2022年高考二轮复习数列解答题二（裂项相消求和）

2022年高考二轮复习数列专题二

（裂项相消求和）

1.已知数列｛4｝为等比数列，首项为函数/■（£）=-—+sin2a-2的最小值，公比q>0,

sina

且出，%是关于X的方程fT2x+r=0的根.其中f为常数.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

111149

（2）设6“=log,a“，T=--1-----1....H-----,求使北〈—的最大值.

她助她b„bn+150

2.已知等比数列｛.“｝的前〃项和为S“，q=l,S'+|+2S,T=3S"（〃..2）.

（1）求数列｛4｝的通项公式；

（2）令“=%」，求数列｛4｝的前"项和7；.

s”s“口

3.在数列｛%｝中，4=1,当〃..2时，^=6^+—a2+—a3H-1——^—an_x,

23n-1

(1)求｛4｝的通项公式；

(2)若b,,=—1一，求数列｛4｝的前〃项和S,,.

%+1%+2

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S,,,且出+$3=20,S6=2S4.

(1)求数列｛风｝的通项公式；

(2)设数列｛2｝满足伉=4,且6,+]-6“=4a“，求数列｛--—｝的前〃项和

么T

5.已知数列｛〃〃｝,｛2｝满足包一q=3〃-1,4=4,%=13,且｛%｝为等比数列.

(1)求数列｛么｝的通项公式;

(2)若数列匕,｝,满足c“=叱丝，求数列1------&------1的前”项和7；.

6[6(cn+1-l)(c„-l)J

6.已知数歹U｛外,｝满足+2a2+3a3+—卜na.=（n—1）2Z+1+2.

（1）求数列｛q,｝的通项公式；

（2）求数列[-------------1的前n项和Tn.

^log2a„-log2«„+2J

7.设等比数列仅“｝的前〃项和为S“，已知$2=44,且4+2,2%,%成等差数列•

(1)求数列｛a/的通项公式；

(2)设数列｛2｝满足6,=邑二上但，求数列｛2｝的前〃项和7；.

S£+i

8.等比数列｛〃〃｝中，4=3,%+/=6.

(1)求知;

2〃一

(2)设勿=-；---------------，且“<1,求数列｛么｝的前〃项和S”.

(I+1)(1。〃+11+1)

2022年高考二轮复习数列专题二（裂项相消求和）解析

1.已知数列｛4｝为等比数列，首项为函数/（a）=——+sin2a-2的最小值，公比q>0,

sina

且出，%是关于X的方程/T2x+f=0的根.其中f为常数.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

1ii14Q

(2)=log2a,T=------1--------1................H---------，求使北v—的最大值.

她b2b3b3b4bnbn+l50

解：(1)令用=sin2aw(0,1],g(m)=—+m-2i£(0,1]递减，可得%=2,

m

又出，%是关于x的方程/-12%+y0的根.其中f为常数，可得出+/=12,

由2q+2q2=12,解得q=2(—3舍去)，则=2-2"一=2"；

n

(2)bn=iog2an=log22=n,

1111

——,

bnbn+1n(n+1)nn+1

.111111111,1n

ln----------1------------1............H------------=1------1--------------1-...H------------------=1---------=------.

/?也b2b3b也4b也1t+i223nn+1n+1n+1

由7；〈竺，可得3〈竺，解得"49,

则〃的最大值为48.

2.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，q=l,S„+1+2S„_1=3S„(n..2).

（1）求数列｛a/的通项公式;

（2）令我=%」，求数列｛2｝的前〃项和7；.

S"S"+[

解：（1）由题意，设等比数列｛4｝的公比为4,

则当q=1时，Sn+1+2sl=("+1)4+2("-l)q=3n-l,

3Sn=3〃％=3n，

...S〃M+2S〃TW3S〃，

显然q=l不符合题意，故qwl,

s4(1W)l-qn

当4w1时,

l-q1-q

e1-q用c1"

J〃+]一_；，%-1一—；，

1-q1-q

,•-S.+1+2S,_]=3Sn,

.j，""?一q"

..----------r乙----------D--------,

1-q1-q1-q

即1—qn+i+2(1-qn-l)=3(1—q"),

化筒，得q"i(q-2)(q—1)=0,

•「qw1且qw0,:.q=2,

%=1,=2〃T,neN*.

i0〃-1o〃+l

(2)由(1)知，S“=^^,S=——,

"1-2n"++111-2

则6=J=—:—=_三—=」______」，

+1,1+1+1

“SnSn+l1-2"l-2"(2-1)(2"-1)2"-12"-1

1-2-1-2

「.(=4+伪+...+2

111111

=-------------------------1---------------------------1-H----------------------------

21-122-122-123-1…2"-12n+1-1

=1-----1—.

2"+1-1

3.在数列｛“〃｝中，q=l,当〃..2时，——生+—1-------%

23n-1

（1）求｛〃〃｝的通项公式；

（2）若用=—1—,求数列电｝的前〃项和S..

an+ian+2

解：（1）依题意，由当〃..2时，〃〃=4+!％+工生^--1——匚。1，①

23n-1

可得当几=2时，。2=%=1，

贝(J当〃..3时f6Z_|=%H—a?H—ci^+...H-------C1_2，

n23n-2n

故当〃..3时，①一②，可得见—a_=_--a_，

nxn-1n1

整理，得％=4旦，

nn—1

,：%=1,

.•.当〃..3时，％=也=一=包=&=_1,

nn—1322

显然当〃=2时，〃2=1满足上式，而当〃=1时，%=1不满足上式,

1,〃二1

an~\n•

一，儿.2

12

(2)由题意，可知当〃eN*时，M+1..2,W+2..3,

则由(1),可得勿=—-—=——-——=4(—-------—),

an+\an+2(〃+1)(〃+2)n+1n+2

=bx+b2+...+2

1

)

n+2

111111

二4・(-----------1-------------F—H-----------------------)

2334几+1n+2

1

-)

n+2

In

n+2

4.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且出+$3=20,S6=2S4.

（1）求数列｛a/的通项公式；

（2）设数列色,｝满足4=4,且2+「a=4a"，求数列｛—'―｝的前〃项和..

2T

解：（1）设等差数列｛4｝的公差为4,♦.•出+53=20，S6=2S4,

6x54x3

/.%+d+3q+3d—20,64H-------d=2(4%H-------d),

解得：%=3,d=2.

a〃=3+2(〃-1)=2〃+1.

（2）设数列｛2｝满足伪=4,且。用一2=4a〃=8九+4,

则4=(2—2T)+3I—2一2)+……+(4—4)+4=4(2〃-1+2〃一3+……+3)+4

=4x("T)(2"l+3)+4=4/

2

11111、

，

-------=----20----=—(-------------------)

bn-14/?-122n-l2«+1

数歹[]{_1_}的前〃项和q=_1(1+工_工+1

H-------------------)——(1----------)--------

bn-123352九一12n+l22n+l2〃+1

5.已知数列｛〃〃｝,也｝满足年-4=3及-1,4=4,a2=139且｛%｝为等比数列.

（1）求数列｛2｝的通项公式；

（2）若数列｛,｝,满足g=%±丝，求数列1---------4---------1的前”项和7；.

解：（1）由2-%=377-1,可得6“=%+3〃-1,

结合4=4,%=13,可得4=4+2=6,b2=a2+5=18>

因为数列｛a｝为等比数列，所以数列｛么｝的公比q=3,

所以6“=6X3"T=2X3"；

(2)由(1)可得C“=3"T+2,

所以一%一=一一一一L)，

1

6(c„+1-l)(c„-1)(3"+1)(3"-+1)23"-'+13"+1

后MT1,11111111、

〃230+131+1乎+132+13n-2+l3"T+13^+13n+1

、

—_1x(z___1_______1_j1—_1x(______1__j—_1_______1___

―230+l3"+l-223"+l~42x3"+2'

6.已知数列｛a“｝满足q+2a2+3a3+…+na.=(〃—1)2M+1+2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列1---------------------1的前n项和Tn.

^10g26!„-10g2a„+2J

：(1)由意:4+2a,+3a3+…+net”=(ji—1)2/7+1+2,CD

当n..2时jq+2al+3/+•••+(n—V)dn_^=(〃—2)2"+2,②

n+1

①-②得nan=(n-l)2-(n-2)2",即％,=2",

当〃=1时，q=2满足上式，所以a.=2".

(2)H^log2a„=log22"=n,

11111

所以--------------=-------=—(Z--------)，

log,an-log,an+2n(n+2)2nn+2

所以

111111，)」("一，一，)=」一—2〃+3

---1---+…+----------------F——

435n—1n+1nn+222n+1n+242(n+l)(n+2)

7.设等比数列伍“｝的前〃项和为S“，已知$2=44，且4+2,2az，见成等差数列•

（1）求数列｛风｝的通项公式；

（2）设数列电｝满足2=,求数列｛2｝的前〃项和7；.

S£+i

解：（1）设等比数列｛2｝的公比是9，由$2=4%得乡=3.

%+2,2a2，a3成等差数列，

2

/.4〃口=q+2+axq,解得4=1.

.•.册=3〃T(nsN*).(4分)

（2）•・•数列｛〃〃｝是以1为首项，以3为公比的等比数歹U,

EL%(〃+1)S,-咯+i_〃+1n

,•1b“=

sns„+lsns„+lS向

23n〃+l、12n-1

...(二(——+—+—+-----F------)-+----F…+-------F

S?S3S"S,n+1邑n-1

n+112(〃+1)2〃+3-3〃+1

—1=.(12分)

S”+i3,,+1-l3n+1-l

8.等比数列｛风｝中，4=3,O,+G=6.

（1）求明;

2"

(2)设b“=,且“<1,求数列｛句｝的前力项和S,.

(l«„l+D(l«„+1l+l)

2

解：(1)设｛%｝公比为q,al(q+q)=6,代入4=3,

解得4=-2或4=1.

当“=一2时，%=401=3-(-2)1；

当q=1时，=q=3.

24

(2)当=3时，b==1,矛盾.

4(3+1X3+1)

2尸

(3.2-+21n)(3.2"1)=1(近14?一百1口

b=+），

1111

"S"=3[(3-2°+1.3-21+?+(■)+…+(-)]

3・21+13-22+13・2〃T+132+1

=21__112

3432+/692+3

2022年高考二轮复习数列专题二（裂项相消求和）解析

1.已知数列｛4｝为等比数列，首项为函数/（0=Y—+sin2a-2的最小值，公比4>0,

sina

且出，生是关于X的方程fT2x+f=0的根.其中/为常数.

（1）求数列｛4｝的通项公式;

111149

(2)=log2a,T-------1--------1................H---------,求使北v—的最大值.

她b2b3b3b4bnbn+i50

a

解：(1)令机=sin2]£(0,1],g(m)=—+m-21£(0,1]递减，可得4=2,

m

又出，生是关于X的方程f-12x+f=0的根.其中f为常数，可得°2+。3=12,

由%+2/=12,解得夕=2（—3舍去），则〃“=2・2〃T=2"；

n

(2)bn=iog2an=log22=n,

111__1

bnbn+in(n+1)nn+\

〃bxb2b2b3b3b422+1223nn+1n+1n+1

由（〈竺，可得」竺，解得〃<49,

"50n+150

则〃的最大值为48.

2.已知等比数列｛4｝的前〃项和为S“，%=1,Sn+x+2Sn_｝=3S„（n..2）.

（1）求数列的通项公式；

（2）令打=%」，求数列｛2｝的前几项和7；.

S£+i

解：（1）由题意，设等比数列｛4｝的公比为q,

则当q=1时，Sn+1+2S_|=(〃+l)q+2(〃一l)q=3〃一1,

3Sn=3叫=3n，

•，-S“+i+2S”_iw3Sn,

显然4=1不符合题意，故

。q(j〃)l-qn

当它1时,>“=--------=-----

\-q1-q

i-q

■.■S^1+2Sn_l=3S„,

i~〃+li11-〃

匕二十2山」=3〜

1-q1-qi—q

即1-q向+2(l-q"T)=3(l-q"),

化简，得尸(q_2)(g_l)=0,

,.,qwl且q30,：.q-2,

=L2"T=2"T,n&N*.

i_?nl-2n+1

(2)由(1)知，S=-------,

〃1-21-2

则〃.J——2—._____"_______」_______

nn+1nn+1

〃SnSn+l1-2〃1-2向(2-l)(2-1)2-l2-l

1-2.1-2

.,.4="+功+…+么

111111

=------------------1--------------------1-H---------------------

21-122-l22-123-l2"-l2n+1-l

2"+1-l

3.在数列｛%｝中，6=1,当〃..2时，a=a+—a+—a,H----1———a_

nA223n-1nx

（1）求｛%｝的通项公式;

（2）若2=―--,求数列｛么｝的前〃项和S“.

4+14+2

解：（1）依题意，由当几.2时，an=cty+—a2+—a3-----1——^—an_x,①

23n-1

可得当〃=2时，％=%=1,

贝|J当ft..3日寸，。〃一i=qH—%—生+...H--------。〃一2，

-23n-2~

故当〃..3时，①—②，可得4—/_]=---an_x»

n-\

整理，得”=也，

nn—1

,/%=1,

.•.当”..3时，&=%=&=

nn—1322

n,

..Q〃=一,AZ..3,

显然当〃=2时，〃2=1满足上式，而当〃=1时，%=1不满足上式,

1,〃二1

一，及..2

12

(2)由题意，可知当“eN*时，/J+1..2,H+2..3,

则由(1),可得％=—-—=——-—=4(—-------—),

an+ian+2(〃+1)(〃+2)n+1n+2

•，S〃=bx+b2+...+勿

=4•(---)+4+4-(----------)

2334n+1n+2

111111

=4・(----------1------------F...H---------------------)

2334n+1n+2

1

-)

n+2

In

n+2

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，S.a2+S3=20,S6=2S4.

(1)求数列｛a/的通项公式；

(2)设数列｛2｝满足々=4,且6用-2=44,求数列｛—^｝的前项和

2-1

解：(1)设等差数列｛4｝的公差为d,-.-a2+S3=20,S6=2S4,

6x54x3

q+d+3q+3d—20,64H-------d=2(4qH-------d),

解得：%=3,<7=2.

a〃=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)设数列｛4｝满足a=4,且2+i-2=4々〃=8〃+4,

则勿=(勿一%―1)+(2一1一2.2)+……+(a一4)+4=4(2〃-1+2〃-3+……+3)+4

=4X(”D(2，I+3)+4=4R

2

.11/(1______!_b

2

"bn-14M-122n-l2n+Y

：.数歹！J｛―1—｝的前"项和7；=-(1--+---+……+—.....—)=-(1—)=n

bn-\"23352M-12n+\22n+\2n+l

5.已知数列｛a“｝,电｝满足6“-%=3〃-l,Qj=4,a2=13,且｛6“｝为等比数列.

（1）求数列｛么｝的通项公式;

（2）若数列匕,｝,满足%=%±丝，求数列1------幺------1的前〃项和7；.

6［6（c„+1-l）（c„-l）J

解：（1）由可得6“=%+3〃-1,

结合4=4,a2=13>可得4=4+2=6,b2=a2+5=18,

因为数列［b„］为等比数列，所以数列｛句｝的公比q=3,

所以6“=6x3"—=2x3"；

(2)由(1)可得的=3"一+2,

所以一%一=一茎「=」(丁一一一匚)，

1

6(c„+1-l)(c„-1)(3"+1X3"-+1)23"一+13"+1

1,11111111、

〃230+131+1乎+132+13n-2+l3"-1+13^+13〃+/

1,11111、11

~23°+13"+1~223"+1~42x3"+2'

n+1

6.已知数列｛4｝满足4+2a2+3a3+—+na.=(n—l)2+2.

(1)求数列｛4｝的通项公式；

(2)求数列1-------------1的前”项和7；.

[log2^-log2^+2J

解：(1)由题意：%+2cL2+3a3+…+net/=(n—1)2〃”+2,①

当n..2时，q+2%+3/+,,,+—=(〃—2)2"+2,②

n+l

①-②得nan=(n-I)2-(n-2)2%即4=2",

当〃=1时，4=2满足上式，所以=2".

(2)因为]og,4=幅20,

1111

所以

log2an-log2an+2n(n+2)2nn+2

所以

111111111

T„=\(X——I-------------1---------------p...-i--------------------------1--------------------)=1(1+1-J----—2"+3

32435n—\n+1nn+222〃+1n+242(〃+1)5+2)

7,设等比数列｛%｝的前〃项和为S”，已知S2=4%,且%+2,2%,生成等差数列•

（1）求数列｛4｝的通项公式;

（2）设数列也｝满足6'=S"一叫+i,求数列｛2｝的前〃项和Tn.

s〃sn+i

解：（1）设等比数列｛%｝的公比是q,由52=4%得4=3.

,「%+2,2%，生成等差数列，

2

4a[q=q+2+a1q,解得％=1.

=3'T(〃£N*).(4分)

（2）・.,数列｛%｝是以1为首项，以3为公比的等比数歹!J,

..h一S“T%(n+V)Sn-nSn+l_n+ln

•"一^^-

°n°n+lS£+i%sn

3nn+1、/12n—1n、

-------1-•••H---------1-----------•)—(-------1---------F•••H-------------1-------)

Hs°%s.

_n+l1_2(n+l)2"+3-3"|

工干干一」3，+1_].(12分)

8.等比数列｛a“｝中，q=3,a?+%=6.

（1）求

2"

（2）设n=，且“<1,求数列｛2｝的前"项和S".

(|*+1)(|"+1)

解：（1）设｛〃〃｝公比为q,〃1（9+/）=6,代入q=3,

解得4=-2或q=1.

nx77-1

当4=一2时，an=ax-q~=3-(-2)；

当4=1时，a〃=%=3.

24

(2)当%=3时,矛盾.

(3+1X3+1)

。〃=3・(-2尸,

T2,11、

---------------------------——(--------------------------),

'(3-2"-1+1)(3-2"+1)33-2"-1+132+1

S„=-[(—J-----------；—)+(—}-------------\—)+...+(-------------1—)]

"33-20+13-2'+13-21+13-22+13-2,,-1+13-2"+1

2d____—

343-2/7+169-2"+3

一轮复习大题专练28—数列（裂项相消求和）

1.已知数列｛%｝为等比数列，首项为函数/'（（/）=—1—+sin%-2的最小值，公比q>0,

sina

且电，生是关于X的方程fT2x+r=0的根.其中f为常数.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

1111

(2)设2=log24,=---1----1......+求使7；〈竺的最大值.

bb

她她b3b4nn+l〃50

3

解：(1)令m=sin2ae(0,1],g(m)=2+倘一2在(0,1]递减，可得4=2,

m

又。2，〃3是关于九的方程/-12%+，=0的根.其中/为常数，可得。2+。3=12,

由2q+2/=12,解得q=2(-3舍去)，贝!J%=2。2〃一二2〃；

n

⑵bn=log2an=log22=n,

111__1

bnbn+in(n+1)nn+1

n

b{b2b2b3b力4b〃bn+i223nn+\n+1n+1

由£<条可得条解得"<49,

则”的最大值为48.

2.已知等比数列｛%｝的前〃项和为S“，4=1,S„+1+25„_1=3S„（n..2）.

（1）求数列｛q』的通项公式；

（2）令“=%」，求数列｛4｝的前"项和7；.

S£+i

解：（1）由题意，设等比数列｛%｝的公比为q,

则当q=1时,Sn+l+25„_t=（n+1）.+2（〃一1）%=3〃一1,

3Sn=3叫=3n，

•，•邑+1

+2S%_iw3Sn,

显然4=1不符合题意，故

%(1—q")1—q"

当“HI时，s.=

1一4i-q

/+1—〃一1

i1-qi1-q

S的,s,i

i-qi-q

•.■S“M+2S,I=3S”,

匕i~〃+i匕i^」n-\一)

J2=31

i-qi-qi-q

即1—L+2(1—产)=3(1—4"),

化简，得/T（4—2）q—1）=0,

•.•4。1且4。0,:.q=2,

a“=L2"T=2"T,nwN*.

1—2〃1—2"i

（2）由（1）知，Sn=，S,〃+「

1-212

a„i2〃T11

则2=+

n]_2"+i(2n-l)(2n+1-1)2n-l2n+1-l

SnSn+ll-2

1-21-2

Tn—by+Z?2+.••+〃

111111

-------------------------1---------------------------p-|----------------------------

21-!22-l22-l23-l…2n-l2n+1-1

1

二1一

2n+1-1

3.在数列｛%｝中，4=1,当几.2时，^=6^+—a2+—6^H-----1——[%_1，

23n-l

(1)求｛/｝的通项公式；

(2)若a=―--,求数列电｝的前〃项和S〃.

aa

n+in+2

解：(1)依题意，由当〃..2时，1〃=%+工%+工/H----1——，①

23n-1

可得当〃=2时，%=4=1,

贝U当〃..3时，an_]=4H—%—%+...H-------a〃一2，

-23n-2~

故当〃..3时，①一②，可得4—4_]=---%_[,

n-1

整理，得%=4旦，

nn—1

。2=1，

.•.当”..3时，％=，=...=&=&=!,

nn—1322

nQ

显然当〃=2时，〃2=1满足上式，而当〃=1时，％=1不满足上式，

1,〃二1

•*an~\n•

一，儿.2

12

(2)由题意，可知当〃wN*时，几+1..2,〃+2..3,

则由(1),可得％=—1—=——-——=4(—--------—),

an+\an+2(〃+1)(〃+2)H+1〃+2

・\S〃=4+b2+...+bn

1

)

n+2

111111

二4・----4-―—T--1----------------------I

2334…n+1n+2

1

)

n+2

2n

n+2

4.已知等差数列｛%｝的前〃项和为S“，且々+邑=20,S6=2S4.

（1）求数列｛%｝的通项公式;

(2)设数列｛包｝满足a=4,且4+1-2=4%,求数列｛--—｝的前〃项和T”.

『1

解：(1)设等差数列｛%｝的公差为d,出+，3=2。，S6=2S4,

6x54x3

q+d+3q+3d—20,6%H———d—2(4q~\———d),

解得：4=3,d=2.

%=3+2(〃-1)=2〃+1.

(2)设数列｛2｝满足a=4,且2+i-2=4a〃=8〃+4,

则2=(2—2一2)+……+(么一4)+乙=4(2〃-1+2〃-3+……+3)+4

=4、("1)(21+3)+4=4后

2

.11/(1______

2

"bn-14M-122n-l2〃+/'

数歹!J｛―1—｝的前“项和7；=-(1--+---+……+—......—)=-(1一——)=—^―

bn-\"23352n-l2n+\22n+\2n+\

5.已知数列｛a“｝,电｝满足我-%=3〃-l,%=4,a2=13,且电｝为等比数列.

(1)求数列｛a｝的通项公式；

(2)若数列｛%｝,满足%=%±丝，求数列1------b------1的前〃项和7；.

6[6(%+「l)(c,-l)J

解：(1)由2-%=3〃-1,可得6“=%+3〃-1,

结合4=4,a2=13,可得4=q+2=6,b2=a2+5=18,

因为数列他,｝为等比数列，所以数列｛a｝的公比q=3,

所以2=6x31=2x3"；

(2)由(1)可得的=3"一+2,

所以一%一=一茎「='(丁一一一二)，

6(cn+1-l)(cn-1)(3〃+1)(3鹏+1)23^+13〃+1

ma.「Illi1111、

〃230+131+1乎+132+13n-2+ly-1+13^+13n+l

1z11111、11

~230+l3"+l~223"+l