专题132将军饮马模型【原卷版】

第十三章专题2将军饮马模型1将军饮马如下图，点A，B在直线l的同侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.作法作点A关于直线l的对称点A'，连接A'B与直线l交于点P.简证PA+PB=PA'+PB=A'B，P'A+P'B=P'A'+P'B，因为P'A'所以点P为所求点.2变形模型（1）如下图，点A，B在直线l的异侧，在直线l上取一点P，使得PA+PB最小.直接连接AB，交直线l于点P，此时PA+PB最小.（2）如下图，点P是∠MON内的一点，分别在OM，ON上做点A，B，使得∆PAB的周长最小.作点P关于OM，ON的对称点P1,P2,连接P1P2，交OM，ON于点A，（3）如下图，点P，Q是∠MON内的两点，分别在OM，ON上做点A，B，使得四边形PAQB的周长最小.作点P关于OM的对称点P'，作点Q关于ON的对称点Q'，连接P'Q'，交OM，ON于点A，B，此时四边形PAQB的周长最小.【题型1】将军饮马模型【典题1】如图，A，B两个村庄独自从河流l上安装了两条灌溉管道AD，BE，AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．某水务局准备为两村庄在河流l上重新安装一台大型的抽水设备灌溉农田．通过测量，确定在河流l的点P处安装抽水设备，则到两个村庄铺设的管道AP+BP的长度最短，此时测得∠PBE＝30°，DE＝150米，则AP+BP的最小值为()A．180米 B．210米 C．240米 D．300米【典题2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AD平分∠CAB交BC于D点，E、F分别是AD，AC上的动点，则CE+EF的最小值为()A．152 B．5 C．3 D．【典题3】如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝4，射线CD⊥BC，垂足为点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+FP的值最小时，BF＝5，则AB的长为()A．10 B．8 C．7 D．9【巩固练习】1.如图，直线m是△ABC中BC边的垂直平分线，点P是直线m上一动点，若AB＝7，AC＝6，BC＝8，则△APC周长的最小值是()A．13 B．14 C．15 D．2.如图，△ABC是等腰三角形，底边BC的长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB于点E、F．若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则△CDM周长的最小值是()A．11 B．13 C．18 D．243.如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE＝2，当EF+CF取得最小值时，则∠ECF的度数为()A．15° B．° C．30° D．45°4.如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是24，E为腰AB的垂直平分线MN上一动点．点D为BC的中点，则△BDE的周长的最小值为.5.如图，过边长为2的等边三角形ABC的顶点C作直线l⊥BC，然后作△ABC关于直线l对称的△A'B'C，P为线段A'C上一动点，连接AP，PB，则AP+6.如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以AC为边在△ABC外作等边三角形ACD，过点D作AC的垂线，垂足为F，与AB相交于点E，连接CE．(1)说明：AE＝CE＝BE；(2)若DA⊥AB，BC＝6，P是直线DE上的一点，则当P在何处时，PB+PC最小，并求出此时PB+PC的值．【题型2】将军饮马的变形模型【典题1】如图，∠AOB＝60°，点P为∠AOB内一点，点M、N分别在OA、OB上，当△PMN周长最小时，∠MPN的度数是()A．120° B．60° C．30° D．90°【典题2】如图，在四边形ABCD中，∠C＝72°，∠B＝∠D＝90°，M，N分别是BC，DC上的点，当△AMN的周长最小时，∠MAN的度数为()A．72° B．36° C．108° D．38°【巩固练习】1.已知∠MON＝40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，∠APB的度数是()A．40° B．100° C．140° D．50°2.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB=5，D、E、F分别是AB、BC、AC边上的动点，则DE+EF+FD的最小值是()A． B． C． D．63.如图，△ABD是边长为6的等边三角形，E，F分别是边AD，AB上的动点，若∠ADC＝∠ABC＝90°，则△CEF周长的最小值为．4.已知点P在∠MON内．(1)如图1，点P关于射线OM的对称点是G，点P关于射线ON的对称点是H，连接OG、OH、OP．①若∠MON＝50°，则∠GOH＝；②若PO＝5，连接GH，请说明当∠MON为多少度时，GH＝10；(2)如图2，若∠MON＝60°，A、B分别是射线OM、ON上的任意一点，当△PAB的周长最小时，求∠APB的度数．【A组基础题】1.如图，在△ABC中，AC＝2，AB＝3，BC＝，BC的垂直平分线MN交AB于点D，P是直线MN上的任意一点，则PA+PC的最小值是()A．2 B．3 C． D．2.如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，BD平分∠ABC，如果M、N分别为BD、BC上的动点，那么CM+MN的最小值是()A． B．3 C．4 D．3.如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，点E是AC边的中点，点P是AD上的一个动点，当PC+PE最小时，∠PCD的度数是()A．90° B．60° C．45° D．30°4.如图，∠AOB＝30°，点D是它内部一点，OD＝m．点E，F分别是OA，OB上的两个动点，则△DEF周长的最小值为()A．m B．m C．m D．2m5.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠A＝40°，M，N分别是边AB，AD上的动点，当△MCN的周长最小时，∠MCN的大小是()A．50° B．70° C．90° D．100°6.如图，点E在等边△ABC的边BC上，BE＝6，射线CD⊥BC于点C，点P是射线CD上一动点，点F是线段AB上一动点，当EP+PF的值最小时，BF＝7，则AC为．7.如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD＝4，AD是∠BAC的平分线．若P，Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是．8.如图，∠AOB＝15°，M是边OA上的一个定点，且OM＝12cm，N，P分别是边OA、OB上的动点，则PM+PN的最小值是．9.如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AD是BC边上的中线，点E是AB边上一动点，点P是AD上的一个动点．(1)若∠BAD＝37°，求∠ACB的度数；(2)若BC＝6，AD＝4，AB＝5，且CE⊥AB时，求CE的长；(3)在(2)的条件下，请直接写出BP+EP的最小值．【B组提高题】1.如图，在边长为2的等边△ABC中，D是BC的中点，点E