2024届广东省深圳市二模数学试题（含答案与解析）

2024年深圳市高三年级第二次调研考试

数学

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答题前，考生请务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.用

2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴

处”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂

黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应

位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按

以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.己知〃为正整数，且">2”,则（）

A.n=\B.n-2C.n=3D.n>4

2.已知正方体ABC。-A耳GD，过点A且以DB；为法向量的平面为a，则a截该正方体所得截面的形

状为（）

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

3.对于任意集合下列关系正确的是（）

AM内NN=MUNB.瘠N（M「N）=（MN"）I（%”）

CM瓯NN=M\ND.瘠N（/N）=（M⑼（%/）

4.已知a>0,且aHl,则函数y=log“1x+：）图象一定经过（）

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

5.已知z=G-,其中i为虚数单位，则z・(z-l)=()

1+i

A.l+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名(无并列情况)，其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这

六名同学获得的名次情况可能有()

A72种B.96种C.144种D.288种

22

7.P是椭圆C：=+二=i(a>6>0)上一点，耳、B是C的两个焦点，P耳—PK=0,点。在

〃一b~

/月尸死的平分线上，。为原点，OQ〃P£,且|。。|=匕.则。的离心率为()

A.|B.巫C.—D.昱

2332

8.设函数/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在玉，x2,使得/(x,)=g(^),则后一引的最小值为

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知根，〃是异面直线，mua,nu0,那么()

A.当机_!_/?,或〃_Le时，a10

B.当m//。,且〃//a时，alI(3

C.当c_L用时，mL/3,或〃_La

D.当a,夕不平行时，机与夕不平行，且〃与a不平行

10.已知函数/(x)=sin(z>x+acos6yx(xeR,«>0)的最大值为2,其部分图象如图所示，则()

A.a=g

B.函数为偶函数

C.满足条件的正实数。，存在且唯一

D./（X）是周期函数，且最小正周期为兀

11.设函数〃x）=[x]的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=/（x）的图

象与圆（x—ry+（y+r）2=2/（r>0）的公共点个数可以是（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本々，七的平均数为2,方差为1,则X：,后，后的平均数为.

13.已知圆锥的内切球半径为1,底面半径为拉，则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

14.已知aABC中，tan0=3tanC,双曲线£以g,C为焦点，且经过点A,则E的两条渐近线的夹角为

22

AC

；tan—+tan—的取值范围为

22

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15如图，三棱柱A6C-A£G中，侧面BgGC,底面ABC,且AB=AC,A.B=A.C.

(1)证明：AAJ•平面ABC；

⑵若例=8C=2,N84C=90°，求平面ABC与平面夹角的余弦值.

16.已知函数/(x)=(ax+l)e'，/'(x)是/(x)的导函数，且/'(%)—〃x)=2e”.

(1)若曲线y=/(x)在％=0处的切线为》=依+匕，求鼠匕的值；

(2)在(1)的条件下，证明：f(x)>kx+b.

17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发

现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另一批零件的合格品率为98%；若将这

两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,

求X的分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指

标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型

企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A="甲工厂提高了生产该零件的质量指标“，事件B="该大型

企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<2(8)<1,证明：尸(A|B)>P(A间.

18.设抛物线C：x2=2py(p>0),直线/：丁=去+2交C于A,8两点.过原点0作/的垂线，交直

线了=-2于点M.对任意左eR,直线AM,AB,的斜率成等差数列.

(1)求C方程；

(2)若直线/'/〃，且/'与C相切于点M证明：AAVN的面积不小于2也.

19.无穷数列外，a2,的定义如下：如果〃是偶数，就对〃尽可能多次地除以2,直到得出一

个奇数，这个奇数就是明;如果〃是奇数，就对3〃+1尽可能多次地除以2,直到得出一个奇数，这个奇数

就是.

(1)写出这个数列的前7项；

(2)如果%=加且4=",求"3〃的值；

(3)记％="〃)，〃GN.，求一个正整数〃，满足〃<“〃)</(/(〃))<・<«(/(〃))).

2024什

参考答案

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

I.已知"为正整数，且〃2>2”,则()

A.n=lB.n=2C.n=3D.H>4

【答案】C

【解析】

2

【分析】根据给定条件，构造数列a“=探讨该数列单调性即得.

【详解】令a“=「,〃eN*

(〃+1厂n-+2n+\,/F+2〃+1

当时,22<21即a„i<a<a=l,

a„n+nn~+3n+n4

因此当n»4时，n2<2".

所以〃为正整数，且〃2>2",有〃=3.

故选：C

2.已知正方体A3CD-44GR，过点4且以。4,为法向量的平面为a,则a截该正方体所得截面的形

状为()

A.三角形B.四边形C.五边形D.六边形

【答案】A

【解析】

【分析】作出辅助线，根据线面垂直的判定定理得到。平面AC9,故平面a即为平面ACq,得到

截面的形状.

【详解】连接AC,A2，CA，3Z),

因为_L平面ABCD，ACu平面ABCD,

所以8AC,

又四边形ABC。为正方形，所以8DLAC，

又BB[CBD=B,84,3£>u平面8BQ,

所以AC_L平面

因为用Ou平面BgO,

所以AC_L4。，

同理可证明，4。，

因AD}AC=A,A?,ACu平面ACR,

故8Q_L平面AC?,

故平面a即为平面ACR,

则a截该正方体所得截面的形状为三角形.

故选：A

3.对于任意集合M,N,下列关系正确的是()

A.M%NN=M：NB.瘩J“N)=3,NM>(?W.NN)

C.M瓯\N瘩N

NN=MD.("N)=(MNM)(?WNN)

【答案】B

【解析】

【分析】利用韦恩图进行判断即可得到结果.

对于A：如图所知，。”NN为区域①，所以M23M5N=M,故A错误；

对于B：asv(McN)为区域①和③；(25V加)为区域③,(2⑺")为区域①,则

(踏5v")u(MUNN)也为为区域①和③；两边相等，故B正确；

对于C：(55vN)为区域①，MC^MPNN为区域①,不等于区域②(区域②为McN),故C错误;

对于D：ewsv(McN)为区域①和③；而为区域③，(QwsvN)为区域①,所以

(踏DNM)C(MSN)为空集，所以D错误；

故选：B.

4.已知a>(),且则函数y=bg“(x+()的图象一定经过()

A.一、二象限B.一、三象限C.二、四象限D.三、四象限

【答案】D

【解析】

【分析】由函数¥=1。8“卜+，|过(0,—1)点，分类可解.

【详解】当x=0时，y=log-=-l,

aa

则当0<。<1时，函数图象过二、三、四象限；

则当a>1时，函数图象过一、三、四象限;

所以函数y=log,,（尤+：］的图象一定经过三、四象限.

故选：D

2一，、

5.已知z=——，其中i为虚数单位，则z・（z—1）=（）

1+i'7

A.1+iB.|-iC.-1+iD.-1-i

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数的乘、除法运算可得z=l-i，进而W=l+i，结合复数的乘法计算即可求解.

【详解】由题意知,

1+i(i+i)(l-i)

所以z=1+i>

所以；(z-l)=(l+i)(l-i-l)=l-i.

故选：B

6.已知某六名同学在CMO竞赛中获得前六名（无并列情况），其中甲或乙是第一名，丙不是前三名，则这

六名同学获得的名次情况可能有（）

A.72种B.96种C.144种D.288种

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意分别求出甲是第一，乙是第一的可能情况，再利用分类加法计数原理计算即可.

【详解】由题意，丙可能是4,5,6名，有3种情况，

若甲是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种,

若乙是第一名，则获得的名次情况可能是C；A：=72种,

所以所有符合条件的可能是72+72=144种.

故选：C.

7.P是椭圆C：(a>Z?>0)上一点,耳、鸟是。的两个焦点，/¥；."=(),点。在

的平分线上，。为原点，OQ〃P%且|OQ|="则。的离心率为()

A.yB.3C.如D.B

2332

【答案】C

【解析】

【分析】设忸£|=加，|「鸟卜〃，由题意得出△AQP是等腰直角三角形，列方程组得到含。的齐次方

程求解离心率即可.

【详解】如图，设归耳|=加，|尸段=〃，延长。。交PB于A,

由题意知。。〃尸耳，。为大居的中点，故A为尸尸2中点，

m+n=2。

故有1加2+〃2m-n=2hm=a+b

=4C，2,化简得即《

根+〃=2an=a-b

22

2

代入m2+/=4。2得(。+人)2+(〃_〃『-4C,

即3+02=2/,由/=/一心2所以2a2=3C?,

所以T，e=T-

故选：c.

8.设函数/(x)=x+e*,g(x)=x+lnx,若存在x2,使得/(%)=8(々)，则k一的最小值为

()

1

A.-B.1C.2D.e

e

【答案】B

【解析】

【分析】根据题意，由条件可得/(玉)=/(111%)，即可得到X]=lnw,构造函数〃(x)=lnx-x,求导

得其最值，即可得到结果.

【详解】由题意可得/(玉)=8(/)，即为+e*'=/+ln%2，

1lnt2

所以％+e*=e+Inx2,

又/'(x)=l+e'>0,所以/(x)在R上单调递增，

即/(玉)=/(历工2)，所以玉=皿彳2，

V|

且,—%2|=|lnx2—e|=|lruv2—%2|,

令/z(x)=lnx-x,xe(0,+oo),

则//(x)='-1="J~,其中x>0,

XX

令〃'(x)=0,则x=l,

当x«O,l)时,〃'(x)>0,则人(力单调递增，

当xe(l,+e)时，〃'(x)<0,则〃(x)单调递减，

所以当x=l时，/2(x)有极大值，即最大值，

所以〃(%)〈〃⑴=-1,

所以归一wlmin=W%1/Lin=H=1-

故选：B

【点睛】关键点睛：本题主要考查了函数同构问题以及导数求最值问题，结合同构函数，然后构造函数求

导即可得到结果.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知〃是异面直线，机ua,nu(3,那么()

A.当初_L£,或〃_L。时，a工B

B.当初//£,且〃//«时，a//£

C.当。_1，时，m±/3,或〃_La

D.当a,夕不平行时，切与月不平行，且"与a不平行

【答案】AB

【解析】

【分析】根据线线、线面和面面之间的基本关系，结合选项依次判断即可.

【详解】A：当机J•广，mua时，czI/7；

当时，aL/3,故A正确；

B：当〃?//£,〃//a时，又狐"为异面直线，所以a〃夕，故B正确；

C：当。_1_尸时，由mua,得根///?或m与4相交；

当时，由〃u/7,得“//a或w与a相交，故C错误；

D：当。，/不平行时，可能机//尸或机与夕，〃//a或〃与a相交，故D错误.

故选：AB

10.已知函数/(x)=sins+acos<yx(无eR,<»>())的最大值为2，其部分图象如图所示，则()

C.满足条件的正实数0,存在且唯一

D./(x)是周期函数，且最小正周期为兀

【答案】ACD

【解析】

［分析】利用辅助角公式化简函数解析式，再根据函数的最大值及/(o)>0求出〃，由=1求出。的

取值，再根据周期确定。的值，即可得到函数解析式，即可判断.

【详解】因为/(x)=sin<yx+acoss：=J^TTsin(5+Q)(其中sin9='，1］、以》9=7与工)，

又/(x)n“x=V<22+1=2，解得a=±^3，

又/(0)=。>0,所以a=百，故A正确；

贝ij/(x)=sincox+V3COScox-2sincox+—\,

Tift)TT57r

结合图象可知上四+'=H+2E/EZ,所以G=2+8Z/WZ,

436

2兀兀

•~r•—〉一

又一>一，所以<①2,解得0vgv4,所以0=2,故C正确;

24

69>0

所以/(%)=25由卜》+三)，则/712sin「2(x—巴71

X--+—2sin2x为奇函数，故B错误;

II6J3

/(x)是周期函数，且最小正周期7=1=兀，故D正确.

故选：ACD

11.设函数〃x)=［x］的函数值表示不超过x的最大整数，则在同一个直角坐标系中，函数y=/(x)的图

象与圆(x-r)2+(y+t『=2/(r>0)的公共点个数可以是()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】ABD

【解析】

【分析】由题意确定圆心坐标和半径，易知该圆过原点，作出函数/（X）在xe[-3,3）的图象，结合图形分析,

即可求解.

【详解】由（》-。2+（"。2=2/0＞0）,得该圆心为9T）,半径为万，

易知该圆过原点，由/（x）=[x],当xw[-3,3）时,

—3,—34x<—2

-2,-2<x<-l

—1,—l^x＜0

得M，作出函数/3的图象,如图,

2,2<x<3

由图可知，当0＜，＜，时，圆与函数/a）的图象有2个交点，

2

当，=4时，圆与函数/（*）的图象有1个交点，

2

当时，圆与函数/（X）的图象有2个交点，

当]＜三£时，圆与函数“X）的图象有4个交点，

根据圆与函数/（x）的对称性，后续交点情况类比即可.

故选：ABD

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于理解取整函数的定义，利用数形结合的思想分析圆与函数f（x）

图象交点的个数.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知样本X1,x2,七的平均数为2,方差为1,则X；,后，门的平均数为

【答案】5

【解析】

【分析】根据平均数和方差的定义建立方程组，解之即可求解.

【详解】由题意知，♦+=-+丛=2,所以玉+%+当=6，

由a-2)2+32-2)2+(不-2)2=1,得x：+君+4=15,

3

所以片+考+芯=5.

3

故答案为：5

13.已知圆锥的内切球半径为1,底面半径为正，则该圆锥的表面积为.

注：在圆锥内部，且与底面和各母线均有且只有一个公共点的球，称为圆锥的内切球.

【答案】8n

【解析】

【分析】借助过圆锥的轴以及内切球球心的截面图求出圆锥的母线长，即可求出圆锥表面积.

【详解】由题过圆锥的轴以及内切球球心的截面图如下：

则在三角形S。声中有"+尸=『，即力2+2=L①，

又由SDOSO]B得r=匕，即/=②，

rI

所以由①②得I=3-\/2,0=4,

所以圆锥的表面积为S=5底+5=兀/+兀〃=2兀+6兀=8兀.

故答案为：8兀.

14.已知AABC中，tan-=3tan—,双曲线E以8,。为焦点，且经过点A,则E的两条渐近线的夹角为

22

Ar

；tan—Ftan—的取值范围为

22

(Ji\

【答案】①.y②，+8

【解析】

【分析】根据双曲线的性质和三角形内心性质得到垂足〃的位置，再由tanO=3tanC得到双曲线中

22

a*,c的关系，即可得到渐近线的夹角；根据tanO=3tanC对所求式进行化简，再根据基本不等式求得范

22

围即可.

【详解】如图所示，设双曲线的实轴长为左，虚轴长为2"焦距为2c.

设.ABC的内心为/，过点/向三边作垂线，垂足分别为

根据三角形内心的性质可知，1AP\=\AN|,|BPHBMI,|HCN|,

又因为双曲线E以B,C为焦点，且经过点A,

所以MG—IA训=2a,即网+|OV|-|4P|-|BP||=||OV|-|BP||=||CM|-|BM||=2a,

因为tanO=3tanC,所以8>C,所以|AC|>|A6|,

22

所以点A在双曲线的左支上，所以|CM|一|6M|=2a.

^\CM\+\BM\=2c,

所以ICM|=c+a,|BM\=c-a,

所以M为双曲线的左顶点.

,BMlr.CMlr

JTT以itin-,tun,1—

2'MB~,2-a2MCC+Q

所以‘一=3—,即£=2,

aC+Qa

所以2=渐近线的倾斜角为g,

a3

所以两条渐近线的夹角为

1।-tanB—tan一Cl-3tan2-

又因tan4=tan7t—(B+C)113C

222——tan—,

22B+CBC彳C4tan^42

tantan—+tan—4tan—

22222

AC11C

tan—+tan—=+—tan—

所以224tanC42，

2

-C

而tan-e

2

11CV3

i、।----77—tan—>—

所以4tan£423.

2

故答案为：y,+<x>

/

【点睛】关键点点睛：本题考查双曲线的性质和三角形的最值.本题的关键点在于根据tanO=3tan£作

22

出三角形的内心，从而根据内心性质和双曲线的定义进行求解.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.如图，三棱柱A8C-A4G中，侧面底面ABC,且A6=AC,=Ac.

(1)证明：•平面A8C；

⑵若"=BC=2,NB4c=90°,求平面4BC与平面48G夹角的余弦值.

【答案】(1)证明见解析;

(2)正.

5

【解析】

【分析】(1)取BC的中点M,连结M4、MAt,根据等腰三角形性质和线面垂直判定定理得平面

AM4,进而由AAB】B得B]BABC,再证明用8J.平面ABC即可得证.

(2)建立空间直角坐标系，用向量法求解即可；也可用垂面法作出垂直于AB的垂面，从而得出二面角的

平面角再进行求解即可.

【小问1详解】

取BC的中点M,连结MA..

因为AB=AC,A/=A1C,所以BCV,

由于AM,4Mu平面AM4,且AVcAM=",

因此工平面AM4，

因为4Au平面AM4,所以

又因为A,AB、B,所以6避人BC,

因为平面平面ABC,平面BBCCQ平面A3C=3C，且48u平面B4GC，所以48，平面

ABC,

因为AAB|B,所以平面ABC

【小问2详解】

法一：因为NB4C=90°,且3C=2,所以AB=AC=&.

以AS,AC,A%所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,

则A（0,0,2）,B（V2,0,0）,C（0,V2,0）,C,（0,72,2）.

所以4A=（点,0,-2）,AC=（0,及,一2）,AC；=（0,衣o）.

痔48=0

设平面ABC的法向量为加=（%,y,Z|）,则，

m-\C=Q

令4=1,则m=（逝,V2,lj,

/、〃•AB=0叵X）—2z）=0

设平面48G的法向量为万=（马,%，22），贝必，可得

\J〃监=0[02=0

令Z2=l,贝!]〃=（垃,0,。,

仙词3_岳

设平面ABC与平面夹角为。，则cose=

Ml”；x/5Xx/35

所以平面ARC与平面A8G夹角的余弦值为半

法二：将直三棱柱ABC-A4G补成长方体A6OC—.

连接G。，过点C作CP_LG。，垂足为P,再过尸作PQ_L4B,垂足为Q,连接C。,

因为8D上平面CDD£,且CPU平面CDD©,

所以BOLCP,

又因为CP，G。，由于2D,C|Ou平面ABOG，且BZ)CQ=D,

所以CPJ_平面ABOG，则ACPQ为直角三角形，

由于ABu平面ABOG，所以AB_LCP,

因为CP，PQu平面CPQ,且CPPQ=P,所以ABJ_平面C尸Q,

因为CQu平面CPQ,所以CQ_LAB,

则/CQP为平面4BC与平面48G的夹角或补角，

在,.A/C中，由等面积法可得c0=画，

因为PQ=4G=夜，所以cosNCQP=1|=半，

因此平面4BC与平面夹角的余弦值为姮.

16.已知函数f(x)=(ox+l)e",/'(x)是“X)的导函数，且/'(x)-/(x)=2e".

⑴若曲线y=/(x)在x=0处的切线为"-+/乙求A,人的值；

(2)在⑴的条件下，证明：f(x)>kx+b.

【答案】(1)k=3,b=l；

(2)证明见解析.

【解析】

【分析】(1)根据题意，求导可得”的值，再由导数意义可求切线，得到答案；

(2)设函数g(x)=(2x+l)e*—3x—1,利用导数研究函数g(x)的单调性从而求出最小值大于0,可得证.

【小问1详解】

因为/(%)=(办+l)e',所以/'(x)=(ax+a+l)e”,

因为r(x)—/(x)=2e1所以a=2.

则曲线y=/(x)在点x=0处的切线斜率为f'(Q)=3.

又因为"0)=1,

所以曲线y=/(x)在点x=()处的切线方程为，=3x+1,

即得左=3,b=\.

【小问2详解】

设函数g(x)=(2x+l)e，-3x-l,xeR,

则g<x)=(2x+3)e*-3,

设〃(x)=g1x),则”(x)=e'(2x+5),

所以，当%>一|时，〃(x)>0,g'(x)单调递增.

又因为g'(O)=O,

所以，x>0时，g'(x)>0,g(x)单调递增；

—g<x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减.

又当g时，g'(x)=(2x+3)e*-3<0,

综上g(x)在(-8,0)上单调递减，在(0,+。)上单调递增，

所以当x=0时，g(x)取得最小值g(0)=0,

即(2x+l)e*-3x-l20,

所以，当xeR时,f(x)>3x+l.

17.某大型企业准备把某一型号的零件交给甲工厂或乙工厂生产.经过调研和试生产，质检人员抽样发

现：甲工厂试生产的一批零件的合格品率为94%；乙工厂试生产的另--批零件的合格品率为98%：若将这

两批零件混合放在一起，则合格品率为97%.

(1)从混合放在一起的零件中随机抽取3个，用频率估计概率，记这3个零件中来自甲工厂的个数为X,

求X的分布列和数学期望；

(2)为了争取获得该零件的生产订单，甲工厂提高了生产该零件的质量指标.已知在甲工厂提高质量指

标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型

企业把零件交给甲工厂生产的概率.设事件A="甲工厂提高了生产该零件的质量指标“，事件8="该大型

企业把零件交给甲工厂生产”、已知0<P(8)<l,证明：尸(A|B)>尸同月).

【答案】（1）答案见解析

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）设出甲乙两厂的零件数，表示事件发生的概率，由题意知X服从二项分布，写出分布列和期望

即可.

（2）因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在甲工厂不提

高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，即P（同A）＞尸（8同，化简变形即可证

得.

小问1详解】

设甲工厂试生产的这批零件有件，乙工厂试生产的这批零件有〃件，

事件M="混合放在一起零件来自甲工厂“，事件N="混合放在一起零件来自乙工厂"，事件C="混合放

在一起的某一零件是合格品”，

则P(N)=—^―,

m+nm+n

P(C)=P(C\M)P(M)+P(C|N)P(N)

JTIn

=94%x------+98%x-------=97%,

m+n〃

计算得3m=〃.

所以P(M)=*一=L.

m+n4

X的可能取值为0,1,2,3,X〜

E（X）=3x」=2,

'）44

小=。）=呢闸T—%冏‘磊，

加2）=鸣用/P（X=3）=喘闾

所以，X的分布列为：

X0123

272791

P

64646464

【小问2详解】因为在甲工厂提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，大于在

甲工厂不提高质量指标的条件下，该大型企业把零件交给甲工厂生产的概率，

所以「伊同〉73.同.

3吧

「⑷P（A）­

因为尸（A）＞0,P（A）＞0,

所以P（AB）P（A）＞P（M）P（A）.

因为P（司=1—P（A）,P（AB）=P（B）-P（AB）,

所以P（ABXI—P（A））＞（P（B）—P（AB））P（A）.

即得尸（A3）＞P（A）P（3）,

所以P（AB）-P（AB）P（B）＞P（A）P（5）-P（43）P（B）.

即P(ABXI—P(B))>P(0(P(A)—P(AB)).

又因为1-P（5）=P⑻，P（A）-P（A5）=P（AB）,

所以P（AB）P⑻＞P（B）P（AB）.

因为0〈尸（B）＜1,O＜P（B）＜1,

P（4叽P（碉

所以c/c\＞-------/—\•

P⑻P（B）

即得证?（A忸）＞P（A同.

18.设抛物线C：x2=2py（p＞0）,直线/：）=而+2交C于4,B两点.过原点。作/的垂线，交直

线y=-2于点M.对任意ZeR,直线AM,AB,的斜率成等差数列.

（1）求C的方程；

（2）若直线/'/〃，且/'与C相切于点N,证明：AAMN面积不小于2拉.

【答案】（1）x2=4〉；

（2）证明见解析.

【解析】

【分析】（1）根据题意，分左=0与左。0代入计算，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理代入计算，再

由等差中项的定义列出方程，即可得到结果；

（2）方法一：联立直线/'与抛物线的方程，表示出中点E的坐标，再由点M,N,E三点共线可得△AMN

面积为△加面积的;，结合三角形的面积公式代入计算，即可证明；方法二联立直线/,与抛物线的方

程，再由A=0,得〃=—公，点"（2人,公），即可得到直线MN与x轴垂直，再由三角形的面积公式代入

计算，即可证明.

【小问1详解】

设点A（X],yJ,3（马,必），

由题可知，当4=（）时，显然有七“+%8M=0；

当我。0时，直线0M的方程为丁=—点M（2Z,—2）.

联立直线AB与C的方程得f-2pfcc-4P=0,A=4p，2+i6〃>0,

所以％+々=2，％,入科2=YP，

因为直线AM,AB,8M的斜率成等差数列,

y.+2%+2,

所以——+———=2k

x1-2kx2-2k

―+4+优+4=2k(例+4)(._2.)+(5+4)(内―2))=2k

%1-2kx2-2k'-2A:)(x2-2/c)-‘、

化简得2(42+2)(石+々-4%)=0.

将尤1+x2=2pZ代入上式得2(炉+2)(2p左一4Z)=0,

则〃=2,

所以曲线C的方程为f=4y.

（法一）设直线/'：y=kx+n,联立C的方程，得/一4履一4〃=0.

由A=0,得〃=—女2,点NR%,/）,

设AB的中点为E,

因51A=2k,21±21=比匕1±1=2女2+2,贝1」点£（24,2公+2）.

222、,

田％2/+2-2,

因为----------=七2，

2

所以点M,N,E三点共线，且点N为ME的中点，

所以△AMN面积为△A8M面积的1.

4

2女2+4

记的面积为S,点M（2Z,-2）到直线A&Ax-y+2=0的距离d=j,J

22

所以S=]|A3|xd=]y/l+kXJ（玉+X2）-4X,X2X2）=伏2+2）5220,

当左=（）时，等号成立.所以命题得证.

（法二）设直线/'：y^kx+n,联立C