高中数学一轮复习课时作业梯级练三十一二元一次不等式组与简单的线性规划问题课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练三十一二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.设M为不等式QUOTE所表示的平面区域,则位于M内的点是 ()A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0)〖解析〗选C.当x=0,y=2时,x+y-1>0,不满足,排除A;当x=-2,y=0时x-y+1<0,不满足,排除B;当x=0,y=-2时,QUOTE满足,C正确;当x=2,y=0时,x+y-1>0,不满足,排除D.2.已知M,N是不等式组QUOTE所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.3QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.作出不等式组QUOTE表示的平面区域,得到如图的四边形ABCD,其中A(1,1),B(5,1),CQUOTE,D(1,2).因为M,N是区域内的两个不同的点,所以运动点M,N,可得当M,N分别与对角线BD的两个端点重合时,距离最远,因此|MN|的最大值是|BD|=QUOTE=QUOTE.3.已知实数x,y满足QUOTE则z=QUOTE的取值范围为 ()A.QUOTE B.(-∞,0〗∪QUOTEC.QUOTE D.(-∞,2〗∪QUOTE〖解析〗选B.z=QUOTE=2+QUOTE,设k=QUOTE,则k的几何意义为区域内的点到D(0,-2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由QUOTE解得QUOTE即A(3,2),则AD的斜率k=QUOTE=QUOTE,CD的斜率k=QUOTE=-2,则k的取值范围是k≥QUOTE或k≤-2,则k+2≥QUOTE或k+2≤0,即z≥QUOTE或z≤0.4.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为 ()甲乙每天原料的可用总量A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元〖解析〗选D.设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨,由已知可得QUOTE目标函数z=3x+4y,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界),可得目标函数在点P处取得最大值,由QUOTE得PQUOTE,则zmax=3×2+4×3=18(万元).5.记不等式组QUOTE的解集为D,∃(x,y)∈D,使2x+y≥a成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,3〗 B.(-∞,-5〗C.〖-5,3〗 D.〖3,+∞)〖解析〗选A.可行域如图所示,由QUOTE得A(2,-1),当z=2x+y过A(2,-1)时zmax=2×2-1=3,所以a≤3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点(3,1)和点(0,-1)在直线3x-ay+1=0的两侧,则实数a的取值范围是________.

〖解析〗将(3,1)和(0,-1)代入3x-ay+1中,则(3×3-a+1)(0+a+1)<0,即(a-10)(a+1)>0,解得a>10或a<-1.〖答案〗:a>10或a<-17.(2021·昆明模拟)若QUOTE且z=2x+4y取得最小值为-12,则k=________.

〖解析〗画出可行域,如图.将z=2x+4y变形为y=-QUOTEx+QUOTE,画出直线y=-QUOTEx+QUOTE,平移至点A时,纵截距最小,z最小,由QUOTE解得A(2,-4),x+y+k=0过点(2,-4),所以k=2.〖答案〗:28.(2021·北京模拟)某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为________%.

“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:1.同意画“○”,不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲乙丙〖解析〗不妨设共有选票100张,投1票的有x,2票的有y,3票的有z,则由题意可得:QUOTE,化简得:z-x=9,即z=x+9,投票有效率越高,z越小,则x=0,z=9,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为QUOTE×100%=91%.〖答案〗:911.(5分)设变量x,y满足约束条件QUOTE则目标函数z=x2+y2的取值范围为()A.〖2,8〗 B.〖4,13〗C.〖2,13〗 D.QUOTE〖解析〗选C.作出可行域,如图中阴影部分,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得zmin=|OA|2=QUOTE=2,zmax=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为〖2,13〗.2.(5分)太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中,阴影部分可表示为A=QUOTE,设点(x,y)∈A,则z=3x+4y的最大值与最小值之差为 ()A.19 B.18 C.-1 D.20〖解析〗选A.作出可行域,如图所示:因为y=-QUOTEx+QUOTE,越往上移,z越大,越往下移,z越小,所以,当直线l:z=3x+4y平移至与圆x2+y2=4相切时,z最小即有QUOTE=2,解得z=-10或z=10(舍去);所以,当直线l:z=3x+4y平移至与圆x2+(y-1)2=1相切时,z最大,即有QUOTE=1,解得z=9或z=-1(舍去),因此,z=3x+4y的最大值与最小值之差为9-(-10)=19.3.(5分)为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元 B.5.5万元C.6.5万元 D.10万元〖解析〗选B.设冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,由题意可知QUOTE总利润z=(0.5×1-0.2)x+(1.4×0.5-0.3)y=0.3x+0.4y,作出约束条件如图阴影部分(包括边界):联立QUOTE解得QUOTE,平移直线0.3x+0.4y=0,当过点A(5,10)时,种植总利润z取最大值为5.5万元.〖加练备选·拔高〗某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用为320元,乙型车每天费用为504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为________元.

〖解析〗设安排甲型车x辆,乙型车y辆,由题意有QUOTE即QUOTE目标函数z=320x+504y,作出不等式组QUOTE所表示的平面区域为四点(2.5,4),(8,4),(8,0),(7.5,0)围成的梯形及其内部,如图所示:包含的整点有(8,0),(7,1),(8,1),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(4,3),(5,3),(6,3),(7,3),(8,3),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(7,4),(8,4).作直线320x+504y=0并平移,分析可得当直线过点(8,0)时z最小,即zmin=8×320=2560(元).〖答案〗:25604.(5分)若x,y满足QUOTE且z=5y-x的最小值为-8,则k的值为________.

〖解析〗因为直线kx+y-4=0恒过定点(0,4),z=5y-x的最小值为-8,所以有k>0,因此不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(0,2),QUOTE和AQUOTE为顶点的四边形及其内部,如图所示,平移直线y=QUOTEx,当直线y=QUOTEx+QUOTEz在点AQUOTE处时,取得最小值-8,即-QUOTE=-8,k=QUOTE.〖答案〗:QUOTE5.(10分)设x,y满足约束条件QUOTE,若目标函数z=ax+byQUOTE的最大值为6,求QUOTE+QUOTE的最小值.〖解析〗由条件知x,y满足约束条件QUOTE,画出可行域,如图所示,目标函数z=ax+by(a>0,b>0),则y=-QUOTEx+QUOTE.由图可得当过点A(3,4)时z=ax+by的最大值为6,即3a+4b=6,则QUOTE+QUOTE=QUOTE·(3a+4b)QUOTE=QUOTE·QUOTE≥QUOTE×QUOTE=QUOTE,当且仅当QUOTE=QUOTE时等号成立,满足题意,所以QUOTE+QUOTE的最小值为QUOTE.〖加练备选·拔高〗设变量x,y满足线性约束条件QUOTE若z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,求实数a的值.〖解析〗作出不等式组所表示的可行域如图阴影部分(包括边界)所示,①若a>0,z=x+ay可化为y=-QUOTEx+QUOTEz,因为-QUOTE<0,QUOTE>0,所以只需y=-QUOTEx和直线x+y-2=0平行,此时目标函数y=-QUOTEx+QUOTEz取得最大值时的最优解不唯一,可得a=1;②若a<0,z=x+ay可化为y=-QUOTEx+QUOTEz,因为-QUOTE>0,QUOTE<0,所以只需y=-QUOTEx和直线x-2y+1=0平行,此时目标函数z=x+ay取得最大值时的最优解不唯一,可得a=-2;③若a=0,则z=x,此时z取得最大值的最优解只有一个,不符合题意.综上,a=1或a=-2.课时作业梯级练三十一二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题一、选择题(每小题5分,共25分)1.设M为不等式QUOTE所表示的平面区域,则位于M内的点是 ()A.(0,2) B.(-2,0) C.(0,-2) D.(2,0)〖解析〗选C.当x=0,y=2时,x+y-1>0,不满足,排除A;当x=-2,y=0时x-y+1<0,不满足,排除B;当x=0,y=-2时,QUOTE满足,C正确;当x=2,y=0时,x+y-1>0,不满足,排除D.2.已知M,N是不等式组QUOTE所表示的平面区域内的两个不同的点,则|MN|的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.3QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.作出不等式组QUOTE表示的平面区域,得到如图的四边形ABCD,其中A(1,1),B(5,1),CQUOTE,D(1,2).因为M,N是区域内的两个不同的点,所以运动点M,N,可得当M,N分别与对角线BD的两个端点重合时,距离最远,因此|MN|的最大值是|BD|=QUOTE=QUOTE.3.已知实数x,y满足QUOTE则z=QUOTE的取值范围为 ()A.QUOTE B.(-∞,0〗∪QUOTEC.QUOTE D.(-∞,2〗∪QUOTE〖解析〗选B.z=QUOTE=2+QUOTE,设k=QUOTE,则k的几何意义为区域内的点到D(0,-2)的斜率,作出不等式组对应的平面区域如图:由QUOTE解得QUOTE即A(3,2),则AD的斜率k=QUOTE=QUOTE,CD的斜率k=QUOTE=-2,则k的取值范围是k≥QUOTE或k≤-2,则k+2≥QUOTE或k+2≤0,即z≥QUOTE或z≤0.4.某企业生产甲、乙两种产品需用到A,B两种原料,已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用总量如表所示.若生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得的最大利润为 ()甲乙每天原料的可用总量A(吨)3212B(吨)128A.12万元 B.16万元 C.17万元 D.18万元〖解析〗选D.设每天甲、乙产品的产量分别为x吨、y吨,由已知可得QUOTE目标函数z=3x+4y,作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示(包含边界),可得目标函数在点P处取得最大值,由QUOTE得PQUOTE,则zmax=3×2+4×3=18(万元).5.记不等式组QUOTE的解集为D,∃(x,y)∈D,使2x+y≥a成立,则实数a的取值范围是 ()A.(-∞,3〗 B.(-∞,-5〗C.〖-5,3〗 D.〖3,+∞)〖解析〗选A.可行域如图所示,由QUOTE得A(2,-1),当z=2x+y过A(2,-1)时zmax=2×2-1=3,所以a≤3.二、填空题(每小题5分,共15分)6.已知点(3,1)和点(0,-1)在直线3x-ay+1=0的两侧,则实数a的取值范围是________.

〖解析〗将(3,1)和(0,-1)代入3x-ay+1中,则(3×3-a+1)(0+a+1)<0,即(a-10)(a+1)>0,解得a>10或a<-1.〖答案〗:a>10或a<-17.(2021·昆明模拟)若QUOTE且z=2x+4y取得最小值为-12,则k=________.

〖解析〗画出可行域,如图.将z=2x+4y变形为y=-QUOTEx+QUOTE,画出直线y=-QUOTEx+QUOTE,平移至点A时,纵截距最小,z最小,由QUOTE解得A(2,-4),x+y+k=0过点(2,-4),所以k=2.〖答案〗:28.(2021·北京模拟)某校开展“我身边的榜样”评选活动,现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票,投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为________%.

“我身边的榜样”评选选票候选人符号注:1.同意画“○”,不同意画“×”.2.每张选票“○”的个数不超过2时才为有效票.甲乙丙〖解析〗不妨设共有选票100张,投1票的有x,2票的有y,3票的有z,则由题意可得:QUOTE,化简得:z-x=9,即z=x+9,投票有效率越高,z越小,则x=0,z=9,故本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最高可能为QUOTE×100%=91%.〖答案〗:911.(5分)设变量x,y满足约束条件QUOTE则目标函数z=x2+y2的取值范围为()A.〖2,8〗 B.〖4,13〗C.〖2,13〗 D.QUOTE〖解析〗选C.作出可行域,如图中阴影部分,将目标函数看作是可行域内的点到原点的距离的平方,从而可得zmin=|OA|2=QUOTE=2,zmax=|OB|2=32+22=13.故z的取值范围为〖2,13〗.2.(5分)太极图被称为“中华第一图”.从孔庙大成殿梁柱,到楼观台、三茅宫标记物;从道袍、卦摊、中医、气功、武术到韩国国旗……,太极图无不跃居其上.这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为“阴阳鱼太极图”.在某个太极图案中,阴影部分可表示为A=QUOTE,设点(x,y)∈A,则z=3x+4y的最大值与最小值之差为 ()A.19 B.18 C.-1 D.20〖解析〗选A.作出可行域,如图所示:因为y=-QUOTEx+QUOTE,越往上移,z越大,越往下移,z越小,所以,当直线l:z=3x+4y平移至与圆x2+y2=4相切时,z最小即有QUOTE=2,解得z=-10或z=10(舍去);所以,当直线l:z=3x+4y平移至与圆x2+(y-1)2=1相切时,z最大,即有QUOTE=1,解得z=9或z=-1(舍去),因此,z=3x+4y的最大值与最小值之差为9-(-10)=19.3.(5分)为彻底打赢脱贫攻坚战,2020年春,某市政府投入资金帮扶某农户种植蔬菜大棚脱贫致富,若该农户计划种植冬瓜和茄子,总面积不超过15亩,帮扶资金不超过4万元,冬瓜每亩产量10000斤,成本2000元,每斤售价0.5元,茄子每亩产量5000斤,成本3000元,每斤售价1.4元,则该农户种植冬瓜和茄子利润的最大值为()A.4万元 B.5.5万元C.6.5万元 D.10万元〖解析〗选B.设冬瓜和茄子的种植面积分别为x,y亩,种植总利润为z万元,由题意可知QUOTE总利润z=(0.5×1-0.2)x+(1.4×0.5-0.3)y=0.3x+0.4y,作出约束条件如图阴影部分(包括边界):联立QUOTE解得QUOTE,平移直线0.3x+0.4y=0,当过点A(5,10)时,种植总利润z取最大值为5.5万元.〖加练备选·拔高〗某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用为320元,乙型车每天费用为504元.若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆运送这批水果的费用最少为________元.

〖解析〗设安排甲型车x辆,乙型车y辆,由题意有QUOTE即QUOTE目标函数z=320x+504y,作出不等式组QUOTE所表示的平面区域为四点(2.5,4),(8,4),(8,0),(7.5,0)围成的梯形及其内部,如图所示:包含的整点有(8,0),(7,1),(8,1),(5,2),(6,2),(7,2),(8,2),(4,3),(5,3),(6,3),(7,3),(8,3),(3,4),(4,4),(5,4),(6,4),(7,4),(8,4).作直线320x+504y=0并平移,分析可得当直线过点(8,0)时z最小,即zmin=8×320=2560(元).〖答案〗:25604.(5分)若x,y满足QUOTE且z=5y-x的最小值为-8,则k的值为________.

〖解析〗因为直线kx+y-4=0恒过定点(0,4),z=5y-x的最小值为-8,所以有k>0,因此不等式组对应的平面区域是以点(0,0),(