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文档简介
2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某人造地球卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆,其轨道的离心率为,设地球半径为,该卫星近地点离地面的距离为,则该卫星远地点离地面的距离为()A. B.C. D.2.执行如图所示的程序框图后,输出的值为5,则的取值范围是().A. B. C. D.3.为了进一步提升驾驶人交通安全文明意识,驾考新规要求驾校学员必须到街道路口执勤站岗,协助交警劝导交通.现有甲、乙等5名驾校学员按要求分配到三个不同的路口站岗,每个路口至少一人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A.12种 B.24种 C.36种 D.48种4.已知,则“直线与直线垂直”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.运行如图所示的程序框图,若输出的值为300,则判断框中可以填()A. B. C. D.6.设,,则()A. B.C. D.7.在中,“”是“”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.9.我国古代数学著作《九章算术》有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺莞生一日,长一尺蒲生日自半,莞生日自倍.问几何日而长倍?”意思是:“今有蒲草第天长高尺,芜草第天长高尺以后,蒲草每天长高前一天的一半,芜草每天长高前一天的倍.问第几天莞草是蒲草的二倍?”你认为莞草是蒲草的二倍长所需要的天数是()(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据:,)A. B. C. D.10.公元前世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论:他提出让乌龟在跑步英雄阿基里斯前面米处开始与阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了米,此时乌龟便领先他米,当阿基里斯跑完下一个米时,乌龟先他米,当阿基里斯跑完下-个米时,乌龟先他米....所以,阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为米时,乌龟爬行的总距离为()A.米 B.米C.米 D.米11.已知等差数列的前n项和为,,则A.3 B.4 C.5 D.612.a为正实数,i为虚数单位,,则a=()A.2 B. C. D.1二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,则________.(填“>”或“=”或“<”).14.在四棱锥中,底面为正方形,面分别是棱的中点,过的平面交棱于点,则四边形面积为__________.15.设,满足约束条件,若目标函数的最大值为,则的最小值为______.16.如图所示,在正三棱柱中,是的中点,,则异面直线与所成的角为____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)随着小汽车的普及,“驾驶证”已经成为现代人“必考”的证件之一.若某人报名参加了驾驶证考试,要顺利地拿到驾驶证,他需要通过四个科目的考试,其中科目二为场地考试.在一次报名中,每个学员有5次参加科目二考试的机会(这5次考试机会中任何一次通过考试,就算顺利通过,即进入下一科目考试;若5次都没有通过,则需重新报名),其中前2次参加科目二考试免费,若前2次都没有通过,则以后每次参加科目二考试都需要交200元的补考费.某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试进行了统计,得到下表:考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以上表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率,且每人每次是否通过科目二考试相互独立.现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试,在本次报名中,若这对夫妻参加科目二考试的原则为:通过科目二考试或者用完所有机会为止.(1)求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率;(2)若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过,记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为元,求的分布列与数学期望.18.(12分)已知中,角所对边的长分别为,且(1)求角的大小;(2)求的值.19.(12分)在△ABC中,角所对的边分别为向量,向量,且.(1)求角的大小;(2)求的最大值.20.(12分)已知函数.(1)若函数,求的极值;(2)证明:.(参考数据:)21.(12分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知椭圆E:()的离心率为,且短轴的一个端点B与两焦点A,C组成的三角形面积为.(Ⅰ)求椭圆E的方程;(Ⅱ)若点P为椭圆E上的一点,过点P作椭圆E的切线交圆O:于不同的两点M,N(其中M在N的右侧),求四边形面积的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】
由题意画出图形,结合椭圆的定义,结合椭圆的离心率,求出椭圆的长半轴a,半焦距c,即可确定该卫星远地点离地面的距离.【详解】椭圆的离心率:,(c为半焦距;a为长半轴),设卫星近地点,远地点离地面距离分别为r,n,如图:则所以,,故选:A【点睛】本题主要考查了椭圆的离心率的求法,注意半焦距与长半轴的求法,是解题的关键,属于中档题.2、C【解析】
框图的功能是求等比数列的和,直到和不满足给定的值时,退出循环,输出n.【详解】第一次循环:;第二次循环:;第三次循环:;第四次循环:;此时满足输出结果,故.故选:C.【点睛】本题考查程序框图的应用,建议数据比较小时,可以一步一步的书写,防止错误,是一道容易题.3、C【解析】
先将甲、乙两人看作一个整体,当作一个元素,再将这四个元素分成3个部分,每一个部分至少一个,再将这3部分分配到3个不同的路口,根据分步计数原理可得选项.【详解】把甲、乙两名交警看作一个整体,个人变成了4个元素,再把这4个元素分成3部分,每部分至少有1个人,共有种方法,再把这3部分分到3个不同的路口,有种方法,由分步计数原理,共有种方案。故选:C.【点睛】本题主要考查排列与组合,常常运用捆绑法,插空法,先分组后分配等一些基本思想和方法解决问题,属于中档题.4、B【解析】
由两直线垂直求得则或,再根据充要条件的判定方法,即可求解.【详解】由题意,“直线与直线垂直”则,解得或,所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件,故选B.【点睛】本题主要考查了两直线的位置关系,及必要不充分条件的判定,其中解答中利用两直线的位置关系求得的值,同时熟记充要条件的判定方法是解答的关键,着重考查了推理与论证能力,属于基础题.5、B【解析】
由,则输出为300,即可得出判断框的答案【详解】由,则输出的值为300,,故判断框中应填?故选:.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题,解题时应模拟程序框图的运行过程,以便得出正确的结论,是基础题.6、D【解析】
由不等式的性质及换底公式即可得解.【详解】解:因为,,则,且,所以,,又,即,则,即,故选:D.【点睛】本题考查了不等式的性质及换底公式,属基础题.7、C【解析】
由余弦函数的单调性找出的等价条件为,再利用大角对大边,结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件.【详解】余弦函数在区间上单调递减,且,,由,可得,,由正弦定理可得.因此,“”是“”的充分必要条件.故选:C.【点睛】本题考查充分必要条件的判定,同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用,考查推理能力,属于中等题.8、A【解析】
利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.9、C【解析】
由题意可利用等比数列的求和公式得莞草与蒲草n天后长度,进而可得:,解出即可得出.【详解】由题意可得莞草与蒲草第n天的长度分别为据题意得:,解得2n=12,∴n21.故选:C.【点睛】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.10、D【解析】
根据题意,是一个等比数列模型,设,由,解得,再求和.【详解】根据题意,这是一个等比数列模型,设,所以,解得,所以.故选:D【点睛】本题主要考查等比数列的实际应用,还考查了建模解模的能力,属于中档题.11、C【解析】
方法一:设等差数列的公差为,则,解得,所以.故选C.方法二:因为,所以,则.故选C.12、B【解析】
,选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
注意到,故只需比较与1的大小即可.【详解】由已知,,故有.又由,故有.故答案为:.【点睛】本题考查对数式比较大小,涉及到换底公式的应用,考查学生的数学运算能力,是一道中档题.14、【解析】
设是中点,由于分别是棱的中点,所以,所以,所以四边形是平行四边形.由于平面,所以,而,,所以平面,所以.由于,所以,也即,所以四边形是矩形.而.从而.故答案为:.【点睛】本小题主要考查空间平面图形面积的计算,考查线面垂直的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于中档题.15、【解析】
先根据条件画出可行域,设,再利用几何意义求最值,将最大值转化为轴上的截距,只需求出直线,过可行域内的点时取得最大值,从而得到一个关于,的等式,最后利用基本不等式求最小值即可.【详解】解:不等式表示的平面区域如图所示阴影部分,当直线过直线与直线的交点时,目标函数取得最大,即,即,而.故答案为.【点睛】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用、简单的线性规划,以及利用几何意义求最值,属于基础题.16、【解析】
要求两条异面直线所成的角,需要通过见中点找中点的方法,找出边的中点,连接出中位线,得到平行,从而得到两条异面直线所成的角,得到角以后,再在三角形中求出角.【详解】取的中点E,连AE,,易证,∴为异面直线与所成角,设等边三角形边长为,易算得∴在∴故答案为【点睛】本题考查异面直线所成的角,本题是一个典型的异面直线所成的角的问题,解答时也是应用典型的见中点找中点的方法,注意求角的三个环节,一画,二证,三求.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2)见解析.【解析】
事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中)(1)这对夫妻是否通过科目二考试相互独立,利用独立事件乘法公式即可求得;(2)补考费用之和为元可能取值为400,600,800,1000,1200,根据题意可求相应的概率,进而可求X的数学期望.【详解】事件表示男学员在第次考科目二通过,事件表示女学员在第次考科目二通过(其中).(1)事件表示这对夫妻考科目二都不需要交补考费..(2)的可能取值为400,600,800,1000,1200.,,,,.则的分布列为:40060080010001200故(元).【点睛】本题以实际问题为素材,考查离散型随机变量的概率及期望,解题时要注意独立事件概率公式的灵活运用,属于基础题.18、(1);(2).【解析】
(1)正弦定理的边角转换,以及两角和的正弦公式展开,特殊角的余弦值即可求出答案;(2)构造齐次式,利用正弦定理的边角转换,得到,结合余弦定理得到【详解】解:(1)由已知,得又∵∴∴,因为得∵∴.(2)∵又由余弦定理,得∴【点睛】1.考查学生对正余弦定理的综合应用;2.能处理基本的边角转换问题;3.能利用特殊的三角函数值推特殊角,属于中档题19、(1)(2)2【解析】
(1)转化条件得,进而可得,即可得解;(2)由化简可得,由结合三角函数的性质即可得解.【详解】(1),,由正弦定理得,即,又,,又,,,由可得.(2)由(1)可得,,,,,,的最大值为2.【点睛】本题考查了平面向量平行、正弦定理以及三角恒等变换的应用,考查了三角函数的性质,属于中档题.20、(1)见解析;(1)见证明【解析】
(1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的单调区间,从而求出函数的极值即可;(1)问题转化为证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,根据xlnx≤x(x﹣1),问题转化为只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1),,当,,当,,在上递增,在上递减,在取得极大值,极大值为,无极大值.(1)要证f(x)+1<ex﹣x1.即证ex﹣x1﹣xlnx﹣1>0,先证明lnx≤x﹣1,取h(x)=lnx﹣x+1,则h′(x)=,易知h(x)在(0,1)递增,在(1,+∞)递减,故h(x)≤h(1)=0,即lnx≤x﹣1,当且仅当x=1时取“=”,故xlnx≤x(x﹣1),ex﹣x1﹣xlnx≥ex﹣1x1+x﹣1,故只需证明当x>0时,ex﹣1x1+x﹣1>0恒成立,令k(x)=ex﹣1x1+x﹣1,(x≥0),则k′(x)=ex﹣4x+1,令F(x)=k′(x),则F′(x)=ex﹣4,令F′(x)=0,解得:x=1ln1,∵F′(x)递增,故x∈(0,1ln1]时,F′(x)≤0,F(x)递减,即k′(x)递减,x∈(1ln1,+∞)时,F′(x)>0,F(x)递增,即k′(x)递增,且k′(1ln1)=5﹣8ln1<0,k′(0)=1>0,k′(1)=e1﹣8+1>0,由零点存在定理,可知∃x1∈(0,1ln1),∃x1∈(1ln1,1),使得k′(x1)=k′(x1)=0,故0<x<x1或x>x1时,k′(x)>0,k(x)递增,当x1<x<x1时,k′(x)<0,k(x)递减,故k(x)的最小值是k(0)=0或k(x1),由k′(x1)=0,得=4x1﹣1,k(x1)=﹣1+x1﹣1=﹣(x1﹣1)(1x1﹣1),∵x1∈(1ln1,1),∴k(x1)>0,故x>0时,k(x)>0,原不等式成立.【点睛】本题
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