专题11.9 期末复习之解答压轴题专项训练（华东师大版）（解析版）

专题11.9期末复习之解答压轴题专项训练【华东师大版】考点1考点1一元一次方程解答期末真题压轴题1．（2022春·四川巴中·七年级统考期末）如图，A、B两点在一数轴上，其中点O为原点，点A对应的有理数为−2，点B对应的有理数为20．点A以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为t秒t>0．(1)当t=3时，点A表示的有理数为___________，A、B两点的距离为___________；(2)若点B同时以每秒2个单位长度的速度向左运动，经过几秒，点A与点B相遇；(3)在（2）的条件下，点M（M点在原点）同时以每秒4个单位长度的速度向右运动，几秒后MA=2MB？【答案】(1)4；16(2)112(3)197秒或21【分析】（1）根据点A的出发点、运动速度及运动时间，可求出当t=3时点A表示的有理数，再利用数轴上两点间的距离公式可求出AB的长；（2）当运动时间为t秒时，点A表示的有理数为2t−2，点B表示的有理数为−2t+20，由点A，B相遇，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；（3）当运动时间为t秒时，点A表示的有理数为2t−2，点B表示的有理数为−2t+20，点M表示的数为4t，分0<t≤103及t>103两种情况考虑，根据【详解】（1）解：当t=3时，点A表示的有理数为−2+2×3=4，∴AB=20−4=16．故答案为：4；16．（2）当运动时间为t秒时，点A表示的有理数为2t−2，点B表示的有理数为−2t+20，依题意得：2t−2=−2t+20，解得：t=11答：经过112秒，点A与点B（3）当运动时间为t秒时，点A表示的有理数为2t−2，点B表示的有理数为−2t+20，点M表示的数为4t．令−2t+20=4t，解得：t=10当0<t≤103时，解得：t=19当t>103时，解得：t=21答：197秒或215秒后，【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，解题的关键是：（1）利用数轴上两点间的距离公式，求出AB的长；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（3）分0<t≤103及t>102．（2022秋·四川成都·七年级统考期末）成都中考“新体考”新增了“三大球”选考项目，即足球运球绕标志杆、排球对墙垫球、篮球行进间运球上篮．为了使学生得到更好的训练，某学校计划再采购100个足球，x个排球（x＞50）．现有A、B两家体育用品公司参与竞标，两家公司的标价都是足球每个50元，排球每个40元．他们的优惠政策是：A公司足球和排球一律按标价8折优惠；B公司规定每购买2个足球，赠送1个排球（单买排球按标价计算）．（1）请用含x的代数式分别表示出购买A、B公司体育用品的费用；（2）当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，求此时x的值；（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个．在训练时，每个同学都只进行一种球类训练，每人需要的球类个数如下表：足球排球篮球1人用1个1人用1个2人共用1个若学校要满足600名学生同时训练，计划拨出10500元经费采购这批足球与排球，这批经费够吗？若够，应在哪家公司采购？若不够，请说明理由．【答案】（1）购买A公司体育用品的费用为32x+4000；购买B公司体育用品的费用为40x+3000；（2）125；（3）够用，在A公司购买．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）列方程求解即可；（3）设购买足球m个，可知购买排球（350-m）个，分两种情况列不等式，解不等式即可．【详解】解：（1）购买A公司体育用品的费用为：0.8（50×100+40x）=32x+4000；购买B公司体育用品的费用为：50×100+40×（x-1002答：购买A公司体育用品的费用为32x+4000；购买B公司体育用品的费用为40x+3000；（2）根据题意，32x+4000=40x+3000，解得，x=125,答：当购买A、B两个公司体育用品的费用相等时，此时x为125；（3）已知学校原有足球、排球各50个，篮球100个，要满足600名学生同时训练，则需要购买足球和排球数量为：600-50-50-100×2=300，设购买足球m个，购买排球（300-m）个，购买A公司体育用品的费用为：0.8[50m+40（300-m）]=10500，解得，m=112.5,购买足球112个，购买排球188个，总费用为10496元；购买B公司体育用品，50m+40(300-m-m2解得，m=150,购买足球150个，购买排球150个，总费用为10500元；答：经费够用，可在A公司购买，费用更少．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是理清数量关系，找到等量关系列方程．3．（2022秋·四川广安·七年级四川省广安花桥中学校校考期末）已知x＝﹣3是关于x的方程（k+3）x+2＝3x﹣2k的解．（1）求k的值；（2）在（1）的条件下，已知线段AB＝6cm，点C是线段AB上一点，且BC＝kAC，若点D是AC的中点，求线段CD的长．（3）在（2）的条件下，已知点A所表示的数为﹣2，有一动点P从点A开始以2个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，同时另一动点Q从点B开始以4个单位长度每秒的速度沿数轴向左匀速运动，当时间为多少秒时，有PD＝2QD？【答案】（1）2；（2）1cm；（3）910秒或11【分析】（1）将x＝﹣3代入原方程即可求解；（2）根据题意作出示意图，点C为线段AB上靠近A点的三等分点，根据线段的和与差关系即可求解；（3）求出D和B表示的数，然后设经过x秒后有PD＝2QD，用x表示P和Q表示的数，然后分两种情况①当点D在PQ之间时，②当点Q在PD之间时讨论即可求解．【详解】（1）把x＝﹣3代入方程（k+3）x+2＝3x﹣2k得：﹣3（k+3）+2＝﹣9﹣2k，解得：k＝2；故k＝2；（2）当C在线段AB上时，如图，当k＝2时，BC＝2AC，AB＝6cm，∴AC＝2cm，BC＝4cm，∵D为AC的中点，∴CD＝12AC＝1cm即线段CD的长为1cm；（3）在（2）的条件下，∵点A所表示的数为﹣2，AD＝CD＝1，AB＝6，∴D点表示的数为﹣1，B点表示的数为4．设经过x秒时，有PD＝2QD，则此时P与Q在数轴上表示的数分别是﹣2﹣2x，4﹣4x．分两种情况：①当点D在PQ之间时，∵PD＝2QD，∴−1−2−2x=24−4x−−1②当点Q在PD之间时，∵PD＝2QD，∴−1−−2−2x=2−1−4−4x，解得答：当时间为910或116秒时，有PD＝2【点睛】本题考查了方程的解，线段的和与差，数轴上的动点问题，一元一次方程与几何问题，分情况讨论是本题的关键．4．（2022秋·四川成都·七年级统考期末）2019年底，我国高铁总运营里程达3．5万公里，居世界第一．已知A,B两市之间开通了“复兴号”与“和谐号”高铁列车．某日“和谐号”列车以每小时200km的速度匀速从A市驶向B市，1小时后“复兴号”列车以每小时300km的速度也匀速从A市驶向B市．（1）试问：“复兴号”列车出发多少小时后，两列车的车头相距50km；（2）若“复兴号”与“和谐号”列车的车长都为200m，从“复兴号”列车的车头追上“和谐号”列车的车尾开始计时，直到“复兴号”列车刚好完全超过“和谐号”列车为止，共持续了多长时间？【答案】（1）1.5小时或2.5小时；（2）0.004小时【分析】（1）设“复兴号”列车出发x小时后，两列车的车头相距50km，根据行驶的总路程相等列方程解答；（2）设共持续了y小时，根据在此过程中“复兴号”比“和谐号”多行驶两个车身的长度列方程解答.【详解】（1）设“复兴号”列车出发x小时后，两列车的车头相距50km，两车相遇前：200（1+x）=300x+50，得x=1.5两车相遇后，200（1+x）+50=300x，得x=2.5答：“复兴号”列车出发1.5小时或2.5小时后，两列车的车头相距50km；（2）设持续了y小时，2001000y=0.004答：持续了0.004小时.【点睛】此题考查一元一次方程的实际应用，根据相遇或追及问题的关系正确理解题意列方程是解题的关键.5．（2022春·四川攀枝花·七年级统考期末）如图，用8块相同的小长方形拼成一个宽为8cm的大长方形，求大长方形的面积.【答案】120cm2【分析】设小长方形的长为xcm,根据大长方形的长边关系列方程求解即可.【详解】解：设小长方形的长为xcm,根据题意得3x=5(8-x)解得x=5∴小长方形的宽为8-5=3cm,∴大长方形的面积为3×5×8=120cm2【点睛】本题考查一元一次方程的图形应用，找准等量关系列方程是解答此题的关键.6．（2022秋·河南开封·七年级校联考期末）图中的数阵是由全体正奇数排成的．（1）通过计算说明，图中平行四边形框内的九个数之和与中间的数有什么关系？（2）在图中任意作一个类似（1）中的平行四边形框，这九个数之和还有这种规律吗？请说出理由．（3）在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2016吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．（4）在（2）的条件下，这个平行四边形框中九个数之和能等于2079吗？若能，请求出这九个数中最小的一个；若不能，请说出理由．【答案】（1）九个数之和是中间的数的9倍；（2）有，见解析；（3）不能，见解析；（4）不能，见解析．【分析】（1）先求出图中平行四边形框内的九个数的和，再发现其与中间的数的关系即可解答；（2）设数阵图中中间的数为x，用含x的代数式分别表示其余的8个数，求出九个数的和，即可发现这九个数之和还有这种规律；（3）根据这九个数之和等于2016列出方程，解方程求出x的值，根据实际意义确（4）根据这九个数之和等于2079列出方程，解方程求出x的值，根据实际意义确定即可．【详解】解：（1）图中平行四边形框内的九个数的和为：23+25+27+39+41+43+55+57+59＝369，369÷41＝9，所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；（2）在数阵图中任意作一类似（1）中的平行四边形，这九个数之和还有这种规律．理由如下：设数阵图中中间的数为x，则其余的8个数为x﹣18，x﹣16，x﹣14，x﹣2，x+2，x+14，x+16，x+18，这九个数的和为：x﹣18+x﹣16+x﹣14+x﹣2+x+x+2+x+14+x+16+x+18＝9x，所以图中平行四边形框内的九个数之和是中间的数的9倍；（3）不能，理由如下：设数阵图中中间的数为x，根据题意，得9x＝2016，解得x＝224，∵数阵是由全体奇数排成，∴数阵图中中间的数为224不合题意；（4）不能，理由如下：设数阵图中中间的数为x，根据题意，得9x＝2079，解得x＝231，∵数列中第n+1行最左边一列中的数为18n+1，第二列中的数为18n+3，．．．，第八列中的数为18n+15，231＝18×12+15，∴231是第13行第八列中的数，∴数阵图中中间的数为231不合题意．【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律并应用规律解决问题是解答本题的关键．7．（2022秋·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）已知x＝m与x＝n分别是关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）的解．（1）若关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，求m的值；（2）当n＝1时，求代数式3c2+cd+2c-2（12cd+32（3）若|m-n|=12，则称关于x的方程ax+b＝0（a≠0）与cx+d＝0（c≠0）为“差半点方程”．试判断关于x的方程4042x【答案】（1）m＝1；（2）0；（3）是“差半点方程”，理由见解析．【分析】（1）解方程6x-7＝4x-5，结合题意，即可求出m的值；（2）根据方程解的定义求得c+d＝0，然后化简代数式，把c+d＝0代入即可求得代数式的值；（3）分别解出两个一元一次方程的解（都用t的式子来表示），求出两个解的差绝对值即可．【详解】（1）6x-7＝4x-5解得：x＝1∵关于x的方程ax+b＝0（a≠0）的解与方程6x-7＝4x-5的解相同，∴m＝1；（2）∵x＝1是关于x的方程cx+d＝0（c≠0）的解∴c+d＝0则3c2+cd+2c-2（12cd+32＝3c2+cd+2c-cd-3c2+2d＝2c+2d＝2（c+d）＝0；（3）4042x−9解得：x=4040x+4＝8×2021-2020t-x解得：x=∵9×2020−2020t+====∴关于x的方程4042x−9【点睛】本题考查了一元一次方程、绝对值、有理数混合运算、整式加减的知识；准确把握题意和熟知解一元一次方程的知识是解决本题的关键．8．（2022秋·河南信阳·七年级河南省淮滨县第一中学校考期末）一项工程，甲队单独完成需30天，乙队单独完成需45天，现甲队先单独做20天，之后两队合作．（1）甲、乙合作多少天才能把该工程完成？（2）甲队施工一天需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元．若该工程计划在40天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲、乙两队全程合作完成该工程省钱？【答案】（1）甲、乙合作6天才能把该工程完成；（2）由甲、乙合作18天完成更省钱．【分析】（1）设甲、乙两队合作x天，甲队单独完成这项工程需要30天，乙队单独完成这项工程需要45天，列出方程130（2）把在工期内的情况进行比较即可.【详解】解：（1）设甲、乙合作x天才能把该工程完成．130解得x=6．答：甲、乙合作6天才能把该工程完成．（2）当甲队独做时：3.5×30=105万元乙队单独完成超时，所以乙队不能独做．当甲、乙两队全程合作时：设甲、乙合作y天完成全工程．130解得：y=18

18×(3.5+2)=99万元．105万元>99万元．答：由甲、乙合作18天完成更省钱．【点睛】本题考查一元一次方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）如图，甲、乙两位同学在长方形的场地ABCD上绕着四周跑步，甲沿着A－D－C－B－A方向循环跑步，同时乙沿着B－C－D－A－B方向循环跑步，AB＝30米，BC＝50米，若甲速度为2米/秒，乙速度3米/秒．（1）设经过的时间为t秒，则用含t的代数式表示甲的路程为米；（2）当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为多少秒？（3）若甲改为沿着A－B－C－D－A的方向循环跑步，而乙仍按原来的方向跑步，两人的速度不变，求经过多少秒，乙追上甲？（4）在（3）的条件下，当乙第一次追上甲后继续跑步，则最少再经过a秒乙又追上甲，这时两人所处的位置在点P；直接写出a的值，在图中标出点P，不要求书写过程．【答案】（1）2t米；（2）26秒；（3）130秒；（4）160，P点详见解析.【分析】（1）直接根据路程=速度×时间可得；（2）时间=路程÷速度和：50×2+30÷（3）设时间为t秒，则3t-2t=130；（4）先推出（3）中追上地点，再根据路程关系列出3a-2a=160，求出追上时间，再推出具体地点P.【详解】解：（1）表示甲的路程为2t米；（2）50×2+30÷答：当甲、乙两人第一次相遇时，求所经过的时间t为26秒.（3）设时间为t秒，则3t-2t=130解得t=130答：经过130秒，乙追上甲.（4）130×2=260（米）260-（50+30）×2=100（米）100-80=20（米）所以（3）中乙追上甲的地点在CD上，离C点20米的地方；若乙再次追上甲的时间为a秒,则3a-2a=160解得a=160160×2=320（米）320÷160=2（圈）所以第二次乙追上甲的地方跟（3）一样，在CD上，离C点20米的地方；P点如图【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分析题干找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键.10．（2022春·河南周口·七年级统考期末）先阅读下列解题过程，然后解答后面两个问题．解方程：|x-3|=2．解：当x-3≥0时，原方程可化为x-3=2，解得x=5；当x-3＜0时，原方程可化为x-3=-2，解得x=1．所以原方程的解是x=5或x=1．（1）解方程：|3x-2|-4=0．（2）解关于x的方程：|x-2|=b+1【答案】（1）x=2或x=-23【分析】（1）首先要认真审题，解此题时要理解绝对值的意义，要会去绝对值，然后化为一元一次方程即可求得．（2）根据绝对值的性质分类讨论进行解答．【详解】解：（1）当3x-2≥0时，原方程可化为3x-2-4=0，解得x=2；当3x-2＜0时，原方程可化为-(3x-2)-4=0，解得x=-23所以原方程的解是x=2或x=-23（2）①当b+1＜0，即b＜-1时，原方程无解，②当b+1=0，即b=-1时：原方程可化为：x-2=0，解得x=2；③当b+1＞0，即b＞-1时：当x-2≥0时，原方程可化为x-2=b+1，解得x=b+3；当x-2＜0时，原方程可化为x-2=-(b+1)，解得x=-b+1．【点睛】本题主要考查含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是根据绝对值的性质将绝对值符号去掉，从而化为一般的一元一次方程求解．考点2考点2一次方程组解答期末真题压轴题1．（2022春·河南驻马店·七年级统考期末）阅读感悟：有些关于方程组的问题，要求的结果不是每一个未知数的值，而是关于未知数的代数式的值，如以下问题：已知实数x、y满足3x−y=5①，2x+3y=7②，求x−4y和7x+5y的值．本题常规思路是将①②两式联立组成方程组，解得x、y的值再代入欲求值的代数式得到答案，常规思路运算量比较大.其实，仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题还可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由①－②可得x−4y=−2，由①+②×2可得7x+5y=19．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．解决问题：（1）已知二元一次方程组2x+y=7x+2y=8，则x−y=_______，x+y=（2）某班级组织活动购买小奖品，买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元，则购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需多少元？（3）对于实数x、y，定义新运算：x∗y=ax+by+c，其中a、b、c是常数，等式右边是通常的加法和乘法运算．已知3∗5=15，4∗7=28，那么1∗1=_______．【答案】（1）−1；5；（2）购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元；（3）−11．【分析】（1）利用①−②可得x－y的值，利用13(①+②（2）设铅笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，记事本的单价为p元，根据“买20支水笔、3块橡皮、2本记事本共需35元，买39支水笔、5块橡皮、3本记事本工序62元”，即可得出关于m，n，p的三元一次方程组，由2×①-②可得m+n+p的值，再乘5即可求得结果；（3）根据新运算的定义可得出关于a，b，c的三元一次方程组，由3×①−2×②可得出a+b+c的值，从而可求得结果．【详解】（1）2x+y=7由①−②可得：x－y＝－1，由13×(①+②故答案为：−1；5．（2）设水笔的单价为m元，橡皮的单价为n元，记事本的单价为p元，依题意，得：20m+3n+2p=35①由2×①−②∴6m+6n+6p=6×8=48．故购买6支水笔、6块橡皮、6本记事本共需48元．（3）依题意得：3a+5b+c=15由3×①−2×②可得：a+b+c＝－11即1∗1=－11故答案为：−11．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用及三元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）运用“整体思想”求出x-y，x+y的值；（2）（3）找出等量关系，正确列出三元一次方程组．2．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）阅读以下内容：已知有理数m，n满足m+n＝3，且3m+2n=7k−42m+3n=−2求k三位同学分别提出了以下三种不同的解题思路：甲同学：先解关于m，n的方程组3m+2n=7k−42m+3n=−2，再求k乙同学：将原方程组中的两个方程相加，再求k的值；丙同学：先解方程组m+n=32m+3n=−2，再求k（1）试选择其中一名同学的思路，解答此题；（2）在解关于x，y的方程组a+1x−by=18①b+2x+ay=1②时，可以用①×7﹣②×3消去未知数x，也可以用①×2+②×5消去未知数y【答案】（1）见解析；（2）a和b的值分别为2，5．【分析】（1）分别选择甲、乙、丙，按照提示的方法求出k的值即可；（2）根据加减消元法的过程确定出a与b的值即可．【详解】解：（1）选择甲，3m+2n=7k−4①①×3﹣②×2得：5m＝21k﹣8，解得：m＝21k−85②×3﹣①×2得：5n＝2﹣14k，解得：n＝2−14k5代入m+n＝3得：21k−85去分母得：21k﹣8+2﹣14k＝15，移项合并得：7k＝21，解得：k＝3；选择乙，3m+2n=7k−4①①+②得：5m+5n＝7k﹣6，解得：m+n＝7k-代入m+n＝3得：7k-去分母得：7k﹣6＝15，解得：k＝3；选择丙，联立得：m+n=3①①×3﹣②得：m＝11，把m＝11代入①得：n＝﹣8，代入3m+2n＝7k﹣4得：33﹣16＝7k﹣4，解得：k＝3；（2）根据题意得：a+1=3b+2=7解得：b=5a=2检验符合题意，则a和b的值分别为2，5．【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．3．（2022春·河南南阳·七年级统考期末）阅读下列材料：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际生活中我们往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x问题：（1）请你直接写出方程3x−y=6的一组正整数解_______；（2）若12x−3为自然数，则满足条件的正整数x的值有（

A．5

B．6

C．7

D．8（3）为奖励消防演练活动中表现优异的同学，某校决定用1200元购买篮球和排球作为奖品，其中篮球每个120元，排球每个90元，在购买资金恰好用尽的情况下，写出购买方案．【答案】（1）x=3y=3（答案不唯一）；；（2）B；（3）；x、y【分析】（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时（可为其他值），可求出y的一个整数解；（2）由题意可知x-3是12的因数，即可确定x的可能值；（3）设购买篮球x个，排球y个，根据总价=单价×数量的等量关系，列出关于x，y的二元一次方程，然后讨论x、y的值即可解答．【详解】解：（1）由3x-y=6，得：y=3x-6，当x=3时，可得y=3；故答案为：x=3y=3（2）由题意可知x-3是12的因数，则x-3=1,x-3=2,x-3=3,x-3=4,x-3=6,x-3=12;则x的的取值有6种可能性故答案为B；（3）设购买蓝球x个，排球y个，依题意120x+90y=1200，即x=10-34yx、∴x=10y=0，x=7y=4，x=4∴x、y购买有4种方案①买蓝球10个，不买排球；②买蓝球7个，排球4个；③买蓝球4个，排球8个；④买蓝球1个，12个排球.【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系、列出二元一次方程并掌握讨论解的方法是解答本题的关键．4．（2022春·河南新乡·七年级校考期末）一列快车长230米，一列慢车长220米，若两车同向而行，快车从追上慢车时开始到离开慢车，需90秒钟；若两车相向而行，快车从与慢车相遇时到离开慢车，只需18秒钟，问快车和慢车的速度各是多少？【答案】快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.【分析】设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，根据题意列方程组求解即可.【详解】设快车的速度是x米/秒，慢车的速度是y米/秒，90x−90y=220+23018x+18y=220+230解得x=15y=10答：快车的速度是15米/秒，慢车的速度是10米/秒.【点睛】此题考查二元一次方程组的实际应用，正确理解行程中的相遇问题与追及问题是解题的关键.5．（2022春·河南洛阳·七年级统考期末）甲、乙两位同学在解方程组ax+3y=1①bx−4y=1②时，甲把字母a看错了得到方程组的解为x=2y=−7（1）求a，b的正确值；（2）求原方程组的解．【答案】（1）a=2，b=﹣3；（2）x=−7y=5【分析】（1）甲把字母a看错了，而方程②中没有a，故可以将甲的答案代入②中求出b；乙把字母b看错了，而方程①中没有b，故可将乙的答案代入①中求出a；（2）将所求得的a、b的值代入原方程组后，解方程组求解．【详解】（1）根据题意得：2b+7=12a−3=1解得：a＝2，b＝﹣3，（2）方程组为2x+3y=1−3x−4y=1解得x=−7y=5【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解决本题的关键是明确方程组的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．6．（2022春·福建厦门·七年级厦门市第十一中学校考期末）当a，b都是实数，且满足2a−b=6，就称点Pa−1,(1)判断点A2,3(2)已知关于x，y的方程组x+y=4x−y=2m，当m为何值时，以方程组的解为坐标的点B【答案】(1)A（2，3）不是完美点．理由见解析(2)m=12【分析】（1）根据完美点的定义判定即可；（2）用m表示a、b，构建方程即可解决问题．【详解】（1）解：A（2，3）不是完美点．理由如下：令a−1=2b解得a=3b=4∵2a−b=2×3−4≠6，∴A（2，3）不是完美点．（2）解：解关于x，y的方程组x+2＝解得x＝解关于a，b的方程组2=a−12−2m=解得a=3b=2−4m∵2a−b=6，∴2×3−2−4m∴m=12∴当m=12时，点B（x，y【点睛】本题考查二元一次方程组，点的坐标等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题．7．（2022春·福建莆田·七年级校联考期末）阅读下列材料，解答下面的问题：我们知道方程2x+3y=12有无数个解，但在实际问题中往往只需求出其正整数解．例：由2x+3y=12，得：y=12−2x3=4−23x（x、y为正整数）．要使y=4−23x为正整数，则23x（1）请你直接写出方程3x+2y=8的正整数解___________．（2）若6x−3为自然数，则求出满足条件的正整数x（3）关于x，y的二元一次方程组x+2y=92x+ky=10的解是正整数，求整数k【答案】（1）x=2y=1；（2）4，5，6，9；（3）【分析】（1）根据二元一次方程的解的定义求出即可；（2）根据题意得出x−3=6或3或2或1，求出即可；（3）先求出y的值，即可求出k的值．【详解】解：（1）由方程3x+2y=8得，y=8−3x2=4−3x2要使y=4−3x2为正整数，则可知：x为2的倍数，从而x=2，代入y=4−3x所以3x+2y=8的正整数解为x=2y=1故答案为：x=2y=1（2）若6x−3为自然数，则(x−3)则满足条件的正整数x的值有9，5，6，4；（3）x+2y=9①2x+ky=10②①×2−②：4−ky=8解得：y=8∵x，y是正整数，k是整数，∴4−k=1，2，4，8．k=3，2，0，−4．但k=3时，x不是正整数，故k=2，0，−4．【点睛】本题考查了二元一次方程的解，二元一次方程的解的应用，能灵活运用知识点求出特殊解释解此题的关键．8．（2022春·福建·七年级校考期末）已知关于x、y的二元一次方程组2x−y=3k−22x+y=1−k（k（1）求这个二元一次方程组的解（用含k的代数式表示）；（2）若方程组的解x、y满足x+y＞5，求（3）若k≤1，设m=2x−3y，且m为正整数，求m的值．【答案】（1）x=2k−14y=3−4k2；（2）k【分析】（1）把k当成一个已知得常数，解出二元一次方程组即可；（2）将（1）中得x,y的值代入x+y＞5，即可求出（3）将（1）中得x,y的值代入m=2x−3y得m=7k﹣5．由于m＞0，得出7k﹣5＞0，及k≤1得出解集57＜k≤1进而得出【详解】（1）2x−y=3k−2①②+①，得4x＝2k﹣1，即x=2k−1②﹣①，得2y＝﹣4k+3即y=3−4k所以原方程组的解为x=（2）方程组的解x、y满足x+y＞5，所以2k−14整理得﹣6k＞15，所以k＜﹣5（3）m＝2x﹣3y＝2×＝7k﹣5由于m为正整数，所以m＞0即7k﹣5＞0，k＞5所以57＜k当k＝67时，m＝7k当k＝1时，m＝7k﹣5＝2．答：m的值为1或2．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键.9．（2022春·福建泉州·七年级统考期末）小明到某服装商场进行社会调查，了解到该商场为了激励营业员的工作积极性，实行“月总收入=基本工资+计件奖金”的方法，并获得如下信息：营业员A：月销售件数200件，月总收入2400元；营业员B：月销售件数300件，月总收入2700元；

假设营业员的月基本工资为x元，销售每件服装奖励y元．

（1）求x、y的值；（2）若某营业员的月总收入不低于3100元，那么他当月至少要卖服装多少件？（3）商场为了多销售服装，对顾客推荐一种购买方式：如果购买甲3件，乙2件，丙1件共需350元；如果购买甲1件，乙2件，丙3件共需370元．某顾客想购买甲、乙、丙各一件共需多少元？【答案】(1)x=1800y=3【详解】解：（1）依题意，得x+200y=2400x+300y=2700

解，得x=1800y=3

（2）设他当月要卖服装m件．

则1800+3m≥3100m≥4331m≥4331

答：他当月至少要卖服装434件．

（3）设甲、乙、丙服装的单价分别为a元、b元、c元．

则3a+2b+c=350a+2b+3c=370

∴4a+4b+4c=720

∴a+b+c=180答：购买甲、乙、丙各一件共需180元．10．（2022春·四川遂宁·七年级统考期末）规定关于x的一元一次方程ax＝b的解为b-a，则称该方程是“郡园方程”，例如：3x＝4.5的解为4.5-3＝1.5，则该方程3x＝4.5就是“郡园方程”．(1)若关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，求m的值；(2)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m是“郡园方程”，它的解为m，求m，n的值；(3)若关于x的一元一次方程2x＝mn+m和-2x＝mn+n都是“郡园方程”，求代数式(mn+m)2【答案】(1)m的值为4；(2)m的值为2、n的值为1；(3)-8.【分析】（1）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m的一元一次方程，解之即可；（2）根据“郡园方程”的定义即可得出关于m、n的方程组，解之即可；（3）根据“郡园方程”的定义即可得出mn+m＝4，mn+n=−34，二者做差即可得出m-n的值，将三个数代入代数式（mn+m）2-9（mn+n）2-3（m-【详解】（1）解：（1）∵方程2x＝m是“郡园方程”，∴2（解得：m＝4．∴关于x的一元一次方程2x＝m是“郡园方程”，则m的值为4．（2）解：∵方程2x=mn+m是“郡园方程”，它的解为m，∴2（mn+m−2）∴关于x的一元一次方程2x=mn+m是“郡园方程”，它的解为m，则m的值为2、n的值为1．（3）（3）∵方程2x＝mn+m和﹣2x＝mn+n都是“郡园方程”，∴2（∴mn+m＝4，mn+n=−3∴m﹣n＝4﹣（−43）∴（mn+m）2﹣9（mn+n）2﹣3（m﹣n）＝42﹣9×（−43）2-3【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、代数式求值、解二元一次方程组等知识点，解题的关键是：（1）根据“郡园方程”的定义列出关于m的一元一次方程；（2）根据规定解方程的定义列出关于m、n的方程组，利用整体思想解答也是解题关键．考点3考点3一元一次不等式解答期末真题压轴题1．（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期末）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x−1=3的解为x=4，而不等式组x−1>1x−2<3的解集为2<x<5，不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x−1=3是不等式组x−1>1(1)在方程①6(x+2)−(x+4)=23；②9x−3=0；③2x−3=0中，不等式组{2x−1>x+1(2)若关于x的方程3x−k=6是不等式组3x+12>xx−1(3)若关于x的方程x−3m2=−2是关于x的不等式组{x+1>m【答案】(1)①(2)−9<k≤−3.(3)3【分析】（1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可；（2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组−1<k+6（3）先解不等式组可得m−1<x≤3m+1,再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：n,n+1,n+2,n+3,n+4,再求解0<n<2,而n为整数，则n=1,可得43≤m<53,再解方程可得x=3m−4,【详解】（1）解：①6(x+2)−(x+4)=23，整理得：5x=15,解得：x=3,②9x−3=0，解得：x=1③2x−3=0，解得：x=3{解不等式2x−1>x+1可得：x>2,解不等式3(x−2)−x≤4可得：x≤5,所以不等式组的解集为：2<x≤5.根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”．故答案为：①（2）解：{3x+1由①得：x>−1,由②得：x≤1,所以不等式组的解集为：−1<x≤1,∵3x−k=6，∴x=k+6根据“相依方程”的含义可得：−1<k+6∴−3<k+6≤3,解得：−9<k≤−3.（3）解：{由①得：x>m−1,由②得：x≤3m+1,∴不等式组的解集为：m−1<x≤3m+1,此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：n,n+1,n+2,n+3,n+4,∴{n−1≤m−1<n∴{n≤m<n+1则{n<解得：0<n<2,而n为整数，则n=1,∴{1≤m<2∴4因为x−3m2解得：x=3m−4,根据“相依方程”的含义可得：{m−1<3m−4解m−1<3m−4可得：m>3而3m−4≤3m+1恒成立，所以不等式组的解集为：m>3综上：3【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键．2．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）新定义：对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为〈x〉，即：当为非负整数时，如果n−12≤x<n+12，则〈x〉=n例如：<0>=<0.48>=0,<0.64>=<1.49>=1,<3>=3,<3.5>=<4.12>=4,⋅⋅⋅⋅⋅⋅试解决下列问题：(1)填空：①<π>=_________（π为圆周率）；②如果<x−1>=3，则实数x的取值范围为_________；(2)若关于的不等式组2x−43≤x−1〈a〉−x>0(3)求满足〈x〉=43x【答案】(1)①3；②3.5≤x＜4.5；(2)1.5≤a＜2.5；(3)0，34，3【分析】（1）①利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出＜π＞的值；②利用对非负实数x“四舍五入”到个位的值记为＜x＞，进而得出x的取值范围；（2）首先将＜a＞看作一个字母，解不等式组进而根据整数解的个数得出a的取值范围；（3）利用＜x＞=43x设43x=k【详解】（1）①由题意可得：＜π＞=3；故答案为：3，②∵＜x-1＞=3，∴2.5≤x-1＜3.5∴3.5≤x＜4.5；故答案为：3.5≤x＜4.5；（2）解不等式组得：-1≤x＜＜a＞，由不等式组整数解恰有3个得，1＜＜a＞≤2，故1.5≤a＜2.5；（3）∵x≥0，43设43x=k，k为整数，则x=3∴＜34k＞=k∴k-12≤34k＜k+12∴0≤k≤2，∴k=0，1，2，则x=0，34，3【点睛】此题主要考查了新定义以及一元一次不等式的应用，根据题意正确理解＜x＞的意义是解题关键．3．（2022春·四川内江·七年级四川省内江市第六中学校考期末）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．(1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子．①请完成下列表格：x只竖式箱子y只横式箱子A型板材张数(张)x

B型板材张数(张)

3y②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只．(2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是，此时能制作横式箱子只．【答案】(1)①4x，2y；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只(2)35，5【分析】(1)根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得；(2)设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，根据一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，得9x−173n−3x−81=23，可得n=112x+【详解】（1）解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板，故答案为：4x，2y；②根据题意，得x+2y=504x+3y=100解得x=10y=20答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只；（2）解：设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，且一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板，则剩余A板(9x-17)张，B板(3n-3x-81)张，根据题意，得9x−173n−3x−81整理，得n=11∵9x-17≥0，∴x≥17∵3n-3x-81≥0，∴n≥x+27，n=11解得x=17∵x≥179，且∴x取最小值为2时，n=11+111当x=3时，n=35，∴x取最小值为3时，n=35最小．此时，剩余A板10张，可以做5只横式板．∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只．故答案为：35，5．【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．4．（2022·四川内江·七年级校考期末）【发现问题】已知{3x+2y=4①2x−y=6②，求方法一：先解方程组，得出x，y的值，再代入，求出4x+5y的值．方法二：将①×2−②，求出4x+5y的值．【提出问题】怎样才能得到方法二呢？【分析问题】为了得到方法二，可以将①×m+②×n，可得(3m+2n)x+(2m−n)y=4m+6n．令等式左边(3m+2n)x+(2m−n)y=4x+5y，比较系数可得{3m+2n=42m−n=5，求得【解决问题】（1）请你选择一种方法，求4x+5y的值；（2）对于方程组{3x+2y=42x−y=6利用方法二的思路，求【迁移应用】（3）已知{1≤2x+y≤24≤3x+2y≤7，求【答案】（1）2；（2）26；（3）−38≤x−3y≤−6【分析】（1）利用方法二来求4x+5y的值；由题意可知4x+5y=2×4−1×6=2；（2）先根据方法二的基本步骤求出{m=−1n=5，即可得（3）通过方法二得出x−3y=11(2x+y)−7(3x+2y)，再利用不等式的性质进行求解．【详解】解：（1）利用方法二来求4x+5y的值；由题意可知：2(3x+2y)−(2x−y)=6x+4y−2x+y=4x+5y，即4x+5y=2×4−1×6=2；（2）对于方程组{3x+2y=4①由①×m+②×n可得：(3m+2n)x+(2m−n)y=7x−7y，则{3m+2n=7③由③+2×④可得：7m=−7∴m=−1，将m=−1代入④可得n=5，∴{m=−1则7x−7y=−(3x+2y)+5(2x−y)=−1×4+5×6=26；（3）已知{1≤2x+y≤2通过方法二计算得：x−3y=11(2x+y)−7(3x+2y)，又∵11≤11(2x+y)≤22,−49≤−7(3x+2y)≤−28，∴−38≤x−3y≤−6．【点睛】本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤．5．（2022春·四川南充·七年级南充市第十中学校校考期末）如图，数轴上两点A、B对应的数分别是－1，1，点P是线段AB上一动点，给出如下定义：如果在数轴上存在动点Q，满足|PQ|＝2，那么我们把这样的点Q表示的数称为连动数，特别地，当点Q表示的数是整数时我们称为连动整数．（1）在－2.5，0，2，3.5四个数中，连动数有；（直接写出结果）（2）若k使得方程组3x+2y=k+14x+3y=k−1中的x，y均为连动数，求k（3）若关于x的不等式组2x−63>x−3x+3【答案】（1）-2.5，2；（2）k=-8或-6或-4；（3）2，1，-1，-2，−3＜a≤−【分析】（1）根据连动数的定义即可确定；（2）先表示出x，y的值，再根据连动数的范围求解即可；（3）求得不等式的解，根据连动整数的概念得到关于a的不等式，解不等式即可求得．【详解】解：（1）∵点P是线段AB上一动点，点A、点B对应的数分别是－1，1，又∵|PQ|＝2，∴连动数Q的范围为：−3≤Q≤−1或1≤Q≤3，∴连动数有-2.5，2；（2）3x+2y=k+1①4x+3y=k−1②②×3-①×4得：y=①×3-②×2得：x=k+5，要使x，y均为连动数，−3≤x≤−1或1≤x≤3，解得−8≤k≤−6或−4≤k≤−2−3≤y≤−1或1≤y≤3，解得−6≤k≤−4或−10≤k≤−8∴k=-8或-6或-4；（3）2x−63x<3x≥2a+3∵解集中恰好有4个解是连动整数，∴四个连动整数解为-2，-1，1，2，∴−3<2a+3≤−2，∴−3<a≤−∴a的取值范围是−3<a≤−5【点睛】本题考查了解一元一次不等式组的整数解，一元一次方程的解，根据新定义得到不等式组是解题的关键6．（2022春·四川乐山·七年级校考期末）（1）阅读下面问题的解答过程并补充完整．问题：实数x，y满足x−y=2，x+y=a，且x>1，y<0，求a的取值范围．解：列关于x，y的方程组{x−y=2x+y=a，解得{x=a+22y=a−2（2）已知x−y=4，且x>3，y<1，求x+y的取值范围；（3）若a，b满足3a2+5|b|=7，S=2【答案】（1）0<a<2；（2）2<x+y<6；（3）−【分析】（1）先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可；（2）根据（1）阅读中的方法解题即可求解；（3）先根据3a2+5|b|=7求出|b|的值，再代入S=2a2−3|b|中即可得到关于【详解】解：（1）{a+2解不等式①得：a>0，解不等式②得：a<2，∴不等式组的解集为0<a<2，故答案为：0<a<2；（2）①设x+y=a，则{x−y=4解得：{x=∵x>3，y<1，∴{a+4解得：2<a<6，即2<x+y<6；（3）由3a2+5|b|=7则7−3a25∴0⩽a将|b|=7−3a2得S=19∵0⩽a∴当a2=0时，S取最小值为当a2=73时，∴S的取值范围为：−21【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，解题的关键是能根据不等式的解集求出不等式组的解集．7．（2022春·四川攀枝花·七年级统考期末）已知关于x的不等式a+3bx>a−b的解集为x<−53，求关于x【答案】x<−【分析】结合题意，根据不等式的性质，得a＜-3b，2a+3b＝0；根据代数式的性质，得a＞0，b＜0，再根据一元一次不等式的性质计算，即可得到答案．【详解】∵关于x的不等式a+3bx>a−b的解集为∴a+3b＜0，a−ba+3b∴a＜-3b，8a＝-12b，即2a+3b＝0∵a+3b＜0，2a+3b=a+a+3b∴a＞0，b＜0∴bx−a>0的解集为：x<故答案为：x<−3【点睛】本题考查了一元一次不等式、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的性质，从而完成求解．8．（2022春·四川宜宾·七年级统考期末）定义：对于任何有理数m，符号[m]表示不大于m的最大整数.例如：[4.5]=4，[8]=8，[−3.2]=−4.（1）填空：[π]=________，[−2.1]+5=________；（2）如果[5−2x3]=−4（3）求方程4x−3[x]+5=0的整数解.【答案】（1）3，2；（2）7<x≤172【分析】（1）根据题目中所给的运算方法求解即可；（2）根据题目中所给的运算方法得到不等式组−4≤5−2x3<−3，解不等式组即可求得x的取值范围；（3）把4x−3[x]+5=0化为[x]=4x+53，根据题目中所给的运算方法可得x−1<4x+53≤x，解不等式组可得−8<x≤−5，已知[x]是整数，设4x+5=3n（n是整数），可得x=3n−54，即可得−8<3n−54≤−5【详解】（1）3,2

（2）由题：−4≤5−2x解得不等式组的解集为：7<x≤17（3）由题得：[x]=∴x−1<4x+5解得不等式组的解集为：−8<x≤−5

∵[x]是整数设4x+5=3n（n是整数）∴x=−8<解得不等式组的解集为：−9<n≤−5∵n是整数∴n=−8,−7,−6,−5，∵x是方程4x−3[x]+5=0的整数解，∴只有当n=−5，方程的整数解为x=−5.【点睛】本题是阅读理解题，还考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，求出不等式组的解集．9．（2022春·四川宜宾·七年级统考期末）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克m元，售价每千克16元；乙种蔬菜进价每千克n元，售价每千克18元．（1）该超市购进甲种蔬菜15千克和乙种蔬菜20千克需要430元；购进甲种蔬菜10千克和乙种蔬菜8千克需要212元．求m，n的值．（2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共100千克，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买甲种蔬菜x千克，求有哪几种购买方案（3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出2a元，乙种蔬菜每千克捐出a元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于20%，求a的最大值．【答案】（1）m、n的值分别为10和14；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）a的最大值为1.8【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值；（2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案；（3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案．【详解】解：（1）由题意得15m+20n=43010m+8n=212解得：m=10n=14答：m、n的值分别为10和14；（2）根据题意10x+14(100−x)≥116010x+14(100−x)≤1168解得：58≤x≤60，因为x是整数所以x为58、59、60；∴共3种方案，分别为：方案一购甲种蔬菜58千克，乙种蔬菜42千克；方案二购甲种蔬菜59千克，乙种蔬菜41千克；方案三购甲种蔬菜60千克，乙种蔬菜40千克；（3）方案一的利润为：(16−10)×58+(18−14)×42=516元，方案二的利润为：(16−10)×59+(18−14)×41=518元，方案三的利润为：(16−10)×60+(18−14)×40=520元，∴利润最大值为520元，甲售出60kg，乙售出40kg，∴(16−10−2a)×60+(18−14−a)×40解得：a≤1.8答：a的最大值为1.8；【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答．10．（2022春·四川宜宾·七年级校联考期末）阅读下列材料：解答“已知x−y=2，且x>1，y<0，试确定x+y的取值范围”有如下解法：解：因为x−y=2，所以x=y+2，又因为x>1，所以y+2>1，所以y>−1，所以−1<y<0①，同理：1<x<2②，①+②得：−1+1<y+x<0+2，所以x+y的取值范围是0<x+y<2．请仿照上述解法，完成下列问题：（1）已知x−y=3，且x>2，y<1，则x+y的取值范围是多少．（2）已知y>1，x<−1，若x−y=a，求x+y的取值范围（结果用含a的式子表示）．【答案】（1）1＜x+y＜5；（2）2+a<x+y<−2−a．【详解】试题分析：（1）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可；（2）理解解题过程，按照解题思路求解．试题解析：（1）∵x−y=3，∴x=3+y，又∵x>2，∴3+y>2⇒y>−1，∴−1<y<1①，同理2<x<4②，①+②得−1+2<x+y<4+1，∴x+y的取值范围是1<x+y<5；（2）∵x−y=a，∴x=a+y，又∵x<−1，∴a+y<−1⇒y<−1−a，∴1<y<−1−a，同理1+a<x<−1，∴2+a<x+y<−2−a，∴x+y的取值范围是2+a<x+y<−2−a．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细阅读材料，理解解题过程．考点4考点4多边形解答期末真题压轴题1．（2022春·四川成都·七年级校考期末）如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．(1)求证：∠A+∠C=∠B+∠D；(2)如图2，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，与CD、AB分别相交于点M、N．①以线段AC为边的“8字型”有_______个，以点O为交点的“8字型”有________个：②若∠B=100°，∠C=120°，求∠P的度数；③若角平分线中角的关系改为“∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP”，试探究∠P与∠B、∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】(1)证明见解析；(2)①3，4；②110°；③3∠P=∠B+2∠C；【分析】（1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明；（2）①根据“8字型”的定义判断即可；②由（1）结论可得△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，两式相加再由角平分线的定义即可解答；③根据∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，由∠C+∠CAM=∠P+∠PDM可得3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，由∠B+∠BDN=∠P+∠PAN可得32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB【详解】（1）解：△AOC中，∠A+∠C=180°-∠AOC，△BOD中，∠B+∠D=180°-∠BOD，∵∠AOC=∠BOD，∴∠A+∠C=∠B+∠D；（2）解：①以线段AC为边的“8字型”有：△ACM和△PDM，△ACO和△BOD，△ACO和△DNO，共3个；以点O为交点的“8字型”有：△ACO和△BDO，△ACO和△DNO，△AMO和△BDO，△AMO和△DNO，共4个；②△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∴∠C+∠CAM+∠B+∠BDN=∠P+∠PDM+∠P+∠PAN，∵PA平分∠BAC，PD平分∠BDC，∴∠CAM=∠PAN，∠BDN=∠PDM，∴∠C+∠B=2∠P，∴120°+100°=2∠P，∴∠P=110°；③∵∠CAB=3∠CAP，∠CDB=3∠CDP，∴∠CAM=13∠CAB，∠PAN=23∠CAB，∠BDN=23∠BDC，∠PDM=1△AMC和△DMP中，∠C+∠CAM=∠P+∠PDM，∠C-∠P=∠PDM-∠CAM=13∠BDC-13∠3（∠C-∠P）=∠BDC-∠CAB，△BDN和△PAN中，∠B+∠BDN=∠P+∠PAN，∠P-∠B=∠BDN-∠PAN=23∠BDC-23∠32（∠P-∠B）=∠BDC-∠CAB∴3（∠C-∠P）=32（∠P-∠B2∠C-2∠P=∠P-∠B，3∠P=∠B+2∠C；【点睛】本题考查了三角形内角和定理，等式的性质，角平分线的定义，对顶角的性质等知识；掌握等式的性质是解题关键．2．（2022春·四川乐山·七年级统考期末）在△ABC中，∠BCA＞∠BAC，三个内角的平分线交于点O．（1）填空：如图1，若∠BAC＝36°，则∠BOC的大小为；（2）点D在BA，AC边上运动．①如图2，当点D在BA边上运动时，连接OD，若OD⊥OB．试说明：∠ADO＝∠AOC；②如图3，BO的延长线交AC于点E，当点D在AC边上运动（不与点E重合）时，过点D作DP⊥BO，垂足为点P，请在图3中画出符合条件的图形，并探索∠ADP、∠ACB、∠BAC者之间的数量关系．【答案】（1）108°；（2）①见解析；②2∠ADP=∠BAC-∠ACB+360°或2∠ADP=∠ACB-∠BAC【分析】（1）根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB=144°，根据角平分线的定义得到∠OBC=12∠ABC（2）①仿照（1）的做法得到∠AOC=90°+12∠ABC②分点D在AE上、点D′在CE上两种情况，根据三角形的外角性质计算，得到答案．【详解】解：（1）∵∠BAC=36°，∴∠ABC+∠ACB=180°−36°=144°，∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC∴∠OBC+∠OCB=1∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=108°，故答案为：108°；（2）①∵AO平分∠BAC，CO平分∠ACB，∴∠OAC=12∠BAC∴∠OAC+∠OCA=1∴∠AOC=180°−(∠OAC+∠OCA)=90°+1∵∠ADO是ΔBOD∴∠ADO=∠ABO+∠BOD=90°+1∴∠ADO=∠AOC；②当点D在AE上时，∵BO平分∠ABC，∴∠ABE=1∴∠AEP=∠ABE+∠BAC===1∴∠ADP=∠AEP+∠DPE=1∴2∠ADP=∠BAC−∠ACB+360°；当点D′在CE上时，∵DP⊥BO，D′P′⊥BO，∴DP//D'P'，∴∠AD′P′=∠CDP，∴∠AD′P′=180°−∠ADP=1∴2∠AD′P′=∠ACB−∠BAC，综上所述，2∠ADP=∠BAC−∠ACB+360°或2∠ADP=∠ACB−∠BAC．【点睛】本题考查的是角平分线的定义、三角形内角和定理、三角形的外角性质，掌握三角形内角和是180°是解题的关键．3．（2022春·四川成都·七年级校考期末）在△ABC中，∠B=∠C，点D在线段BC上．（1）如图，点E在线段AC上，∠ADE=∠AED，求证：∠BAD=2∠CDE．（2）如图，AH平分∠CAD，点F在线段CD上，FH⊥AH交AD延长线于点Q，∠ABC与∠AQH的角平分线交于点P，求证：2∠P=3∠BFQ．（3）如图，在（2）的条件下，点F在线段BD上，∠P=18°时，求∠BFQ的度数．【答案】（1）证明见解析

（2）证明见解析

（3）168°【分析】（1）根据三角形的内角和定理得出∠BAD=180°-2∠C-∠DAC，∠DAC=180°-∠ADE-∠AED，由三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠AED=∠C+∠CDE，从而可以得到结论成立．（2）如图2中，延长QF交AC于K．设∠P=x，∠BFQ=y．求出x与y之间的关系即可解决问题．（3）如图3中，延长QH交AC于K，延长PQ交BC于N．设∠P=x，∠CFQ=y．求出2∠P=3∠CFQ，由此即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，∵∠B=∠C，∴在△ABC中，∠BAD=180°-2∠C-∠DAC，∵∠ADE=∠AED，∴∠BAD=180°-2∠C-∠DAC=180°-2∠C-（180°-2∠AED）=180°-2∠C-180°+2∠AED=-2∠C+2（∠CDE+∠C）=2∠CDE；（2）证明：如图2中，延长QF交AC于K．设∠P=x，∠BFQ=y．∵AH⊥QK，∠HAQ=∠HAK，∴∠QAH+∠AQH=90°，∠HAK+∠AKQ=90°，∴∠AQK=∠AKQ，∴2∠2=∠KFC+∠C=y+2∠1，∴∠2-∠1=12由三角形的外角性质得∠1+x=∠2+y，即∠2-∠1=x-y，∴x-y=12y，即x=∴2x=3y，∴2∠P=3∠BFQ；（3）解：如图3中，延长QH交AC于K，延长PQ交BC于N．设∠P=x，∠CFQ=y．同法可证：∠AQK=∠AKQ，∴2∠2=y+∠C=y+2∠1，∴∠2-∠1=12∵∠PNC=∠1+x=∠2+y，∴2x=3y，∴2∠P=3∠CFK，∵∠P=18°，∴∠CFK=12°，∴∠BFQ=180°-12°=168°．【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，三角形的外角的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．4．（2022春·江苏无锡·七年级统考期末）概念认识：如图①，在∠ABC中，若∠ABD=∠DBE=∠EBC，则BD，BE叫做∠ABC的“三分线”.其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”．

【问题解决】(1)如图①，∠ABC=60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，则∠ABE=______°；(2)如图②，在△ABC中，∠A=60°，∠B=48°，若∠B的三分线BD交AC于点D，则∠BDC=______°；(3)如图③，在△ABC中，BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线，且∠BPC=140°，求∠A的度数；(4)【延伸推广】在△ABC中，∠ACD是△ABC的外角，∠B的三分线所在的直线与∠ACD的三分线所在的直线交于点P.若∠A=m°，∠B=n°，直接写出∠BPC的度数.(用含m、n的代数式表示)【答案】(1)40(2)76或92(3)60°(4)∠BPC的度数是23m°或2m°+n°3或m°−n°3【分析】（1）BD是“邻AB三分线”时，BE是“邻BC三分线”时，根据三角形的三分线求出即可；（2）分情况讨论如图当BD是“邻AB三分线”时，∠BDC=∠A+∠ABD；当BD′是“邻BC三分线”时，（3）求出∠PBC+∠PCB=140°，根据BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻BC三分线求出∠PBC=13∠ABC，∠PCB=13（4）画出符合的所有情况，①当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻AC三分线”时，②当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，③当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，④当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，再根据三角形的外角性质求出答案即可．【详解】（1）解：∵∠ABC=60°，BD，BE是∠ABC的“三分线”，∴∠ABD=∠DBE=∠EBC=1∴∠ABE=∠ABD+∠DAE=20°+20°=40°，故答案为：40；（2）如图，

当BD是“邻AB三分线”时，∵∠A=60°，∠ABC=48°，∴∠BDC=∠A+∠ABD=60°+1当BD'是“邻BC三分线”时，∵∠A=60°，∠B=48°，∴∠BDC'=∠A+∠ABD'=60°+2综上所述，∠BDC=76°或92°，故答案为：76或92；（3）如图，

∵BP⊥CP，∴∠BPC=140°，∴∠PBC+∠PCB=40°，∵BP、CP分别是∠ABC邻BC三分线和∠ACB邻AC三分线，∴∠PBC=13∠ABC∴1∴∠ABC+∠ACB=120°，∴∠A=180°−∠ABC+∠ACB（4）分为四种情况：情况一：如图1，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，由外角可得：∠PCD=1∴∠BPC=∠PCD−∠PBC=1情况二：如图2，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻AC三分线”时，由外角可知：∠PCD=2∴∠BPC=∠PCD−∠PBC=2情况三、

当BP和CP分别是“邻AB三分线”、“邻CD三分线”时，当m°>n°时，如图3，由外角可得：∠PCD=1∴∠BPC=∠PCD−∠PBC=1当α<β时，如图4，

由外角及对顶角可得：∠DCE=∠PCB=1∴∠BPC=∠FBC−∠PCB=2情况四、如图5，

当BP和CP分别是“邻BC三分线”、“邻CD三分线”时，由外角可得：∠PCD=1∴∠BPC=∠PCD−∠PBC=1综合上述：∠BPC的度数是23m°或2m°+n°3或m°−n°3或【点睛】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理，数形结合，准确运用分类讨论思想分析是解题的关键．5．（2022春·福建南平·七年级统考期末）根据题意解答：(1)如图1，点A、C、F、B在同一直线上，CD平分∠ECB，FG∥CD，若∠ECA为β度，求∠GFB的度数（用关于(2)如图2，某停车场入口大门的栏杆如图所示，BA⊥地面AE，CD∥地面AE，求∠1+∠2(3)如图3，若∠3=30°，∠5=50°，∠7=60°，则∠1+∠2+∠4+∠6+∠8=__________度．【答案】(1)∠GFB=∠DCB=90°−1(2)270°，理由见解析；(3)140．【分析】（1）根据平角定义表示∠ECB=180°−β，由角平分线定义得：∠DCB=90°−12（2）作平行线，根据平行线的性质得：∠BAE=∠ABH=90°和∠（3）作辅助线，根据外角定理和四边形的内角和360°列式后可得结论．【详解】（1）解：∵∠ACE=β∴∠ECB=180°−β∵CD平分∠ECB∴∠DCB=12∠ECB=12(180°−β)=90°−∵FG∥CD，∴∠GFB=∠DCB=90°−1（2）解：过B作BH∥AE，如图所示：∵BA⊥AE，∴∠BAE=90°∵BH∥AE，∴∠ABH=180°−90°=90°∵CD∥AE，BH∥AE，∴BH∥CD，∴∠1+∴∠1+（3）解：延长图中线段，构建如图所示的三角形和四边形，由三角形外角定理得：∠9=∠BAC=∵∠5=50°，∠∴∠DGP=180°−∠5=130°，∠DHP=180°−∠7=120°，∴∠6＋∴∠GDH=110°−∠6，∵∠3=30°∴∠AFE=150°∵∠BAC+∴∠BAC+∴∠1+∴∠1+故答案为：140．【点睛】本题主要考查了平行线的性质和多边形的内角和，构建恰当的辅助线是解答本题的关键；熟练掌握外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知道四边形的内角和为360°．6．（2022春·福建福州·七年级福州华伦中学校考期末）如图，在△ABC中，已知∠BAC=70°，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D．(1)求∠BDC的度数；(2)试比较DA+DB+DC与12【答案】(1)125°；(2)DA+DB+DC>12(AB+BC+AC【分析】（1）先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，再由角平分线的定义求出∠CBD+∠BCD=55°，然后由三角形内角和定理即可得出答案；（2）由三角形的三边关系得：DA+DB>AB，DB+DC>BC，DA+DC>AC，则2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，即可得出结论．【详解】（1）解：∵∠BAC=70°，∴∠ABC+∠ACB=180°-70°=110°，∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠ABD=∠CBD=12∠ABC，∠ACD=∠BCD=12∠∴∠CBD+∠BCD=12(∠ABC+∠ACB)=12∴∠BDC=180°-(∠CBD+∠BCD)=180°-55°=125°；（2）解：DA+DB+DC>12(AB+BC+AC在△ABD中，由三角形的三边关系得：DA+DB>AB①，同理∶DB+DC>BC②，DA+DC>AC③，+②+③得∶2(DA+DB+DC)>AB+BC+AC，∴DA+DB+DC>12(AB+BC+AC【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形的三边关系以及角平分线的定义等知识；熟练掌握三角形的三边关系和三角形内角和定理是解题的关键．7．（2022·江苏无锡·七年级统考期末）已知M、N直线l上两点，MN＝20，O、P为线段MN上两动点，过O、P分别作长方形OABC与长方形PDEF（如图），其中，两边OA、PF分别在直线l上，图形在直线l的同侧，且OA＝PF＝4，CO＝DP＝3，动点O从点M出发，以1单位/秒的速度向右运动；同时，动点P从点N出发，以2单位/秒的速度向左运动，设运动的时间为t秒．（1）若t＝2.5秒，求