2020-2021学年高中数学新教材第二册教案：7.1.2复数的几何意义 教学设计（人数A 版）

【新教材】7olo2复数的几何意义

教学设计（人数A版）

教材分析

复教的引入是中学阶段教条的又一次犷充，引入复数以后，这

不仅可以使学生对于教的概念有一个初步的、完整的认知，也

为进一步学习教学打下基础。通过本节课学习，要使学生在问

题情境中了解教系犷充的过程以及引入复教的必要性，学习复数

的一些基本知识，体会人类理性思维在教条犷充中的作用。

教学目标与核心素养

课程同标：

1.理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来表示复

教及它们之间的----对应关系;

2.掌握实轴、虚轴、模等概念；

3o掌握用向量的模来表示复数的模的方法。

教学学科素养

1.教学抽象：复平面及复数的几何意义的理解；

2o逐辑推理：根据平面与向量的关系推出复数与向量的----

对应反复教横公式；

3o教学运算：根据复数与复平面的点一一对应求参数和求复

教的模；

4.教学建模:根据复数的代数形式，教形结合，多方核了解复

数的几何意义，提高学生学习教学的兴捶。

教学重难点

重点:理解复数的几何意义，根据复数的代数形式描出其对应的

点及向量.

难点:根据复教的代数形式描出其对应的点及向量.

课前准备

教学方法：以学生为主体，小组为单核，采用诱思探究式教学,

精讲多练.

教学工具：多媒体。

教学过程

-、情景导入

提问：实数可以与数轴上的点—对应，类比实数，复教能与什

么----对应呢？

要求：让学生4由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步

观察.研探。

二、预习课本，引入新课

阅读课本70—72页，思考并完成以下问题

L复平面是如何定义的，复数的横如何求出？

2、复数与复平面内的点及向量的关系如何？复教的横是卖教

还是虚教？

要求：学生独立完成，以小组为单核，组内可商量，最终选出代

表回答问题.

三、新知探究

L复平面

2、复数的几何意义

(1J复数z=a+Z?i(mZ?WR),一对应》复平面内的点Z.力.

2复数2=o+Z?im2WR<一一对应》平面向量错误！.

［规律总结］实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

卖轴上的点都表示实数;除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚

教，原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+

0i=0,表示的是卖教、

3、复数的模

(1)走义：向量错误!的模厂叫做复数z=〃+砥a,Z?€R)的模.

(2)记法:复数z=a+Z?i的模记为|z|或|〃+勿

(3)公式：|z|=\a+bi\=r=+Z?2(r>0,r€RJ.

叩、典例分析、举一反三

题型一复教与复平面内的对应关东

例1求实教。分别取何值时，复数z=错误!+(a2-2a-15)i(aER)

对应的点Z满足下列条件：

(1J在复平面的第二象F艮内.

(2J在复平面内的工轴上方。

【答曝】flJCL<-3.(2Ja>5或av-3.

【解析】(1)点Z在复平面的第二象F艮内，

贝U错误!解得a<-3o

(2)点Z在x轴上方，贝U错误！

即(a+3)(a-5)>0,将得Q>5或QV-3.

解题技巧(利用复数与点的对应的解题步骤)

CU复平面内复数与点的对应关系的实质是：复数的实部就

是该点的横坐标，虚部就是该点的纵坐标.

(2)已知复数在复平面内对应的点、满足的条件求参数取值范围

时，可根据复数与点的对应关条，建立复教的实部与虚部满足

的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解、

跟踪训练一

1、实数X取什么值时，复平面内表示复数Z=12+%-6+(X2

—2x—15)i的点Z：

(1)优于第三象F艮；(2J优于直线九一丁一3二0上

【答案】(1)-3〈X〈2,(2)x=一2、

【解析】因为x是卖数，所以d+工一6,/一21一15也是卖教、

(1)当实数X满足错误!即一3〈x<2时，点Z优于第三象限、

(2)当实数x满足(x2+x-6)-fx2-2x-15J-3=0,即

3x+6=0,x=一2时，点Z优于直线x-y-3=0上.

题型二复数与平面向量的对应关系

例2已知平面直角金林系中。是原点，向量错误!，错误!对应的复

教分别为2—3i,—3+2i,那么向量错误!对应的复数是()

A、-5+5iB,5-5i

C、5+5iD,-5-5i

【答案】B、

【解析】向量错误!，错误!对应的复数分别为2-3i,-3+2i,根

据复数的几何意义，可得向量。4,—>=(2,-3),错误！=(-

3,2人

由向量减法的士标运算可得向量错误!=错误!一错误!=<2+3,-3

-2)=C5,-5),根据复数与复平面内的点一一对应，可得向量

错误!对应的复数是5-5io

解题技巧：(复数与平面向量对应关的解题技巧)

(1)根据复数与平面向量的对应关索，可知当平面向量的起点

在原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数、反之

复教对应的点确灾后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为

复教对应的向量,

(2)解决复数与平面向量对应的题目时，一般以复数与复

平面内的点----对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量

之间的转化.

跟踪训练二

1、在复平面内，A,B,。三点对应的复数分别为1,2+i,-1

+2io

ClJ求向量错误!,错误!，错误!对应的复到L；

(2)若A3CD为平行四边形，求。对应的复教、

【答案】(1)错误!，错误!，错误!对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3

+i.

(2J。对应的复数为-2+i。

【解析】CU设。为坐标原点，由复教的几何意义知：

错误！=(1,0)>错误！=(2,1),错误！=(—1,2)，

所以错误！=错误！-错误！=Cl,u,

错误！二错误！一错误！=(一2,2),错误！二错误！一错误！=(-3,1),

所以错误!，错误!，错误时应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+io

(2)因为A3CD为平行8边形，所以错误!=错误!=f-3,1),

错误!二错误!+错误!=(1,0J+(-3,1)=(-2,1)、所以Z)对应的

复数为-2+i.

题型三复数模的计算与应用

例3设复教Z[=4+3/,z2=4—3z、

(1J在复平面内画出复数Z，Z2对应的点和向量；

(2)求复数马0的模，并比较它们的模的大小,

【答案】(1)图见解析，4/2对应的点分别为ZE,对应的向

量分别为两，西,(2)㈤=5,㈤=5、㈤=叫

【解析】(1)如图，复数马Q对应的点分别为4%,对应的向量

分别为瓦\、OZ；.

2222

(2)|z,|=|4+3zhV4+3=5,|Z2|=|4-3Z|=74+(-3)=5、

所以|zj=|zj.

例4设zeC,在复平面内z对应的点为Z,那么满足下列条件的

点Z的集合是什么图形？

（1）IZ1=1;

（2）l<|z|<2、

【答案】（1J以原点。为圆心，以1为半径的圆.

（2）以原点。为圆心，以1及2为半径的两个圆所矣的圆环，但

不包括圆环的边界,

【解析】（1J由lz|=l得，向量无的模等于1,所以满足条件lz|=l的

点Z的集合是以原点。为圆心，以1为半往的圆.

（2）不等式1<|Z|<2可化为不等式［忙:

不等式Iz|<2的斛集是圆|z|=2的内部所有的点组成的集合，

不等式IzA的解集是圆回=1外部所有的点组成的集合，

这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，也就是满足条

件1<|Z|<2的点Z的集合.家易看出，所求的集合是以原点。为圆

心，以1及2为半径的两个圆所发的圆环，但不包括圆环的边界

（如图）.

解题技巧（与复数的模相关的解题技巧）

⑴复教的模是非负实数，因此复教的模可以比较大小.

（2J根据复数模的计算公式|〃+历仁勺次+按可杷复数模的问题

转化为实数问题解决.

⑶根据复数模的定义|z|=I错误!I，可把复数模的问题转化为

向量模(即两点的距离)的问题解决.

跟踪训练三

1、已知复数z=a+,i(a€R)