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文档简介

§4.5函数的极值与最值一极值1可能成为极值的点：（1）驻点（费马定理），即一阶导数为零的点（2）不可导点阐明：上述两类点是全部可能成为极值的点，这两类之外的任何点都不可能成为极值点，但驻点和不可导点不一定是极值点，它们与否为极值点需用品有充足性的结论去鉴别，下面介绍两个极值的充足性条件定理，就是用来鉴别上述各点与否为极值点以及是什么性质的极值点的【4-5-1】2极值的第一充足条件定理注：此条件定理不仅能够判断驻点与否为极值点，还能够判断不可导点与否为极值点，由于此定理规定的条件是在去心邻域内可导，而不规定在该点可导。【4-5-2】3极值的第二充足条件定理（1）定理：注：此条件定理只能用来鉴别驻点与否为极值点，并且是一部分驻点，由于二阶导数为零的点无法鉴别。【4-5-3】（2）证明：【4-5-4】4求函数的极值点和极值环节：（1）求一阶导数，找出全部的驻点和不可导点（2）运用充足性条件定理逐个鉴别与否为极值点以及是什么性质的极值点（3）求出是极值点的函数值，即为函数的极值【4-5-5】5举例例1求下列函数的极值解：解：解：解：解：【4-5-6】【4-5-7】【4-5-8】【4-5-9】【4-5-10】【4-5-11】二最值1最值与极值的关系（1）整体与局部的关系：极值是局部的概念，是某点及其周边一种小范畴内的函数值的比较，而最值则是一种整体的概念，是某区间上全部点的函数值的比较。（2）极值是局部的最值。（3）区间上的极值不一定是最值，区间上的最值也不一定是极值。事实上，区间上的最值是区间上全部极值与两端点的函数值的比较。【4-5-12】2最值的求法（1）找出函数在区间上的驻点、不可导点和端点。（2）求出上述各点的函数值，然后进行比较，其中最大者即为函数在区间上的最大值，最小者则为最小值。（3）特别地：【4-5-13】3举例例2求下列函数在所给区间上的最大值和最小值解：【4-5-14】【4-5-15】例3证明证明：【4-5-16】例4

解：因此有【4-5-17】【4-5-18】XXXXYYYYOOOO【4-5-19】XXOOYY例5设厂商的总成本函数为C=C(q)（q为产量）是q的二阶可微函数，平均成本函数为解：因而是最小值，此时的边际成本为：MC=AC，即边际成本等于平均成本时，平均成本最小【4-5-20】例6设厂商的总成本函数为C=C(q)（q为产量），其需求函数为P=P(q),C(q)、P(q)都是q的二阶可微函数，且厂商的利润函数L=L(q)满足，试拟定厂商获得最大利润的必要条件。解：此时若存在极值，必为

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