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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.某工厂只生产口罩、抽纸和棉签,如图是该工厂年至年各产量的百分比堆积图(例如:年该工厂口罩、抽纸、棉签产量分别占、、),根据该图,以下结论一定正确的是()A.年该工厂的棉签产量最少B.这三年中每年抽纸的产量相差不明显C.三年累计下来产量最多的是口罩D.口罩的产量逐年增加2.若,则的值为()A. B. C. D.3.执行如图所示的程序框图,则输出的结果为()A. B. C. D.4.设F为双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P、Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为A. B.C.2 D.5.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或6.设,,,则、、的大小关系为()A. B. C. D.7.在中,,,,则在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-38.若为虚数单位,则复数的共轭复数在复平面内对应的点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限9.已知命题,那么为()A. B.C. D.10.已知集合,,则等于()A. B. C. D.11.中国的国旗和国徽上都有五角星,正五角星与黄金分割有着密切的联系,在如图所示的正五角星中,以、、、、为顶点的多边形为正五边形,且,则()A. B. C. D.12.已知数列为等差数列,且,则的值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在三棱锥中,,,两两垂直且,点为的外接球上任意一点,则的最大值为______.14.将一颗质地均匀的正方体骰子(每个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6)先后抛掷2次,观察向上的点数,则点数之和是6的的概率是___.15.已知实数,满足约束条件则的最大值为________.16.设为定义在上的偶函数,当时,(为常数),若,则实数的值为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,并在两坐标系中取相同的长度单位.已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ,直线l的参数方程为(t为参数,α为直线的倾斜角).(1)写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程;(2)若直线l与曲线C有唯一的公共点,求角α的大小.18.(12分)健身馆某项目收费标准为每次60元,现推出会员优惠活动:具体收费标准如下:现随机抽取了100为会员统计它们的消费次数,得到数据如下:假设该项目的成本为每次30元,根据给出的数据回答下列问题:(1)估计1位会员至少消费两次的概率(2)某会员消费4次,求这4次消费获得的平均利润;(3)假设每个会员每星期最多消费4次,以事件发生的频率作为相应事件的概率,从会员中随机抽取两位,记从这两位会员的消费获得的平均利润之差的绝对值为,求的分布列及数学期望19.(12分)已知,,函数的最小值为.(1)求证:;(2)若恒成立,求实数的最大值.20.(12分)已知椭圆过点且椭圆的左、右焦点与短轴的端点构成的四边形的面积为.(1)求椭圆C的标准方程:(2)设A是椭圆的左顶点,过右焦点F的直线,与椭圆交于P,Q,直线AP,AQ与直线交于M,N,线段MN的中点为E.①求证:;②记,,的面积分别为、、,求证:为定值.21.(12分)[选修4-5:不等式选讲]:已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)设,,且的最小值为.若,求的最小值.22.(10分)设(1)证明:当时,;(2)当时,求整数的最大值.(参考数据:,)
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】
根据该厂每年产量未知可判断A、B、D选项的正误,根据每年口罩在该厂的产量中所占的比重最大可判断C选项的正误.综合可得出结论.【详解】由于该工厂年至年的产量未知,所以,从年至年棉签产量、抽纸产量以及口罩产量的变化无法比较,故A、B、D选项错误;由堆积图可知,从年至年,该工厂生产的口罩占该工厂的总产量的比重是最大的,则三年累计下来产量最多的是口罩,C选项正确.故选:C.【点睛】本题考查堆积图的应用,考查数据处理能力,属于基础题.2.C【解析】
根据,再根据二项式的通项公式进行求解即可.【详解】因为,所以二项式的展开式的通项公式为:,令,所以,因此有.故选:C【点睛】本题考查了二项式定理的应用,考查了二项式展开式通项公式的应用,考查了数学运算能力3.D【解析】循环依次为直至结束循环,输出,选D.点睛:算法与流程图的考查,侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念,包括选择结构、循环结构、伪代码,其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件,更要通过循环规律,明确流程图研究的数学问题,是求和还是求项.4.A【解析】
准确画图,由图形对称性得出P点坐标,代入圆的方程得到c与a关系,可求双曲线的离心率.【详解】设与轴交于点,由对称性可知轴,又,为以为直径的圆的半径,为圆心.,又点在圆上,,即.,故选A.【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解,难度适中,审题时注意半径还是直径,优先考虑几何法,避免代数法从头至尾,运算繁琐,准确率大大降低,双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题,需强化练习,才能在解决此类问题时事半功倍,信手拈来.5.B【解析】
因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.6.D【解析】
因为,,所以且在上单调递减,且所以,所以,又因为,,所以,所以.故选:D.【点睛】本题考查利用指对数函数的单调性比较指对数的大小,难度一般.除了可以直接利用单调性比较大小,还可以根据中间值“”比较大小.7.D【解析】分析:根据平面向量的数量积可得,再结合图形求出与方向上的投影即可.详解:如图所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故选D.点睛:本题考查了平面向量的数量积以及投影的应用问题,也考查了数形结合思想的应用问题.8.B【解析】
由共轭复数的定义得到,通过三角函数值的正负,以及复数的几何意义即得解【详解】由题意得,因为,,所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选:B【点睛】本题考查了共轭复数的概念及复数的几何意义,考查了学生概念理解,数形结合,数学运算的能力,属于基础题.9.B【解析】
利用特称命题的否定分析解答得解.【详解】已知命题,,那么是.故选:.【点睛】本题主要考查特称命题的否定,意在考查学生对该知识的理解掌握水平,属于基础题.10.B【解析】
解不等式确定集合,然后由补集、并集定义求解.【详解】由题意或,∴,.故选:B.【点睛】本题考查集合的综合运算,以及一元二次不等式的解法,属于基础题型.11.A【解析】
利用平面向量的概念、平面向量的加法、减法、数乘运算的几何意义,便可解决问题.【详解】解:.故选:A【点睛】本题以正五角星为载体,考查平面向量的概念及运算法则等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想,属于基础题.12.B【解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.【详解】解:由等差数列的性质可得,解得,,故选:B.【点睛】本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先根据三棱锥的几何性质,求出外接球的半径,结合向量的运算,将问题转化为求球体表面一点到外心距离最大的问题,即可求得结果.【详解】因为两两垂直且,故三棱锥的外接球就是对应棱长为2的正方体的外接球.且外接球的球心为正方体的体对角线的中点,如下图所示:容易知外接球半径为.设线段的中点为,故可得,故当取得最大值时,取得最大值.而当在同一个大圆上,且,点与线段在球心的异侧时,取得最大值,如图所示:此时,故答案为:.【点睛】本题考查球体的几何性质,几何体的外接球问题,涉及向量的线性运算以及数量积运算,属综合性困难题.14.【解析】
先求出基本事件总数6×6=36,再由列举法求出“点数之和等于6”包含的基本事件的个数,由此能求出“点数之和等于6”的概率.【详解】基本事件总数6×6=36,点数之和是6包括共5种情况,则所求概率是.故答案为【点睛】本题考查古典概率的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意列举法的合理运用.15.1【解析】
作出约束条件表示的可行域,转化目标函数为,当目标函数经过点时,直线的截距最大,取得最大值,即得解.【详解】作出约束条件表示的可行域是以为顶点的三角形及其内部,转化目标函数为当目标函数经过点时,直线的截距最大此时取得最大值1.故答案为:1【点睛】本题考查了线性规划问题,考查了学生转化划归,数形结合,数学运算能力,属于基础题.16.1【解析】
根据为定义在上的偶函数,得,再根据当时,(为常数)求解.【详解】因为为定义在上的偶函数,所以,又因为当时,,所以,所以实数的值为1.故答案为:1【点睛】本题主要考查函数奇偶性的应用,还考查了运算求解的能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)当时,直线l方程为x=-1;当时,直线l方程为y=(x+1)tanα;x2+y2=2x(2)或.【解析】
(1)对直线l的倾斜角分类讨论,消去参数即可求出其普通方程;由,即可求出曲线C的直角坐标方程;(2)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,根据条件Δ=0,即可求解.【详解】(1)当时,直线l的普通方程为x=-1;当时,消去参数得直线l的普通方程为y=(x+1)tanα.由ρ=2cosθ,得ρ2=2ρcosθ,所以x2+y2=2x,即为曲线C的直角坐标方程.(2)把x=-1+tcosα,y=tsinα代入x2+y2=2x,整理得t2-4tcosα+3=0.由Δ=16cos2α-12=0,得cos2α=,所以cosα=或cosα=,故直线l的倾斜角α为或.【点睛】本题考查参数方程化普通方程,极坐标方程化直角坐标方程,考查直线与曲线的关系,属于中档题.18.(1)(2)22.5(3)见解析,【解析】
(1)根据频数计算频率,得出概率;(2)根据优惠标准计算平均利润;(3)求出各种情况对应的的值和概率,得出分布列,从而计算出数学期望.【详解】解:(1)估计1位会员至少消费两次的概率;(2)第1次消费利润;第2次消费利润;第3次消费利润;第4次消费利润;这4次消费获得的平均利润:(3)1次消费利润是27,概率是;2次消费利润是,概率是;3次消费利润是,概率是;4次消费利润是,概率是;由题意:故分布列为:0期望为:【点睛】本题考查概率、平均利润、离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,考查古典概型、相互独立事件概率乘法公式等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.19.(1)见解析;(2)最大值为.【解析】
(1)将函数表示为分段函数,利用函数的单调性求出该函数的最小值,进而可证得结论成立;(2)由可得出,并将代数式与相乘,展开后利用基本不等式可求得的最小值,进而可得出实数的最大值.【详解】(1).当时,函数单调递减,则;当时,函数单调递增,则;当时,函数单调递增,则.综上所述,,所以;(2)因为恒成立,且,,所以恒成立,即.因为,当且仅当时等号成立,所以,实数的最大值为.【点睛】本题考查含绝对值函数最值的求解,同时也考查了利用基本不等式恒成立求参数,考查推理能力与计算能力,属于中等题.20.(1);(2)①证明见解析;②证明见解析【解析】
(1)解方程即可;(2)①设直线,,,将点的坐标用表示,证明即可;②分别用表示,,的面积即可.【详解】(1)解之得:的标准方程为:(2)①,,设直线代入椭圆方程:设,,,直线,直线,,,,,.②,所以.【点睛】本题考查了直接法求椭圆的标准方程、直线与椭圆位置关系中的定值问题,在处理此类问题一般要涉及根与系数的关系,本题思路简单,但计算量比较大,是一道有一定难度的题.21.(1)(2)【解析】
(1)当时,,原不等式可化为,分类讨论即可求得不等式的解集;(2)由题意得,的最小值为,所以,由,得,利用基本不等式即可求解其最小值.【详解】(1)当时,,原不等式可化为,①当时,不等式①可化为,解得,此时;当时,不等式①可化为,解得,此时;当时,不等式①可化为,解得,此时,综上,原不等式的解集为.(2)由题意得,,因为的最小值为,所以,由,得,所以,当且仅当,即,时,的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题,对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分
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