高中数学一轮复习课时作业梯级练四十五直线平面垂直的判定及其性质课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·红河州模拟)设m，n是空间中不同的两条直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若α⊥β，m⊥β，则m∥αC．若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β〖解析〗选D.对于A，由m∥α，n∥β，α∥β，可得m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，由α⊥β，m⊥β，可得m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，由m⊥n，m⊥α，α∥β，可得n∥β或n⊂β，故C错误；对于D，由α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，得m⊥β，故D正确.2.在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列结论正确的是 ()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心〖解析〗选A.由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.3.设α为平面,m,n为两条直线,若m⊥α,则“m⊥n”是“n⊂α”的 ()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖解析〗选C.当m⊥α时,如果m⊥n,不一定能推出n⊂α,因为直线n可以在平面α外,当m⊥α时,如果n⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m⊥n,所以若m⊥α,则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件.4．如图，在正四面体P­ABC中D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC〖解析〗选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A不符合题意；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE.因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均不符合题意．5．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，若P为底面△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．eq\f(5π,12)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)〖解析〗选B.如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的体积为eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，即∠PAO＝eq\f(π,3).二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2019·北京高考)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.

〖解析〗选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有①②⇒③为假命题,其余两个为真命题.〖答案〗:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α)7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.〖解析〗由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2〖答案〗a或28．(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________.〖解析〗作PD，PE分别垂直于AC，BC于点D，E，PO⊥平面ABC，连接OD，CO，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD，因为PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2.所以sin∠PCE＝sin∠PCD＝eq\f(\r(3),2)，所以∠PCB＝∠PCA＝60°，所以PO⊥CO，CO为∠ACB的平分线，所以∠OCD＝45°，所以OD＝CD＝1，OC＝eq\r(2)，又PC＝2，所以PO＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).〖答案〗eq\r(2)〖加练备选·拔高〗如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为〖解析〗设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥由已知可得A1B1=QUOTE,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=QUOTEh.又2×QUOTE=hQUOTE,所以h=QUOTE,DE=QUOTE.在Rt△DB1E中,B1E=QUOTE=QUOTE.在Rt△DB1F中,由面积相等得QUOTE×QUOTE=QUOTEx,解得x=QUOTE.即线段B1F的长为QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥DC,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=QUOTEAB,PH为△PAD中AD边上的高.求证:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.〖证明〗(1)因为AB⊥平面PAD,AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.因为平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,所以PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点M,连接MD,ME.因为E是PB的中点,所以MEQUOTEAB.又因为DFQUOTEAB,所以MEDF,所以四边形MEFD是平行四边形,所以EF∥MD.因为PD=AD,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.10．(2021·哈尔滨模拟)如图，在四棱台A1B1C1D1­ABCD中，O1，O分别为上、下底面对角线的交点，OO1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°(1)证明：AC⊥平面BB1D1D；(2)若∠O1BO＝30°，求三棱锥D­B1BC的体积．〖解析〗(1)因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为OO1⊥平面ABCD，所以AC⊥O1O，因为BD∩O1O＝O，所以AC⊥平面BB1D1D.(2)连接B1C，B1D，因为底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC＝60°所以OB＝eq\r(3)，OC＝1.在Rt△O1OB中，OB＝eq\r(3)，由tan30°＝eq\f(OO1,\r(3))得OO1＝1，又因为B1O1∥平面BCD，所以B1到平面BCD的距离等于O1到平面BCD的距离．又S△BCD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，所以VD­B1BC＝VB1­BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·OO1＝eq\f(\r(3),3).1．(2021·北海模拟)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1AA．eq\f(\r(130),13)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(39),13)〖解析〗选D.取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，而平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，所以C1E⊥平面取BE的中点F，连接AF，DF.因为D为BC1的中点，所以DF∥C1E，所以DF⊥平面ABB1A1，即点D在平面ABB1A1上的投影为点F，所以∠DAF，即为直线AD与侧面ABB1在Rt△AFD中，DF＝eq\f(1,2)C1E＝eq\f(\r(3),4)a，AF＝eq\r(（\f(3,4)a）2＋（\f(1,2)b）2)＝eq\f(\r(9a2＋4b2),4)，所以tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(\r(3)a,\r(9a2＋4b2))＝eq\r(\f(1,3＋\f(4b2,3a2)))≥eq\r(\f(1,3＋\f(4,3)))＝eq\f(\r(39),13)，当且仅当a＝b时，等号成立．所以直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为eq\f(\r(39),13).2．如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为()〖解析〗选A.取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC，AB的中点F，G，连接DF，DG，FG，由PD＝DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，所以DG⊥PC，DF∩DG＝D，所以PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此，线段DG上的点满足MP＝MC.3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是〖解析〗如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥〖答案〗①③4.(10分)(2021·丽江模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E,求证:(1)DE∥平面AA1C(2)BC1⊥AB1.〖证明〗(1)由题意,知E为B1C又D为AB1的中点,所以DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂所以DE∥平面AA1C(2)因为棱柱ABC-A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1.又因为BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥AC.因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,所以BC1⊥B1C因为AC⊂平面B1AC,B1C⊂平面B1AC,AC∩所以BC1⊥平面B1AC又因为AB1⊂平面B1AC,所以BC1⊥AB15.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BD⊥平面AB1C,其垂足D落在直线B1C上.(1)求证:AC⊥B1C(2)若P是线段AB上一点,BD=QUOTE,BC=AC=2,三棱锥B1-PAC的体积为QUOTE,求QUOTE的值.〖解析〗(1)因为ABC-A1B1C1所以AC⊥BB1,又BD⊥平面AB1C,AC⊂平面AB1所以AC⊥BD,又因为BD∩BB1=B,BD⊂平面BB1C1C,BB1⊂所以AC⊥平面BB1C1C,因为B1C所以AC⊥B1C(2)由(1)知AC⊥平面BB1C所以AC⊥BC,因为BC=AC=2,所以AB=2QUOTE,C到AB的距离为QUOTE,设AP=x,则S△PAC=QUOTE·x·QUOTE=QUOTEx,因为BD⊥B1C,BC=2,BD=QUOTE,所以DC=QUOTE=1,由B1B⊥BC,得BC2=CD·CB1,CB1=QUOTE=4,所以BB1=QUOTE=2QUOTE,所以QUOTE=QUOTE·QUOTEx·2QUOTE=QUOTE,所以x=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE.〖加练备选·拔高〗(2021·淮北模拟)如图所示的几何体B-ACDE中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,点M在线段BC上,且AM=QUOTE.(1)证明:AM⊥平面BCD;(2)若点F为线段BE的中点,且三棱锥F-BCD的体积为2,求CD的长度.〖解析〗(1)因为DC⊥平面ABC,AM⊂平面ABC,所以AM⊥DC,因为在△ABC中,AB⊥AC,AB=4,AC=3,所以BC=5,由cos∠ACM=QUOTE=QUOTE,得QUOTE=QUOTE,解得CM=QUOTE,所以AM2+CM2=AC2,则AM⊥CM,即AM⊥BC,因为BC∩DC=C,BC⊂平面BCD,CD⊂平面BCD,所以AM⊥平面BCD.(2)取AB的中点N,BM的中点P,连接FN,PN,所以PN∥AM,PN=QUOTEAM=QUOTE,因为点F为线段BE的中点,所以FN∥EA.因为DC⊥平面ABC,EA⊥平面ABC,所以DC∥EA,FN∥DC,又因为FN⊄平面BCD,DC⊂平面BCD,所以FN∥平面BCD,所以点F到平面BCD的距离等于点N到平面BCD的距离,因为AM⊥平面BCD,PN∥AM,所以PN⊥平面BCD.设CD=a,则V三棱锥F-BCD=QUOTES△BCD·PN=QUOTE×QUOTE×5a×QUOTE=2,所以a=2,即CD长为2.课时作业梯级练四十五直线、平面垂直的判定及其性质一、选择题(每小题5分，共25分)1．(2021·红河州模拟)设m，n是空间中不同的两条直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若α⊥β，m⊥β，则m∥αC．若m⊥n，m⊥α，α∥β，则n∥βD．若α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，则m⊥β〖解析〗选D.对于A，由m∥α，n∥β，α∥β，可得m∥n或m与n相交或m与n异面，故A错误；对于B，由α⊥β，m⊥β，可得m∥α或m⊂α，故B错误；对于C，由m⊥n，m⊥α，α∥β，可得n∥β或n⊂β，故C错误；对于D，由α⊥β，α∩β＝l，m∥α，m⊥l，得m⊥β，故D正确.2.在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在△AEF内的射影为O,则下列结论正确的是 ()A.O是△AEF的垂心 B.O是△AEF的内心C.O是△AEF的外心 D.O是△AEF的重心〖解析〗选A.由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA⊥平面PEF,从而PA⊥EF,而PO⊥平面AEF,则PO⊥EF,因为PO∩PA=P,所以EF⊥平面PAO,所以EF⊥AO,同理可知AE⊥FO,AF⊥EO,所以O为△AEF的垂心.3.设α为平面,m,n为两条直线,若m⊥α,则“m⊥n”是“n⊂α”的 ()A.充分必要条件 B.充分不必要条件C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件〖解析〗选C.当m⊥α时,如果m⊥n,不一定能推出n⊂α,因为直线n可以在平面α外,当m⊥α时,如果n⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m⊥n,所以若m⊥α,则“m⊥n”是“n⊂α”的必要不充分条件.4．如图，在正四面体P­ABC中D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面PAED．平面PDE⊥平面ABC〖解析〗选D.因为BC∥DF，DF⊂平面PDF，BC⊄平面PDF，所以BC∥平面PDF，故选项A不符合题意；在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，AE∩PE＝E，且AE，PE⊂平面PAE，所以BC⊥平面PAE.因为DF∥BC，所以DF⊥平面PAE，又DF⊂平面PDF，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均不符合题意．5．已知三棱柱ABC­A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为eq\f(9,4)，底面是边长为eq\r(3)的正三角形，若P为底面△A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为()A．eq\f(5π,12)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)〖解析〗选B.如图，取正三角形ABC的中心O，连接OP，则∠PAO是PA与平面ABC所成的角．因为底面边长为eq\r(3)，所以AD＝eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3,2)，AO＝eq\f(2,3)AD＝eq\f(2,3)×eq\f(3,2)＝1.三棱柱的体积为eq\f(1,2)×(eq\r(3))2×eq\f(\r(3),2)AA1＝eq\f(9,4)，解得AA1＝eq\r(3)，即OP＝AA1＝eq\r(3)，所以tan∠PAO＝eq\f(OP,OA)＝eq\r(3)，即∠PAO＝eq\f(π,3).二、填空题(每小题5分，共15分)6.(2019·北京高考)已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:.

〖解析〗选两个论断作为条件,一个作为结论,一共能够组成3个命题,即①②⇒③,①③⇒②,②③⇒①,只有①②⇒③为假命题,其余两个为真命题.〖答案〗:若m∥α,l⊥α,则l⊥m(或若l⊥m,l⊥α,则m∥α)7．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.〖解析〗由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，又CF⊂平面ACC1A1，所以B1D⊥要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－由Rt△CAF∽Rt△FA1D，得eq\f(AC,A1F)＝eq\f(AF,A1D)，即eq\f(2a,3a－x)＝eq\f(x,a)，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2〖答案〗a或28．(2019·全国Ⅰ卷)已知∠ACB＝90°，P为平面ABC外一点，PC＝2，点P到∠ACB两边AC，BC的距离均为eq\r(3)，那么P到平面ABC的距离为________.〖解析〗作PD，PE分别垂直于AC，BC于点D，E，PO⊥平面ABC，连接OD，CO，知CD⊥PD，CD⊥PO，PD∩PO＝P，所以CD⊥平面PDO，OD⊂平面PDO，所以CD⊥OD，因为PD＝PE＝eq\r(3)，PC＝2.所以sin∠PCE＝sin∠PCD＝eq\f(\r(3),2)，所以∠PCB＝∠PCA＝60°，所以PO⊥CO，CO为∠ACB的平分线，所以∠OCD＝45°，所以OD＝CD＝1，OC＝eq\r(2)，又PC＝2，所以PO＝eq\r(4－2)＝eq\r(2).〖答案〗eq\r(2)〖加练备选·拔高〗如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为〖解析〗设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF⊂平面C1DF,所以AB1⊥由已知可得A1B1=QUOTE,设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=QUOTEh.又2×QUOTE=hQUOTE,所以h=QUOTE,DE=QUOTE.在Rt△DB1E中,B1E=QUOTE=QUOTE.在Rt△DB1F中,由面积相等得QUOTE×QUOTE=QUOTEx,解得x=QUOTE.即线段B1F的长为QUOTE.〖答案〗:QUOTE三、解答题(每小题10分，共20分)9.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,AB⊥平面PAD,AB∥DC,PD=AD,E是PB的中点,F是DC上的点且DF=QUOTEAB,PH为△PAD中AD边上的高.求证:(1)PH⊥平面ABCD;(2)EF⊥平面PAB.〖证明〗(1)因为AB⊥平面PAD,AB⊂平面ABCD,所以平面PAD⊥平面ABCD.因为平面PAD∩平面ABCD=AD,PH⊥AD,所以PH⊥平面ABCD.(2)取PA的中点M,连接MD,ME.因为E是PB的中点,所以MEQUOTEAB.又因为DFQUOTEAB,所以MEDF,所以四边形MEFD是平行四边形,所以EF∥MD.因为PD=AD,所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD,所以MD⊥AB.因为PA∩AB=A,所以MD⊥平面PAB,所以EF⊥平面PAB.10．(2021·哈尔滨模拟)如图，在四棱台A1B1C1D1­ABCD中，O1，O分别为上、下底面对角线的交点，OO1⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的菱形，且∠ABC＝60°(1)证明：AC⊥平面BB1D1D；(2)若∠O1BO＝30°，求三棱锥D­B1BC的体积．〖解析〗(1)因为底面ABCD是菱形，所以AC⊥BD，因为OO1⊥平面ABCD，所以AC⊥O1O，因为BD∩O1O＝O，所以AC⊥平面BB1D1D.(2)连接B1C，B1D，因为底面ABCD是边长为2的菱形且∠ABC＝60°所以OB＝eq\r(3)，OC＝1.在Rt△O1OB中，OB＝eq\r(3)，由tan30°＝eq\f(OO1,\r(3))得OO1＝1，又因为B1O1∥平面BCD，所以B1到平面BCD的距离等于O1到平面BCD的距离．又S△BCD＝eq\f(1,2)×2eq\r(3)×1＝eq\r(3)，所以VD­B1BC＝VB1­BCD＝eq\f(1,3)S△BCD·OO1＝eq\f(\r(3),3).1．(2021·北海模拟)如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，底面边长为a，侧棱长为b，且a≥b，点D是BC1的中点，则直线AD与侧面ABB1AA．eq\f(\r(130),13)B．eq\f(\r(6),3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(\r(39),13)〖解析〗选D.取A1B1的中点E，连接BE，C1E，则C1E⊥A1B1.由正三棱柱的性质可知，平面A1B1C1⊥平面ABB1A1，而平面A1B1C1∩平面ABB1A1＝A1B1，所以C1E⊥平面取BE的中点F，连接AF，DF.因为D为BC1的中点，所以DF∥C1E，所以DF⊥平面ABB1A1，即点D在平面ABB1A1上的投影为点F，所以∠DAF，即为直线AD与侧面ABB1在Rt△AFD中，DF＝eq\f(1,2)C1E＝eq\f(\r(3),4)a，AF＝eq\r(（\f(3,4)a）2＋（\f(1,2)b）2)＝eq\f(\r(9a2＋4b2),4)，所以tan∠DAF＝eq\f(DF,AF)＝eq\f(\r(3)a,\r(9a2＋4b2))＝eq\r(\f(1,3＋\f(4b2,3a2)))≥eq\r(\f(1,3＋\f(4,3)))＝eq\f(\r(39),13)，当且仅当a＝b时，等号成立．所以直线AD与侧面ABB1A1所成角的正切值的最小值为eq\f(\r(39),13).2．如图，正三角形PAD所在平面与正方形ABCD所在平面互相垂直，O为正方形ABCD的中心，M为正方形ABCD内一点，且满足MP＝MC，则点M的轨迹为()〖解析〗选A.取AD的中点E，连接PE，PC，CE.由PE⊥AD知PE⊥平面ABCD，从而平面PEC⊥平面ABCD，取PC，AB的中点F，G，连接DF，DG，FG，由PD＝DC知DF⊥PC，由DG⊥EC知，DG⊥平面PEC，又PC⊂平面PEC，所以DG⊥PC，DF∩DG＝D，所以PC⊥平面DFG，又点F是PC的中点，因此，线段DG上的点满足MP＝MC.3．在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中正确命题的序号是〖解析〗如图所示，因为AA1∥平面α，平面α∩平面AA1B1B＝EH，所以AA1∥EH.同理AA1∥GF，所以EH∥GF，又因为ABC­A1B1C1是直三棱柱，易知EH＝GF＝AA1，所以四边形EFGH是平行四边形，故①正确；若平面α∥平面BCC1B1，由平面α∩平面A1B1C1＝GH，平面BCC1B1∩平面A1B1C1＝B1C1，知GH∥B1C1，而GH∥B1C1不一定成立，故②错误；由AA1⊥平面BCFE，结合AA1∥EH知EH⊥平面BCFE，又EH⊂平面α，所以平面α⊥〖答案〗①③4.(10分)(2021·丽江模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1.设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E,求证:(1)DE∥平面AA1C(2)BC1⊥AB1.〖证明〗(1)由题意,知E为B1C又D为AB1的中点,所以DE∥AC.又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂所以DE∥平面AA1C(2)因为棱柱ABC-A1B1C1所以CC1⊥平面ABC.因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1.又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1,BC∩CC1=