新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）07 导数中利用构造函数解不等式（含解析）

培优专题07导数中利用构造函数解不等式（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、构造函数解不等式解题思路利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是：（1）把不等式转化为SKIPIF1<0；（2）判断函数SKIPIF1<0的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“SKIPIF1<0”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别.二、构造函数解不等式解题技巧求解此类题目的关键是构造新函数，研究新函数的单调性及其导函数的结构形式，下面是常见函数的变形模型1.对于SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0模型2.对于不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0.模型3.对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0拓展：对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0模型4.对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0模型5.对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0拓展：对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0模型6.对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0SKIPIF1<0拓展：对于不等式SKIPIF1<0，构造函数SKIPIF1<0模型7.对于SKIPIF1<0，分类讨论：（1）若SKIPIF1<0，则构造SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，则构造SKIPIF1<0模型8.对于SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0.模型9.对于SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0.模型10.（1）对于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0．对于SKIPIF1<0，构造SKIPIF1<0．模型11.（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0二、题型精讲精练二、题型精讲精练【典例1】定义在R上的可导函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则m的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在R上单减，又SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由单调性得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：B.【典例2】已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，不等式SKIPIF1<0可以转化为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：D.【典例3】设函数SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】依题意，令函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的增函数，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故选：A【典例4】定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若对任意实数SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为奇函数，则不等式SKIPIF1<0的解集是（）A．SKIPIF1<0 B．−∞,ln2022 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为定义在SKIPIF1<0上的减函数，因为SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：C.【典例5】已知SKIPIF1<0是定义域为SKIPIF1<0的奇函数SKIPIF1<0的导函数，当SKIPIF1<0时，都有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【详解】因为SKIPIF1<0是奇函数，所以SKIPIF1<0是偶函数．设SKIPIF1<0，∴当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是增函数，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0是减函数，∵SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，不等式SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，∴原不等式的解集为SKIPIF1<0．故选：D．【题型训练】1.加减法模型一、单选题1．（2023秋·江西萍乡·高三统考期末）已知SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数,SKIPIF1<0是其导函数.当x≥0时,SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0的解集是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】设SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0因为当x≥0时,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递增，又因为SKIPIF1<0是定义在R上的奇函数，所以SKIPIF1<0的图像关于SKIPIF1<0对称，如图，所以SKIPIF1<0在R上递增，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的解集是SKIPIF1<0，故选：C.2．（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若对任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0.故选：A.3．（2023·漠河市高级中学）已知SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导函数且在SKIPIF1<0上SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，则函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的奇函数，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.故选：B.4．（2023·全国高三专题练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，对SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为对SKIPIF1<0恒有SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在R上单减.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0故选：B2.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0模型一、单选题1．（2023·江西·瑞金市第三中学高三阶段练习（理））已知定义在R上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，若对任意的实数x，不等式SKIPIF1<0恒成立，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在R上单调递减；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：A.2.（2023秋·山西太原·高三山西大附中校考期末）设定义R在上的函数SKIPIF1<0，满足任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的大小关系是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】依题意，任意SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是周期为SKIPIF1<0的周期函数.所以SKIPIF1<0.构造函数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0.故选：A3．（2023秋·陕西·高三校联考期末）定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】设函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，从而SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：A.4．（2023春·上海浦东新·高三上海市建平中学校考阶段练习）设定义在SKIPIF1<0上的奇函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为________．【答案】SKIPIF1<0【详解】令SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0为偶函数，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由偶函数性质知，函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0是严格减函数，在SKIPIF1<0是严格增函数，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<03.SKIPIF1<0和SKIPIF1<0模型一、单选题1．（2023·贵州贵阳·高三月考（理））已知SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0的导数，且满足SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是锐角三角形的两个内角，则下列不等式一定成立的是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】先令SKIPIF1<0，求导，根据题意，得到SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增，再由题意，得到SKIPIF1<0，进而可得出结果.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0对SKIPIF1<0恒成立，∴SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上单调递增；又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是锐角三角形的两个内角，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.故选：C.2．（2023·陕西渭南·高三期末（理））已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，对任意SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列结论一定正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】构造函数SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0,故SKIPIF1<0,因此可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减，由于SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故选：A3.（2023·全国·高三专题练习）已知函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可导且满足SKIPIF1<0，则下列不等式一定成立的为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】构造函数SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时单调递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选:C.4.（2023·全国·高三专题练习）SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的函数，满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极大值 B．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极小值C．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上既有极大值又有极小值 D．SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有极值【答案】D【详解】解：根据题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，记SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以函数SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上递减，在SKIPIF1<0上递增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，故SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上没有极值.故选项ABC说法错误，选项D说法正确.故选：D5.（2023秋·陕西汉中·高三统考期末）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递减.又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0等价于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即所求不等式的解集为SKIPIF1<0.故选：B．6.（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则不等式SKIPIF1<0的解集为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】令SKIPIF1<0，函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0故SKIPIF1<0故SKIPIF1<0在R上单调递减，又因为SKIPIF1<0所以，SKIPIF1<0，所以不等式SKIPIF1<0可化为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的解集为SKIPIF1<0故选：B.4.SKIPIF1<0（sinx）和SKIPIF1<0（cosx）模型一、单选题1．（2023·广东·东莞市东华高级中学高三期末）已知函数SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上的偶函数，且对于任意的SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，则下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】解：偶函数SKIPIF1<0对于任意的SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0为偶函数．又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0在区间SKIPIF1<0上是减函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故B正确；SKIPIF1<0，故A错误；SKIPIF1<0，故C错误；SKIPIF1<0，故D错误；故选：B．2.已知定义在SKIPIF1<0上的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且对于任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，则（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【解析】由题意：构造函数SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故选：A3.（2023·辽宁·大连市第四十八中学高三期中）设奇函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的图象是连续不间断，任意SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的取值范围是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【详解】令SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0，因为函数SKIPIF1<0为奇函数，所以SKIPIF1<0，则函数SKIPIF1<0是定义在SKIPIF1<0上的奇函数，SKIPIF1<0，因为任意的SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调递增，则函数SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的奇函数并且单调递增，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0.故选：C.4.（2023·江苏·高三阶段练习）已知定义在SKIPIF1<0的函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，且满足SKIPIF1<0成立，则下列不等式成立的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【详解】设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上是减函数，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，A错；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，B正确；SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，C错；SKIPIF1<0的正负不确定，因此SKIPIF1<0与SKIPIF1<0大小不确定，D不能判断．故选：B．5.（2022·湖北·高二阶段练习）奇函数SKIPIF1<0定义域为S