新高考数学一轮复习讲义第10章　§10.4　随机事件与概率（原卷版）

§10.4随机事件与概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算.3.掌握古典概型及其计算公式，能计算古典概型中简单随机事件的概率．知识梳理1．样本空间和随机事件(1)样本点和有限样本空间①样本点：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，常用ω表示．全体样本点的集合称为试验E的样本空间，常用Ω表示．②有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间．(2)随机事件①定义：将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件．②表示：一般用大写字母A，B，C，…表示．③随机事件的极端情形：必然事件、不可能事件．2．两个事件的关系和运算含义符号表示包含关系若A发生，则B一定发生A⊆B相等关系B⊇A且A⊇BA＝B并事件(和事件)A与B至少有一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω3．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．4．古典概型的概率公式一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的性质性质1：对任意的事件A，都有P(A)≥0；性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0；性质3：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4：如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5：如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)，由该性质可得，对于任意事件A，因为∅⊆A⊆Ω，所以0≤P(A)≤1；性质6：设A，B是一个随机试验中的两个事件，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．频率与概率(1)频率的稳定性一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)，我们称频率的这个性质为频率的稳定性．(2)频率稳定性的作用可以用频率fn(A)估计概率P(A)．常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥，即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．若事件A1，A2，…，An两两互斥，则P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的．()(2)两个事件的和事件发生是指这两个事件至少有一个发生．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一个数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．()教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是()A．至少有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶2．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175cm的概率为()A．0.2B．0.3C．0.7D．0.83．从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为________．题型一随机事件命题点1随机事件间关系的判断例1(1)(多选)对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，则下列关系正确的是()A．A∩D＝∅ B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D(2)从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两球，下列情况中是互斥而不对立的两个事件的是()A．至少有一个红球；至少有一个白球B．恰有一个红球；都是白球C．至少有一个红球；都是白球D．至多有一个红球；都是红球命题点2利用互斥、对立事件求概率例2某商场进行有奖销售，购满100元商品得1张奖券，多购多得.1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．思维升华事件关系的运算策略进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．当事件是由互斥事件组成时，运用互斥事件的概率加法公式．跟踪训练1(1)(多选)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”；F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立 B．D1与D2不互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)(2)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示．一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%.①确定x，y的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；②估计一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率．题型二古典概型例3(1)我国数学家张益唐在“孪生素数”研究方面取得突破，孪生素数也称为孪生质数，就是指两个相差2的素数，例如5和7.在大于3且不超过20的素数中，随机选取2个不同的数，恰好是一组孪生素数的概率为()A.eq\f(3,56)B.eq\f(3,28)C.eq\f(1,7)D.eq\f(1,5)(2)在一次比赛中某队共有甲、乙、丙等5位选手参加，赛前用抽签的方法决定出场顺序，则乙、丙都不与甲相邻出场的概率是()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(3,10)思维升华利用公式法求解古典概型问题的步骤跟踪训练2(1)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A.eq\f(1,5)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,5)D.eq\f(2,3)(2)2022年冬奥会在北京、延庆、张家口三个区域布置赛场，北京承办所有冰上项目，延庆和张家口承办所有雪上项目．组委会招聘了包括甲在内的4名志愿者，准备分配到上述3个赛场参与赛后维护服务工作，要求每个赛场至少分到一名志愿者，则志愿者甲正好分到北京赛场的概率为________.题型三概率与统计的综合问题例4北京冬奥会顺利闭幕后，某学校团委组织了一次“奥运会”知识讲座活动，活动结束后随机抽取120名学生对讲座情况进行调查，其中男生与女生的人数之比为1∶1，抽取的学生中男生有40名对讲座活动满意，女生中有30名对讲座活动不满意．(1)完成下面2×2列联表，并依据小概率值α＝0.10的独立性检验，能否推断对讲座活动是否满意与性别有关？满意不满意合计男生女生合计120(2)从被调查的对讲座活动满意的学生中，利用比例分配的分层随机抽样方法抽取7名学生，再在这7名学生中抽取3名学生谈谈自己听讲座的心得体会，求其中恰好抽中2名男生与1名女生的概率．参考数据：χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828思维升华求解古典概型的综合问题的步骤(1)将题目条件中的相关知识转化为事件；(2)判断事件是否为古典概型；(3)选用合适的方法确定样本点个数；(4)代入古典概型的概率公式求解．跟踪训练3从参加环保知识竞赛的学生中抽出40名，将其成绩(均为整数)整理后画出频率分布直方图如图所示，观察图形，回答下列问题．(1)成绩在[80,90)这一组的频数、频率分别是多少？(2)估计这次环保知识竞赛成绩的平均数、众数、中位数；(不要求写过程)(3)从成绩是80分以上(包括80分)的学生中选2人，求他们在同一分数段的概率．课时精练1．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或3”为事件A，“向上的点数是1或5”为事件B，则()A．A∪B表示向上的点数是1或3或5B．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或3D．A∩B表示向上的点数是1或52．杭州亚运会的三个吉祥物分别取名“琮琮”“宸宸”“莲莲”，如图．现将三张分别印有“琮琮”“宸宸”“莲莲”图案的卡片(卡片的形状、大小和质地完全相同)放入盒子中．若从盒子中依次有放回地取出两张卡片，则一张为“琮琮”，一张为“宸宸”的概率是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,9)D.eq\f(1,9)3．我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A．134石 B．169石C．338石 D．1365石4.在抛掷一枚质地均匀的骰子的试验中，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则在一次试验中，事件A＋eq\x\to(B)发生的概率为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,6)5．将5名支援某地区抗疫的医生分配到A，B，C三所医院，要求每所医院至少安排1人，则其中甲、乙两名医生恰好分配到同一医院的概率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(6,25)C.eq\f(7,16)D.eq\f(4,9)6．(多选)下列说法中正确的有()A．若事件A与事件B是互斥事件，则P(AB)＝0B．若事件A与事件B是对立事件，则P(A＋B)＝1C．某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件D．把红、橙、黄3张纸牌随机分给甲、乙、丙3人，每人分得1张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件7．通过手机验证码注册某APP时，收到的验证码由四位数字随机组成，如某人收到的验证码(a1，a2，a3，a4)满足a1<a2<a3<a4，则称该验证码为递增型验证码，某人收到一个验证码，则它是首位为2的递增型验证码的概率为________．8．)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为________．9．经统计，在某储蓄所一个营业窗口排队的人数相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排队等候的概率；(2)至少3人排队等候的概率．10.某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计得到其元旦期间的网购金额(单位：万元)的茎叶图如图所示，其中茎为十位数，叶为个位数．(1)根据茎叶图计算样本数据的平均数；(2)若网购金额(单位：万元)不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图估计这90个服务网点中优秀服务网点的个数；(3)从随机抽取的6个服务网点中任取2个做网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率．11．如果事件A，B互斥，记eq\x\to(A)，eq\x\to(B)分别为事件A，B的对立事件，那么()A．A∪B是必然事件B.eq\x\to(A)∪eq\x\to(B)是必然事件C.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定互斥D.eq\x\to(A)与eq\x\to(B)一定不互斥12．整数集就像一片浩瀚无边的海洋，充满了无尽的奥秘．古希腊数学家毕达哥拉斯发现220和284具有如下性质：220的所有真因数(不包括本身的因数)之和恰好等于284，同时284的所有真因数之和也等于220，他把具有这种性质的两个整数叫做一对“亲和数”，“亲和数”的发现掀起了无数数学爱好者的研究热潮．已知220和284，1184和1210,2924和2620是3对“亲和数”，把这六个数随机分成两组，一组2个数，另一组4个数，则220和284在同一组的概率为()A.eq\f(1,15)B.eq\f(2,5)C.eq\f(7,15)D.eq\f(1,5)13．《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说．河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中．如图，白圈为阳数，