全国统考高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第2讲三角恒等变换1备考试题文含解析

一轮复习精品资料(高中)PAGEPAGE1第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换练好题·考点自测1.下列说法错误的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+βD.存在实数α,使tan2α=2tanα2.〖2020全国卷Ⅲ,9,5分〗已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.23.〖2021大同市调研测试〗已知tanα2=3,则sinα1A.3 B.13 C.-3 D.4.〖2019全国卷Ⅱ,11,5分〗〖文〗已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15 B.5C.33 D.5.〖2020全国卷Ⅱ,13,5分〗〖文〗若sinx=-23,则cos2x=6.tan67.5°-tan22.5°=.

7.〖2019江苏,13,5分〗已知tanαtan(α+π4)=拓展变式1.〖2020全国卷Ⅲ,5,5分〗〖文〗已知sinθ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)=(A.12 B.33 C.232.1+cos20°2sin20°-sin10°(13.已知α∈(0,π),化简:(1+sinα+cos4.〖2021陕西省部分学校摸底检测〗数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则m4-A.4 B.5+1 C.2 D.5-5.〖2021云南省部分学校统一检测〗已知α为锐角,cosα=35,则tan(π4+α2A.13 B.126.(1)已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2β1-A.α+β=π2 B.α-β=π4 C.α+β=π4 D.α+2(2)已知α,β为锐角,且(1-3tanα)·(1-3tanβ)=4,则α+β=7.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,则tanθ答案第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换1.C对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C2.D由已知得2tanθ-tanθ+113.B因为tanα2=3,所以sinα4.B因为2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因为α∈(0,π2),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15,所以sinα=555.19因为sinx=-23,所以由二倍角公式,得cos2x=1-2sin2x=1-2×(-236.2由tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)得tan67.5°-tan22.5°=tan45°(1+tan67.5°tan22.5°)=tan45°(1+tan67.5°·1tan67.7.210tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tanα=2或tanα=-13.当tanα=2时,sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=451.B∵sinθ+sin(θ+π3)=32sinθ+32cosθ=3sin(θ+π6)=1,∴sin(θ+π2.32原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°·(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin10°·3.cosα原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos24.C∵m=5-12=2sin18°,∴5.D解法一因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,tanα2=sinα1+cosα解法二因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,所以tanα=2tanα21-tan2α26.(1)B解法一已知等式可化为sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sinα(1-sin2β)=cosαcos2β,整理得cosαcos2β+sinαsin2β=sinα,即cos(α-2β)=sinα.因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α-2β∈(-π,π2).又cos(α-2β)=sinα>0,所以α-2β∈(-π2,π2).又cos(α-2β)=sin〖(α-2β)+π2〗,且α-2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),所以α-2β+π2=α或α-2β+π2=π-α.当α-2β+π2=α时,解法二tanα=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ=(cosβ+sinβ(2)2π3将(1-3tanα)(1-3tanβ)=4展开,得-3(tanα+tanβ)=3(1-tanα·tanβ),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)=-3,由于7.-3解法一将sinθ+cosθ=3-12两边同时平方,得1+2sinθcosθ=1-32,即sinθcosθ=故sinθcosθ=sinθcosθ解得tanθ=-3或tanθ=-∵θ∈(0,π),sinθcosθ=-34<0,∴θ∈(π2,π).由sinθ+cosθ=3-12>0可知sinθ>-cosθ,即|sinθ|>|cosθ|,故则tanθ<-1,∴tanθ=-3解法二由sinθ+cosθ=3-12①,得sinθcosθ又θ∈(0,π),∴sinθ>0,cosθ<0,∴sinθ-cosθ>0.又(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=1+32∴sinθ-cosθ=3+12联立①②,解得sinθ=32,〖易错警示〗本题易错的地方是忽略对隐含条件“|sinθ|>|cosθ|”的挖掘,从而得到错误〖答案〗:tanθ=-3或tanθ=-第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换练好题·考点自测1.下列说法错误的是()A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的B.存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立C.公式tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ可以变形为tanα+tanβ=tan(α+βD.存在实数α,使tan2α=2tanα2.〖2020全国卷Ⅲ,9,5分〗已知2tanθ-tan(θ+π4)=7,则tanθ=()A.-2 B.-1 C.1 D.23.〖2021大同市调研测试〗已知tanα2=3,则sinα1A.3 B.13 C.-3 D.4.〖2019全国卷Ⅱ,11,5分〗〖文〗已知α∈(0,π2),2sin2α=cos2α+1,则sinα=()A.15 B.5C.33 D.5.〖2020全国卷Ⅱ,13,5分〗〖文〗若sinx=-23,则cos2x=6.tan67.5°-tan22.5°=.

7.〖2019江苏,13,5分〗已知tanαtan(α+π4)=拓展变式1.〖2020全国卷Ⅲ,5,5分〗〖文〗已知sinθ+sin(θ+π3)=1,则sin(θ+π6)=(A.12 B.33 C.232.1+cos20°2sin20°-sin10°(13.已知α∈(0,π),化简:(1+sinα+cos4.〖2021陕西省部分学校摸底检测〗数学家华罗庚倡导的“0.618优选法”在各领域都应用广泛,0.618就是黄金分割比m=5-12的近似值,黄金分割比还可以表示成2sin18°,则m4-A.4 B.5+1 C.2 D.5-5.〖2021云南省部分学校统一检测〗已知α为锐角,cosα=35,则tan(π4+α2A.13 B.126.(1)已知α∈(0,π2),β∈(0,π2),tanα=cos2β1-A.α+β=π2 B.α-β=π4 C.α+β=π4 D.α+2(2)已知α,β为锐角,且(1-3tanα)·(1-3tanβ)=4,则α+β=7.已知θ∈(0,π),sinθ+cosθ=3-12,则tanθ答案第四章三角函数、解三角形第二讲三角恒等变换1.C对于C,只有当α,β,α+β都不等于kπ+π2(k∈Z)时,公式才成立,故C错误,选C2.D由已知得2tanθ-tanθ+113.B因为tanα2=3,所以sinα4.B因为2sin2α=cos2α+1,所以4sinαcosα=2cos2α.因为α∈(0,π2),所以cosα>0,sinα>0,所以2sinα=cosα,所以4sin2α=cos2α.又sin2α+cos2α=1,所以sin2α+4sin2α=1,即sin2α=15,所以sinα=555.19因为sinx=-23,所以由二倍角公式,得cos2x=1-2sin2x=1-2×(-236.2由tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ)得tan67.5°-tan22.5°=tan45°(1+tan67.5°tan22.5°)=tan45°(1+tan67.5°·1tan67.7.210tanαtanα+11-tanα=tanα(1-tanα)tanα+1=-23,解得tanα=2或tanα=-13.当tanα=2时,sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanαtan2α+1=451.B∵sinθ+sin(θ+π3)=32sinθ+32cosθ=3sin(θ+π6)=1,∴sin(θ+π2.32原式=2cos210°2×2sin10°cos10°-sin10°·(cos5°sin5°-sin5°cos5°)=cos10°2sin10°-sin10°·3.cosα原式=(2cos2α2+2sinα2cosα2)·(cosα2-sinα2)4cos24.C∵m=5-12=2sin18°,∴5.D解法一因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,tanα2=sinα1+cosα解法二因为α为锐角,且cosα=35,所以sinα=45,所以tanα=2tanα21-tan2α26.(1)B解法一已知等式可化为sinαcosα=cos2β1-sin2β,即sinα(1-sin2β)=cosαcos2β,整理得cosαcos2β+sinαsin2β=sinα,即cos(α-2β)=sinα.因为α∈(0,π2),β∈(0,π2),所以α-2β∈(-π,π2).又cos(α-2β)=sinα>0,所以α-2β∈(-π2,π2).又cos(α-2β)=sin〖(α-2β)+π2〗,且α-2β+π2∈(0,π),α∈(0,π2),所以α-2β+π2=α或α-2β+π2=π-α.当α-2β+π2=α时,解法二tanα=cos2β1-sin2β=cos2β-sin2βcos2β+sin2β-2sinβcosβ=(cosβ+sinβ(2)2π3将(1-3tanα)(1-3tanβ)=4展开,得-3(tanα+tanβ)=3(1-tanα·tanβ),即tanα+tanβ1-tanαtanβ=tan(α+β)=-3,由于7.-3解法一将sinθ+cosθ=3-12两边同时平方,得1+2sinθcosθ=1-32,即sinθcosθ=故sinθcosθ=sinθcosθ解得tanθ=-3或tanθ=-∵θ∈(0,π),sinθcosθ=-34<0,∴θ∈(π2,π).由sinθ+cosθ=3-1