21.1一元二次方程

第二十一章一元二次方程21.1一元二次方程

一元二次方程的概念及一般形式1.下列是一元二次方程的是(

C

)A.2

x

＋1＝0B.

y2＋

x

＝1C.

x2＋1＝0D.

＋

x2＝1C123456789101112132.

下列方程：①4

x2－3＝0；②

x3＋

x

＝

x2－1；③

ax2＋

bx

＋

c

＝0；④3

x2－

xy

＋

y2＝0.其中一定是一元二次方程的有(

A

)A.1个B.2个C.3个D.4个A易错警示此题主要考查了一元二次方程的定义，等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程，叫做一元二次方程.123456789101112133.【教材第4页习题21.1第1题改编】把下列方程化为一元二次方程的一

般形式，并写出其中的二次项系数，一次项系数和常数项.(1)2

x2＝1－3

x

；

(2)5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

.解：(1)方程2

x2＝1－3

x

化成一般形式为2

x2＋3

x

－1＝0，二次项系数

为2，一次项系数为3，常数项为－1.(2)方程5

x

(

x

－2)＝4

x2－3

x

化成一般形式为

x2－7

x

＝0，二次项系数为

1，一次项系数为－7，常数项为0.12345678910111213

一元二次方程的根4.下列各数是一元二次方程

x2＋4

x

＋3＝0的两个根的为(

D

)A.

x1＝1，

x2＝3B.

x1＝－1，

x2＝3C.

x1＝1，

x2＝－3D.

x1＝－1，

x2＝－3D123456789101112135.

(2023·石家庄新华区模拟)若一元二次方程(

k

－1)

x2＋3

x

＋

k2

－1＝0有一个解为

x

＝0，则

k

为(

C

)A.±1B.1C.－1D.0【解析】把

x

＝0代入方程，得

k2－1＝0，

k

＝±1，∵二次项系数

k

－1≠0，∴

k

＝－1.

C

此题中二次项系数不为0是易错点.易错警示123456789101112136.若

x

＝1是关于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

＋2

b

＝0的解，则2

a

＋4

b

的

值等于

⁠.【解析】把

x

＝1代入方程可得

a

＋2

b

＝－1，2

a

＋4

b

＝－2.－2

12345678910111213

根据实际问题列一元二次方程7.随着中考的结束，初三某毕业班的每一名同学都向其他同学赠送一张

自己的照片留作纪念，全班共送了2862张照片，若该班有

x

名同学，则

根据题意可列出方程为(

A

)A.

x

(

x

－1)＝2862B.

x

(

x

＋1)＝2862C.2

x

(

x

－1)＝2862D.

x

(

x

－1)＝2862×2【解析】由题意可知，每名同学会送出(

x

－1)张照片，结果共送出

x

(

x

－1)张照片，则可列方程为

x

(

x

－1)＝2862.A123456789101112138.如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相

垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行)，剩余部分栽种花草，且

栽种花草的面积为77m2，设道路的宽为

xm，则根据题意，可列方程

为

⁠.(8－

x

)(12－

x

)＝77

12345678910111213

9.若方程(

k

＋2)

x︱

k︱－3

kx

－1＝0是关于

x

的一元二次方程，则

k

的值

为(

B

)A.±2B.2C.－2D.0【解析】由题可知｜

k

｜＝2，

k

＝±2，∵

k

＋2≠0，∴

k

≠－2，

k

＝2.10.已知一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0，若

a

＋

b

＋

c

＝0，则该方程一

定有一个根为(

C

)A.0B.－1C.1D.2BC1234567891011121311.若

x

＝1是关于

x

的一元二次方程

x2＋

ax

－2

b

＝0的一个根，则－3

a

＋6

b

的值为(

D

)A.－6B.－3C.－2D.3D1234567891011121312.某商店如果将进货价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售200

件；如果这种商品每件涨价1元，其销售量就会减少10件，若设每件涨

价

x

元时，才能使利润为640元.则根据题意可列出方程为

⁠

(要求把方程化为一般形式且不用解).【解析】由题意可知，每件商品的利润为(10＋

x

－8)元，此时的销售量

为(200－10

x

)件，则可列方程(10＋

x

－8)·(200－10

x

)＝640.化简整理得

出一般形式为

x2－18

x

＋24＝0.x2－18

x

＋

24＝0

12345678910111213

13.

已知关于

x

的一元二次方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0(

a

≠0).(1)若

a

＋

c

＝－

b

，求证：

x

＝1必是该方程的一个根；(1)证明：∵

a

＋

c

＝－

b

，∴

a

＋

b

＋

c

＝0.当

x

＝1时，

ax2＋

bx

＋

c

＝

a

＋

b

＋

c

＝0.∴

x

＝1必是方程

ax2＋

bx

＋

c

＝0的一个根.12345678910111213(2)当

a

，

b

，

c

之间的关系是什么情况时，该方程必有一根是

x

＝－1？(2)当

a

－

b

＋

c

＝0时，方程必有一