2025届高考数学一轮复习核心素养测评第2章2.6幂函数与二次函数含解析新人教B版

PAGE7-核心素养测评八幂函数与二次函数(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)QUOTE(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为 ()A.-3 B.1 C.2 D.1或2【解析】选B.由于f(x)为幂函数,所以n2+2n-2=1,解得n=1或n=-3,经检验只有n=1符合题意.2.(2024·成都模拟)已知幂函数f(x)=xα,当x>1时,恒有f(x)<x,则α的取值范围是 ()A.(0,1) B.(-∞,1)C.(0,+∞) D.(-∞,0)【解析】选B.当x>1时,恒有f(x)<x,即当x>1时,函数f(x)=xα的图象在y=x的图象的下方,由幂函数的图象与性质可推断α<1时满意题意.3.(2024·唐山模拟)已知二次函数f(x)满意f(2+x)=f(2-x),且f(x)在[0,2]上是增函数,若f(a)≥f(0),则实数a的取值范围是 ()A.[0,+∞) B.(-∞,0]C.[0,4] D.(-∞,0]∪[4,+∞)【解析】选C.由f(2+x)=f(2-x)可知,函数f(x)图象的对称轴为x=QUOTE=2,又函数f(x)在[0,2]上单调递增,所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4.4.已知a,b,c∈R,函数f(x)=ax2+bx+c.若f(0)=f(4)>f(1),则 ()A.a>0,4a+b=0 B.a<0,4a+b=0C.a>0,2a+b=0 D.a<0,2a+b=0【解析】选A.由f(0)=f(4)得f(x)=ax2+bx+c的对称轴为x=-QUOTE=2,所以4a+b=0,又f(0)>f(1),所以f(x)先减后增,于是a>0.5.设abc>0,二次函数f(x)=ax2+bx+c的图象可能是 ()【解析】选D.由A,C,D知,f(0)=c<0.因为abc>0,所以ab<0,所以对称轴x=-QUOTE>0,知A、C错误,D符合要求.由B知f(0)=c>0,所以ab>0,所以x=-QUOTE<0,B错误.6.(2024·南昌模拟)已知正实数a,b,c满意loga2=2,log3b=QUOTE,c6=QUOTE,则a,b,c的大小关系是 世纪金榜导学号()A.a<b<c B.a<c<bC.c<b<a D.b<a<c【解析】选B.由题得a2=2,所以a6=8,b=QUOTE,所以b6=32=9,因为8<QUOTE<9,a,b,c都是正数,所以a<c<b.7.(2024·西安模拟)如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论: 世纪金榜导学号①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.其中正确的是 ()A.②④ B.①④ C.②③ D.①③【解析】选B.因为图象与x轴交于不同的两点,所以b2-4ac>0,即b2>4ac,①正确.对称轴为x=-1,即-QUOTE=-1,2a-b=0,②错误.结合图象,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误.由对称轴为x=-1知,b=2a.又函数图象开口向下,所以a<0,所以5a<2a,即5a<b,④正确.二、填空题(每小题5分,共15分)8.若幂函数y=mxn(m,n∈R)的图象经过点QUOTE,则n=________.

【解析】由题意可得QUOTE解得n=-QUOTE.答案:-QUOTE9.若f(x)=xα是幂函数,且满意QUOTE=3,则fQUOTE=________. 世纪金榜导学号

【解析】因为f(x)=xα,则有QUOTE=3,解得2α=3,α=log23,所以fQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE10.已知函数f(x)=QUOTE其中c>0.那么f(x)的零点是________;若f(x)的值域是QUOTE,则c的取值范围是________. 世纪金榜导学号

【解析】当0≤x≤c时,由QUOTE=0得x=0.当-2≤x<0时,由x2+x=0,得x=-1,所以函数f(x)的零点为-1和0.当0≤x≤c时,f(x)=QUOTE,所以0≤f(x)≤QUOTE;当-2≤x<0时,f(x)=x2+x=QUOTE-QUOTE,所以此时-QUOTE≤f(x)≤2.若f(x)的值域是QUOTE,则有QUOTE≤2,即0<c≤4,即c的取值范围是(0,4].答案:-1和0(0,4](15分钟35分)1.(5分)(2024·德州模拟)已知f(x)定义在区间[-1,1]上,且满意f(-x)=-f(x),当x<0时,f(x)=x(x-1),则关于m的不等式f(1-m)+f(1-m2)<0的解集为()A.[0,1) B.(-2,1) C.(-2,QUOTE) D.(0,QUOTE)【解析】选A.当x<0时,f(x)=x(x-1),则f(x)在[-1,0]上单调递减.又f(x)在[-1,1]上是奇函数,所以f(x)在[-1,1]上单调递减.所以由f(1-m)+f(1-m2)<0得f(1-m)<-f(1-m2)=f(m2-1),所以QUOTE解得0≤m<1,所以原不等式的解集为[0,1).2.(5分)已知函数f(x)=x2+x+c,若f(0)>0,f(p)<0,则必有 ()A.f(p+1)>0B.f(p+1)<0C.f(p+1)=0D.f(p+1)的符号不能确定【解析】选A.由题意知,f(0)=c>0,函数图象的对称轴为x=-QUOTE,则f(-1)=f(0)>0,设f(x)=0的两根分别为x1,x2(x1<x2),则-1<x1<x2<0,依据图象知,x1<p<x2,故p+1>0,f(p+1)>0.【变式备选】已知函数f(x)=ax2+bx+c,且a>b>c,a+b+c=0,集合A={m|f(m)<0},则 ()A.∀m∈A,都有f(m+3)>0B.∀m∈A,都有f(m+3)<0C.∃m0∈A,使得f(m0+3)=0D.∃m0∈A,使得f(m0+3)<0【解析】选A.由a>b>c,a+b+c=0可知a>0,c<0,且f(1)=0,f(0)=c<0,即1是方程ax2+bx+c=0的一个根,当x>1时,f(x)>0.由a>b,得1>QUOTE,设方程ax2+bx+c=0的另一个根为x1,则x1+1=-QUOTE>-1,即x1>-2,由f(m)<0可得-2<m<1,所以1<m+3<4,结合抛物线图象可知,f(m+3)>0.3.(5分)(2024·抚州模拟)若对随意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,则a的取值范围是________.

【解析】因为对随意的x∈[a,a+2],均有(3x+a)3≤8x3,函数y=x3在R上单调递增,所以3x+a≤2x在x∈[a,a+2]上恒成立,即x+a≤0,所以a+2+a≤0,得到a≤-1.答案:(-∞,-1]4.(10分)函数y=F(x)的图象如图所示,该图象由指数函数f(x)=ax与幂函数g(x)=xb“拼接”而成. 世纪金榜导学号(1)求F(x)的解析式.(2)比较ab与ba的大小.(3)若(m+4)-b<(3-2m)-b,求m的取值范围.【解析】(1)依题意得QUOTE解得QUOTE所以F(x)=QUOTE(2)因为ab=QUOTE=QUOTE,ba=QUOTE,指数函数y=QUOTE单调递减,所以QUOTE<QUOTE,即ab<ba.(3)由(m+4QUOTE<(3-2mQUOTE,得QUOTE解得-QUOTE<m<QUOTE,所以m的取值范围是QUOTE.5.(10分)已知函数f(x)=QUOTE(k∈Z)满意f(2)<f(3). 世纪金榜导学号(1)求k的值并求出相应的f(x)的解析式.(2)对于(1)中得到的函数f(x),试推断是否存在q,使函数g(x)=1-qf(x)+(2q-1)x在区间[-1,2]上的值域为QUOTE?若存在,求出q;若不存在,请说明理由.【解析】(1)因为f(2)<f(3),所以f(x)在第一象限是增函数.故-k2+k+2>0,解得-1<k<2.又因为k∈Z,所以k=0或k=1.当k=0或k=1时,-k2+k+2=2,所以f(x)=x2.(2)假设存在q满意题设,由(1)知g(x)=-qx2+(2q-1)x+1,x∈[-1,2].因为g(2)=-1,所以两个最值点只能在端点(-1,g(-1))