2021-2022学年高二年级上册数学人教A版选择性必修第一册14课时 空间向量的应用 课时练习 【含答案】 (一)

20212022学年高二数学(人教A版选择性必修一)

L4课时空间向量的应用

一、单选题。本大题共8小题，每小题只有一个选项符合题意。

1.已知向量2二(2,—3,1),5=(-3,2㈤，且£_L石，则x的值为

A.-14B.10C.12D.14

2.若A(-l,0,2),8(1,4,10)在直线/上，则直线/的一个方向向量为()

A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)

3.在平行六面体ABCD-AMGA中，若离=〃通+力通+3。9，则上的值等于()

1571

A.-B.-C.-D.一一-

6666

4.若向量漏为两个非零向量，且|〃|=|同=|。一引，则向量£+B与£的夹角为

zn2n一5兀

A.-B.-C.—D.—

6336

5.平面。的一个法向量为»=(1,2,1),平面月的一个法向量E=—(2,4,2),则平面。与平面夕()

A.平行B.垂直C.相交D.不能确定

6.若平面的法向量分别为£=(g,-l,3)方二(-1,2,-6),则()

A.alipB.a与£相交但不垂直

C.aLfiD.a//〃或a与£重合

7.如图，设P是正方形A8CO所在平面外一点，且尸4_L平面48c。，则平面Q43与平面P8C、平面

B4Z)所在平面的位置关系是()

A.平面AA8与平面P3C、平面PAD都垂直

B.它们两两垂直

C.平面与平面PBC垂直，与平面PAD不垂直

D.平面Q48与平面P5C、平面24。都不垂直

8.在长方体ABC。—AMG。中，E,尸，G分别为楂AA，C。,OR的中点,AB=AAi=2ADt

则异面直线所与8G所成角的大小为（）

A.30°B.60°C.90°D.120°

二、多选题。本大题共4小题，每小题有两项或以上符合题意。

9.已知A,B,C三点不共线，。为平面ABC外的任一点，则“点M与点A,B,C共面”的充分条件的是

（）

A.OM=2OA-OB-OCB.OM=OA+OB-OC

———1―.1—.---1——1―.1—.

C.OM=OA+-OB+-OCD.OM=-OA+-OB+-OC

23236

10.正方体ABCD-AliG。的棱长为1,E,F,G分别为8C,CG,8凡的中点.则（）

A.直线OQ与直线4”垂直B.直线AiG与平面AE尸平行

9

C.平面AE”截正方体所得的截面面积为三D.点。与点G到平面AEr的距离相等

O

11.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为％,质，若<%,%>=(,则二面角

A-33—C的大小可能为()

12.将正方形A5CD沿对角线8。折成直二面角A—BO—C,有如下四个结论：①AC_L5O：②

△ACD是等边三角形；③A8与平面SCO所成的角为6(?；④A8与。。所成的角为60.其中正确的

结论有()

A.①B.②C.③D.@

三、填空题。本大题共4小题。

13.如图所示，A8CD-EFGH为边长等于1的正方体，若P点在正方体的内部且满足

—2—

AD+-AE,则尸点到直线A8的距离为

14.将边长为1,A=60。的菱形ABDC沿对角线BC折成直二面角，则二面角A-BD-C的正弦值为.

15.已知5=(0,1,1),6=(1,1,0),干=(1,0,1)分别是平面a,£,y的法向量，则a,7三个平面中互相

垂直的有________对.

16.已知直线/与平面a垂直，直线/的一个方向向量为〃=(1,-3,z),向量方=(3,—2,1)与平面a

平行，贝l」z=.

四、解答题。本大题共6小题，解答过程必修有必要的文字说明，公式和解题过程。

17.在多面体A8CE陀尸中，正方形ABCO和矩形BDMG相垂直，G、H分别是。七和3c的中点,

AB=BF=2.

(1)求证：£D_L平面A3CD.

(2)在8C边所在的直线上存在一点P,使得尸P//平面AGH,求FP的长;

18.如图所示，平面CDEVJ_平面A8CQ,且四边形A5co为平行四边形，2043=45。，四边形CQE尸

为直角梯形，EF//DC,EDICD,A8=3EF=3,ED=a,AD=®.

(1)求证：ADJ_BF；

CM

(2)若线段C/上存在一点M,满足AE〃平面BOM,求一的值;

CF

19.如图，在四棱锥S-ABC。中，已知AB〃OC,ABJLAQ,△SAO是正三角形，且平面SAO_L平面A8CZ),

AD=AB=2DC=2f尸为SB的中点

s

(1)求异面直线SA与尸。所成角的大小;

(2)在棱SB上是否存在点。，使平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为g?若存在，求出注的大小;

3SB

若不存在，请说明理由.

20.如图所示，在直三棱柱中，ABLBC,AB=BC=2t=E为的中点，证明:

平面AEG_L平面AA]GC

21.如图，在四棱锥P—A8CO中，PQ_L底面A8CQ,底面ABC。为正方形，PD=DC,E,尸分别是48,

P8的中点.

(1)求证：EF工CD；

(2)在平面布。内求一点G,使Gr_L平面尸C8,并证明你的结论.

22.在如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD,ABEF的边长都是1,且它们所在的平面互相垂直.活

动弹子M,N分别在正方形对角线AC和8尸上移动，且CM和8N的长度保持相等，记CM=BN=a

(1)求MN的长；

(2)。为何值时，MN的长最小?

(3)当的长最小时求平面MNA与平面MN8夹角的余弦值.

答案

1.c

由题意，向量2=(2,-3,1),力=(一3,2,力，且皿,

则白石=2x(-3)+(-3)x2+lxx=0,解得x=12,故选C.

则x的值为()

2.A

由已知得AB=(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4)，

故选项A中的向量与通共线，是直线/的一个方向向量.

故选：A.

3.A

可知在平行六面体A8CO—48cl0中，BC=AD,CC^=X\f

•.Aq=A§+5c+cq=AB+AB+^A,

又花=aO+»而+3。电，

故选：A.

4.A

作风=£,而=B，以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,

则丽=£一反花=2+九NAOC为向量［与£+坂的夹角.

因为|£|二|加=|£一加,

所以AOAB是等边三角形，平行四边形OACB是菱形，

所以NAOB=工,ZAOC=L^AOB=三.选A.

326

5.A

解：因为平面。的一个法向量为7二(121),平面£的一个法向量云=一(2,4,2),

所以为=—2匕，所以匕〃为

所以。〃尸.

故选：A

6.D

由题意，向量a=（］,-L3）,坂=（一1,2,-6）,可得〃=一手，

所以平面a,月的法向量共线，故a〃Q或a与夕重合.

故选：D.

7.A

•・•B4_L平面48CD,8。（=平面48。。，APALBC.

又・・・BC_LAB,Q4P|AB=A，・・・3C_L平面Q45.

VBCu平面PBC,平面PBC_L平面PAB.

・・・AO八PA,AD^AB.PA?ABA,JA。_L平面.

・・・4）＜=平面尸4），，平面小。_1平面~钻.

由已知易得平面PBC与平面PAO不垂直，故选A.

8.C

以。为坐标原点，分别以万田，DC，西的方向为x轴、y轴、

Z轴的正方向建立空间直角坐标系。-AJ2,如图

设AD=1，则夙1,0,1),尸(0J2),G(0,0,l),8(120),

所以丽=(-1,1,1),BG=(-1,-2,1),EF=

所以及;JL旃，所以异面直线即与BG所成角的大小为90°,

故选：C

9.BD

当硒=6区5+〃碇时，可知点M与点A,3,C共面,

所以说(而+诲)+〃(9+反),

所以(x+y-l)OM=-OA+xOB+yOC,

所以两=-OA+mOB+nOC‘一秋+」一而+」一反，

m+n-iw+n-lm+n-1m+n-l

不妨令---------=x,--------=y,------------=z,且此时x+y+z=1,

fn+n—Im+n—Im+n—\

111

因为2+(—1)+(—1)=0A1,l+l+(-l)=l,i+g+L=\工—+—十—

236

由上可知：BD满足要求.

故选：BD.

10.BC

根据题意.假设直线D.D与直线AF垂直.又DD、A.AE.AEr\AF=A.AE.AFu平面AEF.所以DDX_L

jr

平面AER所以。R_LE/，又O"〃CC”所以CG尸，与NE〃C=-矛盾，所以直线。。与直线4尸

4

不垂直，所以选项A错误；

因为AiG〃dF,AiGU平面AEFOi,2/<=平面AEF。，所以4G〃平面4EFA,故选项B正确.

平面AE尸截正方体所得截面为等腰梯形AEFU,由题得该等腰梯形的上底即=也，下底A。=J5,腰

2

R9

长为父，所以梯形面积为故选项C正确;

28

假设C与G到平面AM的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交

EF于H，而“不是CG中点，则假设不成立，故选项D错误.

故选：BC.

11.BC

•・•二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，

二面角A—BD—C的大小可能为二或九一二=.

333

故选：BC.

12.ABD

解：取5。中点0,由正方形的性质得：AO工BD,CO上BD,

所以/AOC为二面角A—加一C的平面角，

因为二面角A-3£)—C是直二面角A-BD-C,

所以如图所示，建立空间宜角坐标系Ox)z

设正方形ABC。的边长为正,

则0(1,0,0),5(-1,0,0),C(0,0,1),40,1,0)

—>—►—►—►—>

所以AC=(O,T,l)，50=(2,0,0)，CD=(1,O,-1)*AD=(1,-1,O)»AB=(-1,-1,O)»

因为1S•后3=0=°，故AC_L5。，①正确.

又尺C=近,CD=yf2,AD=V2,

所以△4CD为等边三角形，②正确.

对于③，以为平面3c。的一个法向量，O、=(OJO)

—>—>

cos!OA,AB)=OAA8

OA-AB

因为直线与平面所成的角的取值范围是[O”,90],

所以A8与平面BC。所成的角为45°，故③错误.

—>—>

乂co{CD,ABCDAB_1

CDAB'

因为异面直线所成的角为锐角或直角，所以48与C力所成的角为6(1，故④正确.

故选：ABD

5

13.

6

解析：过P作PMJ_平面48co于M,过M作MALL48于N,连接PN,则尸N即为所求，如图所示.

—3—1—2—

因为AP=匚A8+—AO+—A片,

423

312

所以AN=—,NM=-，PM=—

423

所以PN=y/PM2+MN2=2丫5

3>6

即尸点到直线AS的距离为3

6

故答案为尚

6

取8C中点O,连接AO,DO,建立如图所示的空间直角坐标系,

则A(0,0,等)，B(O,-g,O),D吟,0,"

所以函二（o,o,^-），丽=（。，5，+），丽=,g,0).

由于0A=（0,0,左）为平面BCD的一个法向量,

2

设平面ABO的，个法向量方二（x,y,z）,

1上6

5y+才=0n,

万•丽=0,

则《所以

n-BD=0,冬+9=。,

取x=l,则）=一退，z=l,

所以;；=（1,-0,1）是平面的一个法向量,

一一B

所以cosG，丽=-=与,

\7H-M旧X小5

2

所以二面角A-BD-C的正弦值为乎.

15.(I

因为鼠万=(0,1,1)•(1,1,0)=1。0,

ac=(0,l,l)(l,0,l)=1^0,

=(1,1,0)(1,0,1)=1^0.

所以qb,^中任意两个向量都小垂直，即。，Ay中任意两个半曲都小垂直•

故0.

16.-9

因为/_La,所以"_1_为，所以(1,—3,办(3,-2,1)=0,即3+6+z=0,所以z=-9.

故一9

17.(1)证明见解析；(2)2逐.

(1)因为四边形8DE尸为矩形，则EDJLbD,

因为平面或陀〃_L平面48c。，平面瓦无五c平面A3CD=3。，EDu平面3£)所，

所以，E£>_L平面A8CZ)；

(2)因为EOJ_平面A8CO,四边形ABCO为正方形，

以点D为坐标原点，DA.DC、OE所在直线分别为工、>、z轴建立空间直角坐标系。一孙z,

则A(2,0,0)、G(0,0,l)、”(1,2,0)、F(2,2,2),设点P(a,2,0),

而二(〃-2,0,-2),AG=(-2,0,1),4H=(-1,2,0),

设平面AGH的法向量为7=(x,y,z),

n-AG=-2x+z=0

令x=2,可得3=(2,1,4),

h'AH=-x+2y=0

要使得人尸〃平面AG”,则而_L3,所以，FPn=2(6Z-2)-8=0,解得。=6,

则就=(4,0,-2),此时，同="2+()2+(一2『=2回

(I)•・•面COM_L面ABC。，EDICD,EDu面CDEF,面COMfl而ABCQ=CD,

：-EDI面ABC。，AOL面A8CO,即/?力IAD,

过尸作尸G_LOC于G,过G作GH//A。交AB于”，

•・•。底尸为直角梯形，AB=3EF=3,

AED//FG,即FG_LAO,则/G_LHG,且HG=&,HB=2,NG〃B=45。,

ABG2=HG2+HB2-2HGHB-cosZGHB»得BG?=2，即HG?+BG2="B2,

,HG1BG,而BGCl/GuG,即”G_LiHF8G,又3/u面尸BG,

AHG±BF,故AO_LB尸.

(2)以。为原点，过点。垂直于。C的直线为x轴，0c所在直线为y轴，DE所在直线为z轴，建立空

间直角坐标系，如下图示：

・・・A(1,T()),3(L2,0),C(0,3,()),E(0,0M),若方则。尸=(0,—2,Q),

设CM=ACF=4(0,—2,〃)=(0,—24,。)，则

DM=DC+CA7=(0,3,0)+(0,-22,al)=(0,3-22,^2)，

_n-DB=x.+2y.=0

设平面BOM的法向量为〃=(x，y,Z1),则｛—,取加=2,则

111z

nDM=(3-2A)yi+aAzi=0

3-22

n=2,-1,

aX

3-22一2-产3

若AE〃平面BDM,则AE•斤=(一2,-1,0,解得A=—,

・•・线段b上存在一点M,满足AE〃平面BZW,此时二CA一/=，3

CF5

—

19.(1)90°；(2)存在,

SB5

解：(1)•・•在四棱锥S-ABC。中，已知AB〃OC,AB±AD,△SAO是正三角形,

平面S4O_L平面ABC。，AD=AB=2DC=2t尸为SB的中点,

・••以A为原点，A8为％轴，A。为y轴，过A作平面ABCO的垂线为z轴，建立空间直角坐标系,

则A(0,0,0),S(0,I,也)，C(1,2,0),B(2,0,0),F(1,

SA=(0,-1,一G),FC=(O,-»)»

22

设异面直线S4与尸C所成角为0(0°<0<90o),

口用

则

cosO=网网一'A0=90°.

・•・异面直线SA与广C所成角的大小为90,；

(2)假设在棱SB上存在点Q(a,b,c),入，(0<X<l),使平面S4c与平面Q4C所成的锐二面角为

n

3

则而=4丽,即(〃.h-1.c-y/3)=入(2.-1,一百).解得4=23h=\-X,c=6-0,

・・・Q(2X,1-X,百一&),AQ=(21,I-X,6-拒入)，AC=(1，2,0),AS=<0,1,y/3),

设平面AC。的法向量［=(x,y,z),

n-AC=x+2y=0-52-1、

则《,取x=2,得〃=(2,-1,-^--=),

n-AQ=22x+(l-Z)y+(\/3-V3^)z=013九-<3

设平面ASC的法向量由二(p,q,r),

th'AC=p+2q=0_

则〈_l，取〃=2,得加=(2,-1,),

m-AS=+>/3r=03

V平面SAC与平面QAC所成的锐二面角为工,

3

._—1.

5+-------

I-----I|比•万|

•cos<m,n>=------------32-3

TI\m\\n\2'

整理得5M-10入+4=0,解得人=1一逝或4=1+@(舍去).

55

故在棱SB上存在点Q,使平面SAC与平面04c所成的锐二面角为:，此时些=1一且.

3sB5

20.证明见解析

由题意得48,BC,8归两两垂直.以8为原点，84,BC,B办分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间

直角坐标系.

则A(2,0,0),4(2,0,1),C(0,2,0),Ci(0,2,

・_____IILILI|

则A4,=(O.0,1),AC=(-2f2,0).AC,=(-2,2,1),AE=(-2,0,-)

设平面A41cle的一个法向量为々=(%I,ji,zi).

,n,.AA=0,4=0,

则_J___=

-AC=0-2x1+2y,=0

令xi=l,得yi=l.・'・〃[=(1,1,0).

uu

设平面AEG的一个法向量为〃2=