高考数学二轮复习资料04 三角函数和解三角形教学案

【2013考纲解读】

L了解任意角的概念，了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化;理解任意角的三

角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

77

2,能利用单位圆中的三角函数线推导出一±々，7土。的正弦、余弦、正切的诱导公式;

2

einx

理解同角的三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=l,-------=tanx.

COSX

3.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数,

余弦函数在区间［0,2万］上的性质(如单调性,最大值和最小值以及与x轴的交点等)，理解正

777T

切函数在区间(-2,2)内的单调性.

22

4.了解函数y=Asin@x+g)的物理意义；能画出y=Asin(ox+o)的图象，了解

A,。,夕对函数图象变化的影响.

5.会用向量的数量积推导两角差的余弦公式;能利用两角差的余弦公式导出两角和与差

的正弦、余弦和正切公式，了解它们的内在联系.

6.能利用两角差的余弦公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系;

能运用上述公式进行简单的恒等变换

【知识网络构建】

通

一在©角、弧度制I

位

I园

任,

怠•

三

向

角ffj

的函

雨I

.数

・

数

线

角

函

数

一

I一—Asin(gjr4-y)|—

一|两角差的东用一两角和、差的三角函教|一「二倍角的三角南教|

I----「-----1

的单的•:角恒等变换I

【重点知识整合】

一、三角恒等变换与三角函数

1.三角函数中常用的转化思想及方法技巧：

(1)方程思想：sincif+cosof,sina—cosa,sinacosa三者中，知一可求二;

(2)“广的替换：sin:a+cos:tz=l:

(3)切弦互化:弦的齐次式可化为切

(4)角的替换：2a=(a+⑨+(&-£),。=(“+£)—尸==^+二^

八八3F-m21-hCOSla.、1-cos2a

0)公式变形:cos"a=---------:sin*a

tan(z+tan尸=tan((z+>5)(1-tanatanJ3);

(6)构造辅助角(以特殊角为主工

asina^bcosa=《a'+6：sin(a+@)(tan(p=—).

々2.

函数y=Asin(s+0)的问题：

TT

(1)“五点法”画图：分别令。x+°=0、万、万、2万，求出五个特殊点；

⑵给出y=Asin(@c+e)的部分图象，求函数表达式时，比较难求的是0,一般从“五

点法”中取靠近y轴较近的己知点代入突破；

7T

⑶求对称轴方程:令0》+0=匕%+：(kwZ),

求对称中心：令3C+0=妇7(kcZ);

(4)求单调区间:分别令2左九-三<G)x+<p<2Kr+q(A-eZ)：

jr37r

2%r+g<a)x+<p<2k^+^(keZ)，同时注意A、©符号.

二、解三角形

1.正弦定理

已知在△/回中，a,b,c分别为内角4B、C的对边，则告=一"=一三=2"("为

sin^sin//sine

三角形外接圆的半径).

2.余弦定理

已知在△/比1中，a,b,c分别为内角/、B、。的对边，贝I]3=6?+3—26ccos4cos/

j2I2_2

=:广a，另外两个同样•

3.面积公式

已知在△49C中，a,b,c分别为内角/、B、。的对边，则

⑴三角形的面积等于底乘以高的看

]1]abc

(2)S=-absinC=~bcsinA=~acsinB=—(M+分为该三角形外接圆的半径)；

ZZrZ471

(3)若三角形内切圆的半径是r,则三角形的面积S=-(a+6+c)r；

(4)若则三角形的面积S=7pp—ap-bp-c.

【高频考点突破】

考点一三角函数的概念、诱导公式

1.各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦.

2.对于形如2k八+a(«£Z)*冗士。，2兀一。的三角函数值，等于角&的同

兀3Ji

名三角函数值，前面加上一个将角a看成锐角时，原函数值的符号；对于形如万土。，—

±a的三角函数值，等于角。的余名三角函数值，前面加上一个将角。看成锐角时，原

函数值的符号.

例1、已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴.若?(4,y)是角6终边上

一点，且sin9=一邛^,则尸.

o

,所以singuJ不二==一芈，所以

解析：r=+y=116+]J,且sin^=

r枷+炉,

0为第四冢限角，解得,),=—S.

答案：-3

【变式探究】已知角0的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线T=

2x上，则cos20=()

A.一±B.—TC.TD.T

5555

cos：J-sm二及

解析：由角，的终边在直线j=2x上可得【ane=2,cos2^=cosO：-sin:«9=

cosJ二+sm二6

1—tan:g_

l+tan'd

答案：B

【方法技巧】1.用三角函数定义求三角函数值有时反而更简单；

2.同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应

注意正确选择公式、注意公式的应用条件.

考点二三角函数的性质

三角函数的单调区间：

,JIJI4、兀

y=sinx的递增区间是［24兀一5，2左兀十万］(A&Z),递减区间是［2A兀+5，2A兀+

3Ji

—］(A£Z)；

p=cosx的递增区间是［24n一兀，2k立］(kGZ),

递减区间是［2A兀，2kb+兀］(A《Z)；

JIJI

尸tanx的递增区间是(《兀一万，kn+—)(AeZ).

例2、已知a=(sinx,—cos^,6=(cosx,，5cosx),函数_f(x)=a

(1)求F(x)的最小正周期，并求其图像对称中心的坐标;

JI

⑵当OWxW5时,求函数f{x}的值域.

\R

解：(1y(x)=sinxcosx-Vr3cos:x+彳.

=1s：n2\-cos2.\+1)+半

1、/、

-TSinZX--r-cos2x

=sm(八2x-j)】.

所以兵Q的最小正周期为兀

令sin(2x—j)=0>得2x-］=fcr(R£Z),

.'.x=7rr+^(2EZ).

故所求对称中心的坐标为(占+10)(2EZ).

20

(2)'."0<x<?..,.—TSIV—

一~:三仙(上一亦1.

即危)的值城为［一喜1］.

【变式探究】已知函数f(x)=sin(2x+0),其中0为实数，若f(x)W"("/)|对xGR

JI

恒成立，且f(5)>f(n),则/Xx)的单调递增区间是()

A.[A兀一丁,A兀+~^-](4£Z)B.\_k^,A几+~^~](4£Z)

362

兀2兀JI

C.[k^+~7_,左兀+~(A£Z)D.\_k^——,4兀](A£Z)

b32

JIJIJI

解析：因为当x£R时，F(x)W|F(豆)卜恒成立，所以代W)=sinCy+。)=±1,可得

JI5JIJI

0=2A兀+—^0=24兀-因为/(—)=sin(兀+=—sin。＞/*(兀)=sin(2兀+0)

5JI5兀

=sinO,故sin0＜0,所以0=2A兀一-^~,所以/'(x)=sin(2x—^~),函数的单调递增

66

兀5JIJI

区间为一K+24兀W2x一二一W?+2A兀,

262

一JI2兀

所以[An+—,k货+-7-](A^Z).

63

答案：C

【方法技巧】(1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是

在定义域内，将三角函数式化为尸Zsin(Gx+0)+8的形式，然后再求解.

(2)求函数广(x)=4sin(GX+。)(口＞0)的单调区间常用换元法：将GX+。作为一个

jiji

整体，若求单调增区间，令3x+6G2kx—工,2后十万(A£Z)；若求单调减区间，则

一JI3兀1

令ox+0e24“+5，2kTI+—(AeZ).值得注意的是，若。〈0,则需要利用诱导公

式将其转换为Hx)=/sin(ox+0)(。＞0)的形式，再用换元法求单调区间.

考点三函数丁=£皿“+夕)的图像及变换

函数)—Asin(cax+°)的图像：

(1)五点法：作图：

设二=ox+s令2=0,兀，U，2x,求出X的值与相应的

J,的值，描点、连线可得.

(2)图像变换:

向左o＞Q或向右ovQ

y=sinx-------------------------r=sin(x+p)

平移例个单位

j=sin((wx+s)

纵坐标变为原来的4•白哈

----------------------------v=Jsin(sx+p).

横坐标不变

例3、已知函数f(x)=/sin(。矛+0)(/〉0,。〉0,|。|〈?)的一段图像经过点(0,1),如

图所示.

(1)求f(x)的表达式；

11

(2)将函数f(x)的图像向右平移了个单位长度得到函数6(x)的图像，求尸f(x)+

6(x)的最大值，并求出此时自变量x的集合.

11JiJI,,2兀

解：⑴由题图知，函数£5)的周期7=F-一(—访)=兀，・・.|幻|=k=2.

又G>0,故3=2.

JI

又点(一记，0)为函数£5)图像一个周期内五点的起点.

.*.2•(—访)+0=0.从而。=看，

ji

故fi(x)=Zsin(2JT+—),

o

又f(x)的图像过点(0,1).

JI,

・二l=4sin(2X0+k),得A=2,

o

JI

由此可得到f(x)的表达式为力(x)=2sin(2^+—).

6

⑵由题意得到.6(x)=2sm[2(x-?+*

=2sin(2x-T).

.■.3，=7i(x)+72(x)=2sin(2x+^)+2sin(2x-p

=2sm(2x+2cos(2x+^)=[Ssin(2x-卡).

二函数j=/i(x)+.E(x)的最大值为Hi,

此时2x—S=2Qr+W，即工=市+丁^Z.

12124

.・・I=,6(x)+£(x)取最大值时自变量工,的集合为

{xix=fer+T^i,tEZ).

【变式探究】已知函数f(x)=/tan(GX+0)(公＞0,|O|《"),p=_f(x)的部分图像如『图,

则,(苏=

解析：由图像可知，此正切函数的半周期等于4力-91=力>=巳1，故该正切函数的周期

ooo4

为看,所以，3=)从题中可以知道，图像过定点手，。)，所以0=.4tan(2xQx+£»),即jn+

@=阮(及GZ),所以，p=fat—1TC(^EZ).又s)v±b所以@=$.

再由图像过定点©I)，所以，/=1.综上可知，/(x)=tan(2x+3.故有贝与r)=tan(2x=t+：

7t)=tan《=S.

答案:B

考点四三角变换及求值

三角函数求值有以下类型:

(1)“给角求值”，即在不查表的前提下，通过三角恒等变

换求三角函数式的值;

(2)“给值求值”，即给出一些三角函数值，求与之有关的

其他三角函数式的值;

(3)“给值求角”，即给出三角函数值，求符合条件的角.

例1、已知函数『(x)=2sinxGR.

⑴求工(0)的值;

JIji106

⑵设a,£仁[0,5],/(3a+—),/*(3£+2兀)=守

求sin(。+£)的值.

1ji

解：⑴・."(x)=2sin(gx—至),

/(0)=2sin(——)=­1.

(2)Va,G[0,—],f(3a+—)_f(3£+2兀)=£.

10/八।兀、6

/.2sina,2sin(£+丁)=~

io乙o

53

即sina—cos£

135

124

cosa=—,sin£==.

135

/IC、…c53J2463

sin(a+p)=sin〃cos£+cosasinP=­X—X7=—

13513565

11/小4A/3JIJI

【变式探究】已知：cos(2。一£)汗sin(a—2^)

£的值为

解析：:cos(2a—仍=—若且$2a一£<兀，

.'.sin(2a—

sin(a—Ip)—且一]<a—2£<1,

.'.cos(a—2)S)=1

cos(ci(+jff)=cos[(2<x—他—(a—2/3)]

=cos(2a—)ff)cos(a—2)ff)+sm(2a—sin(a—2Q

_11I—双40_1

-HX7+TTX-2-

443

答案：J

考点五正、余弦定理的应用

解三角形的一般方法是：

(1)已知两角和一边，如已知4、夕和由A+B+C=兀求C,

由正弦定理求a、b.

(2)已知两边和这两边的夹角，如已知以6和C,应先用余弦

定理求。，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用4+8+。=兀求另一角.

(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a、6和4应先用

正弦定理求区由2+8+。=兀求。，再由正弦定理或余弦定理求c,要注意解可能有

多种情况.

(4)已知三边女、6、c,可应用余弦定理求4、B、C,

例5、△/a1中，角/、B、。的对边分别为石、b、c,且lga—lg6=lgcos6—lgcosZW0.

(1)判断回的形状；

(2)设向量勿=(2a,6),n=(a,—36),且/_L〃，(m+n),(一/+力)=14,求a,b,

c.

解：(1)由题Igd+lgcos/=lg6+lgcos6,故acos/=6cos£,

由正弦定理sin/cosZ=sin氏os£,即sin2Z=sin2B

又cos/>0,cos&O,故4Be(0,—),2A,(0,兀).

因故2,A—JT—22?.

it

即4+6=5，故△/回为直角三角形.

(2)由于〃_!_〃，所以2a2—"362=0,①

且(卬+〃)•(—m+n)—n—m—14,

即8夕一3丁=14.②

联立①②解得旨=6,匠=4,

故在直角△/8C中，a=#,b=2,c=y[lQ.

【变式探究】△.43c中，5=120°,AC=7,AB=5,

则ZU5C的面积为.

解析：设5C=x,由余弦定理得

49=25+x--10xcosl205,

整理得：x;+5x-24=0,即x=3.

因此S_x“=L3x5Cxs：n5

1,一S15#

=^x3x^x^-=—

答案：理

考点六解三角形与实际应用问题

在实际生活中，测量底部不可到达的建筑物的高度、不可到达的两点的距离及航行中的

方位角等问题，都可通过解三角形解决.

例6、如图，A,6是海面上位于东西方向相距5(3+4)海里的两个观测点.现位于4

点北偏东45°,万点北偏西60°的〃点有一艘轮船发出求救信号，位于6点南偏西60°且

与8点相距20/海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援

船到达，点需要多长时间？

解：由题意知/6=5(3+q^)海里，

NDBA=90°-60°=30°,/物6=90。-45°=45°,

；./4如=18。°-(45°+30)°=105°,

在△的6中，由正弦定理得.”方获=,.，品

sin/ZWsin/ADB

AB・sin/DAB+#

•DR=-------=------------

sinZADBsinl05°

=_______________________________

sin45°cos600+cos45°sin60°

=5上段:-o4(海里),

一3十1

2

又乙DBC=ND54+Z.45C=305+(905-60s)=60s,

3c=20/[海里)，

在△£>3c中，由余弦定理得

C»=BU+BC-IBDBGcosNDBC

=300+1200-2X1QV3X20V3>|=900,

...CD=30(海里)，则需要的时间1=9=1(小时).

答：救援船到达D点需要1小时.

【方法技巧】应用解三角形知识解决实际问题需要下列四步

(1)分析题意，准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，

如坡度、仰角、俯角、方位角等；

(2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；

(3)将所求解的问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正弦定理、余弦定理等

有关知识正确求解；

(4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案.

【难点探究】

难点一简单的三角恒等变换

..JIJI兀1兀£\[^

例1、⑴右。<万，——<^<0,cos(4+。)一3，cos(彳2)一；，则cos

£

(Q+万)=()

0B-gc逆D

3399

(2)已知sina=1+cosa,且a£(0，2)'则C五、的值为---------

sin(a一司

【答案】⑴c(2)—军

【解析】(L)・・飞056+4)=；,0<a<JI

339,

、、cos2a_cos:a-sin:a_cosa+sinacosa-sina

一_位:忑=~忑

sm\a[-^sina-cosa-^sina-cosa

——亚(cosa+sina),

••-_1,^._1

.sma-7+cosa,..cosa-sma——

两边平方得1—2sinacosa=：,所以2smacosa=j.

'/aE0,:cosa+sina=^/cosa+sina:=Ayl+^=^r，

.cos2a：yn

••.」£1•2•

sin,,久一,:

【点评】在进行三角恒等变换时，一个重要的技巧是进行角的变换，把求解的角用已知角

JI

表示出来，把求解的角的三角函数使用已知的三角函数表示出来，常见的角的变换有，把万

+2a变换成2^~+。[，(7=(。+£)—£=(。一£)+£,2。=(。+£)+(。一£),

2a=

G+0G+£(£、(CL、

(£+a)—(£—a),。+£=2・一a一句一1万一£j等；在进行三角

函数化简或者求值时，如果求解目标较为复杂，则首先要变换这个求解目标，使之简化，以

便看出如何使用已知条件.

难点二三角函数的图象

例2⑴已知函数/1(x)=/tan(。矛+|。|＜万)，y=F(x)的部分图象如图所

(2)要得到函数y=cos(2x+j~)的图象，只需将函数y=gsin2x+孚cos2x的图象

()

JIJI

A.向左平移:•个单位B.向右平移丁个单位

oZ

JlJI

C.向右平移彳个单位D.向左平移T个单位

【分析】(1)根据正切函数的周期性和已知函数图象上的特殊点的坐标，求出函数的解

析式；(2)化函数心+

Eoslx为余弦型函数，再根据两个函数解析式之间的差异确定变换的方法.

【答案】⑴审(2)D

【解析】⑴由图象知土=2、段Y=£,3=2.又由于2、升0=市+为GZ),o=E

CD\oa'1oZ

+永隹Z).

又”匕所以.这时Hx)=/taii又图冢过(01)，代人得

f

所

以ftX

J=l>故叉x)=tan，2x+：/-2L+-4

.24

(2)j=TSin2x-+¥cos2x-=co5'2x-^',故只要把这个函数的x换为

x+押可，即把这个函数的图冢向左平移?单位长度即得函数产cos：2x+9的图冢.

【点评】(1)根据函数图象求函数的解析式，主要是根据函数的图象发现函数的性质，如周

期性、对称性、特殊点等，然后根据这些性质求出函数解析式中的未知数，在本题中的函数

JI

y=/tan(。矛+0)的最小正周期是行,注意这是近几年来考查的为数不多的一个正切型函

数；(2)在进行三角函数的图象变换时，要把需要变换的两个函数化为同一种类型的函数，

再根据两个函数解析式的差别确定变换方法.

难点三三角函数的性质

例3、已知函数/U)=sin(2x+。)，其中。为实数，若f(x)WF用对xGR恒成

立，且『@〉『(")，则/(x)的单调递增区间是()

JIJI

A.4冗一~k五+-7"(A£Z)

36_

JI

B.k八,k"+—(4£Z)

JI

D.kb——,k八(A£Z)

【答案】C

TY

立

亘成

一

【解析】对xER时，.心间门：6一6

+?或a=2Qr-,，tEZ.

因为,腐=sin(兀+夕)=—sig次兀)=sin(2n+@)=sms故sin”。.所以8=2E—所

以贝x)=s:n；2x一£.

由一］+2HW2x—淮三+2H,得函数,/(x)的单调递噌区间为［市+专fe+y}/GZ),答

案为C.

【规律方法】1.根据三角函数的图象求解函数的解析式时，要注意从图象提.供的信息确定

三角函数的性质，如最小正周期、最值，首先确定函数解析式中的部分系数，再根据函数图

象上的特殊点的坐标适合函数的解析式确定解析式中剩余的字母的值，同时要注意解析式中

各个字母的范围.

2.进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行的什么样的变换都是变换的变量本身，

特别在平移变换中，如果这个变量的系数不是1,在进行变换时变量的系数也参与其中，如

把函数y=sin(2x+z，的图象向左平移三个单位时，得到的是函数y=sin|^2^+—^j+^-=

5兀一

sin2x+(彳的图象.

3.解答三角函数的图象与性质类的试题，变换是其中的核心，把三角函数的解析式通

过变换，化为正弦型、余弦型、正切型函数，然后再根据正弦函数、余弦函数和正切函数的

性质进行研究.

难点四正余弦定理的应用

JI1

例4、⑴在中，若方=5,ZB=—,sinA=~,则a=.

⑵在△Z8C中，sin/Wsi/B+sin?。一sin6sinC则Z的取值范围是()

【解析】⑴由正弦定理有：号=目，即>冬，得a=芈.

smAsinz>1«23

32

2

(2)根据正弦定理有+c-bc,由余弦定理可知a=b+c~2bccosAf所以9+

</—26ccos/W62+/—6c,即有cos/'g,所以角4的取值范围为"，可，选择C.

【点评】解三角形依靠的就是正弦定理和余弦定理.正弦定理解决的是已知三角形两

边和一边的对角、三角两内角和其中一边两类问题，余弦定理解决的是已知三角形两边及其

夹角、已知三角形三边的两类问题.在解题中只要分析清楚了三角形中的己知元素，就可以

选用这两个定理中的一个求解三角形中的未知元素.本例的第二小题中的不等式看上去是角

的正弦的一个不等式，实际上给出的是边的不等式，正弦定理在三角形的边角关系互化中起

关键作用.

难点五函数的图象的分析判断

cos2-2cosc2c-a

例5、在△/8C中，内角4B,C的对边分别为a,b,c.已知

cosBb-

air>

⑴求能的值;

(2)若cos方=；,6=2,求△/回的面积S.

【解答】⑴由正弦定理,设急=急=肃

-2c-a2feinC-tsin42sinC-sin-4

则tl「—=——r—z——=---r—,

b心m3sin3

ei、.cos.4-2cosC2sinC-sm4

所以es3=s:n5

§P(cos.-J—2cos05：n3=(2smC—s：n.J)cos5,

化蔺可得sin(J+3)=2sm(3+C).

又/+3+C=n,所以原等式可化为smC=2sm」,

因此素=2.

由余弦定理ii：=a-4-c;—2accos5及cos3=1,b=2,

得4=?+』W—解得a=L从而c=2.

又因为cos5=1,且0<5<兀所以s:n5="^.

因此S=《acsm5=（xlx2x*^=¥^

【点评】本题的难点是变换出二等区=在1时，变换方向的选取，即是把角的函

cos夕b

数转化为边的关系，还是把边转化为角的三角函数，从已知式的结构上看，把其中三个内角

的余弦转化为边的关系是较为复杂的，而根据正弦定理把其中边的关系转化为角的正弦，则

是较为简单的，在含有三角形内角的三角函数和边的混合关系式中要注意变换方向的选

择.正弦定理、余弦定理、三角形面积公式本身就是一个方程，在解三角形的试题中方程思

想是主要的数学思想方法，要注意从方程的角度出发分析问题.

难点六解三角形的实际应用

例6、如图6—1,渔政船甲、乙同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔

船丙在渔政船甲的南偏东40°方向距渔政船甲70km的C处，渔政船乙在渔政船甲的南偏

西20°方向的8处，两艘渔政船协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置C处沿直线4C

航行前去救援，渔政船乙仍留在8处执行任务，渔政船甲航行30km到达，处时，收到新的

指令另有重要任务必须执行，于是立即通知在8处执行任务的渔政船乙前去救援渔船丙（渔

政船乙沿直线6c航行前去救援渔船丙），此时反，两处相距42km,问渔政船乙要航行多

少千米才能到达渔船丙所在的位置C处实施营救？

在

I

/I渔政船甲

BY

渔政船乙

渔船丙c

【分析】即求线段a1的长度.根据题意，在△灰»中，已知BD,DC,因此只要求出/初C

的余弦值，即可根据余弦定理求出6c根据三角形的外角定理，/BDC=NABD+6Q°,只要

在中根据正弦定理求出//劭的正弦值，然后根据同角三角函数关系求出其余弦值，

再根据和角的余弦公式即可求出/如C的余弦值.

【解答】设N/3D=a,在△/5D中，TD=30,5D=42,

即sina=^5inZ.3AD=v^sinfiO:=Vr-

HD4214

文：RD<BD,.,.0°<a<60°,cosa=^l-sm;a=y1,

cosZ325C=cos(605+a)=­7.

在△8DC中，由余弦定理得

BC=DC+BD1—2DCBDcosZBDC=402+42--80x42cos(6054-a)=3844/.5C=

62(km).

答：渔政船乙要航行62千米才能到达渔船丙所在的位置。处实施营救.

【变式探究】如图6—2,某巡逻艇在4处发现在北偏东45。距4处8海里处有一走私船，

正沿南偏东75。的方向以12海里/小时的速度向我岸行驶，巡逻艇立即以12/海里/小时

的速度沿直线追击，问巡逻艇最少需要多长时间才能追到走私船？并指出巡逻艇航行方向.

图6-2

【解答】设经过？小时在点C处刚好追上走私船，依题意:

AC=l2^i,BC=l2t,N/5c=120°.

在△灰中，襦=忐记

所以smZ5JC=1,Z5JC=30S

所以N3=3C=8=12f,解得;=?,所以最少经过豆、时可追到走私船，沿北偏东75，的

【规律技巧】1.使用正弦定理能够解的三角形有两类，一类是已知两边及其中一边的

对角，一类已知一边和两个内角（实际就是已知三个内角），其中第一个类型也可以根据余弦

定理列出方程求出第三边，再求内角.在使用正弦定理求三角形内角时，要注意解的可能情

况，判断解的情况的基本依据是三角形中大边对大角.

2.当已知三角形的两边和其中一个边的对角求解第三边时，可以使用正弦定理、也可

以使用余弦定理，使用余弦定理就是根据余弦定理本身是一个方程，这个方程联系着三角形

的三个边和其中的一个内角.

3.正弦定理揭示了三角形三边和其对角正弦的比例关系，余弦定理揭示了三角形的三

边和其中一个内角的余弦之间的关系.

【历届高考真题】

【2012年高考试题】

一、选择题

1.[2012高考真题重庆理5]设tano,taM是方程式―3%+2=0的两个根，则

tan(a+/?)的值为

(A)-3(B)-1(C)1(D)3

【答案】A

【解析】因为1911。J皿尸是方程?？一3》+2=0的两个根，所以tana+tan尸=3,

tanatan(3=1,所以tan(a+£)=空工~啊!_£=」_=_3，选A.

1-tanatan/31—2

2.[2012高考真题浙江理4]把函数y=cos2x+l的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2

倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是

【答案】A

【解析】根据题设条件得到变化后的函数为J=COS(X+1),结合函数图冢可知选项A

符合要求.故选A.

JFTT

3.12012高考真题新课标理9】已知G>0,函数/(无)=sin(公r+j在(万,1)上单调递

减.则①的取值范围是()

(A)[|,|](B)[|,|](C)(0,1](0(0,2]

【答案】A

7T7T

【解析】函数/(x)=sin&Y+—)的导数为y(x)=OS(^Y+—),要使函数

44

f(x)=sin3+生)在(生㈤上单调递减，则有f'(x)=<ycos(atv+—)<0恒成立，

424

TTTT37r57r

则——b2k7i<cox——<-----1-2k7i,即——I-Ikn<cox<-----卜2k冗，所以

24244

12k兀yr2k兀j.,二,7r57r“TC-,、（

-----1-------Vx<------1-------，keZ,当左=0时，—<xV—，又—<x<乃，所以

4。。4。。4a）4。2

有

JTTT577-1515

—<-,—>7?-,解得02七,041,即上选A.

4。24。2424

4.[2012高考真题四川理4】如图，正方形ABCD的边长为1,延长区4至E,使AE=1,

连接EC、瓦）则sinNCED=（

A3ABcV10

1010

【答案】B

【解析】EB=E4+AB=2,

EC=^EB2+BC2=44+1=45,

_EDC=z£DJ+Z.lDC=-+-=—

424

sinACED

由正弦定理得

sin乙EDC

所以sin"ED=fgsin乙EDC=*苧=寻

5.[2012高考真题陕西理9]在AABC中,角A,5c所对边长分别为。，瓦c,若

片+〃=202,贝UcosC的最小值为（）

用R

L.------D.------C.D.

2222

【答案】C.

【解析】由余弦定理知

a2+b2-c2/+/—（/+/）

a2+Z?2、2ab1w生c

cosC=---------------=--------------N--------=---一--，故选C•

2ablab4ab4ab2

6.12012高考真题山东理7］若,sin2，=£Y—,则sind=

428

343

(A)—(B)—(C)---(D)—

5544

【答案】D

【解析】因为,所以㈤，cos2^<0所以

cos20=_Jl—sin.26=--,

8

i93

又。0526=1—25由-6=-—，所以sin，8=—,sin8二二，选D.

8164

7.【2。12高考真题辽宁理7】已知5111。一以光。=血，

aG(0,兀)，贝Itana二

⑻一辛

(A)—1(D)1

1答案】A

【解析一】s