新高考数学二轮复习专题培优练习专题12 解三角形解答题分类练（解析版）

专题12解三角形解答题分类练一、利用正弦定理与余弦定理求角1.（2024届广西玉林市高三上学期联考）在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，求SKIPIF1<0.【解析】（1）解：因为SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）解：在SKIPIF1<0中，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为钝角，不符合题意，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为锐角，合乎题意，故SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.2.（2024届河北省保定市唐县第一中学高三上学期9月月考）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角B；(2)求SKIPIF1<0边上中线长SKIPIF1<0的最大值．【解析】（1）由SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）根据余弦定理可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，等号成立.SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上中线，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立，即SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.3．（2024届广东省揭阳市普宁市第二中学高三上学期月考）在SKIPIF1<0中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足SKIPIF1<0．(1)求角B；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的内切圆半径SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）因为SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）由余弦定理得：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由三角形面积公式，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.二、利用正弦定理与余弦定理求边4.（2023届新疆伊犁州霍尔果斯市高三上学期第一次月考）已知SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0三个内角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的对边，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0、SKIPIF1<0.【解析】（1）根据正弦定理，SKIPIF1<0变为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，也即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．整理，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．（2）由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．由余弦定理，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．则SKIPIF1<0．5.（2024届山东省金科大联考高三上学期9月质量检测）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）由正弦定理知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.6.（2024届河南省洛阳市等三地部分名校高三上学期联考）已知SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的长：(2)若SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0.【解析】（1）解：设SKIPIF1<0内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由（1）可得SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0.由余弦定理可得SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.三、利用正弦定理与余弦定理求三角形面积7.（2024届江西省南昌市高三上学期摸底测试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.【解析】（1）由已知，在SKIPIF1<0中有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.（2）由余弦定理，得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为3.8.（2023届安徽省合肥市庐阳区高三上学期12月月考）在SKIPIF1<0中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求B；(2)若SKIPIF1<0成等差数列，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，再由余弦定理可得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）因为SKIPIF1<0成等差数列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由正弦定理、余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0②，由①②可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0.9.（2024届山东省泰安市肥城市高三上学期9月月考）SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积.【解析】（1）在SKIPIF1<0中，由余弦定理SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由正弦定理SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，C为锐角，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.四、利用正弦定理与余弦定理求范围与最值问题10.（2024届湖南省益阳市高三上学期9月月考）已知SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0面积的最大值.【解析】（1）因为SKIPIF1<0，注意到SKIPIF1<0且结合正弦定理SKIPIF1<0有SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，所以由余弦定理可得SKIPIF1<0.（2）由（1）可知SKIPIF1<0，且注意到SKIPIF1<0，所以有SKIPIF1<0，利用基本不等式得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0有最大值16，当且仅当SKIPIF1<0时取到；又由（1）可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，综上所述：SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0面积的最大值为SKIPIF1<0.11．（2024THUSSAT中学生标准学术能力诊断性测试高三上学期9月测试届）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上的一点，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，不符合题意，舍去，综上所述SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0SKIPIF1<0①，又SKIPIF1<0②，①÷②得：SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，由对勾函数性质可得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0为减函数，故SKIPIF1<0，同理当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以当三角形SKIPIF1<0为等边三角形时SKIPIF1<0最小，最小值为SKIPIF1<012.（2024届河南省洛阳市洛宁县高三上学期第二次月考）在SKIPIF1<0中，内角SKIPIF1<0所对的边分别是SKIPIF1<0且SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的范围．【解析】（1）∵SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0．∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由（1）知SKIPIF1<0，又已知SKIPIF1<0，由正弦定理得：∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，

SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0周长的范围是SKIPIF1<0.13．（2024届河北省保定市重点高中高三上学期考试）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【解析】（1）依题意，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是钝角，所以SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时等号成立.五、与三角形中线、角平分线、高有关的解三角形问题14.（2024届四川省南充高中高三上学期第一次月考）已知SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0的平分线交SKIPIF1<0于点D，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面积．【解析】（1）由SKIPIF1<0以及正弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）依题意，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.

15.（2024届广东省揭阳市普宁市高三上学期第一次月考）在SKIPIF1<0中，记角A，B，C所对的边分别为a，b，c，SKIPIF1<0.(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，AD为BC边上的中线，求SKIPIF1<0.【解析】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.（2）因为SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，因为AD为BC边上的中线，所以SKIPIF1<0，

即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.16.（2024届河北省秦皇岛市部分学校高三上学期开学检测）记SKIPIF1<0的内角SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，面积为SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0边上的中线SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0周长的最小值.【解析】（1）∵SKIPIF1<0面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0边上中线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0时，“=”成立.又SKIPIF1<0，由余弦定理得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调递减，则SKIPIF1<0最小值为SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0周长最小值为SKIPIF1<0.17.（2024届广西南宁市第二中学、柳州铁一中学高三新高考摸底调研）已知SKIPIF1<0中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角A的大小；(2)设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的高，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【解析】（1）解：在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0由正弦定理，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）解：由（1）及已知，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由余弦定理SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.六、四边形中的解三角形问题18.（2024届海南省定安县定安中学高三上学期开学考）如图，已知平面四边形SKIPIF1<0存在外接圆（即对角互补），且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的面积；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周长.【解析】（1）因为平面四边形SKIPIF1<0存在外接圆，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0．（2）在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0．19.（2023届四川省仁寿高三下学期2月月考）在SKIPIF1<0中，角A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的对边分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求角SKIPIF1<0的大小；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0外一点（A，SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0两侧），SKIPIF1<0.设SKIPIF1<0，求平面四边形SKIPIF1<0面积的最大值及对应的SKIPIF1<0的值.【解析】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由正弦定理：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0；（2）由余弦定理：SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，

∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因此当SKIPIF1<0时，平面四边形SKIPIF1<0面积最大，∴最大值为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.七、解三角形应用题20.（2024届浙江省百校起点高三上学期9月调研）天门山，古称嵩梁山，位于湖南省张家界市永定区大庸中路11号，属武陵山脉向东进入洞庭湖平原的余脉.为了测量天门山的海拔，某人站在海拔600米的点A处，他让无人机从点A起飞，垂直向上飞行400米到达点B处，测得天门山的最高点C处的仰角为45°，他遥控无人机从点B处移动到点D处（SKIPIF1<0平行于地平面），已知B与D之间的距离为518米，从点D处测得天门山的最高点C处的仰角为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）.

(1)设平面SKIPIF1<0过SKIPIF1<0且平行于地平面，点C到平面SKIPIF1<0的距离为h米，求SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的长（用h表示）；(2)已知SKIPIF1<0，求天门山的海拔.【解析】（1）如图，过C作SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0米，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米.

在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0米，

因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0米.

（2）在SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，

由（1）得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，

所以天门山的海拔为SKIPIF1<0米.21.（2023届河北省衡水中学高三下学期五调）如图，某城市有一条公路从正西方SKIPIF1<0通过市中心SKIPIF1<0后转向东偏北SKIPIF1<0角方向的SKIPIF1<0，位于该市的某大学SKIPIF1<0与市中心SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0km，且SKIPIF1<0.现要修筑一条铁路SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上设一站SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0上设一站SKIPIF1<0，铁路在SKIPIF1<0部分为直线段，且经过大学SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0km.

(1)求大学SKIPIF1<0与站SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0；(2)求铁路SKIPIF1<0段的长SKIPIF1<0.【解析】（1）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以大学SKIPIF1<0与站SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0为SKIPIF1<0km；（2）因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由题意知SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0为锐角，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由正弦定理，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以铁路SKIPIF1<0段的长SKIPIF1<0为SKIPIF1<0km.八、解三角形开放题22.（2024届贵州省贵阳市高三上学期8月摸底）在锐角SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所对的边分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0．①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0．在以上三个条件中选择一个，并作答．(1)求角SKIPIF1<0；(2)已知SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0边上的中线，求SKIPIF1<0的最小值．【解析】（1）解：若选①，因为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0