1-IIBII)<1

IIAII

\-\\A-'IlliAII

问题三，A,b都存在扰动JA"n(/±5)'ll<---

、)II1-IIfill

-给定方程组Ax=b,其解为x*,

另给定包含误差方程组（A+E）x=b+e,其解为x,,分析误差

野的鸟-嗯+得

IIAII

£件数:所取的矩阵范数有关。]对任何非奇异矩阵AeMAR]

帚用本件数有.2.对非奇异矩阵A和常数CHO,有c、o〃d(cA)=co〃d(A)

⑴cond(A,oo)=PLP,lL3.对正交矩阵A,2-范数对应的条件数co〃d(A,2)=1

l4面(AZ)

⑵cond(A,2)=||A||2p-||2=

|A』同为该方程对应于该(相容)।矩阵范数的条件数

当条件数很大时,方程组Ax=b是病态问题。条件数是矩阵的特征，与算法无关。条件数与

所选择的范数有关，不同范数计算的条件数不同。

迭代法基本原理：如果迭代序列｛x"*"=/(x">)｝收敛，则其极限点为方程f(x)=x的

解

•迭代公式的构建：

将方程Ax=b改写为：x=Mx+c,/W称为迭代矩阵

迭代公式一(Jacobi迭代

+++=乂=42%2+历3%+…&

a^XxanXi-a[„x„b\

+++=X=+…+儿忒“+&

a2xXia22X2'a2„xnb22

a„yX+aX2+---+ax,^b„+++++

illimx„=b„txibn2X2b„?,X3---g„

定义对角矩阵：

Jacobi迭代公式为：x(k+l)=Mx{k)+g

Zioo-

M

。=o...o

g=D~]b

00a

利用Jacobi迭代求初程组

0.8

也=-zrg+u)=

U.o0

gj=—。一/=(0.2,0.2尸

迭代公式三(Gauss-Seidel迭代)

一般认为新近似解要比老近似解更接近真实解，将已计算出的x<*">分量替换Jacobi迭代

公式中x⑷相应分量即可得到Gauss-Seidel迭代。r..

5—4I

•利用Gauss-Seidel迭代求解方程组A=,b=.

•步骤1、构造Jacobi迭代公式L-45JL1.

,00.81T

场一(su)=[o.8=—,%=(0.2,0.21

•步骤2、选择初值公°)=[0,0.5]

步骤3、利用Jacobi迭代公式计算一次迭代的第一分量

x；n=[00.8]。°51。2=。.6

•步骤4、将4，骤，得到的一次迭代的第一分量替换初值的第一分量，计算一次迭代

的第二分量:0.6

嫂=[0.80]+0.2=0.68

0.5

步骤5、如果第三分量存在，利用一次迭代的第一、二分量计算第三分量，直到计算出所有

迭代向量分量。步骤6、重复步骤3-5,进行迭代与々c•。万相比，只需一组工作单元存放近似解。

。42…bj

+l)=+

X2b2lXl''+匕23%，+…+b2fg20°b“

001•.

(Jt+1).(*+l),(A+l)f(A+l)、0000,

+

x„=b„^x^b„2Xi+…

’0000、

A00°

:0

b\bn2…°>

%(%+D=Lx伏+1)+Ux伏)+g

<=>(Z-L)xa+,)=[/xu)+g

=x("D=(/_L)TUx(Q+(/-L)-1g

迭代法求解线性方程组

Gauss-Seidel迭代矩阵

如果用矩阵A来表示，记

00…0-…-a

0-an-a]31H

a

~2\°0-a23"­~a2n

L=一〃3]一〃32二•U=

,--an-\n

ran\-a„20•••0

则L=D'L,U=D-'U

=>I-L=D-'D-D'L=D\D-L)

由x(k+')^U-Ly'Ux{k}+U-LY'g

=>x(k+l)=(D-Ly'Ux(k)+(D-L)~'b

式中矩阵M=(D-LY'U为Gauss-Seide/迭代法的迭代矩阵。

SOR是Gauss-Seidel迭代法的一种加速法。

假设：V已知，X，+')为Gauss-Seidel迭代法结果，

定义：Ax=瑞日-%叫则,SO丈迭代法的表达式为:

-⑹+如

”钊=%⑹+皿=%出+。4旬一切工⑹=壮钊+(G—l)(X*+D—%⑹)

其中，G称为松弛因子。

当G<1时称为低松弛；

0)=1是Ga〃ss-Seidel迭代;

co>1时称为超松弛法。

超松弛迭代/SOR迭代矩阵第k步迭代误差公式

根据高斯迭代法的矩阵表示：

x(k+l)=D-'Lx{k+'y+D-'Ux(k)+D^'b

Ax=x(i+n-x{k}=D-'Lx[k+{>+(D'U)x(k>+D'b-x(k)

*伏钊=心)+如性质：x(k)-x=Mk(xw-x^

xw+co(D-'Lx(k+l)+D'Ux(k)+D-'b-x(k))证明：如果存在，则X*满足：

=(1-o)x(&)+coD'Lx^+&ZTbx")+coD'bx*-Mx+g

因为，-。。闿=1,故(/-。。叱厂|与(。-a)L)'存在，有：x*>-x*=Mx(k'')+g-Mx-g

(k+i)(M)

x=(D-a)LY'[(l-co)D+a)U]x">+(£>-coLY'(ob=M(X-X*)

松弛法的迭代矩阵为：=M2(x(k-2)-x)

M=(D-CDLY'{[\-CD)D+COU]

g=(D-a)Lyla)b

=M\xw-x*)

线性方程组迭代法收敛性：如果绝对值最大特征值(谱半径)小于1,则收敛，反之发散

引理：设A为〃阶方阵,则lim屋=0的充要条件为夕(4)<1。

k—>8

证：充分，性：若夕(A)<1,取£J-丁)〉0,

定理：设A为任意八阶方阵,

则对任意正数£,存在矩阵存在矩阵范数||||,使得

范数II||,使得：Ml归夕⑷+£=匕誓^<1

则有:lim||A|p=0

由算子范数相容性，可得：

由夹逼定理，可得：

limA*=0.

定理：对任意初始向量x(°>和右端项g,由迭代式k+"=Mx@+g产生的

向量序列｛淤>｝收敛的充要条件是2(M)<L

推论1:对任意初始向量x⑼和右端项g,若他|<1,

由迭代式/包=Mx®+g产生的向量序列｛/)｝收敛.

xx+2X2-2X3=1

例：对方程组<xt+x2+x3=2

2xt+2X2+x3=3

讨论Jacobi迭代法与Gauss-Seidel送代法的收敛性。

解：求迭代矩阵判别其谱半径是否小于LJac。初迭代法的迭代矩阵为

B=I-D

23=0

Gauss-Seidel迭代,由因此有4=4=4=0,于是P(8)=o<1,

-100一100所以Jaco初迭代法收敛。

D-L=110=(D-L)-1=-110

2210-21推论2:松弛法收敛的必要条件是0<。<2。

证明：设松弛法的迭代矩阵M有特征值4,4，…,&。

1000-220-22

因为|det(M)|=|2^...2|<[p(M)r

M=(D-L\'U=-11000-1=02-31n

0-21000002由定理，松弛法收敛必有|det(M)|<l

22-2又因为|det(A/)|=|(D-0L)[|(1-CD)D+cdj\

特征方程02-23=2(2-2)2=0

\(D-coLy'\=]

002-2

i

特征值为4=0,4=4=2,故2(M)=2>1,所以迭代发散。|(1-co)D+以/|=(1-o)yaxxa22...ann

=>|det(M)|=|(l-^r|<ln0<刃<2。

定义：若”阶方阵A=(旬)满足|%白£|%|(z=l,2,L,«)

j=i

博

且至少有一个，值，使上式中不等号严格成立，则称A为弱

对角占优阵。若对所有i,上式不等号均严格成立，则称A

为严格角占优阵。

定义：如果矩阵A不能通过行的互换和相应的列互换成

4A2

为形式4=，其中A”，42为方阵，则称A为不可约。

0^22

'110-'21O-

例：A=110P=/'3>PTAP^011

012011

Gauss-Seidel迭代收敛性

设有线性方程组4c="下列结论成立：

1.若A为严格对角占优阵或不可约弱对角占优阵，则

Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法均收敛。

2.若A为严格对角占优阵,0<0W1,则松弛法收敛。

3.若A为对称正定阵，则松弛法收敛的充要条件为0<042。

1

22

]_]_

例：Ax=b,A1讨论用三种迭代法求解的收敛性O

22

]_]_

1

1

22

解：因A为对称且其各阶主子式皆大于零，故A为对称正定矩阵。

由判别条件3,Gauss-Seide/迭代法与松弛法(0<。<2)均收敛。

A不是严格对角占优阵，故不能用条件1判断o

]_j_

0

2'2

Jac。方迭代法的迭代矩阵为8=/-。/=--0--

22

其特征方程

22注意：改变方程组中方程的次序，即将系数矩阵作行交换,

⑷用=g2L=力3一。/1+工会改变迭代法的收敛性。

244

22例：Ax-b,A-

][9-4_

（丸-]）（几+1）=0Jacobi与Gauss-Seide/迭代的迭代矩阵分别为

得4=4=g，4=/，因而p(B)=11010

0

ToT

M=

=>JacoAi迭代法不收敛。915

o0

4

谱半径分别是p(B)=与,PIM)*,均不收敛。

若交换方程的次序，得Ax=b的同解方程组Ax=K一一

3-109-4

A=A=

9-43-10

4为严格对角占优阵，因而对方程如4x=Z/用

Jacobi与Gauss-Seide/迭代求解均收敛。

第k步迭代误差与初始迭代步长关系

性质:x{k>-x*=M\I-My'(x⑻-*)

证明：如果X1存在，则X*满足：

x(k)-x^M\xw-x)

=Mk[xw-(I-My'g]

=Mk(I-MY'[xw-xw]

定理：设有迭代公式心+D=M”)+g,若收敛于x*,

则有误差估计式：.)-小瑞卜"。)|

证：因夕(M)引故M|wO,于是

根据事先给定的精度£,(/_〃)」存在，方程组x=Mx+g有唯一解J,

kmw

可估计出迭代的次数k：x^-x*=M(I-M)'[x-x]

)Z:1(0)(,)

lng(l~||A/||)取范数归"-X*||<||M||||(/-M)'||||X-X||

1(I)_(0)

k2:/又因为M-")华陋(矩阵范数性质5)

代人得—黑―

-00.10.2--0--7.2-

例：若M=0.100.2,3。)=0，八8.3£<10-4,

0.20.2008.4

则有IML=0.4,卜⑴=8.4

n攵212.932,即需迭代13次才能满足精度。

第k步迭代误差与前步迭代步长关系

性质：一x*=M(/-加尸(/7一”,)

证明：如果X*存在，则x*满足：

xr=(I-MY'g

xw-x=M(x^-x)

=M[x(k-')-(I-My'g]

=)'[(7-M)X“T)-g]

=M(I-My'[x(k-')-xw]

定理：设有迭代公式心+"=Mx«)+g,若||M||<l,{x(A)}收敛于x*,则有误差估计式:

证：因-x*=M(/-例)“(”」)-/))

当||M||不太接近1时，可用卜7glM*/⑼』严。叫

,铝产作为停机准则。

Jacobi:

例：设?!非奇异，B为奇异矩阵，证明：co〃d(A)NMil

Mj=(I-D'A),g=D'biMI

Gauss-Seicle:

证明：cond(A)WMh总o|A-B|Wh

1

MCS=(D-L)-'U,g=(D-Ly'h

SOR:

由矩阵相容性,可得:||4-珊A』N『-84」|

MSOR^(D-a)LY'[(,\-a))D+coU]

)

g={D-a>L)'col所以：co〃d(A)>“Ml-

引理：设4非奇异，B为奇异矩阵山-BA［卜1

证明：反证法：假设则有：

有：可逆,

即：BA」可逆,

矛盾!

•插值(interpolate)

-已知函数在出处的值为讳，求f(x),使之满足：yi=f(X|)

-其中，f(X)为插值函数，Xi处为插值节点，插值节点的区间称为插值区间，

%=f(Xi)为插值条件。

,拟合(fit)

-已知函数在Xi处的值为讳，求f(x),使之满足：e=||y「f(Xi)II在给定的

准则下最小。

•问题描述：

-给定插值点<%,Yi>,构造多项式函数Pn(x)=a0+Qi*+ai^+...+ay,使之

满足：

-PJx/)=y,(i=0,1,2,...,")。

•如何计算：

多项式由其多项式系数的,

P/x)Qi,a»,an决定，只需要求解多项式系

数，即可获得该插值多项式。

将P.(x,)=%写为矩阵形式可得：

〃“芯+...+°£+%=%%0

n.,1.k

anx1+...+alxl+aQ=yx王

o

a,X+•••+%£+&=，〃X；

求解该线性方程组即可得到多项式的系数

•该线性方程组有解吗，解唯一吗？唯一性定理：通过"+1个节点的”阶插值多项式

存在且唯一

•多项式插值的拉格朗日多项式表示：

•给定插值点<局，y,>,其插值多项式可表示为：

Pn（x）=yoloM+（x）+…+ynln（x）=Zyklk（x）

氏=0

其中，/（0,（X_/）…（工一八1）。_、7）…（.一七）二自（尤_马）

'（%,.-JC0-X,..,）（x,.-xM-xn）十4（4一%）

j*k

令：0"+i（x）=（x-XO）（X-X1）...（X-X„）

*(xj=(菁一%)...(七一菁_[)(Xj-苍+1)•••(士一当)

二例+1(X)

则：4（x）

(x-x,.)<yn+1(x,.)

一阶插值公式：Io(x)=^^~4(X)=23

Xo-XjXj—x0

x

二阶插值公式：鼠尤)=g_须)(％_%)/|(x)=(-x0)(x-x2)

(拓-X|)(小一%2)(X|一%)(王一%)

w=(x-x0)(x-x.)

(%一%)(％2一占)

•例：已知lgl0=l,lgl5=1.1761,lg20=1.3010,利用一次、二次多项式插值计算Igl2的近

似值。

一阶插值，选择x=10和20则插值基函数为：

r-20-1r-1()1

/(x)==—(x-20)I.(X)==—(x-10)

0°10-2010120-1010

耳(X)=(x)+M(x)=$(x-20)+(X-10)

二阶插值，则插值基函数为：

(x-15)(x-20)1

/()(x)=---------------=——(龙一15)(x—20)

°(10-15)(10-20)50

(x-10)(x-20)-1

4(x)=(x-10)(%-20)

(15-10)(15-20)25

2=烧瑞加号$（-0）（15）

P2(X)="(X)+(X)+M(X)

=^U-20)(x-15)

1.1761

H-------(x-10)(x-20)

25

1.3010

4-------(x-10)(x-15)

50

最后得到：

^(12)=1.0602(三位有效数字)

^(12)=1.0766(四位有效数字)

log(12)=1.0792

设函数y=/(x)的〃阶导数尸")(x)在口，回上连续，

/"""(X)在(a,b)存在，节点在/

£(x)是〃次拉格朗日插值多项式，则对任意的xw[a,b],

必存一点&w(a,b),使插值余项：

5+1)O/•(n+1)/^\〃

R.(x)〃x)—A(x)=%(“)=口a―)

(n+1)!十U1)=0

n=1时通常抹知，一般取|尸用)(到的上界,|尸"+D(X)|MM

"=2时/?,(%)=^^(x-x0)(x-xl)(x-x2)则Wxe(a,b),有误差小于‘"用『Jlx-丁

05+1)!廿

推论：利用p阶多项式插值逼近q阶多项式函数，

若pNq,则该逼近过程不存在误差。

证明：严)©)三0

一&.41.)1.71V3

已先sin—=—,sin—=一产，sin———

624V232

分别利用sinx的1次、2次Lagrange插值计算sin50°并估计误差

一阶插值，选择X=TZ76和7/4则插值基函数为：

,、X-KIA1X-7T/61万、.

Pn.ex(x)---------x-+----------x,P<v(——)=0n.77614

17T/6-7T/4271/4-71/67218

一阶插值，选择x=7/4和万/3则插值基函数为：

4"'(x)=犬一万/3.J+X—万/4.且已"(包)=0.76008

万/4-%/3V2万/3-%/4218

二阶插值，插值基函数为：

5%

PM,P,(——)=0.76543

2218

5万

sin(一)=0.76604,外推误差：0.01001,内插误差：0.00596,二阶误差：0.00061

18

外推误差>内插误差>二阶误差

设2〃+1阶多项式为:

2

H(x)=a2llx"+...+axx+aQ

clearall埃尔米特插值的矩阵表示:

则：

H'(x)=2nax2nl++0

•closeall2n

•cic构造矩阵可得：

,formatlong

,%插值

•x=[1/6,l/4,1/3]*pi;

•y=[1/2,1/sqrt(2),sqrt(3)/2];

•xx=1/6:1/60:1/3;

•xx=xx*pi;

•xx50=50/180*pi;

,%一阶插值-ex

yylex=y(l)*(xx-x(2))/(x(l)-x(2))+y(2)*(xx-x(l))/(x(2)-x(l));

yyl50ex=y(l)*(xx50-x(2))/(x(l)-x(2))+y(2)*(xx50-x(l))/(x(2)-x(l))

%一阶插值-in

yylin=丫⑵*(xx-x⑶)/(x(2)-x(3))+y⑶*(xx-x⑵)/(x⑶-x(2));

yyl50in=y(2)*(xx50-x⑶)/(x(2)-x⑶)+y(3)*(xx50-x(2))/(x(3)-x(2))

%%一阶插值

%11=(xx-x(2)),*(xx-x(3))/(x(l)-x(2))/(x(l)-x(3));

%12=(xx-x(l)),*(xx-x(3))/(x(2)-x(l))/(x(2)-x(3));

%13=(xx-x(l)),*(xx-x(2))/(x(3)-x(l))/(x(3)-x(2));

%

%yy2=y(l)*11+y(2)*12+y(3)*13;

%

%11=(xx50-x(2)).*(xx50-x(3))/(x(l)-x(2))/(x(l)-x(3));

%12=(xx50-x(l)).*(xx50-x(3))/(x(2)-x(l))/(x(2)-x(3));

%13=(xx50-x(l)).*(xx50-x(2))/(x(3)-x(l))/(x(3)-x(2));

%yy250=y(l)*11+y(2)*12+y(3)*13

figure

holdon

plot(xx*180/pi,sin(xx),'r');

plot(xx*180/pi,yylex,'g');

plot(xx*180/pi,yylin,'black');

%plot(xx*180/pi,yy2,'black');

plot(x*180/pi,y,'b')

设/、(％)=一二,Xe[-5,5],取/1=2,4,8,10作了(%)的n次插值多项式

1+%

clearall

closeall埃尔米特插值的矩阵表示

cic

%runge

x=-5:1.0:5;

y=l./(l+x.A2);

t=-5:0.05:5;

yO=l./(l+t.A2);

P=polyfit(x,y,10);

yl=polyval(p,t)；

plot(t,yO,x,y,'o',t,yl,'.')

在不少实际问题中，对插值不但要求在节点上函数值相等而且还要求它的导数值也相等。

数学描述：

设在节点Q<x0<X]<...<xn<b,.=/(x,.),mi=f(.),«=0,1,2,...,n)

要求插值多项式"(x)满足：H(x,.)=f(x,.),H(x,.)=m,,(/=0,1,2,.n)

构造定理：给定/1(x)wCg,力和〃+1个不同的节点如…当日。，处则满足条件:

的最小阶多项式为2〃+1阶”〃加注插值多项式：

H2n+l(X)=£"(七)a(x)+/'(X,)用X)]

/=0、

〃1

其中,%(%)=l-2(x-x,.)^-----/,2(x)^.(x)=(x-x,.)/,2(x)

k=QX-X

kwiik)

证明：

步骤一、目标：构造a,(x)满足条件：

«,(x;)=0,ai(xj)=0,(iwj),a,.(x,.)=1,a,'(x,)=0

(X-Xo，.(X-X,一|)(X-Xj+J..(X-X“)

由于拉格朗日基函数Mx)

(X,.-x0-乙|)(%,.-x(+1-x„)

满足条件：式Xj)=0,(iHj)

构造a：(x)=(ax+A)/：(x),则a,(x)为2〃+欣多项式，且满足条件:

%(Xj)=0,a,'(x/)=0,(/丰j)

为满足条件：a,(3)=1,a,(x,)=0,则

a,(x,)=(aXj+b)l：(x)=1

a,(x,)=/(%)[〃.(%)+2(ax,.+b)l.(x,)]=0

整理得，axi+b=\,a+2Z;'(x,.)=0

解得：a--21.(3)，h-\+2xJ；(x,.)

a,(x)=(-2/；(七)》+1+2xj(x,.))/；(x)=(1

唯一性定理：Hermite插值存在且唯一。

证：假设H(x)和〃*(x)均满足〃erm〃e插值条件，

于是。0)="2"+1(尤)-"*2“+1(》)在节点*0，.../11Wb,有:

(p(xk)=%“+1g)-H*2“+i(Z)=0,(k=0,1,2,…

。(4)=H2n+l(々)-H'\n+i(4)=0,(k=0,1,2,…,”)

在每个节点々上均有二重根，即0(x)有2〃+2个根。

与。(x)是2n+1次多项式矛盾。

"夕插值余项定理：函数y=/(X)的2〃+2阶导如"""a)在(〃,份存在,

对任意的工£[〃,加插值余项

r(2«+2)z匕)

R(x)=/*)-H(x)=M界苏川(x)

2II+I(2〃+2)!

其中：CDn+l(X)^(X-Xu)(X-X,)...(X-Xn)

Hermite插值也存在Runge现象

已知：x,=1.3,x2-l.6,x3=1.9

X=0.6200,y2=0.4554,%=。2818

y',=-0.5220,y'2=-0.5699,y'3=-0.5811

求插值公式。

步骤1、写出拉格朗日多项式和其导数：

/0(x)=(x-xj(x-z)502175152100175

=­X-——X+/'O(A-)=---A*■