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文档简介

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是()A. B. C. D.2.存在点在椭圆上,且点M在第一象限,使得过点M且与椭圆在此点的切线垂直的直线经过点,则椭圆离心率的取值范围是()A. B. C. D.3.函数的图象可能是()A. B. C. D.4.已知函数的图象如图所示,则下列说法错误的是()A.函数在上单调递减B.函数在上单调递增C.函数的对称中心是D.函数的对称轴是5.已知复数是正实数,则实数的值为()A. B. C. D.6.若为虚数单位,网格纸上小正方形的边长为1,图中复平面内点表示复数,则表示复数的点是()A.E B.F C.G D.H7.已知集合,则为()A.[0,2) B.(2,3] C.[2,3] D.(0,2]8.设集合,,若,则()A. B. C. D.9.设过定点的直线与椭圆:交于不同的两点,,若原点在以为直径的圆的外部,则直线的斜率的取值范围为()A. B.C. D.10.记单调递增的等比数列的前项和为,若,,则()A. B. C. D.11.设一个正三棱柱,每条棱长都相等,一只蚂蚁从上底面的某顶点出发,每次只沿着棱爬行并爬到另一个顶点,算一次爬行,若它选择三个方向爬行的概率相等,若蚂蚁爬行10次,仍然在上底面的概率为,则为()A. B.C. D.12.已知双曲线的一个焦点为,点是的一条渐近线上关于原点对称的两点,以为直径的圆过且交的左支于两点,若,的面积为8,则的渐近线方程为()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点,PQ垂直l于点Q,M,N分别为PQ,PF的中点,MN与x轴相交于点R,若∠NRF=60°,则|FR|等于_____.14.已知三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,,,,,E,F分别为,的中点,,则球O的体积为______.15.在平面直角坐标系中,已知点,,若圆上有且仅有一对点,使得的面积是的面积的2倍,则的值为_______.16.在中,内角的对边分别是,若,,则____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系xOy中,已知平行于x轴的动直线l交抛物线C:于点P,点F为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M与直线l,PF,x轴都相切,设M的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程;(2)若直线与曲线E相切于点,过Q且垂直于的直线为,直线,分别与y轴相交于点A,当线段AB的长度最小时,求s的值.18.(12分)已知函数的图象向左平移后与函数图象重合.(1)求和的值;(2)若函数,求的单调递增区间及图象的对称轴方程.19.(12分)某精密仪器生产车间每天生产个零件,质检员小张每天都会随机地从中抽取50个零件进行检查是否合格,若较多零件不合格,则需对其余所有零件进行检查.根据多年的生产数据和经验,这些零件的长度服从正态分布(单位:微米),且相互独立.若零件的长度满足,则认为该零件是合格的,否则该零件不合格.(1)假设某一天小张抽查出不合格的零件数为,求及的数学期望;(2)小张某天恰好从50个零件中检查出2个不合格的零件,若以此频率作为当天生产零件的不合格率.已知检查一个零件的成本为10元,而每个不合格零件流入市场带来的损失为260元.假设充分大,为了使损失尽量小,小张是否需要检查其余所有零件,试说明理由.附:若随机变量服从正态分布,则.20.(12分)求下列函数的导数:(1)(2)21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,点为棱的中点.(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.22.(10分)如图,D是在△ABC边AC上的一点,△BCD面积是△ABD面积的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求边AC的长.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】

由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,,所以满足条件.故选:D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.2.D【解析】

根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可.【详解】因为过点M椭圆的切线方程为,所以切线的斜率为,由,解得,即,所以,所以.故选:D【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.3.A【解析】

先判断函数的奇偶性,以及该函数在区间上的函数值符号,结合排除法可得出正确选项.【详解】函数的定义域为,,该函数为偶函数,排除B、D选项;当时,,排除C选项.故选:A.【点睛】本题考查根据函数的解析式辨别函数的图象,一般分析函数的定义域、奇偶性、单调性、零点以及函数值符号,结合排除法得出结果,考查分析问题和解决问题的能力,属于中等题.4.B【解析】

根据图象求得函数的解析式,结合余弦函数的单调性与对称性逐项判断即可.【详解】由图象可得,函数的周期,所以.将点代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函数在上单调递减,当时,函数在上单调递减,故A正确;令,得,故函数在上单调递增.当时,函数在上单调递增,故B错误;令,得,故函数的对称中心是,故C正确;令,得,故函数的对称轴是,故D正确.故选:B.【点睛】本题考查由图象求余弦型函数的解析式,同时也考查了余弦型函数的单调性与对称性的判断,考查推理能力与计算能力,属于中等题.5.C【解析】

将复数化成标准形式,由题意可得实部大于零,虚部等于零,即可得到答案.【详解】因为为正实数,所以且,解得.故选:C【点睛】本题考查复数的基本定义,属基础题.6.C【解析】

由于在复平面内点的坐标为,所以,然后将代入化简后可找到其对应的点.【详解】由,所以,对应点.故选:C【点睛】此题考查的是复数与复平面内点的对就关系,复数的运算,属于基础题.7.B【解析】

先求出,得到,再结合集合交集的运算,即可求解.【详解】由题意,集合,所以,则,所以.故选:B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算,其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.8.A【解析】

根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.【点睛】本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.9.D【解析】

设直线:,,,由原点在以为直径的圆的外部,可得,联立直线与椭圆方程,结合韦达定理,即可求得答案.【详解】显然直线不满足条件,故可设直线:,,,由,得,,解得或,,,,,,解得,直线的斜率的取值范围为.故选:D.【点睛】本题解题关键是掌握椭圆的基础知识和圆锥曲线与直线交点问题时,通常用直线和圆锥曲线联立方程组,通过韦达定理建立起目标的关系式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.10.C【解析】

先利用等比数列的性质得到的值,再根据的方程组可得的值,从而得到数列的公比,进而得到数列的通项和前项和,根据后两个公式可得正确的选项.【详解】因为为等比数列,所以,故即,由可得或,因为为递增数列,故符合.此时,所以或(舍,因为为递增数列).故,.故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.11.D【解析】

由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,可得,根据求数列的通项知识可得选项.【详解】由题意,设第次爬行后仍然在上底面的概率为.①若上一步在上面,再走一步要想不掉下去,只有两条路,其概率为;②若上一步在下面,则第步不在上面的概率是.如果爬上来,其概率是,两种事件又是互斥的,∴,即,∴,∴数列是以为公比的等比数列,而,所以,∴当时,,故选:D.【点睛】本题考查几何体中的概率问题,关键在于运用递推的知识,得出相邻的项的关系,这是常用的方法,属于难度题.12.B【解析】

由双曲线的对称性可得即,又,从而可得的渐近线方程.【详解】设双曲线的另一个焦点为,由双曲线的对称性,四边形是矩形,所以,即,由,得:,所以,所以,所以,,所以,的渐近线方程为.故选B【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质,考查直线与圆的位置关系,考查数形结合思想与计算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.2【解析】

由题意知:,,,.由∠NRF=60°,可得为等边三角形,MF⊥PQ,可得F为HR的中点,即求.【详解】不妨设点P在第一象限,如图所示,连接MF,QF.∵抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P为C上一点∴,.∵M,N分别为PQ,PF的中点,∴,∵PQ垂直l于点Q,∴PQ//OR,∵,∠NRF=60°,∴为等边三角形,∴MF⊥PQ,易知四边形和四边形都是平行四边形,∴F为HR的中点,∴,故答案为:2.【点睛】本题主要考查抛物线的定义,属于基础题.14.【解析】

可证,则为的外心,又则平面即可求出,的值,再由勾股定理求出外接球的半径,最后根据体积公式计算可得.【详解】解:,,,因为为的中点,所以为的外心,因为,所以点在内的投影为的外心,所以平面,平面,所以,所以,又球心在上,设,则,所以,所以球O体积,.故答案为:【点睛】本题考查多面体外接球体积的求法,考查空间想象能力与思维能力,考查计算能力,属于中档题.15.【解析】

写出所在直线方程,求出圆心到直线的距离,结合题意可得关于的等式,求解得答案.【详解】解:直线的方程为,即.圆的圆心到直线的距离,由的面积是的面积的2倍的点,有且仅有一对,可得点到的距离是点到直线的距离的2倍,可得过圆的圆心,如图:由,解得.故答案为:.【点睛】本题考查直线和圆的位置关系以及点到直线的距离公式应用,考查数形结合的解题思想方法,属于中档题.16.【解析】

由,根据正弦定理“边化角”,可得,根据余弦定理,结合已知联立方程组,即可求得角.【详解】根据正弦定理:可得根据余弦定理:由已知可得:故可联立方程:解得:.由故答案为:.【点睛】本题主要考查了求三角形的一个内角,解题关键是掌握由正弦定理“边化角”的方法和余弦定理公式,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),(2).【解析】

根据题意设,可得PF的方程,根据距离即可求出;点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,根据导数的几何意义和斜率公式,求,并构造函数,利用导数求出函数的最值.【详解】因为抛物线C的方程为,所以F的坐标为,设,因为圆M与x轴、直线l都相切,l平行于x轴,所以圆M的半径为,点,则直线PF的方程为,即,所以,又m,,所以,即,所以E的方程为,,设,,,由知,点Q处的切线的斜率存在,由对称性不妨设,由,所以,,所以,,所以,.令,,则,由得,由得,所以在区间单调递减,在单调递增,所以当时,取得极小值也是最小值,即AB取得最小值此时.【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系,以及利用导数求函数最值的关系,考查了运算能力和转化能力,属于难题.18.(1),;(2),,.【解析】

(1)直接利用同角三角函数关系式的变换的应用求出结果.(2)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果.【详解】(1)由题意得,,(2)由,解得,所以对称轴为,.由,解得,所以单调递增区间为.,【点睛】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力,属于基础题型.19.(1)见解析(2)需要,见解析【解析】

(1)由零件的长度服从正态分布且相互独立,零件的长度满足即为合格,则每一个零件的长度合格的概率为,满足二项分布,利用补集的思想求得,再根据公式求得;(2)由题可得不合格率为,检查的成本为,求出不检查时损失的期望,与成本作差,再与0比较大小即可判断.【详解】(1),由于满足二项分布,故.(2)由题意可知不合格率为,若不检查,损失的期望为;若检查,成本为,由于,当充分大时,,所以为了使损失尽量小,小张需要检查其余所有零件.【点睛】本题考查正态分布的应用,考查二项分布的期望,考查补集思想的应用,考查分析能力与数据处理能力.20.(1);(2).【解析】

(1)根据复合函数的求导法则可得结果.(2)同样根据复合函数的求导法则可得结果.【详解】(1)令,,则,而,,故.(2)令,,则,而,,故,化简得到.【点睛】本题考查复合函数的导数,此类问题一般是先把函数分解为简单函数的复合,再根据复合函数的求导法则可得所求的导数,本题属于容易题.21.(1)见

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