高中数学一轮复习课时作业梯级练二十八平面向量的基本定理及坐标表示课时作业理含解析新人教A版

一轮复习精品资料(高中)PAGE1-课时作业梯级练二十八平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图，设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④〖解析〗选B.①中，不共线；③中，不共线．②④中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.因为在▱ABCD中,有=+,=QUOTE,所以=QUOTE(+)=QUOTE(-1,12)=QUOTE.3．已知直角坐标系中点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，则点C的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11，8)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))〖解析〗选C.因为向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－7))，又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))，所以点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6)).4．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，若a－2b＋3c＝0，则c＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))〖解析〗选D.因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b)).因为a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8，－6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13，4)).所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).5．已知向量a＝(3，4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)〖解析〗选A.由a∥b可得到4sinα－3cosα＝0⇒tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).6.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ()A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0) D.(0,2)〖解析〗选D.因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则QUOTE解得QUOTE7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量＝()A.a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(2,3)b〖解析〗选C.连接BD，DC，设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，根据圆的性质BD＝CD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，＝AB→＋＝a＋eq\f(1,2)b.二、填空题(每小题5分，共10分)8．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))与b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共线且方向相同，则n＝________．〖解析〗因为向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))与b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共线，所以n2＝4；由两者方向相同可得n＝2.〖答案〗29.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是.

〖解析〗因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).〖答案〗:(-∞,2)∪(2,+∞)1．在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝()A．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bB．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b〖解析〗选A.因为G为△ABC的重心，所以＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以＝＋＝－b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.2.(5分)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为 ()A.QUOTE B.3 C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤QUOTE=QUOTE,当且仅当λ=μ=QUOTE时取等号,此时=QUOTE+QUOTE,所以D是线段BC的中点,所以||=QUOTE||=QUOTE.故选C.3.(5分)(2021·乐山模拟)如图,原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,||=2,||=1,||=3,若=λ+μ,则QUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.由题可得A(2,0),BQUOTE,CQUOTE.因为=λ+μ,所以由向量相等的坐标表示可得QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE.4．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2．(1)求点M在第二或第三象限的充要条件．(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．〖解析〗(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).点M在第二或第三象限⇔eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4t2＜0，,2t1＋4t2≠0，))解得t2＜0且t1＋2t2≠0.故所求的充要条件为t2＜0且t1＋2t2≠0.(2)当t1＝1时，由(1)知＝(4t2，4t2＋2).因为＝－＝(4，4)，＝－＝(4t2，4t2)＝t2(4，4)＝t2，所以A，B，M三点共线.5．已知向量a＝(sinθ，cosθ－2sinθ)，b＝(1，2).(1)若a∥b，求eq\f(sinθ·cosθ,1＋3cos2θ)的值；(2)若eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))，0＜θ＜π，求θ的值．〖解析〗(1)因为a∥b，所以2sinθ＝cosθ－2sinθ，于是4sinθ＝cosθ，当cosθ＝0时，sinθ＝0，与sin2θ＋cos2θ＝1矛盾，所以cosθ≠0，故tanθ＝eq\f(1,4)，所以eq\f(sinθ·cosθ,1＋3cos2θ)＝eq\f(sinθ·cosθ,sin2θ＋4cos2θ)＝eq\f(tanθ,tan2θ＋4)＝eq\f(4,65).(2)由eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(b))知，sin2θ＋(cosθ－2sinθ)2＝5，即1－4sinθcosθ＋4sin2θ＝5，从而－2sin2θ＋2(1－cos2θ)＝4，即sin2θ＋cos2θ＝－1，于是sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2θ＋\f(π,4)))＝－eq\f(\r(2),2)，又由0＜θ＜π知，eq\f(π,4)＜2θ＋eq\f(π,4)＜eq\f(9π,4)，所以2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(5π,4)或2θ＋eq\f(π,4)＝eq\f(7π,4)，因此θ＝eq\f(π,2)或θ＝eq\f(3π,4).课时作业梯级练二十八平面向量的基本定理及坐标表示一、选择题(每小题5分，共35分)1．如图，设O是平行四边形ABCD两条对角线的交点，给出下列向量组：①与；②与；③与；④与．其中可作为该平面内其他向量的基底的是()A．①②B．①③C．①④D．③④〖解析〗选B.①中，不共线；③中，不共线．②④中的两向量共线，因为平面内两个不共线的非零向量构成一组基底，所以选B.2.在▱ABCD中,=(2,8),=(-3,4),对角线AC与BD相交于点M,则= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选B.因为在▱ABCD中,有=+,=QUOTE,所以=QUOTE(+)=QUOTE(-1,12)=QUOTE.3．已知直角坐标系中点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，则点C的坐标为()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(11，8)) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，2))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，0))〖解析〗选C.因为向量＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－7，－4))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－7))，又Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1))，所以＝＋＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6))，所以点C的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－11，－6)).4．已知a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－3))，若a－2b＋3c＝0，则c＝()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(8,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(8,3)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(13,3)，\f(4,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3)))〖解析〗选D.因为a－2b＋3c＝0，所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b)).因为a－2b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，－2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－8，－6))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(13，4)).所以c＝－eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－2b))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(13,3)，－\f(4,3))).5．已知向量a＝(3，4)，b＝(sinα，cosα)，且a∥b，则tanα＝()A．eq\f(3,4)B．－eq\f(3,4)C．eq\f(4,3)D．－eq\f(4,3)〖解析〗选A.由a∥b可得到4sinα－3cosα＝0⇒tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(3,4).6.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标.现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为 ()A.(2,0) B.(0,-2)C.(-2,0) D.(0,2)〖解析〗选D.因为a在基底p,q下的坐标为(-2,2),所以a=-2p+2q=(2,4).令a=xm+yn=(-x+y,x+2y),则QUOTE解得QUOTE7．如图Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，设＝a，＝b，则向量＝()A.a＋b B．eq\f(1,2)a＋bC．a＋eq\f(1,2)b D．a＋eq\f(2,3)b〖解析〗选C.连接BD，DC，设圆的半径为r，在Rt△ABC中，∠ABC＝eq\f(π,2)，AC＝2AB，所以∠BAC＝eq\f(π,3)，∠ACB＝eq\f(π,6)，∠BAC平分线交△ABC的外接圆于点D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝eq\f(π,6)，根据圆的性质BD＝CD＝AB，又因为在Rt△ABC中，AB＝eq\f(1,2)AC＝r＝OD，所以四边形ABDO为菱形，＝AB→＋＝a＋eq\f(1,2)b.二、填空题(每小题5分，共10分)8．若向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))与b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共线且方向相同，则n＝________．〖解析〗因为向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n，1))与b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，n))共线，所以n2＝4；由两者方向相同可得n＝2.〖答案〗29.已知平面直角坐标系内的两个向量a=(1,2),b=(m,3m-2),且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),则m的取值范围是.

〖解析〗因为平面内的任一向量c都可以唯一地表示成c=λa+μb(λ,μ为实数),所以a,b一定不共线,所以3m-2-2m≠0,解得m≠2,所以m的取值范围是(-∞,2)∪(2,+∞).〖答案〗:(-∞,2)∪(2,+∞)1．在△ABC中，G为重心，记＝a，＝b，则＝()A．eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)bB．eq\f(1,3)a＋eq\f(2,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(1,3)bD．eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b〖解析〗选A.因为G为△ABC的重心，所以＝eq\f(1,3)(＋)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b，所以＝＋＝－b＋eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＝eq\f(1,3)a－eq\f(2,3)b.2.(5分)在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是边BC上的动点,且||=3,||=4,=λ+μ(λ>0,μ>0),则当λμ取得最大值时,||的值为 ()A.QUOTE B.3 C.QUOTE D.QUOTE〖解析〗选C.因为=λ+μ,而D,B,C三点共线,所以λ+μ=1,所以λμ≤QUOTE=QUOTE,当且仅当λ=μ=QUOTE时取等号,此时=QUOTE+QUOTE,所以D是线段BC的中点,所以||=QUOTE||=QUOTE.故选C.3.(5分)(2021·乐山模拟)如图,原点O是△ABC内一点,顶点A在x轴上,∠AOB=150°,∠BOC=90°,||=2,||=1,||=3,若=λ+μ,则QUOTE= ()A.-QUOTE B.QUOTE C.-QUOTE D.QUOTE〖解析〗选D.由题可得A(2,0),BQUOTE,CQUOTE.因为=λ+μ,所以由向量相等的坐标表示可得QUOTE解得QUOTE所以QUOTE=QUOTE.4．已知点O为坐标原点，A(0，2)，B(4，6)，＝t1＋t2．(1)求点M在第二或第三象限的充要条件．(2)求证：当t1＝1时，不论t2为何实数，A，B，M三点共线．〖解析〗(1)＝t1＋t2＝t1(0，2)＋t2(4，4)＝(4t2，2t1＋4t2).点M在第二或第三象限⇔e