新高考数学一轮复习讲义第8章　§8.12　圆锥曲线中定点与定值问题（原卷版）

§8.12圆锥曲线中定点与定值问题题型一定点问题例1已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A(0，－2)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－1))两点．(1)求E的方程；(2)设过点P(1，－2)的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足eq\o(MT,\s\up6(→))＝eq\o(TH,\s\up6(→)).证明：直线HN过定点．思维升华求解直线或曲线过定点问题的基本思路(1)把直线或曲线方程中的变量x，y当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点．(2)由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．跟踪训练1已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的上顶点和两焦点构成的三角形为等腰直角三角形，且面积为2，点M为椭圆C的右顶点．(1)求椭圆C的方程；(2)若经过点P(t,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，实数t取何值时以AB为直径的圆恒过点M?题型二定值问题例2已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的虚轴长为4，直线2x－y＝0为双曲线C的一条渐近线．(1)求双曲线C的标准方程；(2)记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T(2,0)的直线l交双曲线C于点M，N(点M在第一象限)，记直线MA的斜率为k1，直线NB的斜率为k2，求证：eq\f(k1,k2)为定值．思维升华圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值．依题设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值．(2)求点到直线的距离为定值．利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得．(3)求某线段长度为定值．利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．跟踪训练2已知点F(0,1)，直线l：y＝4，P为曲线C上的任意一点，且|PF|是P到l的距离的eq\f(1,2).(1)求曲线C的方程；(2)若经过点F且斜率为k(k≠0)的直线交曲线C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点H，求证：eq\f(|FH|,|MN|)为定值．课时精练1．已知抛物线C：x2＝2py(p>0)与圆O：x2＋y2＝12相交于A，B两点，且点A的横坐标为2eq\r(2).F是抛物线C的焦点，过焦点的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N.(1)求抛物线C的方程；(2)过点M，N作抛物线C的切线l1，l2，P(x0，y0)是l1，l2的交点，求证：点P在定直线上．2．已知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r(3),3)x，且过点P(3，eq\r(2))．(1)求C的方程；(2)设Q(1,0)，直线x＝t(t∈R)不经过P点且与C相交于A，B两点，若直线BQ与C交于另一点D，证明：直线AD过定点M.3．在平面直角坐标系Oxy中，已知点A(－eq\r(6)，0)，B(eq\r(6)，0)，动点E(x，y)满足直线AE与BE的斜率之积为－eq\f(1,3)，记E的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；(2)过点D(2,0)的直线l交C于P，Q两点，过点P作直线x＝3的垂线，垂足为G，过点O作OM⊥QG，垂足为M.证明：存在定点N，使得|MN|为定值．4.如图，已知椭圆C1：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，椭圆C2：eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,4)＝1，A(－2,0)，B(2,0)，P为椭圆C2上的动点且在第一象限，直线PA，PB分别交椭圆C1于E，F两点，连接EF交x轴于Q点，过B点作BH交椭圆C