2022-2023学年文昌中学高三数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．△ABC中，AB＝3，，AC＝4，则△ABC的面积是（）A． B． C．3 D．2．已知向量，，当时，（）A． B． C． D．3．如图所示的程序框图，若输入，，则输出的结果是（）A． B． C． D．4．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为A． B．C． D．5．有一改形塔几何体由若千个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为8，如果改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是（）A．8 B．7 C．6 D．46．过抛物线的焦点作直线与抛物线在第一象限交于点A，与准线在第三象限交于点B，过点作准线的垂线，垂足为.若，则（）A． B． C． D．7．等差数列的前项和为，若，，则数列的公差为（）A．-2 B．2 C．4 D．78．各项都是正数的等比数列的公比，且成等差数列，则的值为()A． B．C． D．或9．函数的值域为（）A． B． C． D．10．下列函数中，图象关于轴对称的为（）A． B．，C． D．11．已知集合，则等于（）A． B． C． D．12．已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取得最大值时，点恰好在以为焦点的椭圆上，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知a，b均为正数，且，的最小值为________.14．袋中装有两个红球、三个白球，四个黄球，从中任取四个球，则其中三种颜色的球均有的概率为________.15．若向量与向量垂直，则______.16．双曲线的焦点坐标是_______________，渐近线方程是_______________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四边形ABCD中，AB//CD，∠ABD=30°，AB＝2CD＝2AD＝2，DE⊥平面ABCD，EF//BD，且BD＝2EF．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BDEF；（Ⅱ）若二面角CBFD的大小为60°，求CF与平面ABCD所成角的正弦值．18．（12分）已知数列满足，等差数列满足，（1）分别求出，的通项公式；（2）设数列的前n项和为，数列的前n项和为证明：．19．（12分）2019年入冬时节，长春市民为了迎接2022年北京冬奥会，增强身体素质，积极开展冰上体育锻炼.现从速滑项目中随机选出100名参与者，并由专业的评估机构对他们的锻炼成果进行评估打分（满分为100分）并且认为评分不低于80分的参与者擅长冰上运动，得到如图所示的频率分布直方图：（1）求的值；（2）将选取的100名参与者的性别与是否擅长冰上运动进行统计，请将下列列联表补充完整，并判断能否在犯错误的概率在不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系？擅长不擅长合计男性30女性50合计1000.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中）20．（12分）某百货商店今年春节期间举行促销活动，规定消费达到一定标准的顾客可进行一次抽奖活动，随着抽奖活动的有效开展，参与抽奖活动的人数越来越多，该商店经理对春节前天参加抽奖活动的人数进行统计，表示第天参加抽奖活动的人数，得到统计表格如下：123456758810141517（1）经过进一步统计分析，发现与具有线性相关关系．请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；（2）该商店规定：若抽中“一等奖”，可领取600元购物券；抽中“二等奖”可领取300元购物券；抽中“谢谢惠顾”，则没有购物券．已知一次抽奖活动获得“一等奖”的概率为，获得“二等奖”的概率为．现有张、王两位先生参与了本次活动，且他们是否中奖相互独立，求此二人所获购物券总金额的分布列及数学期望．参考公式：，，，．21．（12分）设函数．（1）若，求函数的值域；（2）设为的三个内角，若，求的值；22．（10分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

由余弦定理求出角，再由三角形面积公式计算即可.【详解】由余弦定理得：，又，所以得，故△ABC的面积.故选：A【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，三角形的面积公式，考查了学生的运算求解能力.2、A【解析】

根据向量的坐标运算，求出，，即可求解.【详解】，.故选:A.【点睛】本题考查向量的坐标运算、诱导公式、二倍角公式、同角间的三角函数关系，属于中档题.3、B【解析】

列举出循环的每一步，可得出输出结果.【详解】，，不成立，，；不成立，，；不成立，，；成立，输出的值为.故选：B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果，一般要将算法的每一步列举出来，考查计算能力，属于基础题.4、B【解析】

由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知，，则，故，又，则，所以，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.5、A【解析】

则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，以此类推，能求出改形塔的最上层正方体的边长小于1时该塔形中正方体的个数的最小值的求法.【详解】最底层正方体的棱长为8，则从下往上第二层正方体的棱长为：，从下往上第三层正方体的棱长为：，从下往上第四层正方体的棱长为：，从下往上第五层正方体的棱长为：，从下往上第六层正方体的棱长为：，从下往上第七层正方体的棱长为：，从下往上第八层正方体的棱长为：，∴改形塔的最上层正方体的边长小于1，那么该塔形中正方体的个数至少是8.故选：A.【点睛】本小题主要考查正方体有关计算，属于基础题.6、C【解析】

需结合抛物线第一定义和图形，得为等腰三角形，设准线与轴的交点为，过点作，再由三角函数定义和几何关系分别表示转化出，，结合比值与正切二倍角公式化简即可【详解】如图，设准线与轴的交点为，过点作.由抛物线定义知，所以，，，，所以.故选：C【点睛】本题考查抛物线的几何性质，三角函数的性质，数形结合思想，转化与化归思想，属于中档题7、B【解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得，再由等差数列通项公式求得公差.【详解】在等差数列的前项和为，则则故选：B【点睛】本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.8、C【解析】分析：解决该题的关键是求得等比数列的公比，利用题中所给的条件，建立项之间的关系，从而得到公比所满足的等量关系式，解方程即可得结果.详解：根据题意有，即，因为数列各项都是正数，所以，而，故选C.点睛：该题应用题的条件可以求得等比数列的公比，而待求量就是，代入即可得结果.9、A【解析】

由计算出的取值范围，利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】，，，因此，函数的值域为.故选：A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解，解答的关键就是求出对象角的取值范围，考查计算能力，属于基础题.10、D【解析】

图象关于轴对称的函数为偶函数,用偶函数的定义及性质对选项进行判断可解.【详解】图象关于轴对称的函数为偶函数；A中，，，故为奇函数；B中，的定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数；C中，由正弦函数性质可知，为奇函数；D中，且，，故为偶函数.故选：D.【点睛】本题考查判断函数奇偶性.判断函数奇偶性的两种方法:(1)定义法：对于函数的定义域内任意一个都有，则函数是奇函数；都有，则函数是偶函数(2)图象法：函数是奇(偶)函数函数图象关于原点(轴)对称．11、C【解析】

先化简集合A，再与集合B求交集.【详解】因为，，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法，属于基础题.12、B【解析】

设，利用两点间的距离公式求出的表达式，结合基本不等式的性质求出的最大值时的点坐标，结合椭圆的定义以及椭圆的离心率公式求解即可.【详解】设，因为是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，所以，则，当时，，当时，，当且仅当时取等号，此时，，点在以为焦点的椭圆上，，由椭圆的定义得，所以椭圆的离心率，故选B.【点睛】本题主要考查椭圆的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

本题首先可以根据将化简为，然后根据基本不等式即可求出最小值.【详解】因为，所以，当且仅当，即、时取等号，故答案为：.【点睛】本题考查根据基本不等式求最值，基本不等式公式为，在使用基本不等式的时候要注意“”成立的情况，考查化归与转化思想，是中档题.14、【解析】

基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有包含的基本事件个数m72，由此能求出其中三种颜色的球都有的概率．【详解】解：袋中有2个红球，3个白球和4个黄球，从中任取4个球，基本事件总数n126，其中三种颜色的球都有，可能是2个红球，1个白球和1个黄球或1个红球，2个白球和1个黄球或1个红球，1个白球和2个黄球，所以包含的基本事件个数m72，∴其中三种颜色的球都有的概率是p．故答案为：．【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、0【解析】

直接根据向量垂直计算得到答案.【详解】向量与向量垂直，则，故.故答案为：.【点睛】本题考查了根据向量垂直求参数，意在考查学生的计算能力.16、【解析】

通过双曲线的标准方程，求解，，即可得到所求的结果．【详解】由双曲线，可得，，则，所以双曲线的焦点坐标是，渐近线方程为：．故答案为：；．【点睛】本题主要考查了双曲线的简单性质的应用，考查了运算能力，属于容易题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）见解析（2）【解析】分析：(1)根据面面垂直的判定定理即可证明平面ADE⊥平面BDEF；(2)建立空间直角坐标系，利用空间向量法即可求CF与平面ABCD所成角的正弦值；也可以应用常规法，作出线面角，放在三角形当中来求解.详解：（Ⅰ）在△ABD中，∠ABD＝30°，由AO2＝AB2+BD2－2AB·BDcos30°，解得BD＝，所以AB2+BD2=AB2，根据勾股定理得∠ADB＝90°∴AD⊥BD.又因为DE⊥平面ABCD，AD平面ABCD，∴AD⊥DE.又因为BDDE＝D，所以AD⊥平面BDEF，又AD平面ABCD，∴平面ADE⊥平面BDEF，（Ⅱ）方法一：如图，由已知可得，，则，则三角形BCD为锐角为30°的等腰三角形.则.过点C做，交DB、AB于点G，H，则点G为点F在面ABCD上的投影.连接FG，则，DE⊥平面ABCD，则平面.过G做于点I，则BF平面，即角为二面角CBFD的平面角，则60°.则，，则.在直角梯形BDEF中，G为BD中点，，，，设，则，，则.，则，即CF与平面ABCD所成角的正弦值为．（Ⅱ）方法二：可知DA、DB、DE两两垂直，以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.设DE＝h，则D(0，0，0)，B(0，，0)，C(－，－，h).，.设平面BCF的法向量为m＝(x，y，z)，则所以取x=，所以m＝(，-1，－)，取平面BDEF的法向量为n＝(1，0，0)，由，解得，则，又,则，设CF与平面ABCD所成角为，则sin=.故直线CF与平面ABCD所成角的正弦值为点睛：该题考查的是立体几何的有关问题，涉及到的知识点有面面垂直的判定，线面角的正弦值，在求解的过程中，需要把握面面垂直的判定定理的内容，要明白垂直关系直角的转化，在求线面角的有关量的时候，有两种方法，可以应用常规法，也可以应用向量法.18、(1)（2）证明见解析【解析】

（1）因为，所以，所以，即，又因为，所以数列为等差数列，且公差为1，首项为1，则，即.设的公差为，则，所以（），则（），所以，因此，综上，．（2）设数列的前n项和为，则两式相减得，所以，设则，所以.19、（1）（2）填表见解析；不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系【解析】

（1）利用频率分布直方图小长方形的面积和为列方程，解方程求得的值.（2）根据表格数据填写列联表，计算出的值，由此判断不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【详解】（1）由题意，解得.（2）由频率分布直方图可得不擅长冰上运动的人数为.完善列联表如下：擅长不擅长合计男性203050女性104050合计3070100，对照表格可知，，不能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为擅长冰上运动与性别有关系.【点睛】本小题主要考查根据频率分布直方图计算小长方形的高，考查列联表独立性检验，属于基础题.20、（1）；（2）见解析【解析】试题分析：（I）由题意可得