2021-2022学年新教材高中数学模块综合训练含解析新人教A版选择性必修第一册

模块综合训练

（时间:120分钟满分:150分）

一、选择题:本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.直线后-y-2021=0的倾斜角等于（）

C，7D.不存在

4

廨前直线倔>2021=0化为>=僚-2021,则直线的斜率为倔所以直线的倾斜角等于5故选B.

IH]B

22

2.（2020天津,7）设双曲线C的方程为a-£=1（a>0力>0）,过抛物线y2=4x的焦点和点（0力）的直线为I.

若C的一条渐近线与/平行，另一条渐近线与/垂直，则双曲线C的方程为（）

44

B.A2—=1

4

丫2

cR=i

Df-yM

|解析卜双曲线、—翥=1的渐近线方程为产士，）2=4x的焦点坐标为（1,0）,/为（+彳=1,即y=-bx+b,

/.-Z?=---JL-Z7--=-l,

aa

.•.々=1/=1.古攵选D.

3.若圆/+产32丁+1=0关于直线x-y-l=0对称的圆的方程是则a的值等于（）

A.OB.2

C.lD.±2

|解析|圆/+俨_依_2）叶]=o的标准方程为（%_]）+（y-l）2q■，圆心坐标为

圆/+）2.4x+3=0的标准方程为（x-2）2+y2=],圆心坐标为（2,0）,半径为1,

连心线所在直线的斜率为上=—,

中点坐标为（等,g,

由题意可得《三-1=-1,解得4=2.

答案B

4.如图，在棱长均相等的四面体0-A8C中，点。为48的中点,CE=：EZ),设或=a,而=b.沅=c，则

丽=()

A.-a+-b+-c

663

B.-a+^b+^c

333

一111

C.-a+-b--c

663

D.-1a+1-b2+^c

663

^^,：CE=^ED,：.CE=1CD=i(C2+^D)

：

.0E=0C+CE=0C+-3CA+-6AB

=0C+-(O4-0C)+i(OB^OA)

=-OA+-OB+-0C=-a+-b+^.

663663

5.若双曲线信-台13＞0力＞0)的一条渐近线被圆(X-2)2+)，2=4所截得的弦长为2,则C的离心率为

B.V3

C.V2

］双曲线的渐近线方程为bx+ay=0,

圆心(2,0)到渐近线距离为J=V22-12=V3,

则点(2,0)到直线bx+ay=0的距离为

"=2零＞?=出=b即丝咨=3灌理可得C2=4〃2,双曲线的离心率e=国=四=2.

Va2+b2ccz7a，

答案A

如图，在几何体ABC-A山Ci中,ZXABC为正三角形A41〃B囱〃CGA4|，平面4BC,若E是棱的

中点，且43=4h=CG=2B即则异面直线AiE与AG所成角的余弦值为()

C2回

U.-------

13

|解析|以C为原点，在平面ABC内过C作BC的垂线为x轴,CB为y轴,CG为z轴，建立空间直角坐标

系，设AB=AAi=CCi=2BBi=2,

则4(8,1,2),4遍,1,0)©(0,0,2)囚(0,2,1)凤0,1,|),砧=(-遍,0,-，宿=(-6,-1,2),

设异面直线AiE与AG所成角为0,

|4声"1|____2A/26

则cos0二

’I硒宿13,

.•.异面直线A\E与AG所成痢的余弦值为警.

答案C

7.已知抛物线C：V=8x,圆尸:。-2)2+)2=4(点/为其圆心)，直线/:y=A(%・2)(原0)自上而下顺次与上述两

曲线交于M〃2,M3,M4四点，则下列各式结果为定值的是()

A.|MM3HM2M4|

BJFMJ-IFA/4I

C.|MM2HM3MI

D.|FMI|-|MIM2|

|如图，设四点的横坐标分别为X】“2甩,孙

由题意知)2=8x的焦点坐标与圆厂的圆心(2,0)相同，准线/o：x=-2.

由定义得|MiF|=xi+2.

又|MF|=|MM2|+2,

I.|M%|二孙同理,|M3M4|=X4.

将y=k（x-2）代入抛物线方程，得以2-（4触+8）田+4产=0,

.”出=4,，|例1%|・|M3M4|=4.故选C.

答案C

8.如图，已知Q,尸2是椭圆了：1+3=139>0）的左、右焦点,P是椭圆T上一点，且不与x轴重合，过F2

作ZQPF2的外角的平分线的垂线,垂足为。，则点。在上运动.（）

A.直线

B.圆

C.椭圆

D.抛物线

|解析|作巳。与的延长线交于点连接0。（图略）.因为PQ是/尸团尸2的外角的平分线，且PQA.

F?M,所以在APF2M中JPBI=|PM,且。为线段F2M的中点.又。为线段凡后的中点，由三角形的中

位线定理，得|OQ=3QMW（|PFII+|PF2|）.由椭圆的定义，得|「川+『&|=2",所以|OQ|=a,所以点。在

以原点为圆心,a为半径的圆上运动.

ggB

二、选择题:本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选

对的得5分，有选错的得0分,部分选对的得3分.

9.（2020山东,9）已知曲线C:mx2+ny2-l.（）

A.若则C是椭圆，其焦点在y轴上

B.若则C是圆，其半径为迎

C.若〃皿<0,则C是双曲线，其渐近线方程为y=±产x

D.若加=0"0,则C是两条直线

|解析|*.*mx2+〃y2=1,.••卷+卷=1.

mn

u：m>n>0,・•・；>'>0,JC是焦点在），轴上的椭圆,A正确；

m=n>0,x2+y2=^,C是圆，

/.r=—,B错误；

n

由/%/+町2=],得"+*=],・.・"7"0,2_与工异号,.・.。是双曲线，令mx2+ny^=0^得）。=-42,即

—m—n1YL7171

y=±F^，c正确;

当/n=0,n>0时，有”)2=1,得),2=；,即>=±半,表示两条直线,D正确，故选ACD.

^^|ACD

10.如图，在长方体ABCD-A由IGA中4h=AB=4,BC=2,MN分别为棱CiDi.CCi的中点，则下列说法

正确的是()

AA,M,N,B四点共面

B.平面A£)M_L平面CDDiCi

C.直线BN与Bi例所成的角为60°

D.aV〃平面AOM

解析忖于A,由图显然AM、BN是异面直线，故A,MN,B四点不共面，故A错误；

对于B,由题意AO_L平面CD2G,故平面A£>M_L平面CDGG,故B正确;对于C,取8的中点

O,连接BO,ON,可知BiM〃OB,三惫形80N为等边三角形，故C正确;对于D,BN〃平面A4DQ,显然

BN与平面ADM不平行，故D错误.

率］BC

11.在正方体A8CQ-A181Goi中，给出下列四个结论，其中正确的结论是()

____»____>____>2

2

A.(4i/+&D］+A1B1)=3A1B1

B.卡-图)=0

c.向量丽与向量a了的夹角为60°

D.正方体ABCD-A\B\C\D\的体积为|荏-AA^-AD\

解析］A中,设正方体的棱长为1,则(m++&31)2=砧2=3,34瓦=3,故A正确;B中,瓦瓦一

中=福，由福1砧，故B正确;C中AB与AD\两异面直线所成角为60°,但砺与砧的夹角

为120°，故C不正确;D中而•AAi■而|=0,故D也不正确.

^gAB

12.若曲线C上存在点M使M到平面内两点4-5,0),8(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好

曲线”.以下曲线是“好曲线”的是()

A.x+y=5B.x2+/=9

C.^+^-=lD.x2=16y

|解析|由双曲线定义可知:点M轨迹是以A,B为焦点的双曲线.则。=4,。=5,；.建=<?2-〃2=9,二."的轨迹方

程为江一艺=1.

169

直线x+y=5过点(5,0),故直线与M的轨迹有交点，是“好曲线”,A正确；

壮+>2=9是以(0,0)为圆心,3为半径的圆，与例的轨迹没有交点，不是“好曲线”,B错误;

卷+?=1的右顶点为(5,0),故椭圆与M的轨迹有交点，是“好曲线”,C正确;

把x2=16y代入双曲线方程，可得产9y+9=0,此时△>(),故抛物线与M的轨迹有交点，是“好曲

线”,D正确.

固1]ACD

三、填空题:本题共4小题,每小题5分，共20分.

13.已知圆心/+产-2*1=0,以点(a1)为中点的弦所在的直线/的方程是.

|解析|圆的方程可化为(x-1尸+)，2=2,可知圆心为C(1,0).

设),则以A为中点的弦所在的直线/即为经过点A且垂直于AC的直线.又知左阳=号=-2,

21--

所以幻W，所以直线/的方程为y-1=八X-?,即2x-4y+3=0.

|答案以-%+3=0

14.在四棱锥P-ABCD中，设向量屈=(4,-2,3),而=(-4,1,0),而=(-6,2,-8),则顶点P到底面ABCD的距离

为.

|解析|设平面ABCD的法向量n=(x,y,z),

(ABn=4x-2y+3z=0,

[ADn=-4%+y=0,

令x=3,则y=12,z=4,・・・n=(3/2,4).

.•.点P到底面ABCD的距离公鬻=篇|擢=2.

答案2

15.(2019全国III,理15)设尸2为椭圆C:[+<=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△

3620

为等腰三角形，则M的坐标为

|解析|a?=36/2=20,c2=a2-h2=16,

c=4.由题意得JMFi|=的B|=2c=8.

V\MFi\+\MF21=2a=12,工|M尸21=4.

设点M的坐标为(次,yo)(xo>O,yo>O),

则S/SMFg=1x|F|F2|xyo=4>'o.

又Sy?=*x府方=4代，

.,.4yo=4Vl^,解得>,o=V15.

又点M在椭圆C上,...通+也丘=1,

3620

解得xo=3或沏=-3(舍去).

・・・点加的坐标为(3,行).

gH(3,V15)

16.正方体ABCDMBiGA的棱长为2,MN,E/分别是4BI,AD,BICI,CQI的中点，则过EF且与MN

平行的平面截正方体所得截面的面积为CE和该截面所成角的正弦值为.

|解新取AQi的中点G,BC的中点P,CD的中点，，连接GM,GN,MN,PE,PH,PF,HF,

MB]

・；MG〃EF,NG〃EP»MGCNG=G,EFCEP=E,：.平面MNG〃平面PEFH,

过E尸且与MN平行的平面截正方体所得截面为PEFH,

"：PE=2,EF=yJl2+I2=四边形PEFH是矩形，：.过EF且与MN平行的平面截正方体所得

截面PEFH的面积为S=2&.

以Di为原点为x轴,£>Ci为y轴,2。为z轴，建立空间直角坐标系，

£(1,2,0),尸(0』,0),H(0,1,2),C(0,2,2),

正=(-1,0,2),丽=(-1,-1,0),丽=(-1,-1,2),设平面PEFH的法向量n=(x,y,z),

n-EF=-x-y=0,„,

—,‘取x=l,

{nEH=-x-y4-2z=0,

得设CE和该截面所成角为e,

则sin。二:

'|EC||n|-V5-V2-10

；.CE和该截面所成角的正弦值为察.

m2&噂

四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.

(10分)一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米,拱顶距离水面6.5米.

(1)建立如图所示的平面直角坐标系xOy,试求拱桥所在抛物线的方程；

(2)若一竹排上有一个4米宽、6米高的大木箱，问此木排能否安全通过此桥?

留(1)由题意在平面直南坐标系xOy中，

设抛物线方程为y=ax2(a<0).

由条件得点(26,-6.5)在抛物线上,-6.5=262”,解得a=-+,，抛物线方程为产-+舄即x2=-104y.

(2)由(1)可得抛物线的方程为x2=-104>-,

当x=2时，解得y=^,

：6.5-6=0.5>工,.•.木排可安全通过此桥.

26

18.

(12分)如图，已知以点A(-l,2)为圆心的圆与直线/i：x+2y+7=0相切.过点8(20)的动直线/与圆A相

交于MN两点,Q是MN的中点，直线，与/,相交于点P.

(1)求圆A的方程；

⑵当|MN|=2g时，求直线/的方程.

网(1)由于圆A与直线/i：x+2y+7=0相切，

...R上弊=2强

V5

圆4的方程为(x+1)2+佻2)2=20.

(2)①当直线/与x轴垂直时，易知x=-2与题意相符，使|MN|=2g.

②当直线/与x轴不垂直时，设直线/的方程为y=A(x+2),即米-y+2人=0,连接AQ,

则AQ±MN,'：\MN\=2回,MQI=1,由|AQ|1，得/=*

Vk,+l4

直线/:3x-4y+6=0,故直线/的方程为x=-2或3x-4y+6=0.

19.（12分）（2020山东,20）

如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,P£>_L底面A8CD设平面尸4。与平面P8C的交线为/.

⑴证明:/，平面尸。C;

(2)已知P£>=AO=1,。为/上的点，求尸8与平面。8所成角的正弦值的最大值.

(1)|证明|因为底面4BCD,所以PDLAD.

又底面48CD为正方形，所以A£>_L£>C.

所以AO_L平面PDC.

因为AO〃BC>A。不在平面PBC中，所以AO〃平面PBC,又因为AOu平面PA。,平面PAOCI平面

PBC=l,所以1//AD.

所以LL平面PDC.

⑵

凰以。为坐标原点，分别以瓦4成，而的方向为X轴,)，轴,Z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐

标系Dxyz.

由P£>=AO=1,得£>(0,0,0),C(0,1,0),81,1,0),P(0,0,1),则尻=(0,1,0),丽=(1,11).

由⑴可设Q(a,0,l),则丽=(a,0,1).

设n=(x,y,z)是平面QCD的法向量，

则F竺=。，叫*T。,可取n=(],0M

{,n-DC=0,W-u-

所以cos<n,Pg>=n1B—

_.V3Vl+a2

|n||PB|

设PB与平面QCD所成角为优则Sin6»=yX若券=yJl+含因为4Jl+含W彳,当且仅

当a=\时，等号成立，所以PB与平面QCO所成角的正弦值的最大值为当

20.(12分)已知抛物线/=2外3>0)的焦点到直线/:x-y-2=0的距离为言.

(1)求抛物线的标准方程；

(2)设点C是抛物线上的动点,若以点C为圆心的圆在x轴上截得的弦长均为4,求证:圆C恒过定点.

(1解因为x2=2/?y的焦点坐标为(0,0,

由点、到直线的距离公式可得缉生=—.

V22

解得p=2(负值舍去)，

所以抛物线的标准方程是/=4y.

(2施倒设圆心C的坐标为[(),,),半径为r,

又圆C在x轴上截得的弦长为4,

所以产=4+(素)，所以圆C的标准方程为(x-xo)2+(y-£•)=4+(牛)，

化简得(1弓)瞪2<设+(炉+产4)=0,

(1-^=0,

2

对于任意的沏£R,上述方程均成立,故有，.2%=0,解得x=0,尸2,所以圆。恒过定点(0,2).

、/+y2=4,

21.

G

D.C

(12分)在矩形ABCD中,AB=3,A3=2,E是线段CO上靠近点D的一个三等分点，尸是线段AD上的一

个动点，且丽^2万?(0W2W1).如图，将△BCE沿BE折起至△BEG,使得平面BEG,平面ABED.

(1)当月时,求证:EF_LBG.

(2)是否存在2,使得产G与平面OEG所成的角的正弦值为?若存在，求出2的值;若不存在,请说明理由.

陶⑴当24时,F是A。的中点，

DF=-AD=1,DE=-CD=I.

23

,：ZADC^90Q,.*.ZD£F=45°.VCE=|CD=2,BC=2,ZBCD=90",.\ZB£C=45°.：.BE±EF.

又平面GBE_L平面ABED,平面GBEA平面ABED=BE,EFu平面ABED,

：.EF_L平面BEG.•:BGu平面BEG,：.EFA.BG.

(2)存在.以C为原点，诙，蕾的方向为x轴,y轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系.

则E(2,0,0),£)(3,0,0)1(3,22,0).取BE的中点O,

,:GE=BG=2,；.GOLBE,

：.易证得OGJ_平面BCE；：BE=2五,

：.OG=W.G(1,1,VI).

/.FG=(-2,1-2z,V2),EG=(-l,l,V2),DG=(-2,1,V2).

设平面DEG的一个法向量为n=(x,)⑶，

则pi•丽=-2x+y+V2z=0,

\nEG=-%+y4-V2z=0,

令z=V^,贝"n=(0,-2,V2).

设FG与平面DEG所版的角为

则sin0=|cos<而,n>|』2x°+(；)x(5)+2|=工解得2=三或2=J_(舍去)，