【中考压轴】2024年甘肃省天水市中考模拟数学试题（附答案）

2024年甘肃省天水市中考模拟数学试题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.-2的相反数是（）

A.2B.-2D.±2

2.从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

3.不等式3%-2〉4的解集是（）

A.x>—2B.-2C.x>2D.x<2

4.解方程-2（2x+l）=x,以下去括号正确的是（）

A.-4x4-1=-xB.-4x+2=—%C.-4x-l=xD.-4x-2=x

则条（）

5.若△ABC:ADEF,BC=6，EF=4，

A4c9cD.3

A.-B.一-1

942

6.高尔基说：“书，是人类进步的阶梯”.阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活,

给我们带来愉快.英才中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以

“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A.科

普，B.文学，C.体育，D.其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法

镇误的是（）

A.样本容量为40（）B.类型。阴对应的扇形的圆心角为36。

C.类型C所占百分比为30%D.类型B的人数为120人

7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1,蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而

且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形.如图2,

一个巢房的横截面为正六边形A88E尸，若对角线的长约为8mm,则正六边形

ABCDEF的边长为（）

图2

A.2mmB.2&mmC.2百mmD.4mm

8.船在静水中的速度为36千米/时，水流速度为4千米/时，从甲码头到乙码头再返回

甲码头，共用了9小时（中途不停留），设甲、乙两码头的距离为x千米，则下面所列

方程正确的是（）

A.（36+4）x+（36-4）（9-x）=lB.（36+4）x=9

xx八_xx

C.—+—=9D.-------+--------=9

36436+436-4

9.如图，一条公路（公路的宽度忽略不计）的转弯处是一段圆弧（AB），点0是这段

弧所在圆的圆心，半径。4=90m,圆心角NAO3=80。，则这段弯路（AB）的长度为

）

A.20mnB.307rmC.40/rmD.507rm

10.如图，在矩形ABC。中，尸是边AO上的一个动点，连接成，CP,过点8作射线,

交线段CP的延长线于点£交边AO于点M,且使得=尸，如果钻=2,

BC=5,AP=x,PM=y,其中2＜冗,5.则下列结论中，正确的个数为（）

4

（l）y与X的关系式为y=x--；（2）当AP=4时，ABPsDPC；（3）当AP=4时,

x

3

tan/EBP=—.

5

A・0个B・1个C.2个D.3个

试卷第2页，共8页

二、填空题

11.计算：/+a=.

12.因式分解：3a2-9ab=.

13.若一次函数y=2x+2的图象经过点（3,加），则加=.

14.如图，矩形ABC。中，A5=5,8C=4,点E是48边上一点，AE=3,连接OE,

点尸是8C延长线上一点，连接AF,且NF=g/EOC,则CF=.

15.如图，已知AB是。的直径，AC是一。的切线，连接0C交O于点。，连接BD.若

ZC=40°,则的度数是

16.如图，在四边形A8C。中，ABDC,AD,BC,在不添加任何辅助线的前提下,

要想四边形A8CO成为一个矩形，只需添加的一个条件是.

17.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y=-0.2V+x+2.25运行，然后准确落入

篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m,则他距篮筐中心的水平距离是一

m

18.如图，在矩形ABC。中，AB=6cm,BC=9cm,点E,F分别在边A8,BC上,

AE=2cm,BD,EF交于点G,若G是EF的中点，则BG的长为cm.

三、解答题

20.计算：4^^—V18+>/8.

21.如图，已知线段MN=a,AR，AK,垂足为a.

（1）求作四边形ABC。，使得点B,。分别在射线AK,4?上，且AB=3C=a,

加C=60。，CD//AB；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

（2）设P,。分别为（1）中四边形ABC。的边A3,8的中点，求证：直线AD,8C,PQ

相交于同一点.

22.随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测

量广场B,C两点之间的距离.如图所示，小星站在广场的8处遥控无人机，无人机在A

处距离地面的飞行高度是41.6m,此时从无人机测得广场C处的俯角为63。，他抬头仰

视无人机时，仰角为a,若小星的身高BE=1.6m,EA=50m（点A,E,aC在同一平面内）.

试卷第4页，共8页

A

---T*""

//V、63°

♦/、\

/\

/'

/、

Ej\a\

q\

BC

（1）求仰角a的正弦值；

（2）求aC两点之间的距离（结果精确到1m）.

（sin63°~0.89,cos63°®0.45,tan630®1.96,sin27°~0.45,cos27°~0.89,tan270~0.51）

23.一个不透明的箱子里装有3个红色小球和若干个白色小球，每个小球除颜色外其他

完全相同，每次把箱子里的小球摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回箱子里，

通过大量重复实验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.75左右.

（1）请你估计箱子里白色小球的个数；

（2）现从该箱子里摸出1个小球，记下颜色后放回箱子里，摇匀后，再摸出1个小球，

求两次摸出的小球颜色恰好不同的概率（用画树状图或列表的方法）.

24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、

丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理.为确定一个合

理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间（单

位：h）的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：

【数据收集】

78659104675II12876

4636891010136783510

【数据整理】

将收集的30个数据按A,8,C,D,E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整

的频数分布直方图（说明：A.3<r<5,B.5<t<7,C.l<t<9,D.

E.11W/W13,其中，表示锻炼时间）；

频数分布直方图

统计量平均数众数中位数

锻炼时间(h)7.3m7

根据以上信息解答下列问题：

⑴填空：;

(2)补全频数分布直方图；

(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7h,该校有600名学生，那么估计有多少名

学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由.

25.如图，在平面直角坐标系中，RtABC的斜边BC在x轴上，坐标原点是8c的中点，

ZABC=3O°,BC=4,双曲线y=与经过点A.

X

(2)直线AC与双曲线丫=-唯在第四象限交于点。.求的面积.

X

26.如图，AB是。的直径，点C是。上异于A、8的点，连接AC、BC,点。在

54的延长线上，且"C4=NABC,点E在OC的延长线上，且

试卷第6页，共8页

E,

c

D

(1)求证：OC是。的切线:

若若=|,*3,

(2)求A4的长.

E为对角线AC上一点.

A

图1图2图3

⑴【建立模型】如图1，连接8E,DE.求证：BE=DE;

(2)【模型应用】如图2,尸是延长线上一点，FBLBE,EF交A8于点G.

①判断AFBG的形状并说明理由;

②若G为AB的中点，且他=4,求""的长.

(3)【模型迁移】如图3,尸是OE延长线上一点，FBA.BE,E尸交AB于点G,BE=BF.求

证：GE=(V2-1)DE.

28.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABC。为正方形，点A,8在x轴上，抛物线

y=f+法+。经过点5,。(-4,5)两点，且与直线。C交于另一点E.

备用图

(1)求抛物线的解析式;

(2)F为抛物线对称轴上一点，。为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点Q,F,

E,8为顶点的四边形是以BE为边的菱形.若存在，请求出点尸的坐标；若不存在，

请说明理由；

(3)尸为y轴上一点，过点P作抛物线对称轴的垂线，垂足为连接ME,BP.探

究EM+MP+P8是否存在最小值.若存在，请求出这个最小值及点〃的坐标；若不存

在，请说明理由.

试卷第8页，共8页

参考答案：

1.A

【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得一个数的相反数.

【详解】-2的相反数是：一（一2）=2

故选：A.

【点睛】本题考查了相反数，关键是在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.C

【详解】时针1小时走1大格，1大格为30。.

解答：解：从3时到6时，钟表的时针旋转角的度数是（6-3）x30°=90°,故选C.

3.C

【分析】按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤

化系数为1即可得出答案.

【详解】解：3x-2>4,

移项得：3x>4+2,

合并同类项得：3x>6,

系数化为1得：x>2.

故选：C.

【点睛】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括

号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为I是解题的关键.

4.D

【分析】去括号得法则：括号前面是正因数，去掉括号和正号，括号里的每一项都不变号；

括号前面是负因数，去掉括号和负号，括号里的每一项都变号.

【详解】解：-2（2x+l）=x

-4x-2=x,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，把未知

数系数化为1,求出解.去括号注意几点：①不要漏乘括号里的每一项；②括号前面是负因

数，去掉括号和负号，括号里的每一项一定都变号.

5.D

答案第1页，共21页

【分析】根据可以得到方=6,然后根据8C=6,EF=4,即可求解.

EFDr

【详解】解：•.•△AB。：ADEF

.BCAC

・・而一而‘

BC=6,EF=4,

,AC63

..---=———

OF42

故选D

【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键.

6.C

【分析】根据A类型的条形统计图和扇形统计图信息可判断选项A；利用360。乘以10%可

判断选项B；利用C类型的人数除以样本总人数可判断选项C；利用B类型所在百分比乘以

样本总人数即可判断选项Z).

【详解】解：100+25%=400,则样本容量为400,选项A说法正确；

360°x10%=36°,则选项B说法正确；

提140xl00%=35%,则选项C说法错误；

(1-25%-35%-10%)X400=120(人)，则选项D说法正确；

故选：C.

【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，熟练掌握统计调查的相关知识是

解题关键.

7.D

【分析】如图，连接C尸与A。交于点O,易证△C。。为等边三角形，从而CD=OC=O*

AD,即可得到答案.

【详解】连接CF与A。交于点。，

：ABCDEF为正六边形，

•*.ZCOD=36。.=60。,CO=DO,AO=DO=AD=4mm,

62

.♦.△COO为等边三角形，

CD=CO=DO=4mm,

即正六边形ABCDEF的边长为4mm,

答案第2页，共21页

故选：D.

【点睛】本题考查了正多边形与圆的性质，正确把握正六边形的中心角、半径与边长的关系

是解题的关键.

8.D

【分析】由题意可得顺水中的速度为（36+4）km/h,逆水中的速度为（36-4）km/h,根据“从

甲码头顺流航行到乙码头，再返回甲码头共用9/广可得顺水行驶x千米的时间+逆水行驶x

千米的时间=9/7,根据等量关系代入相应数据列出方程即可.

【详解】设甲、乙两码头的距离为x千米，

由题意得:------1------=9

36+436-4

故选D.

【点睛】此题主要考查了一元一次方程的应用的航行问题，顺水中的速度=船在静水中的速

度+水流速度，逆水中的速度=船在静水中的速度-水流速度，关键是正确理解题意，抓住题

目中的关键语句找等量关系，列出方程.

9.C

【分析】根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路（AB）的长度.

【详解】解：•.•半径Q4=90m,圆心角乙4。8=80。，

,这段弯路（AB）的长度为：8°：；9。=40万（m）,

180

故选c

【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是明确弧长计算公式/=偿.

1oO

10.C

AR4A4

【分析】（1）证明AAWS,.,得=,将AB=2,AP=x,=y代入，即

APAB

可得y与x的关系式；

（2）利用两组对应边成比例且夹角相等，判定AABPSDPC；

答案第3页，共21页

(3)过点M作5P垂足为尸，在心△AP3中，由勾股定理得3P的长，证明AFQWSJ1P3,

求出MHPF,8/的长，在R4BMF中,求出tanNEBP的值即可.

【详解】解：(1);在矩形ABCQ中，

:.AD〃BC,ZA=ZD=90°,BC=AD=5fAB=DC=29

；・ZAPB=NCBP,

•：/ABE=/CBP,

・・・ZABE=ZAPB,

:.ABMjAPB，

.ABAM

^~AP~~AB9

：AB=2,AP=x,PM=y,

,2x-y

2'

4

解得：y=x——,

X

故(1)正确；

(2)当A尸=4时，DP=AD-AP=5-4=1,

.DCDP1

一寿一前-5'

又＜ZA=ZD=90°,

:.ABPsDPC,

故(2)正确；

・・・ZA=ZMFP=ZMFB=90°,

4

•••当AP=4时，止匕时x=4,y=x—=4-1=3,

x

：.PM=3,

在R/_A心中，由勾股定理得：BP2=AP2+AB\

­■•BP=y/AP2+AB2=V42+22=2#)，

答案第4页，共21页

•:/FPM=ZAPB,

:._FPMSJAPB,

.MFPFPM

^~AB~~AP~~PB'

MFPF_3

・・・丁=丁"亚’

MF=,尸尸=述，

55

；•BF=BP-PF=2y[5-^-=^,

55

3x/5

tanZEBP=—==-

BF464

"I"

故（3）不正确；

故选：C.

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，勾股定理的应用，矩形的性质，正确找出

相似三角形是解答本题的关键.

11.a2.

【分析】同底数塞相除，底数不变，指数相减

【详解】解：原式=〃"'=〃2.

故答案为

12.3a(a-3Z?)

【分析】利用提取公因式法因式分解即可

【详解］解：3a2-9ab=3a(a-3b)

故答案为：3a（4-3。）

【点睛】本题考查提取公因式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是关键

13.8

【分析】将点3M代入一次函数的解析式中即可求出巾的值.

【详解】解：由题意知，将点⑶间代入一次函数y=2x+2的解析式中，

即：01=2x3+2,

解得：=8.

故答案为：8.

答案第5页，共21页

【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，点在图像上，则将点的坐标代入解析式中即可.

14.6

【分析】过点。作可证明NNDM=NGDM,从而得一NMD^GMD,DN=DG,

设DN=DG=x,列出比例式，求出x的值，进而即可求解.

【详解】解：过点。作。ML4F,则NM4D+NADM=90。，

・・,在矩形4?CO中，ZAZ)M+ZCDM=90°,

；・NMAD=/CDM,

♦：AD〃BF,

：.ZF=ZMAD9

•/NF=、NEDC,

2

：.ZMAD=-ZEDC

2f

・・・NCDM=L/EDC,

2

:・/NDM=/GDM,

VZNMD=ZGMD=90°,DM=DM,

:,NMDgGMD,

:・DN=DG,

VAD=BC=4,AE=3f

•*•/)£=V32+42=5,

设DN=DG=x,

*：AB//CD,

：.DGN^-EAN,

••♦黑=器，即：『=弓，解得:户2

ENAE5—x3

:・DN=DG=2,

答案第6页，共21页

U：AD//BF,

：.ADG^FCG,

即：—,解得：CF=6,

CFCGCF5-2

故答案是：6.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性

质，添加辅助线，证明NMD^GMD,是解题的关键.

15.25

【分析】先由切线的性质可得NOAC=90。，再根据三角形的内角和定理可求出NAOD=50。，

最后根据“同弧所对的圆周角等于圆心角的一半''即可求出NB的度数.

【详解】解：；AC是。的切线，

，ZOAC=90°

zc=40°,

.".ZAOD=50°,

ZB=yZAOD=25°

故答案为：25.

【点睛】本题考查了切线的性质和圆周角定理，掌握圆周角定理是解题的关键.

16.ZA=90°（答案不唯一）

【分析】】先证四边形ABC。是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论.

【详解】解：需添加的一个条件是/A=90。，理由如下：

'：AB//DC,AD//BC,

•••四边形ABC。是平行四边形，

XVZA=90°,

•••平行四边形ABC。是矩形，

故答案为：NA=90。（答案不唯一）.

【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和

平行四边形的判定与性质是解题的关键.

17.4

【分析】将》=3.05代入y=-0.2f+x+2.25中可求出x,结合图形可知x=4,即可求出OH.

【详解】解：当y=3.05时，-0.2/+x+2.25=3.05,解得：x=l或x=4,

答案第7页，共21页

结合图形可知：OH=4m,

故答案为：4

【点睛】本题考查二次函数的实际应用：投球问题，解题的关键是结合函数图形确定x的值.

18.历

【分析】根据矩形的性质可得A5=8=6cm,ZABC=ZC=90°,AB//CD,从而可得

ZABD^ZBDC,然后利用直角三角形斜边上的中线可得£G=BG,从而可得

/BEG=/ABD,进而可得NBEG=N8DC,再证明△EMs4。口,利用相似三角形的

性质可求出BF的长，最后在RBEF中，利用勾股定理求出E尸的长，即可解答.

【详解】解：•••四边形A8CD是矩形，

AAB^CD=6cm,ZABC=ZC=90°,AB//CD,

：.ZABD=ZBDC,

AE=2cm,

BE=AB-AE=6-2=4(cvn),

是EF的中点，

EG=BG=-EF,

2

，NBEG=NABD,

：.ZBEG=NBDC,

：./\EBFsADCS,

.EBBF

""DC~CB'

•4_BF

/.BF=6cm,

EF=BE2+BF2=5/42+6?=2后(cm),

?.BG=*F=&i(cm),

故答案为：屈.

【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上

的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键.

答案第8页，共21页

19.

。+2

【分析】根据分式混合运算的顺序，依次计算即可.

■、必痴?1a—3a〜—42

［详你H------------丁+——-

。+4。+4a-3a+2

a-3(a+2)(a-2)2

(a+2)2a-3a+2

a-22a

_____p___=___

a+2a+2a+2

故答案为七

a+2

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握约分，通分，因式分解的技巧是解题的关键.

20.夜

【分析】根据二次根式的性质计算即可；

【详解】原式=4x立-30+2&=2夜-30+2立=应；

2

【点睛】本题主要考查了二次根式的加减运算，准确计算是解题的关键.

21.(1)作图见解析；(2)证明见解析

【分析】(1)根据4J=。，点B在射线AK上，过点A作4J=a；根据等边三角形性质，得

AB=BC=AC,分别过点A、B,。为半径画圆弧，交点即为点C；再根据等边三角形的性

质作CZ),即可得到答案；

(2)设直线8C与AO相交于点5、直线产。与AO相交于点S',根据平行线和相似三角形

的性质，得益=15，从而得S'O=SQ,即可完成证明.

【详解】(1)作图如下：

四边形A8C。是所求作的四边形；

(2)设直线BC与AZ)相交于点S,

答案第9页，共21页

S⑸

♦：DC//AB，

_SBAsSCD,

.SAAB

SD-DC

设直线PQ与AO相交于点S',

_eS'APA

向理=---.

S'DQD

VP,。分别为A3,CD的中点,

QD=^DC

.PAAB

^~QD~~DC

.SfA_SA

•・而一而‘

.S'D+ADSD+AD

"-s5--~SD-'

,ADAD

••而—访‘

・•・S'D=SD,

・・・点S与S'重合，即三条直线AD,BC,PQ相交于同一点.

【点睛】本题考查了尺规作图、等边三角形、直角三角形、平行线、相似三角形等基础知识，

解题的关键是熟练掌握推理能力、空间观念、化归与转化思想，从而完成求解.

4

22.(1)-；(2)B,C两点之间的距离约为51m.

【分析】(1)如图，过A点作AD_LBC于力，过E点作EFLAD于尸，利用四边形8。尸E

为矩形得到EF=BD,OF=BE=1.6m,则AF=40m,然后根据正弦的定义求解；

(2)先利用勾股定理计算出EF=30m,再在汽必ACZ)中利用正切的定义计算出CD,然后

计算BO+CO即可.

【详解】解：(1)如图，过4点作AD_LBC于。，过E点作于凡

答案第10页，共21页

■:/EBD=NFDB=NDFE=90°,

・・・四边形3。所为矩形，

:・EF=BD,DF=BE=1.6m,

AAF=AD-DF=41.6-1.6=40(m),

ApAn44

在中，sinZAEF=---=—=—,艮|Jsin。二一.

AE5055

4

答：仰角4的正弦值为二；

(2)在R/ZiAE尸中，EF=45()2-4G?=30m,

在R3AC。中，ZACD=63°,AO=41.6m,

AD

VtanZACD=——,

CD

：.C£>=41.6:tan63。=41.6-1.96^21.22m,

/.BC=BD+CD=30+2\.22-51m.

答：B,C两点之间的距离约为51m.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：根据题意画出几何图形，当图形

中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，把实际问题划归为直角三角形中

边角关系问题加以解决.

a

23.(1)1个；(2)-

8

【分析】(1)先利用频率估计概率，得到摸到红球的概率为0.75,再利用概率公式列方程,

解方程可得答案：

(2)利用列表或画树状图的方法得到所有的等可能的结果数，得到符合条件的结果数，再

利用概率公式计算即可得到答案.

【详解】解：(1)•.•通过多次摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.75左右，

,估计摸到红球的概率为0.75,

答案第II页，共21页

3

设白球有1个，依题意得—=0.75

3+x

解得，X=l.

经检验：X=1是原方程的解，且符合题意,

所以箱子里可能有1个白球；

（2）列表如下:

红，红2红3白

红1（红1，红（红1，红2）（红1,红）（红1，白）

红2（红2，红1）（红2,红2）（红2,红）（红2,白）

红3（红3,红1）（红3,红2）（红3,红3）（红3,白）

白（白，红Q（白，红2）（白，红）（白，白）

或画树状图如下:

开始

第一次

第二次红3白

•••一共有16种等可能的结果，两次摸出的小球颜色恰好不同的有：

（红I,白）、（红2,白）、（红3,白）、（白，红|）、（白，红2）、（白，红3）共6种.

.••两次摸出的小球恰好颜色不同的概率二=[.

【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，利用列表法或画树状图的方法求解等可能事件的

概率，掌握实验次数足够多的情况下，频率会稳定在某个数值附近，这个常数视为概率，以

及掌握列表与画树状图的方法是解题的关键.

24.（1）6

（2）见解析

（3）340名；合理，见解析

答案第12页，共21页

【分析】（1）由众数的定义可得出答案.

（2）结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图.

（3）用总人数乘以样本中每周不少于7h的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成

目标，即目标合理.

【详解】（1）由数据可知，6出现的次数最多，

•*.m=6.

故答案为：6.

（2）补全频数分布直方图如下：

频数分布直方图

3030

答：估计有340名学生能完成目标；

目标合理.

理由：过半的学生都能完成目标.

【点睛】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解

决问题的关键.

25.（1）k=6（2）△A8O的面积4代

【分析】（1）过点A作轴于点E,由题意易得AC=2,ZAC8=60。，进而可得

CE=1,AE=6,然后可得点40,6）,最后问题可求解；

（2）由（1）可先求出直线AC的解析式为y=-Gx+2&,然后联立直线4c的解析式与

反比例函数y=-述，进而可得点。的坐标，最后利用割补法求解三角形的面积即可.

X

【详解】解：（1）过点A作轴于点E,如图所示：

答案第13页，共21页

VZABC=30°,BC=4,ZBAC=90°,

AAC=-BC=2ZAG?=60。，

2f

AZE4C=30°,

:.EC=-AC=1,

2

・••在R/ZkAEC中，AE=\lAC2-CE2=73，

•・•点。是8c的中点，

・・・OC=2,

・・・OE=lf

••k=\x百=y/3；

（2）由（1）可得：A（l,6）,C（2,0）,

k+b=G

...设直线AC的解析式为丫=辰+方，则把点A、C代入得:

2k+b=U

k=—5/3

解得:

Z?=2A/3

直线AC的解析式为），=一+,

联立y=_gx+2有与反比例函数y=_地可得：-&+2£=-巫,

XX

解得：占=3,々=-1（不符合题意，舍去），

.•.点£＞（3,-73）,

答案第14页，共21页

S四=5A雇+5"8=gx4x(75+G)=46.

【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合及含30。直角三角形的性质、勾股定理，熟

练掌握反比例函数与几何的综合及含30。直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键.

9

26.(1)见解析；(2)—

【分析】(1)连接OC,根据圆周角定理得到NACB=90。，根据等量代换得到NQCO=90。，

即可证明OC是圆。的切线；

(2)根据已知得到OA=2D4,证明△DCOSADEB,得到空=空，可得94=』仍，即

DBEB10

可求出D4的长.

【详解】解：(1)如图，连接。C,由题意可知：NAC8是直径A8所对的圆周角，

，ZACB=90°,

VOC,08是圆。的半径，

:.OC=OB,

：./OCB=NABC,

又・・・NZ)CA=NA5C

・•・NDCA=NOCB,

：.ZDCO=ZDCA+ZACO=ZOCB+ZACO=NACB=90°,

:.OCLDC,

又TOC是圆。的半径，

・・・OC是圆。的切线；

c・♦OA2

(2)・----=—，

OD3

nA?

・•・7^7=3,化简得0A=2ZM,

0A+DA3

由(1)知,ZDC0900,

BELDC,BPZD£B=90°,

答案第15页，共21页

・・・NDCO:/DEB,

：.OC//BE,

:.△DCOs^DEB,

.DOCO网］D4+0A3D432D4

^~DB~~EB"DA+OA+OB~~5DA~5~^B9

：.DA=­EB

10f

•:BE=3,

339

：.DA=—EB=^3=^-

1010109

经检验：〃=木9是分式方程的解，

DA=—.

10

【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定，正确的作出辅助

线，证明切线，得到相似三角形是解题的关键.

27.⑴见解析

(2)①等腰三角形，见解析；②至

(3)见解析

【分析】(1)根据正方形的性质，证明AABE三ADE(SAS)即可.

(2)①根据(1)的证明，证明NFBG=/FGB即可.

②过点尸作垂足为//.利用三角函数求得尸“，4”的长度即可.

(3)证明GE=EF-FG=6BE-BF=y/^DE-DE=(应-1)DE即可.

【详解】(D)证明：：四边形ABCO为正方形，AC为对角线，

AAB=AD,Nfi4E=NZME=45°.

*/AE=AE,

：.AABE=A£>£(SAS),

/.BE=DE.

(2)①△F8G为等腰三角形.理由如下：

:四边形A8CC为正方形，

二ZGAD=90°,

答案第16页，共21页

・・・ZAGD+ZADG=90°.

■:FBYBE,

：.ZFBG+ZEBG=90°,

由⑴得ZADG=NEBG,

:.ZAGD=/FBG,

又丁ZAGD=/FGB,

：./FBG=/FGB,

・•・△F3G为等腰三角形.

②如图1,过点F作FH,AB,垂足为

•・,四边形ABCO为正方形，点G为AB的中点，AB=4,

/•AG=BG=2,AD=4.

由①知尸G=fB,

:・GH=BH=1,

：.AH=AG+GH=3.

在RtYFHG与Rt/XDAG中，

■:ZFGH=ZDGAf

tanZ.FGH=tanZDGA,

.FHAD4

••---==一,

GHAG2

，FH=2.

在Rtz^AH/中,AF^>jAH2+FH2=5/9+4=5/13.

图1

(3)如图2,FBVBE,

"BE=90°.

在RtAEBF中，BE=BF,

答案第17页，共21页

：•EF=6BE.

由（1）得BE=DE,

由（2）得FG=BF,

：.GE=EF-FG=®BE-BF=CDE-DE=*DE.

图3

【点睛】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理，

熟练掌握正方形的性质，勾股定理和三角函数是解题的关键.

28.（1）y=x2+2x-3；（2）存在以点。，F,E,8为顶点的四边形是以8E为边的菱形，

点尸的坐标为卜1,后）或