新高考数学二轮考点培优专题（精讲+精练）26 立体几何中的轨迹问题（含解析）

素养拓展26立体几何中的轨迹问题（精讲+精练）一、知识点梳理一、知识点梳理一、立体几何中的轨迹问题立体几何轨迹问题是以空间图形为素材,去探究符合一定条件的点的运动轨迹,处于解析几何和立体几何的交汇处,要求学生有较强的空间想象能力、数学转化和化归能力,以及对解析几何和立体几何知识的全面掌握.常见的轨迹类型有直线、圆雉曲线、球面、椭球面.二、常用的解决策略(1)定义法:借助圆雉曲线的定义判断.(2)坐标法:建立合适的坐标系,用方程来表示所求点的轨迹,借助方程来判断轨迹形状.(3)交轨法:运动的点同时在两个空间几何体上,如平面与圆雉、圆柱、球相交,球与球相交,等等.(4)平面化:把空间几何关系转化到同一平面内,进而探究平面内的轨迹问题,使问题更易解决.空间问题平面化也是解决立体几何题目的一般性思路.三、轨迹是圆锥曲线的原理剖析令平面与轴线的夹角为θ0<θ<90°,圆雉的母线与轴的夹角为SKIPIF1<0,如图②.当SKIPIF1<0时,截口曲线为椭圆;(2)当SKIPIF1<0时,截口曲线为抛物线;(3)当SKIPIF1<0时,截口曲线为双曲线.图②我们再从几何角度来证明.(1)如图③,在圆锥内放两个大小不同的球,使它们分别与截面切于点SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作圆雉的母线,分别与两球切于点SKIPIF1<0.由球的性质可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0为定值,这样截口曲线上的任一点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之和为常数,由椭圆的定义知,截口曲线是椭圆.(2)如图④,在互相倒置的两个圆雉内放两个大小不同的球,使它们分别与圆雉的侧面、截面相切,两个球分别与截面切于点SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,过点SKIPIF1<0作圆雉的母线,分别与两球切于点SKIPIF1<0.由球的性质可知SKIPIF1<0,于是SKIPIF1<0为定值,这样截口曲线上的任一点SKIPIF1<0到两个定点SKIPIF1<0的距离之差的绝对值为常数,由双曲线的定义知,截口曲线是双曲线.(3)如图⑤,用平行于母线SKIPIF1<0且垂直于轴截面SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0去截圆雉.在圆雉内放一个球,使它和圆雉的侧面与截面SKIPIF1<0相切,球与截面切于点SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0为球与圆雉相切时切点构成的圆所在的平面,记SKIPIF1<0.在截口曲线上任取一点SKIPIF1<0,作直线与球相切于点SKIPIF1<0,连结SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0.在母线SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0(SKIPIF1<0为SKIPIF1<0与球的切点),使得SKIPIF1<0.过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0,有点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上,且SKIPIF1<0.另一方面,因为平面SKIPIF1<0与SKIPIF1<0垂直,那么SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,有SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.于是截口曲线是以点SKIPIF1<0为焦点,SKIPIF1<0为准线的抛物线.二、题型精讲精练二、题型精讲精练1.平行、垂直有关的的轨迹问题①平行有关的轨迹问题的解题策略1.线面平行转化为面面平行得轨迹;2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹.②垂直有关的轨迹问题的解题策略1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹;2.利用空间坐标运算求轨迹;3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹.【典例1】如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（）A．SKIPIF1<0a B．SKIPIF1<0a C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】连接GH、HN，有GH∥BA1，HN∥BD，证得面A1BD∥面GHN，由已知得点M须在线段GH上运动，即满足条件，由此可得选项.【详解】解：连接GH、HN、GN，∵在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是CC1、C1D1、DD1、CD的中点，N是BC的中点，则GH∥BA1，HN∥BD，又SKIPIF1<0面A1BD，BA1SKIPIF1<0面A1BD，所以SKIPIF1<0面A1BD，同理可证得SKIPIF1<0面A1BD，又SKIPIF1<0，∴面A1BD∥面GHN，又∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，MN∥面A1BD，则点M须在线段GH上运动，即满足条件，GH=SKIPIF1<0a，则点M轨迹的长度是SKIPIF1<0a.【典例2】在正方体SKIPIF1<0中，Q是正方形SKIPIF1<0内的动点，SKIPIF1<0，则Q点的轨迹是（）A．点SKIPIF1<0 B．线段SKIPIF1<0 C．线段SKIPIF1<0 D．平面SKIPIF1<0【答案】B【分析】如图，连接SKIPIF1<0,证明SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即得解.【详解】如图，连接SKIPIF1<0,因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,又SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以点SKIPIF1<0在线段SKIPIF1<0上.故选：B2.距离、角度有关的的轨迹问题①距离有关的轨迹问题的解题策略1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹；2.利用空间坐标计算求轨迹.②角度有关的轨迹问题的解题策略1.直线与面成定角，可能是圆锥侧面;2.直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面;3.利用空间坐标系计算求轨迹.【典例3】已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（）A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线【答案】D【分析】以D为坐标原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，求出点P的轨迹方程即可判断.【详解】如图示，过P作PE⊥AB与E，过P作PF⊥AD于F，过F作FG∥AA1交A1D1于G，连结PG，由题意可知PE=PG以D为坐标原点建立空间直角坐标系SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，由PE=PG得：SKIPIF1<0，平方得：SKIPIF1<0即点P的轨迹是双曲线.故选：D.【典例4】正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上的一个点（包括端点），SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0上一动点，满足直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0夹角与直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的夹角相等，则点SKIPIF1<0所在轨迹为（）A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．抛物线或双曲线【答案】D【分析】根据题设分析可知：SKIPIF1<0点轨迹为以SKIPIF1<0为母线，SKIPIF1<0为轴，SKIPIF1<0为底面直径的圆锥体，及其关于SKIPIF1<0反向对称的锥体与平面SKIPIF1<0的交线，应用数形结合，结合平面与双锥面相交所成曲线的性质判断SKIPIF1<0所在轨迹的形状.【详解】由题设，SKIPIF1<0点轨迹为以SKIPIF1<0为母线，SKIPIF1<0为轴，SKIPIF1<0为底面直径的圆锥体，及其关于SKIPIF1<0反向对称的锥体与平面SKIPIF1<0的交线，如下图示：当SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上移动过程中，只与下方锥体有相交，SKIPIF1<0点轨迹为抛物线；当SKIPIF1<0是边SKIPIF1<0上移动过程中，与上方锥体也有相交，SKIPIF1<0点轨迹为双曲线；故选：D3.翻折有关的的轨迹问题①翻折有关的轨迹问题的解题策略1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹3.可以利用空间坐标运算求轨迹【典例5】1822年，比利时数学家Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占SKIPIF1<0正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得SKIPIF1<0与小球相切．若SKIPIF1<0，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，利用勾股定理可得SKIPIF1<0，再由离心率的定义即可求解.【详解】在SKIPIF1<0中，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴长轴长SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0则离心率SKIPIF1<0.故选：A【题型训练2-刷模拟】1.平行、垂直有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023·全国·高三专题练习）正四棱锥SKIPIF1<0的底面边长为2，高为2，E是边SKIPIF1<0的中点，动点P在表面上运动，并且总保持SKIPIF1<0，则动点P的轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．4 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】由题意，动点P的轨迹为过E且垂直SKIPIF1<0的平面与正四棱锥SKIPIF1<0的交线，再根据线面垂直的性质求解即可.【详解】如图，设SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由正四棱锥的性质可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由题意，SKIPIF1<0则动点P的轨迹为过E且垂直SKIPIF1<0的平面与正四棱锥SKIPIF1<0的交线，即如图SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.由线面垂直的性质可得平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又由面面平行的性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又E是边SKIPIF1<0的中点，故SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0的中位线.由题意SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.即动点P的轨迹的周长为SKIPIF1<0.

故选：A2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考模拟预测）在正四棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0为正四棱柱表面上一点，且SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹的长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据给定的条件，结合正四棱柱的结构特征，作出过点SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0的正四棱柱的截面即可计算作答.【详解】在正四棱柱SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，如图，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，在平面SKIPIF1<0内过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹为平面SKIPIF1<0与四棱柱的交线，即SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹长为SKIPIF1<0.故选：A【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.3．（2023·江西赣州·统考二模）在棱长为4的正方体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体SKIPIF1<0的表面上运动，满足SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹所构成的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】作出辅助线，找到点SKIPIF1<0的轨迹，利用勾股定理求出边长，得到周长.【详解】延长SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0的延长线与SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0，SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0则平行四边形SKIPIF1<0（SKIPIF1<0点除外）为点SKIPIF1<0的轨迹所构成的图形，因为正方体棱长为4，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为棱SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由几何关系可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由勾股定理得SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0的轨迹所构成的周长为SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）如图所示，正方体SKIPIF1<0的棱长为2，E，F分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点P是正方体表面上的动点，若SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0点在正方体表面上运动所形成的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】要满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，只需要寻找一个平面，使该平面经过SKIPIF1<0，且与平面SKIPIF1<0平行即可,取SKIPIF1<0的中点G，SKIPIF1<0的中点H，连结SKIPIF1<0.证明出面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.得到SKIPIF1<0点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形SKIPIF1<0，求出周长即可.【详解】取SKIPIF1<0的中点G，SKIPIF1<0的中点H，连结SKIPIF1<0.正方体SKIPIF1<0的棱长为2.SKIPIF1<0为中点，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0为分别为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.同理可证：SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0面SKIPIF1<0,所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0点在正方体表面上运动所形成的轨迹为三角形SKIPIF1<0.因为正方体SKIPIF1<0的棱长为2，所以SKIPIF1<0,所以三角形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0.故选：B5．（2023·全国·高三专题练习）在棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，点SKIPIF1<0在正方体的表面上运动，且满足SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则下列说法正确的是（

）A．点SKIPIF1<0可以是棱SKIPIF1<0的中点 B．线段SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0C．点SKIPIF1<0的轨迹是正方形 D．点SKIPIF1<0轨迹的长度为SKIPIF1<0【答案】B【分析】如图，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，进而证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再结合题意可知直线SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0点，进而取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0即可得四边形SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的轨迹，再根据几何关系依次判断各选项即可.【详解】解：如图，取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中点，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0为体对角线SKIPIF1<0的中点，所以，连接SKIPIF1<0并延长，直线SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0点，故取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，所以，由正方体的性质易知SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0是平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0共线，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0为点SKIPIF1<0的轨迹，故A选项错误；由正方体的棱长为SKIPIF1<0，所以，四边形SKIPIF1<0的棱长均为SKIPIF1<0，且对角线为SKIPIF1<0，，所以，四边形SKIPIF1<0为菱形，周长为SKIPIF1<0，故CD选项错误，由菱形的性质知，线段SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0，故B选项正确.故选：B【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于取棱SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，进而证明平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再根据面面平行的性质求解点SKIPIF1<0轨迹即可求解.6．（2023·全国·高三专题练习）已知棱长为1的正方体SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，动点SKIPIF1<0在正方体内部或表面上，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹所形成区域的面积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】过点M做平面SKIPIF1<0的平行截面，再求四边形面积即可.【详解】如图所示E、F、G、M分别是SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故点P的轨迹为矩形SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A【点睛】本题考查面面平行的判定和面面平行的性质，以及正方体的截面问题，属综合中档题.二、填空题7．（2023·全国·高三专题练习）如图，SKIPIF1<0为圆柱下底面圆SKIPIF1<0的直径，SKIPIF1<0是下底面圆周上一点，已知SKIPIF1<0，圆柱的高为5．若点SKIPIF1<0在圆柱表面上运动，且满足SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹所围成图形的面积为．【答案】10【分析】先推出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设过SKIPIF1<0的母线与上底面的交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的母线与上底面的交点为SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，推出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，从而可得点SKIPIF1<0的轨迹是矩形SKIPIF1<0，计算这个矩形的面积即可得解.【详解】因为SKIPIF1<0是圆柱下底面圆SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设过SKIPIF1<0的母线与上底面的交点为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0的母线与上底面的交点为SKIPIF1<0，连SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以点SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0内，又点SKIPIF1<0在圆柱的表面，所以点SKIPIF1<0的轨迹是矩形SKIPIF1<0，依题意得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.故点SKIPIF1<0的轨迹所围成图形的面积为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.8．（2023·河南·校联考模拟预测）已知正方体SKIPIF1<0的棱长为SKIPIF1<0，动点P在SKIPIF1<0内，满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为．【答案】SKIPIF1<0【分析】确定正方体SKIPIF1<0对角线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点E，求出SKIPIF1<0确定轨迹形状，再求出轨迹长度作答.【详解】在正方体SKIPIF1<0中，如图，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于点E，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，因为点P在SKIPIF1<0内，满足SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因此点P的轨迹是以点SKIPIF1<0为圆心，1为半径的圆在SKIPIF1<0内的圆弧，而SKIPIF1<0为正三角形，则三棱锥SKIPIF1<0必为正三棱锥，SKIPIF1<0为正SKIPIF1<0的中心，于是正SKIPIF1<0的内切圆半径SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆在SKIPIF1<0内的圆弧为圆周长的SKIPIF1<0，即点P的轨迹长度为SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0【点睛】思路点睛：涉及立体图形中的轨迹问题，若动点在某个平面内，利用给定条件，借助线面、面面平行、垂直等性质，确定动点与所在平面内的定点或定直线关系，结合有关平面轨迹定义判断求解.9．（2023春·四川绵阳·高三四川省绵阳南山中学校考阶段练习）若点SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0的球面上的动点，点SKIPIF1<0为棱SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则动SKIPIF1<0点的轨迹的长度为．【答案】SKIPIF1<0【分析】由题意画出图形，SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，由线面垂直的判定定理和性质，可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0点的轨迹为平面SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0的截面圆周，求出截面圆的半径即可得出答案.【详解】如图所示，在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0又点SKIPIF1<0是棱长为SKIPIF1<0的正方体SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0的球面上的动点且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0点的轨迹为平面SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0的截面圆周.连接SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离：SKIPIF1<0又SKIPIF1<0设SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0又正方体SKIPIF1<0的内切球SKIPIF1<0得半径SKIPIF1<0则截面圆的半径SKIPIF1<0，因此可得动SKIPIF1<0点的轨迹的长度为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题是一道空间线面位置关系及多面体与球的内切等位置关系与距离、体积的计算等能力的综合运用．解答时先将问题转化和化归为平面SKIPIF1<0与球SKIPIF1<0的截面圆周的周长问题，进而转化为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，运用等体积法求出SKIPIF1<0，借助截面圆的半径与球的半径，球心距之间的关系SKIPIF1<0求出截面圆周的半径，最后求出截面圆的周长也即为动SKIPIF1<0点的轨迹的长度.2.距离、角度有关的的轨迹问题一、单选题1．（2023春·河南·高三校联考阶段练习）已知长方体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点P在四边形SKIPIF1<0内，且直线BP与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，则长方体的体积最大时，动点P的轨迹长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】首先由题意得到长方体体积最大时，得到几何体的棱长，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，确定线面角，从而确定点SKIPIF1<0的轨迹，从而得解.【详解】因为长方体SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0，设外接球的半径为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），即外接球的直径为SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立．如图，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0所成角为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则点SKIPIF1<0的轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的半圆弧，所以动点SKIPIF1<0的轨迹长为SKIPIF1<0．故选：C2．（2023·河北·统考模拟预测）已知正四棱锥（底面为正方形，且顶点在底面的射影为正方形的中心的棱锥为正四棱锥）P－ABCD的底面正方形边长为2，其内切球O的表面积为SKIPIF1<0，动点Q在正方形ABCD内运动，且满足SKIPIF1<0，则动点Q形成轨迹的周长为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】利用等体积法及几何关系求出关于动点Q的等式关系，根据相关几何意义即可求出动点Q形成轨迹的周长.【详解】设内切球O的半径为R，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．如图，连接AC与BD，设交点为F，取AD的中点E，连接PE，PF，EF．根据等体积法得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0．∴点Q在以点F为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆上，其周长为SKIPIF1<0．故选：C．3．（2023·山东淄博·统考三模）设A，B是半径为3的球体O表面上两定点，且SKIPIF1<0，球体O表面上动点P满足SKIPIF1<0，则点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】建立直角坐标系，根据SKIPIF1<0确定轨迹为圆，转化到空间得到轨迹为两球的交线，计算球心距SKIPIF1<0，对应圆的半径为SKIPIF1<0，再计算周长得到答案.【详解】以SKIPIF1<0所在的平面建立直角坐标系，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0的垂直平分线为SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，整理得到SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0轨迹是以SKIPIF1<0为圆心，半径SKIPIF1<0的圆，转化到空间中：当SKIPIF1<0绕SKIPIF1<0为轴旋转一周时，SKIPIF1<0不变，依然满足SKIPIF1<0，故空间中SKIPIF1<0的轨迹为以SKIPIF1<0为球心，半径为SKIPIF1<0的球，同时SKIPIF1<0在球SKIPIF1<0上，故SKIPIF1<0在两球的交线上，为圆.球心距为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为直角三角形，对应圆的半径为SKIPIF1<0，周长为SKIPIF1<0.故选：D4．（2023·全国·高三专题练习）在正方体SKIPIF1<0中，E为SKIPIF1<0的中点，F为底面ABCD上一动点，且EF与底面ABCD所成的角为SKIPIF1<0．若该正方体外接球的表面积为SKIPIF1<0，则动点F的轨迹长度为（

）．A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】取AD的中点H，连接EH，判断出SKIPIF1<0为EF与底面ABCD所成的角，即SKIPIF1<0．设正方体的棱长为a，利用外接球的表面积求出SKIPIF1<0.判断出F的轨迹为以H为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，利用弧长公式求出动点F的轨迹的长度.【详解】如图1，取AD的中点H，连接EH，则SKIPIF1<0.在正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面ABCD，所以SKIPIF1<0底面ABCD.所以SKIPIF1<0为EF与底面ABCD所成的角，则SKIPIF1<0．设正方体的棱长为a，因为该正方体外接球的表面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，从而SKIPIF1<0，所以F的轨迹为以H为圆心，SKIPIF1<0为半径的圆在正方形ABCD区域内的部分，如图2．在图2中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，根据对称性可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故动点F的轨迹周长为SKIPIF1<0．故选：A5．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的底面△ABC为等腰直角三角形，其顶点P到底面ABC的距离为4，体积为SKIPIF1<0，若该三棱锥的外接球O的半径为SKIPIF1<0，则满足上述条件的顶点P的轨迹长度为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】利用三棱锥SKIPIF1<0的体积，求解底边边长，求出SKIPIF1<0的外接圆半径，以及球心SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离，判断顶点SKIPIF1<0的轨迹是一个截面圆的圆周，进而求解周长即可．【详解】依题意得，设底面等腰直角三角形SKIPIF1<0的直角边长为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0解得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0的外接圆半径为SKIPIF1<0SKIPIF1<0球心SKIPIF1<0到底面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0顶点P到底面ABC的距离为4，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0的轨迹是一个截面圆的圆周当球心在底面SKIPIF1<0和截面圆之间时，球心SKIPIF1<0到该截面圆的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0截面圆的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点P的轨迹长度为SKIPIF1<0；当球心在底面SKIPIF1<0和截面圆同一侧时，球心SKIPIF1<0到该截面圆的距离为SKIPIF1<0，故不成立．综上所述，顶点P的轨迹的总长度为SKIPIF1<0．故选：D．6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考期中）在正四面体SKIPIF1<0中，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0所在平面上的动点，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角为定值SKIPIF1<0，则动点SKIPIF1<0的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线【答案】B【分析】把条件转化为SKIPIF1<0与圆锥的轴重合，面SKIPIF1<0与圆锥的相交轨迹即为点SKIPIF1<0的轨迹后即可求解.【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令SKIPIF1<0与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与SKIPIF1<0所成角为定值，所以面SKIPIF1<0与圆锥的相交轨迹即