2023北师大版新教材高中数学必修第一册同步练习-1 .1 利用函数性质判定方程解的存在性

2023北师大版新教材高中数学必修第一册

第五章函数应用

§1方程解的存在性及方程的近似解

1.1利用函数性质判定方程解的存在性

基础过关练

题组一求函数的零点

L下列图象表示的函数中没有零点的是（）

2.（2022四川成都实验外国语学校月考）一元二次函数y=2x2+x-l的零点是

()

11

A11

---

2ZB.2Z

1

z11

c-(rl

2vD.-

.o\2,0

3.（2020广东仲元中学期末）已知函数f（x）=1、1则函数取）的零点为

。十10g2X,X，L

（）

A.|,0B.-2,0C.|D.O

4.（多选）下列函数不存在零点的是（）

A.y=x-^B.y=V2x2-x+1

「rx+l,x<Op,（x+l,x>0

C，y=lx-1A>0D，y=lx-1A<0

5.如果2是函数f（x）=ax+b的一个零点，那么函数g（x）=bx2-ax的零点

是•

题组二函数零点（方程的解）个数的判断

6.若函数f（x）在定义域仅打£尺,且xwO｝上是偶函数，且在（0,+◎上是减函

数,f（2）=0厕函数f（x）的零点有（）

A.一个B.两个

C.至少两个D.无法判断

7.(多选)(2021陕西宝鸡期中)若函数y=f(x)在区间［a,b］上的图象是一条连续的

曲线，则下列说法中不正确的是()

A若f⑻他)>0厕不存在实数c£(a,b),使得f(c)=0

B.若f(a>f(b)<0厕存在且只存在一个实数c£(a,b),使得f(c)=0

C.若f(a)-f(b)>0,则有可能存在实数c£(a,b),使得f(c)=0

D.若f(a>f(b)<0厕有可能不存在实数c£(a,b),使得f(c)=0

8.(2020江西九江一中期中)方程|lgx|+x-2=0的解的个数是()

A.0B.lC.2D.3

9.判断函数f(x)=lnx+x2-3的零点个数.

题组三确定函数零点(方程的解)所在区间

10.(2020广东惠州期中)函数f(x)=的零点所在的区间为()

A(呢)B.&1)C,(l,|)以|,2)

11.侈选)若函数f(x)唯一的零点在区间(L3),(L4),Q,5)内则下列说法一定正确

的是()

A.函数f(x)在(1,2)或［2,3)内有零点

B.函数f(x)在(3,5)内无零点

C函数f(x)在［2,5)内有零点

D.函数f(x)在［2,4)内不一定有零点

12.(2020河北邯郸月考)图象为一条连续的曲线的函数f(x)的部分对应值如表所

示,______

X123456789

f(x)117-2163-4-3-2

则函数f(x)有零点的区间是

13.设xo是方程Inx+x=4的解，且xo£(k,k+l),k£Zj^k=.

14.求证:方程5x2-7x-l=0的一个根在区间(-L0)上另一个根在区间(L2)上.

题组四函数零点的分布问题

15.(2020山东泰安一中月考)已知xo是函数f(x)=2x+；的一个零点若

1—X

XIG(l,X0),X2e(Xo,+oo),100()

A.f(xi)<0,f(X2)<0

B.f(xi)<0,f(X2)>0

C.f(xi)>0,f(X2)<0

D.f(xi)>0,f(x2)>0

16.(2020山东济南历城第二中学期末)已知函数f(x)=lnx-m的零点xo位于区间

(Le)内,则实数m的取值范围是.

17.已知函数f(x)=x2-ax+2,在下列条件下，求实数a的取值范围.

(1)零点均小于2;

(2)一个零点大于2,一个零点小于2;

(3)在(2,4)内恰有一个零点.

能力提升练

题组一函数的零点(方程的解)及个数问题

1.(2022广西柳州联考)下列函数在(0,+8)上单调递增且存在零点的是()

A.y=x2-x-3B.y=-0.2x

C.y=x+-D.y=x--

JXJX

2.(2020四川成都期中)已知f(x)=-x2+2x+l,g(x)=|lnx|,则方程f(x)-g(x)=0的

实数根个数为()

A.0B.1

C.2D.3

f|log2(x+l)|,xG(-l,3),

3.(2020河北唐山一中期中)已知函数f(x)二4二匕工、则函数

[―,xG[3,+oo),

g(x)=f(f(x))-l的零点个数为()

A.1B3

C.4D.6

4.(2020河南商丘联考)定义在R上的奇函数f(x),当x>0

flogi(x+l),xG[0,l),

时,f(x)=|2贝口关于x的函数F(x)=f(x)-a(0<a<l)的所有零点

<1—|x-3|,%G[1,4-00),

之和为()

A.l-2aB.2a-1

C.l-2aD.2a-1

5.(2020天津南开期末)已知三个函数f(x)=2><+x-2,g(x)=x3-8,h(x)=log2X+x-2

的零点依次为a,b,c厕a+b+c=()

A.6B.5C.4D.3

6.已知函数f(x)=『2—L则函数g(x)=(x-2)f(x)-2x+l的零点个数

为.

7.(2020福建宁德统考)已知函数f(x)二霁其

⑴当a=1时，判断函数f(x)的奇偶性并证明;

⑵讨论函数f(x)的零点个数.

8.(2020广西桂林检测)已知定义域为［0,1］的函数f(x)同时满足

①对于任意x£［0,l］,f(x)>0;

②f⑴=1；

③若X11,X2,O,X1+X241则f(Xl+X2)>f(Xl)+f(X2).

⑴求f(o)的值；

(2)函数g(x)=f(x)-2x^在［Q］上有没有零点?若有，求出零点港没有,请说明理由.

题组二函数零点(方程的解)所在区间

9.(2020黑龙江哈师大附中月考)若函数y=f(x)(x£R)是奇函数其零点分别为

X1,X2,...,X2017,且X1+X2+...+X2017=m,则关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间

是()

A.(0,l)C.(2,3)D.(3,4)

10.设羽出田均为正数AL〈入2〈入3厕函数f(x)二号+号+彳的两个零点所在的

X-A1%-42%-43

区间分别是()

A.(-OO,AI),(XI,X2)

B.(入L入2),(入2,入3)

C.(入2,入3),(入3,+8)

D.(-OO,A1),(A3,+OO)

1L设函数y=x3与y=Q)的图象的交点为(xo,yo),若xo£(n,n+l),n£M则Xo所

在的区间是.

题组三根据函数零点(方程的解)的情况求参

12若函数y=Q)R"+m有零点厕实数m的取值范围是()

A.(-oo,-l]B.[-1,+OO)

C.[-l,0)D.(0,+oo)

13.若函数f(x)=(2ax-l)2-loga(ax+2)在区间[o用上恰有一个零点厕实数a的取

值范围是()

呜乡BR+8)

C.[2,3]D.[2,3)

14.侈选)(2020山东临沂罗庄期中)若关于x的方程/-冈+a=0有4个不同的

实数解，则实数a的值可能是()

1111

A民CD

----

2346

15.(2020山东济钢高中月考)已知函数f(x)=『若函数g(x)=f(x)_m

(-1""NX/Xu,

有3个零点，则实数m的取值范围是

16.若函数f(x)=x-g)\a的零点在区间(L+8)上厕实数a的取值范围

是.

17.(2020河南商丘九校联考)已知函数f(x)玳;了我21若

f(Xl)=f(X2)=f(X3)(Xl,X2,X3互不相等)，则X1+X2+X3的取值范围是()

A.(0,8)B.(L3)c.(3,4]D.(l,8]

18.(2020江西九江一中期末)已知函数?°若关于x的方程

[f(x)]2-bf(x)+l=0有8个不同的根,则实数b的取值范围是()

A。用

B.(-°°,-2)U(2,7

CO陷

D.(-°°,-2)U(2,+oo)

19.(2020湖南张家界期末)已知函数f(x)=|x2-4|+x2+ax,aeR.

⑴若f(x)为偶函数,求实数a的值；

(2)当a=4时,求函数f(x)的零点;

⑶若方程f(x)=0在(0,4)上有两个不同的实数根xi,X2(xi<X2),求实数a的取值范

围.

答案与分层梯度式解析

第五章函数应用

§1方程解的存在性及方程的近似解

1.1利用函数性质判定方程解的存在性

基础过关练

1.A

2.A令2x2+x-l=0,即(2x-l)(x+l)=0,解得x=T或x=-l.故选A.

3.P当x<l时，令2x-l=0相x=0;当x>l时，令l+log2X=0,得xW，舍去.综上所

述，函数f(x)的零点为0.故选D.

4.BPA选项中，令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=x/的零点；

B选项中，令y=0,则2x2-x+l=0,因为△=(-l)2-4x2xl=-7<0,

所以函数丫="2外+1无零点；

C选项中，令y=0,解得x=±1,故-1和1是函数y=｛；；乂J°，的零点；

D选项中，令y=0,方程无解,故函数y=｛；m3°，无零点.故选BD.

5.答案0片

解析：2是函数f(x)=ax+b的一个零点

/.2a+b=0,gpb=-2a,

.,.g(x)=bx2-ax=-2ax2-ax=-ax(2x+l),

令-ax(2x+l)=(X得x=0或x=-1,

二函数g(x)=bx2-ax的零点是0,-|.

6.Bf(x)在(0,+8)上是减函数，£(2)=0,所以£仅)在(0,+8)上有且仅有一个零点2.

又f(x)是偶函数，所以f(x)在(-8。上有且仅有一个零点一2.因此函数f(x)有两个零

点,

7.ABP对于函数f(x)=x4x曰-Ll],f(-Df(D>0,但f(0)=0,故A中说法不正

确,C中说法正确;对于函数f(x)=x3-x,x£[-2,2],f(-2)・f(2)<0,但f(0)=f(-

l)=f(l)=0,故B中说法不正确;由零点存在定理知D中说法不正确.

易错警示

、愿使用零点存在定理时，一定要注意它的使用条件.满足条件时，能够判断函数

存在零点，但是不满足条件时，函数也可能存在零点.

8.C由|lgx|+x-2=0得|lgx|二2-x,在同一平面直角坐标系内作出y=|lgx出勺图

象与y=2-x的图象，如图所示，

由图可知y二|lgx出勺图象与y=2-x的图象有两个交点，所以方程|lgx|+x-2=0有

两个解，故选C.

9.解析解法一:函数对应的方程为Inx+x2-3=0,故原函数的零点个数即为函数

y=lnX与y=3-x2的图象交点个数.

在同一平面直角坐标系中,作出两个函数的图象(如图).

由图象知，函数y=3-x2与y=lnx的图象只有一个交点，从而Inx+x2-3=0只有一

个根,即函数f(x)=lnx+x2-3有且只有一个零点.

解法二:・••f(l)=ln1+12-3=-2<0,

f(2)=ln2+22-3=ln2+1>0,

.••f(D-f(2)<0,

又f(x)=lnx+x2-3的图象在(L2)上是不间断的〃叶仪)在(1,2)上必有零点，

又又)在(0,+8)上是单调递增的,

」•函数的零点有且只有一个.

10.P易知函数f(x)=y-I在(0,+8)上单调递增，且其图象是一条连续的曲线.

所以f(|}f(2)<0,

根据零点存在定理可知，函数f(x)二后|的零点所在的区间为(|,2).故选D.

11.ABP由题意得函数在(L3)内有零点，在［3,5)内无零点，所以A、B、D一定

正确,C不一定正确.故选ABD.

12.答案(2,3),(3,4),(6,7)

解析由零，黯矗理母知，函数f(x)有零点的区间是(2,3),⑶4),(6,7).

13.答案2

解析令f(x)=lnx+x-4,易知f(x)在(0,+8)上单调递增，且其图象是一条连续的

曲线，

•.f(2)=ln2-2<0,f(3)=ln3-1>0,

」•初仅在(2,3)内有零点，

.-.k=2.

14.证明由题意得方程5x2-7x-l=0的判别式A=69>0,故方程共有两个不相等

的实数根.

设f(x)=5x2-7x-L贝Uf(-l)=5+7-l=ll,f(0)=-l,f(l)=5-7-l=-3,f(2)=20-14-

1=5.

•.f(-l).f(0)=-ll<0,f(Df(2)=-15<0,且f(x)=5x2-7x-l的图象在R上是连续不

断的，

・•・f(x)在(-1,0)和(L2)上分别有零点，

即方程5x2-7x-l=0的一个根在区间(-L0)上另一个根在区间(L2)上.

15.B•.•函数y=2'y=去在(L+8)上均为增函数〃•.函数%)在(1,+8)上为增函数

.•.由xiW(Lxo),f(xo)=O,得f(xi)<f(xo)=O,

由X2G(X0,+OO),f(xo)=O,得f(x2)>f(xo)=O.

16.答案(0,1)

解析令f(x)=lnx-m=C\得m=lnx.因为xo£(l,e),所以Inxo£(O,l),故

me(0,l).

p2-8>0,

17.解析(1)根据题意得f(2)=6-2a>0,

.I?<乙

解得a<-2/或2V2<a<3,

即实数a的取值范围为(-8,-2a]U[272,3).

(2)根据题意得f(2)=6-2a<0,解得a>3,

即实数a的取值范围为(3,+8).

⑶根据题意得f(2)f(4)=(6-2a)(18-4a)<0或｛黄[彳。'解得3<a<|.

综上所述，实数a的取值范围为(3,|).

能力提升练

l.Py=xf在(0,+8)上单调递增，且当x=l时,y=0,故存在零点，符合要求.故选D.

2.C在同一平面直角坐标系内作出f(x),g(x)的图象，如图所示.

由图可知两个函数的图象有两个交点，所以方程f(x)-g(x)=O有两个实数根，故选

C.

3.C令f(x)=L当xR-1,3)时,|log2(x+l)|=L解得xi二0X2,当X£[3,+8)

时匕=L解得X3=5.综上,f(x)=l的解为X/X2=LX3=5.作出f(x)的图象如图所

由图象可得岭)/无解的)=1有3个解,f(x)=5有1个解，因此函数g(x)=f

(f(x))-l的零点个数为4,故选C.

4。函数F(x)=f(x)-a的零点，即函数y=f(x)的图象与直线y=a的交点横坐标.

在同一平面直角坐标系中作出函数y=f(x)的图象和直线y二a,如图所示.

由图象知，当0<a<l时,y=f(x)的图象与直线y=a有5个交点，交点的横坐标从左

到右依次记为X1,X2,X3,X4,X5,

且X1+X2=-6,X4+X5=6,f(X3)=a(-l<X3<0).

由f(X3)=a及f(x)为奇函数得”-X3)=-a(0<-X3<l),

所以logi(-X3+1)=-a,BPX3=l-2a.

2

因止匕Xl+X2+X3+X4+X5=>2a,故选C.

5.C令f(x)=2x+x-2=0,h(x)=log2X+x-2=0,贝U2x=2-x,log2X=2-x,gpa,c分另U

为直线y=2-x与函数y=2x,y=log2x图象交点(设为A,C)的横坐标.因为

x

y=2,y=log2x互为反函数,所以其图象关于直线y=x对称,而直线y=2-x与y=x

垂直，所以AC的中点即为直线y=2-x与y=x的垂足，坐标为Q1),故a+c=2.又

由题意得b3-8=0,解得b=2,所以a+b+c=4,故选C.

6.答案3

解析由9仅)=a-2开(刈-2*+1=0必2)=-3/0,得%)=答=2+刍作出函数

与y=2+2的图象，如图所示，

由图象可知两个函数图象共有3个交点，故函数g(x)的零点个数为3.

7.解析Q)当a=l时屈数岭)=需，该函数为奇函数.

证明如下:依题意得函数f(x)的定义域为R,关于原点对称，

因为心)=需=翼^^=-f(x),

所以函数f(x)为奇函数.

(2股)=%邕=卑产=2-备，

令f(x)=O彳导a=篇，

因为函数y=2x在R上单调递增且值域为(0,+8),

所以y=«在R上单调递减且值域为(0,2),

所以当a«0或组2时，函数f(x)无零点；

当0<a<2时，函数f(x)有唯一零点

8.解析Q)在条件③中，令xi=X2=0,

得f(0)2f(0)+f(0),即f(0)<0,

由条件①知由)“,所以收)=0.

(2)没有.理由如下：

任取X1,X2£[0,1],且X1<X2,

则X2-Xl£(0,l]厕f(X2-Xl)>0,

所以f(X2)=f[(X2-Xl)+Xl]>f(X2-Xl)+f(Xl)>f(Xl),

所以f(X)在。1]上为增函数，

所以f(X)的最大值是f⑴=1.

取x[,i]则2x>2xl=l,

所以对一切实数都有f(x)<2x,

所以对一切实数xw加部有f(x)<2x+白

即对一切实数都有f(x)-2x-^<0,

所以函数g(x)=f(x)-2x*在加上没有零点

9.A因为函数丫二岭)仅£R)是奇函数所以乂1与X2017,X2与X2016,..,X1008与

X1010关于y轴舟称，且X1009=0,所以X1+X2+...+X2017=m=0厕关于X的方程为

2x+x-2=0.

令h(x)=2x+x-2,

易知h(x)在R上递增，且其图象是一条连续的曲线.

因为h(0)=20+0-2=-l<0,h(l)=21+l-2=l>0,

所以关于x的方程2x+x-2=m的根所在区间是(0,1),故选A.

10.8由已知得，当X£(-8海时,X-入LX-入2,x-入3的值均小于。故f(x)<0,故f(x)

在该区间内不存在零点;当乂£(入3,+8)时》-入1〃-入2〃-入3的值均大于0,故f(x)在该

区间内不存在零点，故两个零点所在的区间分别是(入1,入2),(入2,入3),故选B.

U.答案(1,2)

解析设f(X)=x3-gf：则X。是函数f(X)的零点，

因为f(l)=l-Qy=-l<0,限)=8-©°=7>0,所以但)丸2)<0,又岭)在尺上是增

函数,且其图象是一条连续的曲线，所以f(x)存在唯一零点xo,所以x0G(l,2).

12.C因为函数y=G)""+m有零点，

所以方程(-T+m=0有解，

即方程(『”二-m有解，

因为所以0<©"工1,

即0<-m《L因止匕故选C.

13.P函数f(x)在区间[o口上有零点的充分条件为f(0)f(炉0,即(1-Ioga2)・(：l-

loga3)<0,

|T]||[1-log2<°，或[1-log2>0,

AJaa

h-loga3>0^0U-loga3<0,

解得2waw3.

2

当a=30tf(x)=(6x-l)-log3(3x+2),

显然函数f(x)在区间［o岗上的图象是一条不间断的曲线，且f(l)=l-l=o,f(0)=l-

Iog32>0,

经检验，当a=2时，符合题意.

故实数a的取值范围为［2,3).故选D.

14.BCD当a=0时，方程为冈=0,解得x=0,不符合题意.

•.方程ax?-冈+a=0有4个不同的实数解，

/.a/O,x/O,

.•方程可变为:胃=冈+高

方程ax2-|x|+a=0有4个不同的实数解等价于函数y=|x|+三的图象和直线y三

有4个不同的交点.

作出函数y=|x|+部勺图象和直线y三，如图所示.

由图可知，当42,即0<a〈期，直线丫三与函数y=|x|+自